2024年3月26日发(作者：侨文华)
2020年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求
1．﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
解：﹣2的相反数是2．
故选B．
2．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C．
解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆．
故选A．
3．方程组==x+y﹣4的解是（ ）
A． B． C． D．
解：由题可得：，消去x，可得
2（4﹣y）=3y，解得y=2，把y=2代入2x=3y，可得
x=3，∴方程组的解为．
故选D．
4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
D．
1
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴
故选B．
5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．调查全国中学生心理健康现状
B．调查一片试验田里五种大麦的穗长情况
C．要查冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况
解：A．了解全国中学生心理健康现状调查范围广，适合抽样调查，故A错误；
B．了解一片试验田里五种大麦的穗长情况调查范围广，适合抽样调查，故B错误；
C．了解冷饮市场上冰淇淋的质量情况调查范围广，适合抽样调查，故C错误；
D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况，适合全面调查，故D正确；
故选D．
6．估计+1的值，应在（ ）
．
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
解：∵≈2.236，∴ +1≈3.236．
故选C．
7．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今
仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道
长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1
寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r
2
=5
2
+（r﹣1）
2
，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸．
故选C．
2
8．已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（ ）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
解：∵a+b=2，ab=，∴（a+b）
2
=4=a
2
+2ab+b
2
，∴a
2
+b
2
=，∴（a﹣b）
2
=a
2
﹣2ab+b
2
=1，∴a﹣b=±1．
故选C．
9．如图，曲线C
2
是双曲线C
1
：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C
2
上任意一
点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（ ）
A． B．6 C．3 D．12
解：如图，将C
2
及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C
3
，直线l与y轴重合．
双曲线C
3
，的解析式为y=﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA=PB
∴B为OA中点，∴S
△
PAB
=S
△
POB
由反比例函数比例系数k的性质，S
△
POB
=3
∴△POA的面积是6
故选B．
10．二次函数y=x
2
+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的
取值范围是（ ）
A．a=3±2
C．a=3
B．﹣1≤a＜2
或﹣≤a＜2 D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣
解：由题意可知：方程x
2
+（a﹣2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，即x
2
+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只
3
有一个解，当△=0时，即（a﹣3）
2
﹣12=0
a=3±2
当a=3+2
时，此时x=﹣，不满足题意，当a=3﹣2时，此时x=，满足题意，当△＞0时，令y=x
2
+
（a﹣3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1
（a+1）（2a+1）≤0
解得：﹣1≤a≤，当a=﹣1时，此时x=1或3，满足题意；
当a=﹣时，此时x=2或x=，不满足题意．
综上所述：a=3﹣2
故选D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．计算：|﹣3|= ．
解：|﹣3|=3．
故答案为：3．
12．化简
解：
=
=
﹣
+
+
的结果是
或﹣1≤a＜．
=﹣1．
故答案为：﹣1．
13．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示
的数为 ．
解：设点C所表示的数为x．
∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，∴AB=4﹣（﹣1），AC=﹣1
﹣x，根据题意AB=AC，∴4﹣（﹣1）=﹣1﹣x，解得x=﹣6．
故答案为：﹣6．
14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是 度．
4
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
故答案为：22.5．
15．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋
转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1，），∴O′M=，OM=1．
=
∵AO=2，∴AM=2﹣1=1，∴tan∠O′AM=，∴∠O′AM=60°，即旋转角为60°，∴∠CAC′=∠OAO′=60°．
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S
△
OAC
=S
△
O′AC′
，∴阴影部分的面积S=S
扇形
OAO′
+S
△
O′AC′
﹣S
△
OAC
﹣S
扇形
CAC′
=S
扇形
OAO′
﹣S
扇形
CAC′
=
．
﹣=．
故答案为：
16．已知直线l
1
：y=（k﹣1）x+k+1和直线l
2
：y=kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．
（1）当k=2时，直线l
1
、l
2
与x轴围成的三角形的面积S
2
= ；
（2）当k=2、3、4，……，2020时，设直线l
1
、l
2
与x轴围成的三角形的面积分别为S
2
，S
3
，S
4
，……，S
2020
，
则S
2
+S
3
+S
4
+……+S
2020
= ．
5
解：当y=0时，有（k﹣1）x+k+1=0，解得：x=﹣1﹣，∴直线l
1
与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），
同理，可得出：直线l
2
与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），∴两直线与x轴交点间的距离d=﹣1﹣﹣（﹣
1﹣）=﹣．
联立直线l
1
、l
2
成方程组，得：
，解得：
（1）当k=2时，d=
故答案为：1．
（2）当k=3时，S
3
=﹣；当k=4时，S
4
=﹣；…；S
2020
=
﹣+﹣+…+
故答案为：．
﹣=﹣=2﹣=．
﹣，∴S
2
+S
3
+S
4
+……+S
2020
=﹣+
，∴直线l
1
、l
2
的交点坐标为（﹣1，﹣2）．
﹣=1，∴S
2
=×|﹣2|d=1．
三、简答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分
17．计算：4cos45°+（π﹣2020）
0
﹣
解：原式=4×+1﹣2=1．
18．解不等式组：
解：．
∵解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集为0＜x＜6．
19．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分
20．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）
2
+（2m）
3
÷（﹣8m），其中m是方程x
2
+x﹣2=0的
根
6
解：原式=4m
2
﹣1﹣（m
2
﹣2m+1）+8m
3
÷（﹣8m）
=4m
2
﹣1﹣m
2
+2m﹣1﹣m
2
=2m
2
+2m﹣2
=2（m
2
+m﹣1）．
∵m是方程x
2
+x﹣2=0的根，∴m
2
+m﹣2=0，即m
2
+m=2，则原式=2×（2﹣1）=2．
21．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过
程如下，请补充完整．
（1）收集数据
从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：
甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
（2）整理描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
班级
甲班
乙班
50≤x＜
60
60≤x＜
70
70≤x＜
80
80≤x＜
90
90≤x＜
100
1
2
3
1
3
m
2
2
1
n
在表中：m= ，n= ．
（3）分析数据
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
班级
甲班
乙班
平均数
72
72
中位数
x
70
众数
75
y
在表中：x= ，y= ．
②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的叙述身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为
优秀的学生有 人．
③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上
级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．
7
2024年3月26日发(作者：侨文华)
2020年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求
1．﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
解：﹣2的相反数是2．
故选B．
2．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C．
解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆．
故选A．
3．方程组==x+y﹣4的解是（ ）
A． B． C． D．
解：由题可得：，消去x，可得
2（4﹣y）=3y，解得y=2，把y=2代入2x=3y，可得
x=3，∴方程组的解为．
故选D．
4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
D．
1
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴
故选B．
5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．调查全国中学生心理健康现状
B．调查一片试验田里五种大麦的穗长情况
C．要查冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况
解：A．了解全国中学生心理健康现状调查范围广，适合抽样调查，故A错误；
B．了解一片试验田里五种大麦的穗长情况调查范围广，适合抽样调查，故B错误；
C．了解冷饮市场上冰淇淋的质量情况调查范围广，适合抽样调查，故C错误；
D．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况，适合全面调查，故D正确；
故选D．
6．估计+1的值，应在（ ）
．
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
解：∵≈2.236，∴ +1≈3.236．
故选C．
7．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今
仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道
长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1
寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r
2
=5
2
+（r﹣1）
2
，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸．
故选C．
2
8．已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（ ）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
解：∵a+b=2，ab=，∴（a+b）
2
=4=a
2
+2ab+b
2
，∴a
2
+b
2
=，∴（a﹣b）
2
=a
2
﹣2ab+b
2
=1，∴a﹣b=±1．
故选C．
9．如图，曲线C
2
是双曲线C
1
：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C
2
上任意一
点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（ ）
A． B．6 C．3 D．12
解：如图，将C
2
及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C
3
，直线l与y轴重合．
双曲线C
3
，的解析式为y=﹣
过点P作PB⊥y轴于点B
∵PA=PB
∴B为OA中点，∴S
△
PAB
=S
△
POB
由反比例函数比例系数k的性质，S
△
POB
=3
∴△POA的面积是6
故选B．
10．二次函数y=x
2
+（a﹣2）x+3的图象与一次函数y=x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a的
取值范围是（ ）
A．a=3±2
C．a=3
B．﹣1≤a＜2
或﹣≤a＜2 D．a=3﹣2或﹣1≤a＜﹣
解：由题意可知：方程x
2
+（a﹣2）x+3=x在1≤x≤2上只有一个解，即x
2
+（a﹣3）x+3=0在1≤x≤2上只
3
有一个解，当△=0时，即（a﹣3）
2
﹣12=0
a=3±2
当a=3+2
时，此时x=﹣，不满足题意，当a=3﹣2时，此时x=，满足题意，当△＞0时，令y=x
2
+
（a﹣3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1
（a+1）（2a+1）≤0
解得：﹣1≤a≤，当a=﹣1时，此时x=1或3，满足题意；
当a=﹣时，此时x=2或x=，不满足题意．
综上所述：a=3﹣2
故选D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
11．计算：|﹣3|= ．
解：|﹣3|=3．
故答案为：3．
12．化简
解：
=
=
﹣
+
+
的结果是
或﹣1≤a＜．
=﹣1．
故答案为：﹣1．
13．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示
的数为 ．
解：设点C所表示的数为x．
∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，∴AB=4﹣（﹣1），AC=﹣1
﹣x，根据题意AB=AC，∴4﹣（﹣1）=﹣1﹣x，解得x=﹣6．
故答案为：﹣6．
14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是 度．
4
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
故答案为：22.5．
15．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋
转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 ．
解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA=90°，
∵点O′的坐标是（1，），∴O′M=，OM=1．
=
∵AO=2，∴AM=2﹣1=1，∴tan∠O′AM=，∴∠O′AM=60°，即旋转角为60°，∴∠CAC′=∠OAO′=60°．
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S
△
OAC
=S
△
O′AC′
，∴阴影部分的面积S=S
扇形
OAO′
+S
△
O′AC′
﹣S
△
OAC
﹣S
扇形
CAC′
=S
扇形
OAO′
﹣S
扇形
CAC′
=
．
﹣=．
故答案为：
16．已知直线l
1
：y=（k﹣1）x+k+1和直线l
2
：y=kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．
（1）当k=2时，直线l
1
、l
2
与x轴围成的三角形的面积S
2
= ；
（2）当k=2、3、4，……，2020时，设直线l
1
、l
2
与x轴围成的三角形的面积分别为S
2
，S
3
，S
4
，……，S
2020
，
则S
2
+S
3
+S
4
+……+S
2020
= ．
5
解：当y=0时，有（k﹣1）x+k+1=0，解得：x=﹣1﹣，∴直线l
1
与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），
同理，可得出：直线l
2
与x轴的交点坐标为（﹣1﹣，0），∴两直线与x轴交点间的距离d=﹣1﹣﹣（﹣
1﹣）=﹣．
联立直线l
1
、l
2
成方程组，得：
，解得：
（1）当k=2时，d=
故答案为：1．
（2）当k=3时，S
3
=﹣；当k=4时，S
4
=﹣；…；S
2020
=
﹣+﹣+…+
故答案为：．
﹣=﹣=2﹣=．
﹣，∴S
2
+S
3
+S
4
+……+S
2020
=﹣+
，∴直线l
1
、l
2
的交点坐标为（﹣1，﹣2）．
﹣=1，∴S
2
=×|﹣2|d=1．
三、简答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分
17．计算：4cos45°+（π﹣2020）
0
﹣
解：原式=4×+1﹣2=1．
18．解不等式组：
解：．
∵解不等式①得：x＞0，解不等式②得：x＜6，∴不等式组的解集为0＜x＜6．
19．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分
20．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）
2
+（2m）
3
÷（﹣8m），其中m是方程x
2
+x﹣2=0的
根
6
解：原式=4m
2
﹣1﹣（m
2
﹣2m+1）+8m
3
÷（﹣8m）
=4m
2
﹣1﹣m
2
+2m﹣1﹣m
2
=2m
2
+2m﹣2
=2（m
2
+m﹣1）．
∵m是方程x
2
+x﹣2=0的根，∴m
2
+m﹣2=0，即m
2
+m=2，则原式=2×（2﹣1）=2．
21．某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过
程如下，请补充完整．
（1）收集数据
从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：
甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
（2）整理描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
班级
甲班
乙班
50≤x＜
60
60≤x＜
70
70≤x＜
80
80≤x＜
90
90≤x＜
100
1
2
3
1
3
m
2
2
1
n
在表中：m= ，n= ．
（3）分析数据
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
班级
甲班
乙班
平均数
72
72
中位数
x
70
众数
75
y
在表中：x= ，y= ．
②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的叙述身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为
优秀的学生有 人．
③现从甲班指定的2名学生（1男1女），乙班指定的3名学生（2男1女）中分别抽取1名学生去参加上
级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．
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