2024年3月25日发(作者：司玥)
2018年陕西省中考数学试卷（分析）
参与解析人员：袁浪，霍高峰，田战宾，王建勇，万兰英，何小龙，祝正堂，薛李，赵健，宋敏，杨
新荣，赵振，贺基旭，李优等.
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）（答案为标红选项）
7
1．－的倒数是（ D ）
11
7
A．
11
7
B．－
11
11
C．
7
11
D
．
－
7
2．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ C ）
A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
3．如图，若l
1
∥l
2
，l
3
∥l
4
，则图中与∠1互补的角有（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在矩形ABCD中，A(-2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经过点C，则k的取值为
（ A ）
1
A．－
2
1
B．
2
l
1
C．－2
y
A
D．2
A
E
H
D
G
C
F
（第8题图）
l
2
l
3
C
A
B
O
x
E
B
D
（第6题图）
C
B
1
l
4
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
5．下列计算正确的是（ B ）
A．
a
2
•
a
2
=2
a
4
B．
(−
a
2
)
=−
a
6
3
C．
3
a
2
−6
a
2
=3
a
2
D．
(a−2)
2
=
a
2
−4
6．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线
交AD于点E，则AE的长为（ C ）
A．
42
3
B．
22
C．
82
3
D．
32
7．若直线l
1
经过点(0，4)，l
2
经过(3，2)，且l
1
与l
2
关于x轴对称，则l
1
与l
2
的交点坐标为（ B ）
A．(－2，0) B． (2，0) C．（－6，0） D．（6，0）
8．如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD 和DA的中点，连接EF、FG、
GH和HE．若EH＝2EF，则下列结论正确的是（ D ）
A．AB＝
2EF
B．AB＝2EF C．
AB=3EF
D．AB＝
5EF
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，
并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ A ）
A．15° B．35° C．25° D．45°
10．对于抛物线
y=a
x
2
+(2a−1)x+a−3
，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶
点一定在（ C ）
A．第一象限 B．第二象限 C第三象限 D第四象限
1
B
A
O
C
（第9题图）
D
二、填空题（4分×3＝12分）
11、比较大小：3_____ 10（填<，>或＝）．
【参考答案】<
【试题解析】平方法：
3=9，10
2
2
=10
．
AFE的度数为_____ 12、如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则
A
BE
B
A
E
F
F
CD
（第12题图）
CD
（第12题答案图）
【参考答案】72°
【试题解析】连接AD，正五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
则每个内角为540°÷5＝108°．△ABC为等腰三角形，
则∠ACB＝∠CAB＝(180°－108°)÷2＝36°．∠ACD＝108°－36°＝72°．
同理可证∠CBE＝72°，∠CBE＋∠BCD＝180°．
所以BE∥CD，所以∠AFE ＝∠ACD＝72°
13、若一个反比例函数的图像经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为_____
【参考答案】
y
4
x
【试题解析】由题意得，
mm2m(1)
m
2
2m0
m(m2)0
m
1
0,(
舍）
m
2
2
k
(k0)
代入可得k＝4
x
4
所以反比例函数解析式为
y
x
设反比例函数解析式为
y
1
14
、点
O
是平行四边形
ABCD
的对称中心，
AD
＞
AB
，
E
，
F
分别是
AB
边上的点，且
EF
＝
2
AB
；
G
，
1
H
分别是
BC
边上的点，且
GH
＝
3
BC
；，若
S
1
,S
2
分别表示
EOF
和
GOH
的面积，则
S
1
,S
2
之间的等
量关系是_____
A
E
F
B
S
1
O
D
S
2
C
GH
（第14题图）
2
【参考答案】
S
1
3
S
2
2
【试题解析】连接AC，BD交于点O，AO＝OC
S
ABO
S
BOC
1
ABS
ABO
2S
1
2
1
GHBCS
BOC
3S
2
3
2
S
1
3
S
2
EF
S
1
3
S
2
2
三、解答题（共11小题，计18分．解答应写出过程）
15．（本题满分5分）
计算：
(−3)(−6)+2−1+(5−2
)
0
.
解：原式=
32+2-1+1
＝
42
16．（本题满分5分）
化简：
(
3a+1a+1a
)
2
.
−
a−1a+1a+a
2
(a＋1)－a(a－1)
a(a＋1)
3a＋1
a(a＋1)
a
解：原式＝×＝×＝．
(a－1)(a＋1)3a＋1(a－1)(a＋1)3a＋1
a－1
17．（本题满分5分）
如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一
点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
A
D
解：如图，P即为所求.
AD
B
C
M
（第17题图）
P
BC
M
3
18、（本题满分5分）
如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、
H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
A
G
E
B
H
CFD
（第18题图）
证明：∵AB∥CD
，
∴∠A＝∠D
．
又∵CE∥BF
，
∴∠AHB＝∠DGC
．
在△ABH和△DCG中，
∠A＝∠D
∵
∠AHB＝∠DGC
AB＝CD
∴△ABH≌△DCG（AAS），∴AH＝DG
．
又∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH
，
∴AG＝HD
．
19．（本题满分7分）
对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃
圾分类知识的了解程度增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识．某校数学兴趣小组的同
学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试
成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A
、
B
、
C
、
D四组，绘制了如下统计图表：
“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表
组别
A
B
C
D
分数/分
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
频数
38
72
60
m
各组总分/分
2581
5543
5100
2796
A
n
D
15%
B
36%
C
30%
（第19题图）
依据以上统计信息，解答下列问题：
(1)求得m＝30，n＝19%;
(2)这次测试成绩的中位数落在B组；
(3)求本次全部测试成绩的平均数．
2581＋5543＋5100＋2796
解：测试的平均成绩= =80.1
200
4
20．（本题满分7分）
周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大
树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再
在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1．5m，BD＝8．5m．测量示意图如图所示．
请根据相关测量信息，求河宽AB．
【能力要求】本题考查相似三角形的应用，能将实际问题转化为数学模型
【知识内容】相似三角形的判定及性质
【试题解析】题目中△ABC和△AED属于A型相似，利用题目条件可以直接得到，列出比例式代值求解
即可
【参考答案】
解：∵CB⊥AD, ED⊥AD
∴∠CBA=∠EDA=90°
∵∠CAB=∠EAD
∴△ABC∽△ADE
BCAB
= ∴
DEAD
AB1
∴ =
AB+8.51.5
∴AB=17
∴河宽为17m
21．（本题满分7分）
经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国，
小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：
商品
规格
成本（元/袋）
售价（元/袋）
红枣
1kg/袋
40
60
小米
2kg/袋
38
54
根据上表提供的信息，解答下列问题：
(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4．2万元，求
这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；
(2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣
和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣
为x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出
5
这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．
【能力要求】本题考查一次方程（组）、一次函数的实际应用，将实际问题转化为数学模型，从文字、表
格中获取信息
【知识内容】列一元一次方程并求解，一次函数的性质
【试题解析】（1）设销售红枣a袋，根据题意列出方程求解即可
（2）根据所列函数关系式判断y与x的变化关系，并根据x的取值范围求出最值
【参考答案】解：（1）设前五个月小明家网店销售这种红枣a袋，销售小米b袋
a+2b=3000
根据题意得：
20a+16b=42000
a=1500
解之得：
b=750
∴前五个月小明家网店销售这种红枣1500袋.
2000－x
=20x+16000－8x=12x+16000 （2）由题知：y=20x+16×
2
在y=12x+16000中
∵k=12＞0
∴y随x增大而增大
∴当x取最小值时y取最小值
∵x≥600
∴当x=600时，y有最小值
最小值为y=12×600+16000=23200
∴至少获得总利润23200元
22．（本题满分7分）
如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，
其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向
1
－2
一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若
指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇
－2
3
形的内部为止）
(1)转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；
（第22题图）
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
【能力要求】根据实际问题解决一步概率和两步概率问题，利用整体思想转化为等可能问题
【知识内容】等可能事件概率求解及列表法求解概率
【试题解析】（1）根据﹣2所占圆心角计算即可（2）利用整体思想，将问题转化为等可能事件，列出表
格（树状图）求解概率
【参考答案】解：（1）由题知：“1”“3”所占圆心角为120°，所以“-2”所占圆心角为120°
∴P（转出“﹣2”）=
1120°
=
3360°
（2）由（1）知，转出“1”，“3”，“﹣2”的可能性相同
列表得：
6
第二次
第一次
1
3
﹣2
（1，1）
（3，1）
（﹣2，1）
（1，3）
（3，3）
（﹣2，3）
（1，﹣2）
（3，﹣2）
（﹣2，﹣2）
1 3 ﹣2
由表格可知：等可能出现的结果共9种，其中积为正数的情况共5种
5
∴P（积为正数）=
9
23．（本题满分8分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作○O，分别与AC、BC相交于
点M、N．
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
(2)连接MD，求证：MD＝NB．
C
M
A
O
N
B
D
E
（第23题图）
解：(1)如图，连接ON
∵NE为⊙O的切线
∴ON⊥NE
∵D为AB的中点
∴AD＝CD＝BD
∴∠DCB＝∠B
∵OC＝ON
∴∠DCB＝∠ONC
∴∠ONC＝∠B
∴NO∥AB
∴NE⊥AB
(2)如图，连接ND
∵CD为⊙O的直径
∴∠DMC＝∠DNC＝90°
由（1）得CD＝BD
∴CN＝BN
∵∠ACB＝90°
∴四边形CMDN为矩形
∴MD＝CN
∴MD＝NB
7
C
M
A
O
N
D
E
B
（第23题答案图1）
C
M
A
O
N
D
E
B
（第23题答案图2）
24．（本题满分10分）
已知抛物线L：
y=
x
2
+x−6
与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标，并求出△ABC的面积；
(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L’，且L’与x轴相交于A’、B’两点（点A’在点B’的左侧），
并与y轴交于点C’，要使△A’B’C’和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
解：（1）当y＝0时，x²＋x－6＝0，解得x
1
＝－3，x
2
＝2．
1 5×6
∴A(－3,0),B(2,0),C(0,－6)，∴S＝AB·OC＝＝15．
22
1
2
25
(2)y＝x²＋x－6＝
x＋
－，
2
4
1 25
设抛物线向右平移m个单位，∴y＝
x＋－m
－，
2
4
由平移知A'B'＝AB＝5，∴|y
C
|＝
2
2S
＝6，即当x＝0时，y＝±6，
A'B'
解得m
1
＝－3，m
2
＝4，m
3
＝0(舍)，m
4
＝1．
∴当m＝－3时，y＝x²＋7x－6；当m＝4时，y＝x²－7x－6；当m＝1时，y＝x²－x－6．
25．(本题满分12分)
问题提出
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△AC的外接圆半径R的值为_______．
问题探究
(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
，
BC
所(3)如图③所示，AB、AC、
BC
是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BC＝60°
对的圆心角为60°．新区管委会想在
BC
路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也
就是，分别在BC线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P
→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约
成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、
路宽均忽略不计)
P
A
A
A
O
C
图①
M
图②
（第25题图）
B
B
图③
C
B
【试题解析】
(1)如图1，R＝AB＝5．(2)PM≤OM＋OP＝5＋13＝18．
8
A
P
B
O
C
O
A
M
第25题答案图2
B
B
P
RE
A
F
S
C
B
R
P
A
S
C
(3)如图3，作点P关于AB的对称点R，作点P关于AC的对称点S，根据对称性可知，PE＝RE，PF
＝SF，则有PE＋EF＋FP＝RE＋EF＋FS≥RS，当R、S、E、F四点共线时，取等号．
如图4，连接AR，AS，由对称性可知，AR＝AP＝AS；和∠RAB＝∠PAB，∠SAC＝∠PAC，而∠BAC
＝60°，则有∠RAB＋∠PAB＋∠SAC＋∠PAC＝2∠BAC＝120°，所以RS＝3AR＝3AP．
如图5，AP≥AO－OP，点P在OA上时，取等号．
如图6，取AB的中点D，连接CD，可证△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，则BC＝33．
设
BC
所对的圆心为O，△OBC为等边三角形，所以，OC＝BC＝33．
3 9
作点O作OH⊥AC交AC和延长线于点H，则有∠OCH＝30°，所以OH＝3，OH＝．
22
在Rt△OAH中，由勾股定理可得，OA＝37．
所以，PE＋EF＋FP≥RS＝3AP≥ (AO－OP)＝321－9．
A
D
P
B
C
P
B
C
A
D
3
37
6
120°
B
P
C
A
3
第25题答案图1
第25题答案图3第25题答案图4
O
第25题答案图5
O
H
O
第25题答案图7
另外，求OA长，也可以如图7构造△OBD≌△BCA，可证出∠ABD＝120°，BD＝3，而AB＝6．
解斜三角形ABD可得AD＝37．从而OA＝37．
第25题答案图6
9
2024年3月25日发(作者：司玥)
2018年陕西省中考数学试卷（分析）
参与解析人员：袁浪，霍高峰，田战宾，王建勇，万兰英，何小龙，祝正堂，薛李，赵健，宋敏，杨
新荣，赵振，贺基旭，李优等.
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）（答案为标红选项）
7
1．－的倒数是（ D ）
11
7
A．
11
7
B．－
11
11
C．
7
11
D
．
－
7
2．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（ C ）
A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱锥
3．如图，若l
1
∥l
2
，l
3
∥l
4
，则图中与∠1互补的角有（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在矩形ABCD中，A(-2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经过点C，则k的取值为
（ A ）
1
A．－
2
1
B．
2
l
1
C．－2
y
A
D．2
A
E
H
D
G
C
F
（第8题图）
l
2
l
3
C
A
B
O
x
E
B
D
（第6题图）
C
B
1
l
4
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
5．下列计算正确的是（ B ）
A．
a
2
•
a
2
=2
a
4
B．
(−
a
2
)
=−
a
6
3
C．
3
a
2
−6
a
2
=3
a
2
D．
(a−2)
2
=
a
2
−4
6．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线
交AD于点E，则AE的长为（ C ）
A．
42
3
B．
22
C．
82
3
D．
32
7．若直线l
1
经过点(0，4)，l
2
经过(3，2)，且l
1
与l
2
关于x轴对称，则l
1
与l
2
的交点坐标为（ B ）
A．(－2，0) B． (2，0) C．（－6，0） D．（6，0）
8．如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD 和DA的中点，连接EF、FG、
GH和HE．若EH＝2EF，则下列结论正确的是（ D ）
A．AB＝
2EF
B．AB＝2EF C．
AB=3EF
D．AB＝
5EF
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，
并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ A ）
A．15° B．35° C．25° D．45°
10．对于抛物线
y=a
x
2
+(2a−1)x+a−3
，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶
点一定在（ C ）
A．第一象限 B．第二象限 C第三象限 D第四象限
1
B
A
O
C
（第9题图）
D
二、填空题（4分×3＝12分）
11、比较大小：3_____ 10（填<，>或＝）．
【参考答案】<
【试题解析】平方法：
3=9，10
2
2
=10
．
AFE的度数为_____ 12、如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则
A
BE
B
A
E
F
F
CD
（第12题图）
CD
（第12题答案图）
【参考答案】72°
【试题解析】连接AD，正五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
则每个内角为540°÷5＝108°．△ABC为等腰三角形，
则∠ACB＝∠CAB＝(180°－108°)÷2＝36°．∠ACD＝108°－36°＝72°．
同理可证∠CBE＝72°，∠CBE＋∠BCD＝180°．
所以BE∥CD，所以∠AFE ＝∠ACD＝72°
13、若一个反比例函数的图像经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为_____
【参考答案】
y
4
x
【试题解析】由题意得，
mm2m(1)
m
2
2m0
m(m2)0
m
1
0,(
舍）
m
2
2
k
(k0)
代入可得k＝4
x
4
所以反比例函数解析式为
y
x
设反比例函数解析式为
y
1
14
、点
O
是平行四边形
ABCD
的对称中心，
AD
＞
AB
，
E
，
F
分别是
AB
边上的点，且
EF
＝
2
AB
；
G
，
1
H
分别是
BC
边上的点，且
GH
＝
3
BC
；，若
S
1
,S
2
分别表示
EOF
和
GOH
的面积，则
S
1
,S
2
之间的等
量关系是_____
A
E
F
B
S
1
O
D
S
2
C
GH
（第14题图）
2
【参考答案】
S
1
3
S
2
2
【试题解析】连接AC，BD交于点O，AO＝OC
S
ABO
S
BOC
1
ABS
ABO
2S
1
2
1
GHBCS
BOC
3S
2
3
2
S
1
3
S
2
EF
S
1
3
S
2
2
三、解答题（共11小题，计18分．解答应写出过程）
15．（本题满分5分）
计算：
(−3)(−6)+2−1+(5−2
)
0
.
解：原式=
32+2-1+1
＝
42
16．（本题满分5分）
化简：
(
3a+1a+1a
)
2
.
−
a−1a+1a+a
2
(a＋1)－a(a－1)
a(a＋1)
3a＋1
a(a＋1)
a
解：原式＝×＝×＝．
(a－1)(a＋1)3a＋1(a－1)(a＋1)3a＋1
a－1
17．（本题满分5分）
如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一
点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）
A
D
解：如图，P即为所求.
AD
B
C
M
（第17题图）
P
BC
M
3
18、（本题满分5分）
如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交与点G、
H，若AB＝CD，求证：AG＝DH．
A
G
E
B
H
CFD
（第18题图）
证明：∵AB∥CD
，
∴∠A＝∠D
．
又∵CE∥BF
，
∴∠AHB＝∠DGC
．
在△ABH和△DCG中，
∠A＝∠D
∵
∠AHB＝∠DGC
AB＝CD
∴△ABH≌△DCG（AAS），∴AH＝DG
．
又∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH
，
∴AG＝HD
．
19．（本题满分7分）
对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃
圾分类知识的了解程度增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识．某校数学兴趣小组的同
学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试
成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A
、
B
、
C
、
D四组，绘制了如下统计图表：
“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表
组别
A
B
C
D
分数/分
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
频数
38
72
60
m
各组总分/分
2581
5543
5100
2796
A
n
D
15%
B
36%
C
30%
（第19题图）
依据以上统计信息，解答下列问题：
(1)求得m＝30，n＝19%;
(2)这次测试成绩的中位数落在B组；
(3)求本次全部测试成绩的平均数．
2581＋5543＋5100＋2796
解：测试的平均成绩= =80.1
200
4
20．（本题满分7分）
周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大
树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再
在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1．5m，BD＝8．5m．测量示意图如图所示．
请根据相关测量信息，求河宽AB．
【能力要求】本题考查相似三角形的应用，能将实际问题转化为数学模型
【知识内容】相似三角形的判定及性质
【试题解析】题目中△ABC和△AED属于A型相似，利用题目条件可以直接得到，列出比例式代值求解
即可
【参考答案】
解：∵CB⊥AD, ED⊥AD
∴∠CBA=∠EDA=90°
∵∠CAB=∠EAD
∴△ABC∽△ADE
BCAB
= ∴
DEAD
AB1
∴ =
AB+8.51.5
∴AB=17
∴河宽为17m
21．（本题满分7分）
经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国，
小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：
商品
规格
成本（元/袋）
售价（元/袋）
红枣
1kg/袋
40
60
小米
2kg/袋
38
54
根据上表提供的信息，解答下列问题：
(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg，获得利润4．2万元，求
这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；
(2)根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣
和小米共2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣
为x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出
5
这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．
【能力要求】本题考查一次方程（组）、一次函数的实际应用，将实际问题转化为数学模型，从文字、表
格中获取信息
【知识内容】列一元一次方程并求解，一次函数的性质
【试题解析】（1）设销售红枣a袋，根据题意列出方程求解即可
（2）根据所列函数关系式判断y与x的变化关系，并根据x的取值范围求出最值
【参考答案】解：（1）设前五个月小明家网店销售这种红枣a袋，销售小米b袋
a+2b=3000
根据题意得：
20a+16b=42000
a=1500
解之得：
b=750
∴前五个月小明家网店销售这种红枣1500袋.
2000－x
=20x+16000－8x=12x+16000 （2）由题知：y=20x+16×
2
在y=12x+16000中
∵k=12＞0
∴y随x增大而增大
∴当x取最小值时y取最小值
∵x≥600
∴当x=600时，y有最小值
最小值为y=12×600+16000=23200
∴至少获得总利润23200元
22．（本题满分7分）
如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，
其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向
1
－2
一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若
指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇
－2
3
形的内部为止）
(1)转动转盘一次，求转出的数字是－2的概率；
（第22题图）
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．
【能力要求】根据实际问题解决一步概率和两步概率问题，利用整体思想转化为等可能问题
【知识内容】等可能事件概率求解及列表法求解概率
【试题解析】（1）根据﹣2所占圆心角计算即可（2）利用整体思想，将问题转化为等可能事件，列出表
格（树状图）求解概率
【参考答案】解：（1）由题知：“1”“3”所占圆心角为120°，所以“-2”所占圆心角为120°
∴P（转出“﹣2”）=
1120°
=
3360°
（2）由（1）知，转出“1”，“3”，“﹣2”的可能性相同
列表得：
6
第二次
第一次
1
3
﹣2
（1，1）
（3，1）
（﹣2，1）
（1，3）
（3，3）
（﹣2，3）
（1，﹣2）
（3，﹣2）
（﹣2，﹣2）
1 3 ﹣2
由表格可知：等可能出现的结果共9种，其中积为正数的情况共5种
5
∴P（积为正数）=
9
23．（本题满分8分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作○O，分别与AC、BC相交于
点M、N．
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
(2)连接MD，求证：MD＝NB．
C
M
A
O
N
B
D
E
（第23题图）
解：(1)如图，连接ON
∵NE为⊙O的切线
∴ON⊥NE
∵D为AB的中点
∴AD＝CD＝BD
∴∠DCB＝∠B
∵OC＝ON
∴∠DCB＝∠ONC
∴∠ONC＝∠B
∴NO∥AB
∴NE⊥AB
(2)如图，连接ND
∵CD为⊙O的直径
∴∠DMC＝∠DNC＝90°
由（1）得CD＝BD
∴CN＝BN
∵∠ACB＝90°
∴四边形CMDN为矩形
∴MD＝CN
∴MD＝NB
7
C
M
A
O
N
D
E
B
（第23题答案图1）
C
M
A
O
N
D
E
B
（第23题答案图2）
24．（本题满分10分）
已知抛物线L：
y=
x
2
+x−6
与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标，并求出△ABC的面积；
(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L’，且L’与x轴相交于A’、B’两点（点A’在点B’的左侧），
并与y轴交于点C’，要使△A’B’C’和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
解：（1）当y＝0时，x²＋x－6＝0，解得x
1
＝－3，x
2
＝2．
1 5×6
∴A(－3,0),B(2,0),C(0,－6)，∴S＝AB·OC＝＝15．
22
1
2
25
(2)y＝x²＋x－6＝
x＋
－，
2
4
1 25
设抛物线向右平移m个单位，∴y＝
x＋－m
－，
2
4
由平移知A'B'＝AB＝5，∴|y
C
|＝
2
2S
＝6，即当x＝0时，y＝±6，
A'B'
解得m
1
＝－3，m
2
＝4，m
3
＝0(舍)，m
4
＝1．
∴当m＝－3时，y＝x²＋7x－6；当m＝4时，y＝x²－7x－6；当m＝1时，y＝x²－x－6．
25．(本题满分12分)
问题提出
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△AC的外接圆半径R的值为_______．
问题探究
(2)如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
，
BC
所(3)如图③所示，AB、AC、
BC
是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BC＝60°
对的圆心角为60°．新区管委会想在
BC
路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F．也
就是，分别在BC线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P
→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷环保和节约
成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、
路宽均忽略不计)
P
A
A
A
O
C
图①
M
图②
（第25题图）
B
B
图③
C
B
【试题解析】
(1)如图1，R＝AB＝5．(2)PM≤OM＋OP＝5＋13＝18．
8
A
P
B
O
C
O
A
M
第25题答案图2
B
B
P
RE
A
F
S
C
B
R
P
A
S
C
(3)如图3，作点P关于AB的对称点R，作点P关于AC的对称点S，根据对称性可知，PE＝RE，PF
＝SF，则有PE＋EF＋FP＝RE＋EF＋FS≥RS，当R、S、E、F四点共线时，取等号．
如图4，连接AR，AS，由对称性可知，AR＝AP＝AS；和∠RAB＝∠PAB，∠SAC＝∠PAC，而∠BAC
＝60°，则有∠RAB＋∠PAB＋∠SAC＋∠PAC＝2∠BAC＝120°，所以RS＝3AR＝3AP．
如图5，AP≥AO－OP，点P在OA上时，取等号．
如图6，取AB的中点D，连接CD，可证△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，则BC＝33．
设
BC
所对的圆心为O，△OBC为等边三角形，所以，OC＝BC＝33．
3 9
作点O作OH⊥AC交AC和延长线于点H，则有∠OCH＝30°，所以OH＝3，OH＝．
22
在Rt△OAH中，由勾股定理可得，OA＝37．
所以，PE＋EF＋FP≥RS＝3AP≥ (AO－OP)＝321－9．
A
D
P
B
C
P
B
C
A
D
3
37
6
120°
B
P
C
A
3
第25题答案图1
第25题答案图3第25题答案图4
O
第25题答案图5
O
H
O
第25题答案图7
另外，求OA长，也可以如图7构造△OBD≌△BCA，可证出∠ABD＝120°，BD＝3，而AB＝6．
解斜三角形ABD可得AD＝37．从而OA＝37．
第25题答案图6
9