2024年3月25日发(作者：犁兴安)

石嘴山三中2024届高三年级第一次模拟考试

理科数学试卷

（考试时间：

120

分钟 试卷满分：

150

分）

注意事项：

1

．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证

号填写在答题卡上。

2

．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用

2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3

．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1．已知集合

A



xN|ylog

2

(4x)



,B



y|y|x1|,xA



，则

AB

A．



0,1



B．



0,1,2



C．



1,2,3



D．



1,2



ai

2024

2．若复数

za1



a1



i



aR



为纯虚数，则的值为

1ai

2

A．

1i

B．

1i

C．

22i

D．

22i

3．如图，向量

e

1

，

e

2

，

a

的起点与终点均在单位正方形网

若

a



e

1





e

2

，则









A．

1

B．3 C．1 D．

3

4．已知各项不相等的等比数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，若

S

5

S

3

4

，

a

5

a

6

a

7

8

，则

a

1



A.



格的格点上，

1

16

B.

1

16

C.

64

D. 64

5．相距1400m的

A

，

B

两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点

一定在曲线（ ）的方程上.

x

2

y

2

1



x510



A．

26

x

2

y

2

1



x510



B．

26

x

2

y

2

1

C．

y0(x700

或

x700)

D．

26

6．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著

中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的

a

，

b

则输出的

a

1

《九章算术》

分别为63，49，

A．9 B．7 C．5 D．3

7．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看

出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的

菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的

几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面

ABCD

与平面

ATBS

的夹角为

45

，则

cosASB

A．

1

3

222

B． C． D．

3

23

2

8．设数列

意

A.

都有

为等差数列，其前项和为，已知

成立，则的值为

和是方程的两个根若对任

B.

10

C. D.

8

3

9．已知体积为的正四棱锥

SABCD

的所有顶点均在球

O

的球面上，则球

O

表面积的最小值为

A．

12π

B．

9π

C．

6π

D．

9π

2

10．法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：

当整数

n2

时，找不到满足

x

n

y

n

z

n

的正整数解.该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定

理.费马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下.

费马也因此为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个难题直到1993年才由

我国的数学家毛桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性.现任取

x,y,z,n



1,2,3,4,5



，则等

式

x

n

y

n

z

n

成立的概率为

A．

12

1

147

B． C． D．

625625

12

625

2

x

2

y

2

11．椭圆

C:

2



2

1(ab0)

的左右焦点分别为

F

1

，

F

2

，过点

F

1

的直线

l

交椭圆C于A，B两点，

ab

已知

(AF

2

F

1

F

2

)•AF

，

AF

1



1

0

4

F

1

B

，则椭圆C的离心率为

3

5

A．

7

2

B．

2

5

C．

3

1

D．

3

1

2

π

2

12．定义在

R

上的奇函数

f



x



满足

f



1x



f



1x



，且当

x



0,1



时，

f



x



sinx

，则函数

g



x



f



x





1

在



2,10



上所有零点的和为

x4

A．16 B．32 C．36 D．48

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某校需要大量志愿者协助开展工作.学校现有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排

这6名志愿者到3个不同部门协助工作，每个部门需要男女教师各1名，则不同的安排方式种数是

________．(用数字作答)

14．在平面直角坐标系

xoy

中，圆

C

的方程为

x

2

y

2

8x150

，若直线

ykx2

上至少存在一点，

使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆

C

有公共点，则

k

的最大值是________．

15. 函数

f(x)sin(



x+



)(



0,



)

在一个周期内的部分取值如下表：

x



2





12

a



12



4

a

5



12

7



12

1

f(x)

1



a

则

f(x)

的最小正周期为 ；

a

．

16. 已知函数

实数的最小值为________．

有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

（一）必考题（60分）

17. （本小题满分12分）

记

ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，已知

B

3

π

,4bcosC2c2a

.

4

（1）求

tanC

；

（2）若

ABC

的面积为

18．（本小题满分12分）石嘴山市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比

赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制

作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至

少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师

傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道

中式热菜得到认可．

(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在

一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；

(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的

概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委

认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？

19．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形PABC中，

AB∥PC

，

B90



，

D

为

PC

上一点，且

ABPAPD2DC2

，将

PAD

沿

AD

折起到

SAD

位置．

3

，求

BC

边上的中线长.

2

1

6

(1)若

SDCD

，

M

为

SD

的中点，求证：平面

AMB

⊥平面

SAD

；

(2)若

SB6

，求平面

SAD

与平面

SBC

夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知动点

P



x,y



到直线

l:y2

的距离比到点

F



0,1



的距离大

1

，点

P

的轨迹

为曲线

C

1

，曲线

C

2

是中心在原点，以

F



0,1



为焦点的椭圆，且长轴长为

4

．

(1)求曲线

C

1

、

C

2

的方程；

(2)经过点

F

的直线

l

1

与曲线

C

1

相交于

A

、

B

两点，与曲线

C

2

相交于

M

、

N

两点，若

AB3MN

，求

直线

l

1

的方程．

4

x

21．（本小题满分12分）已知函数

f



x



ecosx

．

(1)求

f



x



在



π,f



π





处的切线方程；

2

(2)若

f



x



axax

对任意

xR

恒成立，求正实数

a

的取值集合．

1

2

（二）选考题（

10

分）

请考生在第

22

、

23

两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目

.

如果多做，则按所做的第一个题目

计分．

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程



xoy

在直角坐标系中，曲线

C

的参数方程为



x34cos





y4sin



（其中



为参数）.以坐标原点

O

为极点，x

轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为



sin



2



cos



4

.

(1)求直线

l

的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)已知点

P



2,0



，直线

l

与曲线C交于M，N两点，求

|PM||PN|

的值.

23.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲

设函数

f



x



x52x2

的最小值为

t

(1)求

t

的值；

(2)若

a

，

b

，

c

为正实数，且

5

1112a2bc1



，求证：



.

ta2tb3tc39932

石嘴山三中2024届高三年级第一次模拟考试

理科数学试卷答案解析

第I卷（选择题）

二、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）

1

．已知集合

A



xN|ylog

2

(4x)



,B



y|y|x1|,xA



，则

AB

（

）

A

．



0,1



B

．



0,1,2



C

．



1,2,3



D

．



1,2



【答案】

B

【分析】由函数有意义求得集合

A

，进而求出集合

B

，再利用交集的定义求解即得

.

【详解】由

4x0

，得

x4

，又

xN

，因此

A



0,1,2,3



,B



0,1,2



，

所以

AB



0,1,2



．

故选：

B

a

2

1



a1



i



aR



为纯虚数，则

ai

2024

2

．若复数

z

1ai

的值为

A．

1i

B．

1i

C．

22i

D．

22i

【答案】

A

【分析】根据复数的类型求出

a

，再根据复数代数形式的乘方与除法运算法则计算可得；

【详解】因为复数

za

2

1



a1



i



aR



为纯虚数，

所以

a

2

10

且

a10

，解得

a1

，

又

i

1

i

，

i

2

1

，

i

3

i

，

i

4

1

，

故选：

A

．

3

．如图，向量

e

1

，

e

2

，

a

的起点与终点均在正方形网格的格点上，若

a



e

1





e

2

，则









（

A

．

1

B

．

3 C

．

1 D

．

3

6

）

【答案】

D

【分析】运用平面向量基本定理，结合图象即可得到问题答案

.

【详解】根据图象，

根据平面向量基本定理，可知：

a2e

1

e

2

，

所以



2

，



1

，







213

，

故选：

D.

4.

已知各项不相等的等比数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，若

S

5

S

3

4

，

a

5

a

6

a

7

8

，则

a

1



（

）

A.



1

16

B.

1

16

C.

64

D. 64

【答案】

C

【解析】【分析】根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得

a

1

.

【详解】设等比数列



a

n



的公比为

q

，

q0

，



S

5

S

3

a

4

a

5

4



a

4

a

5

4



a

1

q

3

a

1

q

4

4

,



,



5

依题意，



，

3



a

5

a

6

a

7

a

6

8



a

6

2



a

1

q2

q

3

q

4

1q



2

2,2q

2

q1



2q1



q1



0

，

两式相除得

5

qq

2

1

a64

.

故选：

C

q1

q

解得或（舍去），所以

1

5

q

2

5

．相距

1400m

的

A

，

B

两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差

3s

，已知声速是

340m/s

，炮弹爆炸点一定在曲

线（

）的方程上

.

x

2

y

2

A

．

1



x510



26

C

．

y0(x700

或

x700)

【答案】

D

【分析】根据双曲线的定义进行求解即可

.

【详解】设炮弹爆炸点为

P

，

x

2

y

2

B

．

1



x510



26

x

2

y

2

D

．

1

26

7

由题意可知：

PAPB334010201400

，

显然点

P

的轨迹是以

A

，

B

的焦点的双曲线，因此有

2a1020,2c1400

，

可得：

a510,c700

，于是有

bc

2

a

2

490000260100229900

，

根据四个选项可知，只有选项

D

符合，

故选：

D

6

．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的

“

更相减损术

”.

执行该程序框图，若

输入的

a

，

b

分别为

63

，

49

，则输出的

a

（

）

A

．

9 B

．

7

【答案】

B

【分析】按照程序框图运行程序，直到不满足

ab

是输出结果

.

C

．

5 D

．

3

【详解】按照程序框图运行程序，输入

a63,b49,

满足

ab

，且

ab

，

b

，不满足

ab

，所以

b491435

，继续运行；

b

，不满足

ab

，

所以

a634914

，继续运行；满足

a

满足

ab

，不满足

ab

，所以

b351421

，继续运行；满足

a

b21147

，继续运行；满足

a

不满足

a

故选：

B.

b

，输出

a7.

b

，且

ab

，所以

a1477

，继续运行；

7

．图

1

是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的

底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二

面体的表面菱形，图

2

是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各

个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图

3

），且平面

ABCD

与平面

ATBS

的夹角为

45

，则

cosASB

（

）

8

A

．

2

2

B

．

3

2

1

C

．

3

D

．

22

3

【答案】

C

【分析】连接

AC、BD

相交于点

O

，取

AB

的中点

E

，可得

SEO

即为平面

ABCD

与平面

ATBS

的夹角，设

AEa

，在

△SAB

中由余弦定理可得答案

.

【详解】连接

AC、BD

相交于点

O

，连接

SO

，

SO

平面

ABCD

，

取

AB

的中点

E

，连接

SE、OE

，

因为

SASB，OAOB

，所以

SEAB，OEAB

，

所以

SEO

即为平面

ABCD

与平面

ATBS

的夹角，即

SEO45

，

设

AEa

，则

OEOSa

，所以

SE

2

OS

2

OE

2

2a

2

，

SA

2

SB

2

SE

2

BE

2

3a

2

，

SB

2

SA

2

AB

2

3a

2

3a

2

4a

2

1

在

△SAB

，由余弦定理得

cosASB

.

2SBSA23a

2

3

故选：

C.

8.

设数列

有

( )

A.

【答案】C

解：

为等差数列，其前项和为，已知和是方程

成立，则的值为

的两个根若对任意都

B. 10 C. D.

和是方程

，．

的两个根，

设数列

对任意

的公差为，

都有成立，即是前项和的最大值，

9

．

，，，

．

当时，，当

都有

时，

成立，则

，

．

若对任意

8

9.

已知体积为的正四棱锥

SABCD

的所有顶点均在球

O

的球面上，则球

O

的表面积的最小值为（

）

3

A

．

12π

【答案】

B

B

．

9π

C

．

6π

D

．

9π

2

【详解】设正四棱锥的底面边长为

2a

，高为

h

，

2

118

2

2

则体积

VSh



2a



h

，所以

a

，

333

h

设球

O

的半径为

R

，则

OO

1

2

O

1

B

2

OB

2

，即

(hR)

2





2a



2

R

2

，

ha

2

h2hh2hh23



2



2

3

3



2



，

则

R

2h2h44h44h2

当且仅当

h2



，即

h2

时，等号成立，

4h

2

9

9π

.

4

2

所以球

O

的表面积的最小值为

S4πR4π

故选：

B.

10

、

法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当

整数

n2

时，找不到满足

x

n

y

n

z

n

的正整数解.该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理.费马

只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下.费马也因此

为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个难题直到1993年才由我国的数学家毛

桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性.现任取

x,y,z,n



1,2,3,4,5



，则等式

x

n

y

n

z

n

成立

的概率为（ ）

10

A．

1

12

B．

12

625

C．

14

625

D．

7

625

答案：

B

解：

任取

x,y,z,n



1,2,3,4,5



4

，则基本事件总数为

5625

，分别列出

n2

，

n2

，

n1

时满足

x

n

y

n

z

n

的情况，然后，利用概率的公式，即可求解

详解：任取

x,y,z,n



1,2,3,4,5



，则基本事件总数为

5

4

625

，

当

n2

时，由费马大定理知等式

x

n

y

n

z

n

不成立，

当

n2

时，

(x,y,z)

可取

(3,4,5)

或

(4,3,5)

，共

2

种情况，

(1,2,3)

，

(2,1,3)

，

(1,3,4)

，

(3,1,4)

，

(1,4,5)

，

(2,2,4)

，

(x,y,z)

可取

(1,1,2)

，当

n1

时，等式即为

xyz

，

(4,1,5)

，

(2,3,5)

，

(3,2,5)

，共

10

种情况，

12

综上，使等式成立的基本事件个数为

12

，故等式成立的概率为，

625

故选：B

x

2

y

2

11

、

椭圆

C:

2



2

1(ab0)

的左右焦点分别为

F

1

，

F

2

，过点

F

1

的直线l交椭圆C于A，B两点，

ab

已知

AF

2

F

1

F

2

AF

1

0

，

AF

1



A．



4

F

1

B

，则椭圆C的离心率为（ ）

3

C．

5

7

B．

2

2

5

3

D．

1

3

答案：

A

解：

设

F

1

F

2

2c

，

因为

AF

2

F

1

F

2

AF

1

AF

2

F

1

F

2

AF

2

F

1

F

2

AF

2

F

1

F

2

0

，

所以

AF

2

F

1

F

2

2c

，所以

AF

1

2a2c

，

因为

AF

1





22

3

4a3c

F

1

B

，所以

BF

1

(ac)

，所以

BF

2



，

322

2

5

(ac)

，

2

设

AF

1

中点为H，则

F

2

HAB

，

AHac

，

BH

22

F

2

A|AH|

2

F

2

B|BH|

2

代入数据并整理得：

7c

2

12ac5a

2

0

，

11

2024年3月25日发(作者：犁兴安)

石嘴山三中2024届高三年级第一次模拟考试

理科数学试卷

（考试时间：

120

分钟 试卷满分：

150

分）

注意事项：

1

．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证

号填写在答题卡上。

2

．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用

2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3

．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1．已知集合

A



xN|ylog

2

(4x)



,B



y|y|x1|,xA



，则

AB

A．



0,1



B．



0,1,2



C．



1,2,3



D．



1,2



ai

2024

2．若复数

za1



a1



i



aR



为纯虚数，则的值为

1ai

2

A．

1i

B．

1i

C．

22i

D．

22i

3．如图，向量

e

1

，

e

2

，

a

的起点与终点均在单位正方形网

若

a



e

1





e

2

，则









A．

1

B．3 C．1 D．

3

4．已知各项不相等的等比数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，若

S

5

S

3

4

，

a

5

a

6

a

7

8

，则

a

1



A.



格的格点上，

1

16

B.

1

16

C.

64

D. 64

5．相距1400m的

A

，

B

两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点

一定在曲线（ ）的方程上.

x

2

y

2

1



x510



A．

26

x

2

y

2

1



x510



B．

26

x

2

y

2

1

C．

y0(x700

或

x700)

D．

26

6．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著

中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的

a

，

b

则输出的

a

1

《九章算术》

分别为63，49，

A．9 B．7 C．5 D．3

7．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看

出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的

菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的

几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面

ABCD

与平面

ATBS

的夹角为

45

，则

cosASB

A．

1

3

222

B． C． D．

3

23

2

8．设数列

意

A.

都有

为等差数列，其前项和为，已知

成立，则的值为

和是方程的两个根若对任

B.

10

C. D.

8

3

9．已知体积为的正四棱锥

SABCD

的所有顶点均在球

O

的球面上，则球

O

表面积的最小值为

A．

12π

B．

9π

C．

6π

D．

9π

2

10．法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：

当整数

n2

时，找不到满足

x

n

y

n

z

n

的正整数解.该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定

理.费马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下.

费马也因此为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个难题直到1993年才由

我国的数学家毛桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性.现任取

x,y,z,n



1,2,3,4,5



，则等

式

x

n

y

n

z

n

成立的概率为

A．

12

1

147

B． C． D．

625625

12

625

2

x

2

y

2

11．椭圆

C:

2



2

1(ab0)

的左右焦点分别为

F

1

，

F

2

，过点

F

1

的直线

l

交椭圆C于A，B两点，

ab

已知

(AF

2

F

1

F

2

)•AF

，

AF

1



1

0

4

F

1

B

，则椭圆C的离心率为

3

5

A．

7

2

B．

2

5

C．

3

1

D．

3

1

2

π

2

12．定义在

R

上的奇函数

f



x



满足

f



1x



f



1x



，且当

x



0,1



时，

f



x



sinx

，则函数

g



x



f



x





1

在



2,10



上所有零点的和为

x4

A．16 B．32 C．36 D．48

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 某校需要大量志愿者协助开展工作.学校现有3名男教师、3名女教师申请成为志愿者，若安排

这6名志愿者到3个不同部门协助工作，每个部门需要男女教师各1名，则不同的安排方式种数是

________．(用数字作答)

14．在平面直角坐标系

xoy

中，圆

C

的方程为

x

2

y

2

8x150

，若直线

ykx2

上至少存在一点，

使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆

C

有公共点，则

k

的最大值是________．

15. 函数

f(x)sin(



x+



)(



0,



)

在一个周期内的部分取值如下表：

x



2





12

a



12



4

a

5



12

7



12

1

f(x)

1



a

则

f(x)

的最小正周期为 ；

a

．

16. 已知函数

实数的最小值为________．

有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

（一）必考题（60分）

17. （本小题满分12分）

记

ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，已知

B

3

π

,4bcosC2c2a

.

4

（1）求

tanC

；

（2）若

ABC

的面积为

18．（本小题满分12分）石嘴山市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比

赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制

作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至

少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师

傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道

中式热菜得到认可．

(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在

一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；

(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的

概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委

认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？

19．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形PABC中，

AB∥PC

，

B90



，

D

为

PC

上一点，且

ABPAPD2DC2

，将

PAD

沿

AD

折起到

SAD

位置．

3

，求

BC

边上的中线长.

2

1

6

(1)若

SDCD

，

M

为

SD

的中点，求证：平面

AMB

⊥平面

SAD

；

(2)若

SB6

，求平面

SAD

与平面

SBC

夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）已知动点

P



x,y



到直线

l:y2

的距离比到点

F



0,1



的距离大

1

，点

P

的轨迹

为曲线

C

1

，曲线

C

2

是中心在原点，以

F



0,1



为焦点的椭圆，且长轴长为

4

．

(1)求曲线

C

1

、

C

2

的方程；

(2)经过点

F

的直线

l

1

与曲线

C

1

相交于

A

、

B

两点，与曲线

C

2

相交于

M

、

N

两点，若

AB3MN

，求

直线

l

1

的方程．

4

x

21．（本小题满分12分）已知函数

f



x



ecosx

．

(1)求

f



x



在



π,f



π





处的切线方程；

2

(2)若

f



x



axax

对任意

xR

恒成立，求正实数

a

的取值集合．

1

2

（二）选考题（

10

分）

请考生在第

22

、

23

两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目

.

如果多做，则按所做的第一个题目

计分．

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程



xoy

在直角坐标系中，曲线

C

的参数方程为



x34cos





y4sin



（其中



为参数）.以坐标原点

O

为极点，x

轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为



sin



2



cos



4

.

(1)求直线

l

的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)已知点

P



2,0



，直线

l

与曲线C交于M，N两点，求

|PM||PN|

的值.

23.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲

设函数

f



x



x52x2

的最小值为

t

(1)求

t

的值；

(2)若

a

，

b

，

c

为正实数，且

5

1112a2bc1



，求证：



.

ta2tb3tc39932

石嘴山三中2024届高三年级第一次模拟考试

理科数学试卷答案解析

第I卷（选择题）

二、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）

1

．已知集合

A



xN|ylog

2

(4x)



,B



y|y|x1|,xA



，则

AB

（

）

A

．



0,1



B

．



0,1,2



C

．



1,2,3



D

．



1,2



【答案】

B

【分析】由函数有意义求得集合

A

，进而求出集合

B

，再利用交集的定义求解即得

.

【详解】由

4x0

，得

x4

，又

xN

，因此

A



0,1,2,3



,B



0,1,2



，

所以

AB



0,1,2



．

故选：

B

a

2

1



a1



i



aR



为纯虚数，则

ai

2024

2

．若复数

z

1ai

的值为

A．

1i

B．

1i

C．

22i

D．

22i

【答案】

A

【分析】根据复数的类型求出

a

，再根据复数代数形式的乘方与除法运算法则计算可得；

【详解】因为复数

za

2

1



a1



i



aR



为纯虚数，

所以

a

2

10

且

a10

，解得

a1

，

又

i

1

i

，

i

2

1

，

i

3

i

，

i

4

1

，

故选：

A

．

3

．如图，向量

e

1

，

e

2

，

a

的起点与终点均在正方形网格的格点上，若

a



e

1





e

2

，则









（

A

．

1

B

．

3 C

．

1 D

．

3

6

）

【答案】

D

【分析】运用平面向量基本定理，结合图象即可得到问题答案

.

【详解】根据图象，

根据平面向量基本定理，可知：

a2e

1

e

2

，

所以



2

，



1

，







213

，

故选：

D.

4.

已知各项不相等的等比数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，若

S

5

S

3

4

，

a

5

a

6

a

7

8

，则

a

1



（

）

A.



1

16

B.

1

16

C.

64

D. 64

【答案】

C

【解析】【分析】根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得

a

1

.

【详解】设等比数列



a

n



的公比为

q

，

q0

，



S

5

S

3

a

4

a

5

4



a

4

a

5

4



a

1

q

3

a

1

q

4

4

,



,



5

依题意，



，

3



a

5

a

6

a

7

a

6

8



a

6

2



a

1

q2

q

3

q

4

1q



2

2,2q

2

q1



2q1



q1



0

，

两式相除得

5

qq

2

1

a64

.

故选：

C

q1

q

解得或（舍去），所以

1

5

q

2

5

．相距

1400m

的

A

，

B

两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差

3s

，已知声速是

340m/s

，炮弹爆炸点一定在曲

线（

）的方程上

.

x

2

y

2

A

．

1



x510



26

C

．

y0(x700

或

x700)

【答案】

D

【分析】根据双曲线的定义进行求解即可

.

【详解】设炮弹爆炸点为

P

，

x

2

y

2

B

．

1



x510



26

x

2

y

2

D

．

1

26

7

由题意可知：

PAPB334010201400

，

显然点

P

的轨迹是以

A

，

B

的焦点的双曲线，因此有

2a1020,2c1400

，

可得：

a510,c700

，于是有

bc

2

a

2

490000260100229900

，

根据四个选项可知，只有选项

D

符合，

故选：

D

6

．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的

“

更相减损术

”.

执行该程序框图，若

输入的

a

，

b

分别为

63

，

49

，则输出的

a

（

）

A

．

9 B

．

7

【答案】

B

【分析】按照程序框图运行程序，直到不满足

ab

是输出结果

.

C

．

5 D

．

3

【详解】按照程序框图运行程序，输入

a63,b49,

满足

ab

，且

ab

，

b

，不满足

ab

，所以

b491435

，继续运行；

b

，不满足

ab

，

所以

a634914

，继续运行；满足

a

满足

ab

，不满足

ab

，所以

b351421

，继续运行；满足

a

b21147

，继续运行；满足

a

不满足

a

故选：

B.

b

，输出

a7.

b

，且

ab

，所以

a1477

，继续运行；

7

．图

1

是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的

底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二

面体的表面菱形，图

2

是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各

个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图

3

），且平面

ABCD

与平面

ATBS

的夹角为

45

，则

cosASB

（

）

8

A

．

2

2

B

．

3

2

1

C

．

3

D

．

22

3

【答案】

C

【分析】连接

AC、BD

相交于点

O

，取

AB

的中点

E

，可得

SEO

即为平面

ABCD

与平面

ATBS

的夹角，设

AEa

，在

△SAB

中由余弦定理可得答案

.

【详解】连接

AC、BD

相交于点

O

，连接

SO

，

SO

平面

ABCD

，

取

AB

的中点

E

，连接

SE、OE

，

因为

SASB，OAOB

，所以

SEAB，OEAB

，

所以

SEO

即为平面

ABCD

与平面

ATBS

的夹角，即

SEO45

，

设

AEa

，则

OEOSa

，所以

SE

2

OS

2

OE

2

2a

2

，

SA

2

SB

2

SE

2

BE

2

3a

2

，

SB

2

SA

2

AB

2

3a

2

3a

2

4a

2

1

在

△SAB

，由余弦定理得

cosASB

.

2SBSA23a

2

3

故选：

C.

8.

设数列

有

( )

A.

【答案】C

解：

为等差数列，其前项和为，已知和是方程

成立，则的值为

的两个根若对任意都

B. 10 C. D.

和是方程

，．

的两个根，

设数列

对任意

的公差为，

都有成立，即是前项和的最大值，

9

．

，，，

．

当时，，当

都有

时，

成立，则

，

．

若对任意

8

9.

已知体积为的正四棱锥

SABCD

的所有顶点均在球

O

的球面上，则球

O

的表面积的最小值为（

）

3

A

．

12π

【答案】

B

B

．

9π

C

．

6π

D

．

9π

2

【详解】设正四棱锥的底面边长为

2a

，高为

h

，

2

118

2

2

则体积

VSh



2a



h

，所以

a

，

333

h

设球

O

的半径为

R

，则

OO

1

2

O

1

B

2

OB

2

，即

(hR)

2





2a



2

R

2

，

ha

2

h2hh2hh23



2



2

3

3



2



，

则

R

2h2h44h44h2

当且仅当

h2



，即

h2

时，等号成立，

4h

2

9

9π

.

4

2

所以球

O

的表面积的最小值为

S4πR4π

故选：

B.

10

、

法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当

整数

n2

时，找不到满足

x

n

y

n

z

n

的正整数解.该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理.费马

只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下.费马也因此

为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个难题直到1993年才由我国的数学家毛

桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性.现任取

x,y,z,n



1,2,3,4,5



，则等式

x

n

y

n

z

n

成立

的概率为（ ）

10

A．

1

12

B．

12

625

C．

14

625

D．

7

625

答案：

B

解：

任取

x,y,z,n



1,2,3,4,5



4

，则基本事件总数为

5625

，分别列出

n2

，

n2

，

n1

时满足

x

n

y

n

z

n

的情况，然后，利用概率的公式，即可求解

详解：任取

x,y,z,n



1,2,3,4,5



，则基本事件总数为

5

4

625

，

当

n2

时，由费马大定理知等式

x

n

y

n

z

n

不成立，

当

n2

时，

(x,y,z)

可取

(3,4,5)

或

(4,3,5)

，共

2

种情况，

(1,2,3)

，

(2,1,3)

，

(1,3,4)

，

(3,1,4)

，

(1,4,5)

，

(2,2,4)

，

(x,y,z)

可取

(1,1,2)

，当

n1

时，等式即为

xyz

，

(4,1,5)

，

(2,3,5)

，

(3,2,5)

，共

10

种情况，

12

综上，使等式成立的基本事件个数为

12

，故等式成立的概率为，

625

故选：B

x

2

y

2

11

、

椭圆

C:

2



2

1(ab0)

的左右焦点分别为

F

1

，

F

2

，过点

F

1

的直线l交椭圆C于A，B两点，

ab

已知

AF

2

F

1

F

2

AF

1

0

，

AF

1



A．



4

F

1

B

，则椭圆C的离心率为（ ）

3

C．

5

7

B．

2

2

5

3

D．

1

3

答案：

A

解：

设

F

1

F

2

2c

，

因为

AF

2

F

1

F

2

AF

1

AF

2

F

1

F

2

AF

2

F

1

F

2

AF

2

F

1

F

2

0

，

所以

AF

2

F

1

F

2

2c

，所以

AF

1

2a2c

，

因为

AF

1





22

3

4a3c

F

1

B

，所以

BF

1

(ac)

，所以

BF

2



，

322

2

5

(ac)

，

2

设

AF

1

中点为H，则

F

2

HAB

，

AHac

，

BH

22

F

2

A|AH|

2

F

2

B|BH|

2

代入数据并整理得：

7c

2

12ac5a

2

0

，

11