2024年3月21日发(作者：欧晓莉)

14

DOI：10.16652/.1004⁃373x.2018.14.004

2018年7月15日

第41卷第14期

现代电子技术

ModernElectronicsTechnique

Jul.2018

Vol.41No.14

多重反馈二阶有源低通滤波器优化设计与仿真

阎群

1

，李擎

1

，崔家瑞

1

，郭荣庆

2

，颜贻宏

2

100083；2.东湖科技（北京）有限公司，北京100096）（1.北京科技大学自动化学院，北京

摘要：深入研究多重反馈二阶有源低通滤波器典型电路，提出一种参数优化设计的新方法。设计多重反馈二阶巴特

沃斯有源低通滤波器，并用Multisim13电路仿真软件对其进行仿真分析。仿真结果表明，采用该优化设计方法设计的有源

滤波器幅频特性良好、系统稳定可靠、易实现。另外，不同元器件的精度对滤波器特性的影响是不同的，实际应用中可合理

选择各元器件精度，在保证质量的前提下降低成本。

关键词：多重反馈；低通有源滤波器；巴特沃斯；优化设计；电路仿真；仿真分析

中图分类号：TN713

+

.8⁃34文献标识码：A文章编号：1004⁃373X（2018）14⁃0014⁃05

Optimizationdesignandsimulationofsecond⁃orderactivelow⁃pass

YANQun

1

，LIQing

1

，CUIJiarui

1

，GUORongqing

2

，YANYihong

2

keTechnology（Beijing）Co.，Ltd.，Beijing100096，China）

filterwithmultiplefeedbacks

（ofAutomation，UniversityofScienceandTechnologyBeijing，Beijing100083，China；

Abstract：Anewmethodofparameteroptimizationdesignisproposedbymeansofthein⁃depthstudyofthetypicalcircuit

ofsecond⁃orderactivelow⁃ond⁃orderButterworthactivelow⁃passfilterwithmultiple

ulationanalysisisperformedforthefilterbyusingtheMultisim13circuitsimulationsoftware.

Thesimulationresultsshowthattheactivefilterdesignedbytheoptimizationdesignmethodhasagoodamplitude⁃frequency

characteristic，andthesystemisstable，cisionofdifferentcomponentshasdifferentef⁃

fectsonfilterfeatures，soinpracticalapplication，itisadvisabletorationallyselecttheprecisionofvariouscomponents，soas

toreducethecostonthepremiseofguaranteeingthequality.

Keywords：multi⁃feedback；low⁃passactivefilter；Butterworth；optimizationdesign；circuitsimulation；simulationanalysis

0引言

优化设计具有十分重要的理论意义和现实价值。

有源滤波器简单有效的设计方法是查表法

[1⁃3]

，但

表格的覆盖范围有限，不能满足普遍情况的需要，没有

给出必要的理论根据，设计者不明白其取值的根据。常

见的有源滤波器电路拓扑有压控电压源型（VCVS）和无

限增益多路反馈型（MFB）两种。文献中对VCVS滤波

器的优化设计进行了大量研究，但有关MFB滤波器优

化设计的文献较少。文献[5]对两种拓扑低通滤波器的

传递函数进行推导和分析，利用德州仪器公司有源滤波

器设计软件FilterPro辅助完成设计。文献[6]简单给出

了一阶和二阶MFB低通滤波器的传递函数及电路参数

计算方法，但未给出必要的理论根据和具体的计算通

滤波器是一种从被噪声畸变或污染了的信号中提

取有用原始信号的电路

[1⁃2]

。由运算放大器和电阻、电容

构成的有源滤波器具有输入阻抗高、输出阻抗低、可提

供一定增益、截止频率可调等特点，在通信、信号处理、

3]

仪器仪表和自动控制等领域有着广泛的应用

[1，

。滤波

器的设计任务是根据给定的截止频率、通带增益、品质

因数等性能指标选定电路拓扑、滤波特性并确定元器件

参数

[4]

。如何快速有效设计出性能优良或元器件参数易

选的通用有源滤波电路，是电路设计者感兴趣的课题，

也是制约有源滤波器的瓶颈。因此，开展有源滤波器的

收稿日期：2017⁃08⁃29修回日期：2017⁃10⁃19

基金项目：北京科技大学教育教学改革与研究重点项目（JG2015Z09）；北京科技大学教育教学改革与研究面上项目（JG2016M18）

ProjectSupportedbyEducationandTeachingReformandResearchKeyProjectofUniversityofScienceandTechnologyBeijing（JG2015Z09），

EducationandTeachingReformandResearchGeneralProjectofUniversityofScienceandTechnologyBeijing（JG2016M18）

第14期

阎群，等：多重反馈二阶有源低通滤波器优化设计与仿真

15

式。文献[7]对MFB低通滤波电路的传递函数进行了理

论推导，利用PSpice软件仿真确定元件参数的范围，然

后通过实验细化参数，直至满足设计要求指标。

有源低通滤波器是滤波器中应用最为广泛的一种。

本文从典型的二阶低通滤波电路传递函数分析着手，深

入研究了多重反馈低通滤波器参数优化设计问题，给出

了优化设计通式，在保证良好的幅频特性基础上，首先

根据滤波器的性能指标及经验公式确定电路中电容值，

然后精确匹配电阻值。详细设计了多重反馈单位增益

二阶巴特沃斯有源低通滤波器，并用Multisim13软件

对其进行了频率特性分析和参数扫描分析。仿真结果

表明，采用该优化设计方法设计出的滤波器交流特性符

合理论设计，具有幅频特性良好、系统稳定可靠等优点。

不同元器件的精度对滤波器特性的影响是不同的，实际

应用中合理选择各元器件的精度，在保证质量的前提下

可降低成本。

1多重反馈二阶有源低通滤波器分析

多重反馈二阶有源低通滤波器电路如图1所示。信

号由运放的反向端输入，输出端通过

R

3

馈支路，反馈强弱与信号频率有关。由于理想运算放大

和

C

3

构成两个反

器的增益为无穷大，因此称为无限增益多路反馈滤波

器。在该滤波器中

R

1

分环节，这两级电路同时表现为低通特性。

和

C

1

构成低通级，

R

2

和

C

2

构成积

图1多重反馈二阶低通滤波器电路

Fig.1Circuitoftwo⁃orderlow⁃passfilter

withmultiplefeedbacks

根据理想运算放大器两个输入端的电位近似相等、

两个输入端可视为等效开路，即运放的“虚短”“虚断”特

性有：

V

2

V

=0

（

1

R

-

2

V

2

=sC

2

(V

2

-V

o

)

（

1

2

）

）

由基尔霍夫电流定律，并结合欧姆定律则有：

V

i

R

-

1

V

1

=sC

1

V

1

+

V

1

R

-

2

V

2

+

V

1

R

-

3

V

o

（3）

联立求解式（1）~式（3）可得该多重反馈二阶低通滤

波器的传递函数为：

H

(

s

)

=

V

V

o

i

(

(

s

s

)

)

R

R

3

=-

1

×

R

2

R

1

s

2

+

(

R

1

1

+

R

1

2

+

R

1

3

)

3

C

1

C

2

（4）

C

1

1

s+

R

2

由以上分析可见多重反馈低通滤波电路具有倒相

R

1

3

C

1

C

2

作用。

2多重反馈二阶低通滤波器优化设计

2.1

二阶低通滤波器归一化传递函数可表示为：

优化设计通式

H

(

s

)

=H

up

令

s=sω

(

s

2

+αs+β

)

（5）

c

，去归一化二阶低通滤波器的传递函数通

式为：

H

(

s

)

=H

up

ω

2

c

式中：

H

(

s

2

+αω

c

s+βω

2

c

)

（6）

up

率；滤波器的品质因数

为滤波器的通带增益；

Q=β

ω

c

α

，

为滤波器的截止频

α

，

β

为二项式的系

数，当

α

，

β

优化为不同的值时，便可设计出不同的滤波

器类型。对照式（4）和式（6）可得：

ì

ï

βω

2

ï

c

ï

=

R

2

ï

R

1

3

C

1

C

2

í

H

ï

up

ω

2

c

=-

R

R

3

1

×

R

2

R

1

3

C

（7）

ï

ï

ï

î

αω

c

=

(

R

1

1

+

R

1

2

+

R

1

1

)

C

2

3

C

1

1

这里不妨令

R

3

=AR

1

，

C

2

=mC

1

，

H

up

=-β

R

那么，

R

3

1

=-βA

有：

8）

βmω

2

c

式（9）为

R

C

2

1

R

2

3

-αω

c

C

1

R

3

+

(

A+1

)

（

=0

（9）

3

然有：

的一元二次方程，

R

3

一定有实根，则必

Δ=(αω

c

2

即：

C

1

)-4βmω

2

c

(

A+1

)

C

1

≥0

m≤

4β(

α

A

2

+1)

（10）

求解式（9）可得：

R

α

2

3

=

α±

2βmω

-4βm

c

C

1

(A+1)

（11）

将

R

3

代入式（7）可求得：

R

2

=

α∓

至此，只要选定电容

2βm

α

2

C

(

-

A

4

+

βm

1)

(

ω

A

c

C

+

1

1)

（12）

1

器的性能指标要求设计任意特性的多重反馈型二阶低

和m的值就可以根据滤波

通滤波器。

16

现代电子技术

2018年第41卷

2.2

一般来说，

优化设计步骤

能够购买到的电容器的容量值只是E6

系列或E12系列中所具有的值，特殊容量值的电容器需

要特殊订货，其价格高且交货期长，而且厂家往往不愿

意少量制作。而对于电阻器来说，可以购买到E96系列

或E24系列的电阻值，价格低廉、误差小、温度特性稳

定

[2]

。因此，优化设计首先选定电容器的值，然后根据滤

波器的性能指标精确匹配电阻值，优化设计可按下列步

骤进行。

选择滤波函数并查表

1）选择滤波函数。根据待设计滤波器的性能指标

[4]

求得其归一化二项式系数

α

，

β

。

定电容的值

2）确定电容

[8]

，

ω

C

1

的值。根据截止频率

f

c

依靠经验确

c

表

=

1

2π

截止频率与电容取值

f

c

，

C

1

=C

具体见表1。

Table1Valuesofcut⁃offfrequencyandcapacitance

截止频率

f

c

电容C

≤100Hz

1.0~0.1μF

100~1000Hz

0.1~0.01μF

1~10kHz

0.01~0.001μF

10~100kHz

1000~100pF

≥100kHz

100~10pF

值

A

，

3

A

）求取

=

|

H

AH

up

，确定电阻

R

3

，

4）选取

up

|

m

。

。根据通带增益

R

1

的比

并求取电容

电容

C

2

与

C

1

的比值

m

，

C

C

2

的值。由式

显然

m

（10）合理选取

2

=mC

1

，

=

4β(

α

A

2

+1)

时

计算最简便。

阻

R

5）确定

R

1

，

R

2

，

R

3

的值。由式（11）、式（12）求取电

3

，

6

7

）确定电阻

R

2

并取标称值，

）选择集成运算放大器。要合理地选择集成运算

R

R

1

=R

3

A

。

4

的值。匹配电阻

R

4

=R

2

+R

1

⫽R

3

。

放大器。为保证所设计的滤波器能够稳定的工作，一般

要求所选集成运放在截止频率附近的开环电压放大倍

数

A

v

满足

A

v

≥50C

1

C

2

，一般集成运放的开环电压放大

倍数都在

10

5

以上，这个条件很容易满足。

3多重反馈二阶巴特沃斯低通滤波器设计

理想低通滤波器能够让从零频（即直流）到截止频

率

ω

c

于截止频率

之间的所有信号都没有任何损失和通过，

ω

而让高

c

滤波器是很难实现的，

的所有信号完全阻塞。具有理想特性的

只能用实际特性去逼近理想特

性

[1⁃2]

。常用的滤波器频率响应类型

[2]

有巴特沃斯（But⁃

terworth）、切比雪夫（Chebychev）和贝塞尔（Bessel）3种。

巴特沃斯低通滤波器由于其通频带内具有最大平坦幅

度响应，与其他两种滤波器相比，在衰减特性、相位特性

和响应特性等方面具有特性均衡的优点，在实际应用中

己被列入首选

[9]

。接下来以二阶巴特沃斯有源低通滤波

器为例来研究多重反馈二阶低通滤波器的优化设计

问题。

二阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为

[10]

：

H

(

s

)

=

H

s

2

+1.414

up

2

ω

2

ω

c

c

s+ω

2

c

对于多重反馈单位增益二阶巴特沃斯低通滤波器

设计来讲，

α=1.4142

，

β=1

，

H

up

最方便的选择，即

m=14

，这时

=

计

-1

算

，

m

非

至少存在一个

常方便，

R

22

3

2

=

ω

c

。设计截止频率

f

馈单位增益二阶巴特沃斯低通滤波器，

C

1

，

R

2

=

ω

c

C

1

c

=100Hz

的多重反

具体设计数据见

表2。根据实际选择参数重新计算得到通带放大倍数

H

up

=-1

表

，

2

截止频率

多重反馈二阶巴特沃斯低通滤波器设计值表

f

c

=100.0351Hz

。

Table2Designvaluesoftwo⁃orderButterworthlow⁃pass

filterwithmultiplefeedbacks

C

1

/μF

C

2

/nF

R

1

/kΩ

R

2

/kΩ

R

3

/kΩ

R

4

/kΩ

0.12545.022.545.045.0

4仿真研究

4.1

Multisim

搭建仿真电路图

作台”软件，它将电路的原理图、

是专门用于电子线路仿真的

功能测试和仿真结果汇

“虚拟电子工

集到一个电路窗口，具有界面形象直观、元器件种类多、

仪器仪表齐全、分析方法多样、操作方便等优点

[11⁃12]

，既

可进行电路设计，也可对所设计的电路进行各种功能模

拟仿真试验。

按图2所示在Multisim13环境下搭建优化设计的

多重反馈二阶单位增益巴特沃斯低通滤波器，集成运算

放大器选用AD8040AR。信号源XFG1设置输入信号

V

i

），示波器XSC1

测试电路的频率特性。

观察输入、输出信号（

V

o

特性测试仪XBP1

）波形，频率

4.2

双击信号源

观察输入/输出波形

XFG1设置输入信号

V

i

值为1.0V，双击示波器XSC1图标，启动仿真，

频率为

用虚拟示

1Hz、峰

波器测得的输入/输出波形如图3所示。

从虚拟示波器测得的输入/输出波形来看，输入/输

出信号的幅值大致相等，相位相差

180°

。移动光标T

1

和T

2

和-974.058

测量输入

mV

和

，近

输出

似

信

计

号

算

的

此

幅

时

值

的

分

增

别

益

为

H

979.6mV

up

(1Hz)=

（

第14期

阎群，等：多重反馈二阶有源低通滤波器优化设计与仿真

17

V

V

o1

i1

=

-974.058

979.6

≈-0.994

，可见，该滤波器的通带增益

H

up

≈-0.994

，满足设计要求。

图2优化设计的仿真电路图

Fig.2Diagramforsimulationcircuitofoptimizationdesign

图3输入信号1Hz，1.0V时的输入/输出波形

Fig.3Inputandoutputwaveformsof1Hz

and1.0Vinputsignal

设置输入信号

V

i

并用虚拟示波器测得的输入

频率为

/

100

输出波形如图

Hz、峰值为

4

1.0

所示。

V，仿真

图4输入信号100Hz，1.0V时的输入/输出波形

Fig.4Inputandoutputwaveformsof100Hz

and1.0Vinputsignal

从输入/输出波形来看，输出信号的幅值已明显下

降，相位差明显小于

180°

。移动光标T

1

输出信号的幅值分别为972.313mV和-688.147

和T

2

测量输入和

mV，近

似计算此时的增益

H

-688.147972.31375

，可

up

(

见

100

，100

Hz

)

Hz

≈

即

V

op2

为

V

该

ip2

滤

=

波器的截止频率，与设计基本一致。

≈-0.707

4.3

双击频率特性测试仪

频率特性分析

XBP1的图标，观察电路的幅

频特性（Magnitude），如图5所示，移动光标测试数据，测

试结果见表3。

图5频率特性测试仪显示的幅频特性

Fig.5Amplitude⁃frequencycharacteristicsdisplayedon

frequencycharacteristictester

表3幅频特性测试数据

Table3Testeddataofamplitude⁃frequencycharacteristics

频率/Hz衰减量/dB频率/Hz衰减量/dB

1-0.0041003.013

10-0.004500.881-27.992

50.19-0.2721002-40.022

测试结果表明，优化设计的多重反馈单位增益二阶

巴特沃斯有源低通滤波器的通带增益

H

up

止频率

f

≈100Hz

。输入信号频率小于

f

≈1.00046

，截

cc

基本稳定；输入信号频率大于

f

时，输出幅度

c

衰减较快，大约为

-40dB10

倍频程。该电路完全达到

后，随着频率增大输出

了设计要求。

4.4

为了获得电路中元器件参数在一定范围内变化时

参数扫描分析

对优化设计的低通滤波器幅频特性的影响，采用Multi⁃

R

sim13的参数扫描功能对电路进行分析。图2中电阻

20

1

，

%

R

三值进行参数线性扫描，

2

，

R

3

和电容

C

1

，

C

2

分别取优化设计值变化

仿真结果如图6、图

-20

7所示。

%，0，

图6元器件参数增加20%时的幅频特性

Fig.6Amplitude⁃frequencycharacteristicswhen

componentparametersareincreasedby20%

每个元器件同样是变化

±

20%，但对幅频特性的影

18

现代电子技术

2006.

2018年第41卷

R

3

明显影响通带增益。电阻

R

2

响是不同的。电阻

R

1

，

C

2

对通带增益的影响不明显，

和电容

C

1

，但对通带宽度

C

1

影响最明显，

C

2

次之，

R

2

最小。当

C

1

增加、

C

2

有影响，

[3]林红，周鑫霞.模拟电路基础[M].北京：清华大学出版社，2007.

LINHong，circuitfoundation[M].Bei⁃

jing：TsinghuaUniversityPress，2007.

出版社，1980.

和

R

2

减小时，幅频特性从左向右移动，通带宽度变宽；

当

C

1

减小、幅频特性从右向左移动，通

C

2

和

R

2

增加时，

带宽度变窄。优化低成本设计时，可以相对放宽对

R

2

，

的精度，尤其要保证

R

3

与

R

1

比值的精度，以保证质量。

[4]JL希尔本，DE约翰逊.有源滤波器设计手册[M].北京：地质

HILLBENJL，handbookofactivefil⁃

[5]张涛，郑大威.基于FilterPro的有源滤波器的快速设计与分析

[J].现代电子技术，2016，39（8）：115⁃117.

ZHANGTao，Pro⁃basedrapiddesignand

2016，39（8）：115⁃117.

ter[M].Beijing：GeologicalPublishingHouse，1980.

C

1

的精度要求，

R

3

以降低成本，同时需要保证

C

2

和

R

1

，

analysisofactivefilter[J].Modernelectronicstechnique，

[6]刘鑫，刘琪芳，高文华.有源低通滤波器仿真设计教学研究[J].

电气电子教学学报，2013，35（3）：59⁃61.

LIUXin，LIUQifang，ulationdesignof

cation，2013，35（3）：59⁃61.

activelow⁃passfilter[J].Journalofelectrical&electronicedu⁃

[7]王腾飞，王腾帅，张宗艳.基于负反馈的低通滤波器设计[J].机

图7元器件参数减小20%时的幅频特性

Fig.7Amplitude⁃frequencycharacteristicswhen

componentparametersarereducedby20%

电工程，2015，32（9）：1267⁃1270.

WANGTengfei，WANGTengshuai，

oflow⁃passfilterbasedonnegativefeedback[J].Mechanical&

electricalengineeringmagazine，2015，32（9）：1267⁃1270.

5结语

[8]YANGY，JIANGY，LIX，ldesignofvoltage⁃

controlledvoltagesourcesecond⁃orderunitgainButterworth

low⁃passfilter[C]//ProceedingsofInternationalConference

IEEE，2011：4318⁃4321.

本文详细推导了多重反馈型有源滤波器的传递函

数，给出了一种参数优化设计通式，首先根据滤波器的

性能指标选取滤波器的频率特性，然后根据经验选取电

C

2

，

C

2

以及滤波器

容

C

1

，最后根据灵活选取的电容

C

1

，

R

2

，

R

3

，

R

4

。该设计思路

的性能指标计算匹配的电阻

R

1

，

：

[9]赵晓群，张洁.巴特沃斯低通滤波器的实现方法研究[J].大连

民族学院学报，2013，15（1）：72⁃75.

ZHAOXiaoqun，chonimplementalmeth⁃

odsofButterworthlow⁃passfilter[J].JournalofDalianNation⁃

[10]徐志国，杨娟.基于WEBENCH的巴特沃斯低通滤波器的设

计[J].金陵科技学院学报，2014，30（4）：29⁃33.

XUZhiguo，ignofButterworthlow⁃pass

alitiesUniversity，2013，15（1）：72⁃75.

清晰，过程简便，不仅克服了查表法数据受限的问题，而

且避免了定制电容耗时较长、价格较高、精度较低等问

题。Multisim13仿真结果表明，该参数优化设计方法具

有较好的实用价值。

参考文献

filterbasedonWEBENCH[J].JournalofJinlingInstituteof

[11]吕波，王敏.Multisim14电路设计与仿真[M].北京：机械工业

出版社，2016.

Technology，2014，30（4）：29⁃33.

[1]谢自美.电子线路设计·实验·测试[M].2版.武汉：华中科技大

学出版社，2006.

oniccircuitdesign·experiment·test[M].2nd

：HuazhongUniversityofScience&Technology

[2]远坂俊昭.测量的电子电路设计：滤波器篇[M].彭军，译.北

京：科学出版社，2006.

oniccircuitdesignformeasurement：

filtertext[M].PENGJun，g：SciencePress，

作者简介：阎

Press，2006.

LÜBo，andsimulationofMultisim14

[12]李端，艾永乐.基于Multisim的二阶有源滤波器的研究[J].北

京电子科技学院学报，2009，17（2）：12⁃16.

LIDuan，ationofMultisim7inelectronic

circuitteaching[J].JournalofBeijingElectronicScienceand

TechnologyInstitute，2009，17（2）：12⁃16.

circuit[M].Beijing：ChinaMachinePress，2016.

群（1970—），女，陕西华县人，博士，讲师。主要从事电工电子技术实验、自动化生产线实训、电动汽车与新能源控

制系统等方面的教学与研究工作。

2024年3月21日发(作者：欧晓莉)

14

DOI：10.16652/.1004⁃373x.2018.14.004

2018年7月15日

第41卷第14期

现代电子技术

ModernElectronicsTechnique

Jul.2018

Vol.41No.14

多重反馈二阶有源低通滤波器优化设计与仿真

阎群

1

，李擎

1

，崔家瑞

1

，郭荣庆

2

，颜贻宏

2

100083；2.东湖科技（北京）有限公司，北京100096）（1.北京科技大学自动化学院，北京

摘要：深入研究多重反馈二阶有源低通滤波器典型电路，提出一种参数优化设计的新方法。设计多重反馈二阶巴特

沃斯有源低通滤波器，并用Multisim13电路仿真软件对其进行仿真分析。仿真结果表明，采用该优化设计方法设计的有源

滤波器幅频特性良好、系统稳定可靠、易实现。另外，不同元器件的精度对滤波器特性的影响是不同的，实际应用中可合理

选择各元器件精度，在保证质量的前提下降低成本。

关键词：多重反馈；低通有源滤波器；巴特沃斯；优化设计；电路仿真；仿真分析

中图分类号：TN713

+

.8⁃34文献标识码：A文章编号：1004⁃373X（2018）14⁃0014⁃05

Optimizationdesignandsimulationofsecond⁃orderactivelow⁃pass

YANQun

1

，LIQing

1

，CUIJiarui

1

，GUORongqing

2

，YANYihong

2

keTechnology（Beijing）Co.，Ltd.，Beijing100096，China）

filterwithmultiplefeedbacks

（ofAutomation，UniversityofScienceandTechnologyBeijing，Beijing100083，China；

Abstract：Anewmethodofparameteroptimizationdesignisproposedbymeansofthein⁃depthstudyofthetypicalcircuit

ofsecond⁃orderactivelow⁃ond⁃orderButterworthactivelow⁃passfilterwithmultiple

ulationanalysisisperformedforthefilterbyusingtheMultisim13circuitsimulationsoftware.

Thesimulationresultsshowthattheactivefilterdesignedbytheoptimizationdesignmethodhasagoodamplitude⁃frequency

characteristic，andthesystemisstable，cisionofdifferentcomponentshasdifferentef⁃

fectsonfilterfeatures，soinpracticalapplication，itisadvisabletorationallyselecttheprecisionofvariouscomponents，soas

toreducethecostonthepremiseofguaranteeingthequality.

Keywords：multi⁃feedback；low⁃passactivefilter；Butterworth；optimizationdesign；circuitsimulation；simulationanalysis

0引言

优化设计具有十分重要的理论意义和现实价值。

有源滤波器简单有效的设计方法是查表法

[1⁃3]

，但

表格的覆盖范围有限，不能满足普遍情况的需要，没有

给出必要的理论根据，设计者不明白其取值的根据。常

见的有源滤波器电路拓扑有压控电压源型（VCVS）和无

限增益多路反馈型（MFB）两种。文献中对VCVS滤波

器的优化设计进行了大量研究，但有关MFB滤波器优

化设计的文献较少。文献[5]对两种拓扑低通滤波器的

传递函数进行推导和分析，利用德州仪器公司有源滤波

器设计软件FilterPro辅助完成设计。文献[6]简单给出

了一阶和二阶MFB低通滤波器的传递函数及电路参数

计算方法，但未给出必要的理论根据和具体的计算通

滤波器是一种从被噪声畸变或污染了的信号中提

取有用原始信号的电路

[1⁃2]

。由运算放大器和电阻、电容

构成的有源滤波器具有输入阻抗高、输出阻抗低、可提

供一定增益、截止频率可调等特点，在通信、信号处理、

3]

仪器仪表和自动控制等领域有着广泛的应用

[1，

。滤波

器的设计任务是根据给定的截止频率、通带增益、品质

因数等性能指标选定电路拓扑、滤波特性并确定元器件

参数

[4]

。如何快速有效设计出性能优良或元器件参数易

选的通用有源滤波电路，是电路设计者感兴趣的课题，

也是制约有源滤波器的瓶颈。因此，开展有源滤波器的

收稿日期：2017⁃08⁃29修回日期：2017⁃10⁃19

基金项目：北京科技大学教育教学改革与研究重点项目（JG2015Z09）；北京科技大学教育教学改革与研究面上项目（JG2016M18）

ProjectSupportedbyEducationandTeachingReformandResearchKeyProjectofUniversityofScienceandTechnologyBeijing（JG2015Z09），

EducationandTeachingReformandResearchGeneralProjectofUniversityofScienceandTechnologyBeijing（JG2016M18）

第14期

阎群，等：多重反馈二阶有源低通滤波器优化设计与仿真

15

式。文献[7]对MFB低通滤波电路的传递函数进行了理

论推导，利用PSpice软件仿真确定元件参数的范围，然

后通过实验细化参数，直至满足设计要求指标。

有源低通滤波器是滤波器中应用最为广泛的一种。

本文从典型的二阶低通滤波电路传递函数分析着手，深

入研究了多重反馈低通滤波器参数优化设计问题，给出

了优化设计通式，在保证良好的幅频特性基础上，首先

根据滤波器的性能指标及经验公式确定电路中电容值，

然后精确匹配电阻值。详细设计了多重反馈单位增益

二阶巴特沃斯有源低通滤波器，并用Multisim13软件

对其进行了频率特性分析和参数扫描分析。仿真结果

表明，采用该优化设计方法设计出的滤波器交流特性符

合理论设计，具有幅频特性良好、系统稳定可靠等优点。

不同元器件的精度对滤波器特性的影响是不同的，实际

应用中合理选择各元器件的精度，在保证质量的前提下

可降低成本。

1多重反馈二阶有源低通滤波器分析

多重反馈二阶有源低通滤波器电路如图1所示。信

号由运放的反向端输入，输出端通过

R

3

馈支路，反馈强弱与信号频率有关。由于理想运算放大

和

C

3

构成两个反

器的增益为无穷大，因此称为无限增益多路反馈滤波

器。在该滤波器中

R

1

分环节，这两级电路同时表现为低通特性。

和

C

1

构成低通级，

R

2

和

C

2

构成积

图1多重反馈二阶低通滤波器电路

Fig.1Circuitoftwo⁃orderlow⁃passfilter

withmultiplefeedbacks

根据理想运算放大器两个输入端的电位近似相等、

两个输入端可视为等效开路，即运放的“虚短”“虚断”特

性有：

V

2

V

=0

（

1

R

-

2

V

2

=sC

2

(V

2

-V

o

)

（

1

2

）

）

由基尔霍夫电流定律，并结合欧姆定律则有：

V

i

R

-

1

V

1

=sC

1

V

1

+

V

1

R

-

2

V

2

+

V

1

R

-

3

V

o

（3）

联立求解式（1）~式（3）可得该多重反馈二阶低通滤

波器的传递函数为：

H

(

s

)

=

V

V

o

i

(

(

s

s

)

)

R

R

3

=-

1

×

R

2

R

1

s

2

+

(

R

1

1

+

R

1

2

+

R

1

3

)

3

C

1

C

2

（4）

C

1

1

s+

R

2

由以上分析可见多重反馈低通滤波电路具有倒相

R

1

3

C

1

C

2

作用。

2多重反馈二阶低通滤波器优化设计

2.1

二阶低通滤波器归一化传递函数可表示为：

优化设计通式

H

(

s

)

=H

up

令

s=sω

(

s

2

+αs+β

)

（5）

c

，去归一化二阶低通滤波器的传递函数通

式为：

H

(

s

)

=H

up

ω

2

c

式中：

H

(

s

2

+αω

c

s+βω

2

c

)

（6）

up

率；滤波器的品质因数

为滤波器的通带增益；

Q=β

ω

c

α

，

为滤波器的截止频

α

，

β

为二项式的系

数，当

α

，

β

优化为不同的值时，便可设计出不同的滤波

器类型。对照式（4）和式（6）可得：

ì

ï

βω

2

ï

c

ï

=

R

2

ï

R

1

3

C

1

C

2

í

H

ï

up

ω

2

c

=-

R

R

3

1

×

R

2

R

1

3

C

（7）

ï

ï

ï

î

αω

c

=

(

R

1

1

+

R

1

2

+

R

1

1

)

C

2

3

C

1

1

这里不妨令

R

3

=AR

1

，

C

2

=mC

1

，

H

up

=-β

R

那么，

R

3

1

=-βA

有：

8）

βmω

2

c

式（9）为

R

C

2

1

R

2

3

-αω

c

C

1

R

3

+

(

A+1

)

（

=0

（9）

3

然有：

的一元二次方程，

R

3

一定有实根，则必

Δ=(αω

c

2

即：

C

1

)-4βmω

2

c

(

A+1

)

C

1

≥0

m≤

4β(

α

A

2

+1)

（10）

求解式（9）可得：

R

α

2

3

=

α±

2βmω

-4βm

c

C

1

(A+1)

（11）

将

R

3

代入式（7）可求得：

R

2

=

α∓

至此，只要选定电容

2βm

α

2

C

(

-

A

4

+

βm

1)

(

ω

A

c

C

+

1

1)

（12）

1

器的性能指标要求设计任意特性的多重反馈型二阶低

和m的值就可以根据滤波

通滤波器。

16

现代电子技术

2018年第41卷

2.2

一般来说，

优化设计步骤

能够购买到的电容器的容量值只是E6

系列或E12系列中所具有的值，特殊容量值的电容器需

要特殊订货，其价格高且交货期长，而且厂家往往不愿

意少量制作。而对于电阻器来说，可以购买到E96系列

或E24系列的电阻值，价格低廉、误差小、温度特性稳

定

[2]

。因此，优化设计首先选定电容器的值，然后根据滤

波器的性能指标精确匹配电阻值，优化设计可按下列步

骤进行。

选择滤波函数并查表

1）选择滤波函数。根据待设计滤波器的性能指标

[4]

求得其归一化二项式系数

α

，

β

。

定电容的值

2）确定电容

[8]

，

ω

C

1

的值。根据截止频率

f

c

依靠经验确

c

表

=

1

2π

截止频率与电容取值

f

c

，

C

1

=C

具体见表1。

Table1Valuesofcut⁃offfrequencyandcapacitance

截止频率

f

c

电容C

≤100Hz

1.0~0.1μF

100~1000Hz

0.1~0.01μF

1~10kHz

0.01~0.001μF

10~100kHz

1000~100pF

≥100kHz

100~10pF

值

A

，

3

A

）求取

=

|

H

AH

up

，确定电阻

R

3

，

4）选取

up

|

m

。

。根据通带增益

R

1

的比

并求取电容

电容

C

2

与

C

1

的比值

m

，

C

C

2

的值。由式

显然

m

（10）合理选取

2

=mC

1

，

=

4β(

α

A

2

+1)

时

计算最简便。

阻

R

5）确定

R

1

，

R

2

，

R

3

的值。由式（11）、式（12）求取电

3

，

6

7

）确定电阻

R

2

并取标称值，

）选择集成运算放大器。要合理地选择集成运算

R

R

1

=R

3

A

。

4

的值。匹配电阻

R

4

=R

2

+R

1

⫽R

3

。

放大器。为保证所设计的滤波器能够稳定的工作，一般

要求所选集成运放在截止频率附近的开环电压放大倍

数

A

v

满足

A

v

≥50C

1

C

2

，一般集成运放的开环电压放大

倍数都在

10

5

以上，这个条件很容易满足。

3多重反馈二阶巴特沃斯低通滤波器设计

理想低通滤波器能够让从零频（即直流）到截止频

率

ω

c

于截止频率

之间的所有信号都没有任何损失和通过，

ω

而让高

c

滤波器是很难实现的，

的所有信号完全阻塞。具有理想特性的

只能用实际特性去逼近理想特

性

[1⁃2]

。常用的滤波器频率响应类型

[2]

有巴特沃斯（But⁃

terworth）、切比雪夫（Chebychev）和贝塞尔（Bessel）3种。

巴特沃斯低通滤波器由于其通频带内具有最大平坦幅

度响应，与其他两种滤波器相比，在衰减特性、相位特性

和响应特性等方面具有特性均衡的优点，在实际应用中

己被列入首选

[9]

。接下来以二阶巴特沃斯有源低通滤波

器为例来研究多重反馈二阶低通滤波器的优化设计

问题。

二阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数为

[10]

：

H

(

s

)

=

H

s

2

+1.414

up

2

ω

2

ω

c

c

s+ω

2

c

对于多重反馈单位增益二阶巴特沃斯低通滤波器

设计来讲，

α=1.4142

，

β=1

，

H

up

最方便的选择，即

m=14

，这时

=

计

-1

算

，

m

非

至少存在一个

常方便，

R

22

3

2

=

ω

c

。设计截止频率

f

馈单位增益二阶巴特沃斯低通滤波器，

C

1

，

R

2

=

ω

c

C

1

c

=100Hz

的多重反

具体设计数据见

表2。根据实际选择参数重新计算得到通带放大倍数

H

up

=-1

表

，

2

截止频率

多重反馈二阶巴特沃斯低通滤波器设计值表

f

c

=100.0351Hz

。

Table2Designvaluesoftwo⁃orderButterworthlow⁃pass

filterwithmultiplefeedbacks

C

1

/μF

C

2

/nF

R

1

/kΩ

R

2

/kΩ

R

3

/kΩ

R

4

/kΩ

0.12545.022.545.045.0

4仿真研究

4.1

Multisim

搭建仿真电路图

作台”软件，它将电路的原理图、

是专门用于电子线路仿真的

功能测试和仿真结果汇

“虚拟电子工

集到一个电路窗口，具有界面形象直观、元器件种类多、

仪器仪表齐全、分析方法多样、操作方便等优点

[11⁃12]

，既

可进行电路设计，也可对所设计的电路进行各种功能模

拟仿真试验。

按图2所示在Multisim13环境下搭建优化设计的

多重反馈二阶单位增益巴特沃斯低通滤波器，集成运算

放大器选用AD8040AR。信号源XFG1设置输入信号

V

i

），示波器XSC1

测试电路的频率特性。

观察输入、输出信号（

V

o

特性测试仪XBP1

）波形，频率

4.2

双击信号源

观察输入/输出波形

XFG1设置输入信号

V

i

值为1.0V，双击示波器XSC1图标，启动仿真，

频率为

用虚拟示

1Hz、峰

波器测得的输入/输出波形如图3所示。

从虚拟示波器测得的输入/输出波形来看，输入/输

出信号的幅值大致相等，相位相差

180°

。移动光标T

1

和T

2

和-974.058

测量输入

mV

和

，近

输出

似

信

计

号

算

的

此

幅

时

值

的

分

增

别

益

为

H

979.6mV

up

(1Hz)=

（

第14期

阎群，等：多重反馈二阶有源低通滤波器优化设计与仿真

17

V

V

o1

i1

=

-974.058

979.6

≈-0.994

，可见，该滤波器的通带增益

H

up

≈-0.994

，满足设计要求。

图2优化设计的仿真电路图

Fig.2Diagramforsimulationcircuitofoptimizationdesign

图3输入信号1Hz，1.0V时的输入/输出波形

Fig.3Inputandoutputwaveformsof1Hz

and1.0Vinputsignal

设置输入信号

V

i

并用虚拟示波器测得的输入

频率为

/

100

输出波形如图

Hz、峰值为

4

1.0

所示。

V，仿真

图4输入信号100Hz，1.0V时的输入/输出波形

Fig.4Inputandoutputwaveformsof100Hz

and1.0Vinputsignal

从输入/输出波形来看，输出信号的幅值已明显下

降，相位差明显小于

180°

。移动光标T

1

输出信号的幅值分别为972.313mV和-688.147

和T

2

测量输入和

mV，近

似计算此时的增益

H

-688.147972.31375

，可

up

(

见

100

，100

Hz

)

Hz

≈

即

V

op2

为

V

该

ip2

滤

=

波器的截止频率，与设计基本一致。

≈-0.707

4.3

双击频率特性测试仪

频率特性分析

XBP1的图标，观察电路的幅

频特性（Magnitude），如图5所示，移动光标测试数据，测

试结果见表3。

图5频率特性测试仪显示的幅频特性

Fig.5Amplitude⁃frequencycharacteristicsdisplayedon

frequencycharacteristictester

表3幅频特性测试数据

Table3Testeddataofamplitude⁃frequencycharacteristics

频率/Hz衰减量/dB频率/Hz衰减量/dB

1-0.0041003.013

10-0.004500.881-27.992

50.19-0.2721002-40.022

测试结果表明，优化设计的多重反馈单位增益二阶

巴特沃斯有源低通滤波器的通带增益

H

up

止频率

f

≈100Hz

。输入信号频率小于

f

≈1.00046

，截

cc

基本稳定；输入信号频率大于

f

时，输出幅度

c

衰减较快，大约为

-40dB10

倍频程。该电路完全达到

后，随着频率增大输出

了设计要求。

4.4

为了获得电路中元器件参数在一定范围内变化时

参数扫描分析

对优化设计的低通滤波器幅频特性的影响，采用Multi⁃

R

sim13的参数扫描功能对电路进行分析。图2中电阻

20

1

，

%

R

三值进行参数线性扫描，

2

，

R

3

和电容

C

1

，

C

2

分别取优化设计值变化

仿真结果如图6、图

-20

7所示。

%，0，

图6元器件参数增加20%时的幅频特性

Fig.6Amplitude⁃frequencycharacteristicswhen

componentparametersareincreasedby20%

每个元器件同样是变化

±

20%，但对幅频特性的影

18

现代电子技术

2006.

2018年第41卷

R

3

明显影响通带增益。电阻

R

2

响是不同的。电阻

R

1

，

C

2

对通带增益的影响不明显，

和电容

C

1

，但对通带宽度

C

1

影响最明显，

C

2

次之，

R

2

最小。当

C

1

增加、

C

2

有影响，

[3]林红，周鑫霞.模拟电路基础[M].北京：清华大学出版社，2007.

LINHong，circuitfoundation[M].Bei⁃

jing：TsinghuaUniversityPress，2007.

出版社，1980.

和

R

2

减小时，幅频特性从左向右移动，通带宽度变宽；

当

C

1

减小、幅频特性从右向左移动，通

C

2

和

R

2

增加时，

带宽度变窄。优化低成本设计时，可以相对放宽对

R

2

，

的精度，尤其要保证

R

3

与

R

1

比值的精度，以保证质量。

[4]JL希尔本，DE约翰逊.有源滤波器设计手册[M].北京：地质

HILLBENJL，handbookofactivefil⁃

[5]张涛，郑大威.基于FilterPro的有源滤波器的快速设计与分析

[J].现代电子技术，2016，39（8）：115⁃117.

ZHANGTao，Pro⁃basedrapiddesignand

2016，39（8）：115⁃117.

ter[M].Beijing：GeologicalPublishingHouse，1980.

C

1

的精度要求，

R

3

以降低成本，同时需要保证

C

2

和

R

1

，

analysisofactivefilter[J].Modernelectronicstechnique，

[6]刘鑫，刘琪芳，高文华.有源低通滤波器仿真设计教学研究[J].

电气电子教学学报，2013，35（3）：59⁃61.

LIUXin，LIUQifang，ulationdesignof

cation，2013，35（3）：59⁃61.

activelow⁃passfilter[J].Journalofelectrical&electronicedu⁃

[7]王腾飞，王腾帅，张宗艳.基于负反馈的低通滤波器设计[J].机

图7元器件参数减小20%时的幅频特性

Fig.7Amplitude⁃frequencycharacteristicswhen

componentparametersarereducedby20%

电工程，2015，32（9）：1267⁃1270.

WANGTengfei，WANGTengshuai，

oflow⁃passfilterbasedonnegativefeedback[J].Mechanical&

electricalengineeringmagazine，2015，32（9）：1267⁃1270.

5结语

[8]YANGY，JIANGY，LIX，ldesignofvoltage⁃

controlledvoltagesourcesecond⁃orderunitgainButterworth

low⁃passfilter[C]//ProceedingsofInternationalConference

IEEE，2011：4318⁃4321.

本文详细推导了多重反馈型有源滤波器的传递函

数，给出了一种参数优化设计通式，首先根据滤波器的

性能指标选取滤波器的频率特性，然后根据经验选取电

C

2

，

C

2

以及滤波器

容

C

1

，最后根据灵活选取的电容

C

1

，

R

2

，

R

3

，

R

4

。该设计思路

的性能指标计算匹配的电阻

R

1

，

：

[9]赵晓群，张洁.巴特沃斯低通滤波器的实现方法研究[J].大连

民族学院学报，2013，15（1）：72⁃75.

ZHAOXiaoqun，chonimplementalmeth⁃

odsofButterworthlow⁃passfilter[J].JournalofDalianNation⁃

[10]徐志国，杨娟.基于WEBENCH的巴特沃斯低通滤波器的设

计[J].金陵科技学院学报，2014，30（4）：29⁃33.

XUZhiguo，ignofButterworthlow⁃pass

alitiesUniversity，2013，15（1）：72⁃75.

清晰，过程简便，不仅克服了查表法数据受限的问题，而

且避免了定制电容耗时较长、价格较高、精度较低等问

题。Multisim13仿真结果表明，该参数优化设计方法具

有较好的实用价值。

参考文献

filterbasedonWEBENCH[J].JournalofJinlingInstituteof

[11]吕波，王敏.Multisim14电路设计与仿真[M].北京：机械工业

出版社，2016.

Technology，2014，30（4）：29⁃33.

[1]谢自美.电子线路设计·实验·测试[M].2版.武汉：华中科技大

学出版社，2006.

oniccircuitdesign·experiment·test[M].2nd

：HuazhongUniversityofScience&Technology

[2]远坂俊昭.测量的电子电路设计：滤波器篇[M].彭军，译.北

京：科学出版社，2006.

oniccircuitdesignformeasurement：

filtertext[M].PENGJun，g：SciencePress，

作者简介：阎

Press，2006.

LÜBo，andsimulationofMultisim14

[12]李端，艾永乐.基于Multisim的二阶有源滤波器的研究[J].北

京电子科技学院学报，2009，17（2）：12⁃16.

LIDuan，ationofMultisim7inelectronic

circuitteaching[J].JournalofBeijingElectronicScienceand

TechnologyInstitute，2009，17（2）：12⁃16.

circuit[M].Beijing：ChinaMachinePress，2016.

群（1970—），女，陕西华县人，博士，讲师。主要从事电工电子技术实验、自动化生产线实训、电动汽车与新能源控

制系统等方面的教学与研究工作。