2024年3月29日发(作者：扈丽珠)

第9章 影响线及影响面

§9.1绪论

结构承受移动荷载（方向、大小不变，仅作用位置变化的荷载）作用时，其反力、内力

以及位移等量值均随荷载作用位置的变化而变化。对于线弹性结构，由于叠加原理成立，只

要研究在最简单的单位移动荷载的作用下，结构的反力、内力或位移的变化规律即可。结构

反力（或内力、位移）随荷载作用位置变化的函数关系式，被称为反力（或内力、位移）影

响系数方程，对应的函数图形则称为反力（或内力、位移）影响线（英文Influence Line,

缩写为IL）。

正确的影响线应具有正确的外形、必要的控制点纵坐标（竖标）值和正负号。由于内力

图（如梁的弯矩图）也是内力方程（表达内力与截面位置的函数关系）所对应的图形，初学

者容易与内力影响线混淆（如图9.1.1）。应明确，内力图是反映在实际固定荷载下所有截

面内力的分布规律，横坐标是截面位置，纵坐标是该截面的内力值，其量纲是力的量纲；而

影响线只表达在单位移动荷载下某一关心截面内力的变化规律，横坐标是外力移动作用的位

置，纵坐标是关心截面关心内力值，其量纲是内力量纲与移动荷载量纲之比。静定结构反力

和内力影响线为直线形或折线形，位移影响线则为曲线形，从而超静定结构各类影响线（除

静定部分和间接荷载作用外）均为曲线形。

影响线的用途很广，凡设计各种桥梁、吊车梁等一切由活荷载作用的结构都要应用它。

影响线可用于确定移动荷载作用下结构的最不利荷载位置及其对应的最大量值，也用来计算

简支梁的绝对最大弯矩、绘制包络图。此外，影响线还可用以求结构某一截面在复杂的固定

荷载作用下的内力、位移等量值。但受叠加原理限制，只能近似考虑非线性的Ⅱ阶效应。

随着大型复杂桥梁的设计建造，使得结构分析不能仅采用单纯的梁单元模型，而必须分

析二维的内力影响面。影响线和影响面的分析可以采用静力法，但更多地采用机动法，在实

际工程中机动法比静力法方便且效率高。

P

A

C

B

A

P

C

B

PL/4PL/4

M图

图9.1.1 简支梁内力图与影响线

M

C

IL

§9.2 静力法与机动法

绘制影响线有两种基本方法：静力法和机动法。前者以静力平衡条件为依据，取隔离体，

写出影响线方程，据此作图。后者以虚功原理（或力法原理）为依据，以竖向虚位移图代表

某量值影响线，给出影响线轮廓，再由几何关系确定竖标，所以也称虚功法。

在直接荷载和间接荷载（结点荷载）作用下的简支梁反力、弯矩、剪力影响线是最基本

的影响线，也是绘制其它结构影响线的基础。在竖向荷载作用下的三铰拱影响线的转化为相

应简支梁（代梁）的影响线来绘制，其内力影响线均由两个相应简支梁影响线图形叠加后绘

于水平基线上。桁架影响线具有间接荷载作用下的影响线性质，单跨静定梁式桁架反力影响

线同相应单跨静定梁（代梁），桁架杆力影响线方程仍用结点法或截面法求之，区别单位荷

载在上下弦移动，其杆力影响线在个别节间略有不同；拱式桁架宜先作推力H影响线，以便

叠加出各杆力影响线。拱、桁架、支架等影响线多用静力法绘制。

1

对于多跨静定梁这类主从结构，利用单跨静定梁的已知影响线以及基本部分与附属部分

间的传力关系，在铰点和支座处直线延伸或连以直线达到快捷绘图。机动法作多跨静定梁影

响线尤为便捷，该梁去除与某量值相应的联系，使之成为一个自由度的几何可变体系，沿量

值正向发生约束容许的单位位移（虚位移），各梁段刚体位移给出影响线轮廓图（均为分段

直线），再由简单铰连接各部分位移图形成全梁影响线图。

用静力法（如力法）绘制n次超静定结构影响线需要多次求解n-1次超静定基本结构，

求出多余未知力影响线，再叠加出所求量值的影响线；若用位移法（或力矩分配法）也需要

根据不同的单位荷载作用位置，多次分析超静定结构，据分析结果连成所求影响线，因此计

算工作量大。若只需要影响线轮廓或仅求少数几个截面内力影响线，则用机动法绘制，简便

直观。超静定结构与静定结构不同之处是撤去与某量值S

K

相应的约束后，基本结构仍是几

何不变体系，使基本结构沿S

K

正方向发生单位位移时，勾绘出整个基本结构由此产生的竖

向位移曲线轮廓，并绘于水平基线上，标出正负号；必要时再作基本结构的静力分析，计算

出各分段点的竖标值，即形成完整的超静定结构影响线图。

例1 试作图9.2.1a所示桁架指定杆件内力（或其分力）的影响线。

解：(1)求S

1

IL(设P=1沿下弦移动):

作截面Ⅰ-Ⅰ，当P=1在H结点以右作用时，取左半部分为隔离体，由



M

C



0,

得

S

1



3

R

A

2

作S

1

IL的右直线（梁式桁架R

A

、R

B

影响线同简支梁）。

当 P=1在G结点以左作用时，取右半部分为隔离体，也由

5

R

B

2



M

C



0,

得

S

1



作S

1

IL的左直线。

当 P=1在GH节间移动时，将G、H处竖标顶点连以直线，得S

1

IL（图9.2.1b）

(2)求S

2

IL(或X

2

IL，设P=1沿下弦移动)：

作截面Ⅱ-Ⅱ，当P=1在G节点以右作用时，取左半部分为隔离体，由



M

D

0,

得

6

X

2

6

S

EF

12

R

A

0

由于F为T形结点，S

EF

=S

1

，所以X

2

=-2R

A

-S

1

。在HB段，

X

2



2R

A



3

R

A



1

R

A

，

22

在G节点时，

S

1



25

16

，所以

X

1



13

，以直线连接G、H节点的竖标顶点。

16

当P=1在D节点以左作用时，取右半部分为隔离体，也由



M

D



0,

得

X

2



S

EF



2R

B

,

即

X

2



51

R

B



3R

B



R

B

22

3

S

2



3

13

直线连接G、D节点的竖标顶点。作X

2

IL(图9.2.1c)，由比例关系：

X

2



可得 S

2

IL。当P=1沿上弦移动时，影响线完全相同。

E

2

m

,

3

2



2

2

II

F

I

1

4

m

A

R

A

P=1

CD

II

G

I

H

B

R

B

8×3

m

(a)

2

2024年3月29日发(作者：扈丽珠)

第9章 影响线及影响面

§9.1绪论

结构承受移动荷载（方向、大小不变，仅作用位置变化的荷载）作用时，其反力、内力

以及位移等量值均随荷载作用位置的变化而变化。对于线弹性结构，由于叠加原理成立，只

要研究在最简单的单位移动荷载的作用下，结构的反力、内力或位移的变化规律即可。结构

反力（或内力、位移）随荷载作用位置变化的函数关系式，被称为反力（或内力、位移）影

响系数方程，对应的函数图形则称为反力（或内力、位移）影响线（英文Influence Line,

缩写为IL）。

正确的影响线应具有正确的外形、必要的控制点纵坐标（竖标）值和正负号。由于内力

图（如梁的弯矩图）也是内力方程（表达内力与截面位置的函数关系）所对应的图形，初学

者容易与内力影响线混淆（如图9.1.1）。应明确，内力图是反映在实际固定荷载下所有截

面内力的分布规律，横坐标是截面位置，纵坐标是该截面的内力值，其量纲是力的量纲；而

影响线只表达在单位移动荷载下某一关心截面内力的变化规律，横坐标是外力移动作用的位

置，纵坐标是关心截面关心内力值，其量纲是内力量纲与移动荷载量纲之比。静定结构反力

和内力影响线为直线形或折线形，位移影响线则为曲线形，从而超静定结构各类影响线（除

静定部分和间接荷载作用外）均为曲线形。

影响线的用途很广，凡设计各种桥梁、吊车梁等一切由活荷载作用的结构都要应用它。

影响线可用于确定移动荷载作用下结构的最不利荷载位置及其对应的最大量值，也用来计算

简支梁的绝对最大弯矩、绘制包络图。此外，影响线还可用以求结构某一截面在复杂的固定

荷载作用下的内力、位移等量值。但受叠加原理限制，只能近似考虑非线性的Ⅱ阶效应。

随着大型复杂桥梁的设计建造，使得结构分析不能仅采用单纯的梁单元模型，而必须分

析二维的内力影响面。影响线和影响面的分析可以采用静力法，但更多地采用机动法，在实

际工程中机动法比静力法方便且效率高。

P

A

C

B

A

P

C

B

PL/4PL/4

M图

图9.1.1 简支梁内力图与影响线

M

C

IL

§9.2 静力法与机动法

绘制影响线有两种基本方法：静力法和机动法。前者以静力平衡条件为依据，取隔离体，

写出影响线方程，据此作图。后者以虚功原理（或力法原理）为依据，以竖向虚位移图代表

某量值影响线，给出影响线轮廓，再由几何关系确定竖标，所以也称虚功法。

在直接荷载和间接荷载（结点荷载）作用下的简支梁反力、弯矩、剪力影响线是最基本

的影响线，也是绘制其它结构影响线的基础。在竖向荷载作用下的三铰拱影响线的转化为相

应简支梁（代梁）的影响线来绘制，其内力影响线均由两个相应简支梁影响线图形叠加后绘

于水平基线上。桁架影响线具有间接荷载作用下的影响线性质，单跨静定梁式桁架反力影响

线同相应单跨静定梁（代梁），桁架杆力影响线方程仍用结点法或截面法求之，区别单位荷

载在上下弦移动，其杆力影响线在个别节间略有不同；拱式桁架宜先作推力H影响线，以便

叠加出各杆力影响线。拱、桁架、支架等影响线多用静力法绘制。

1

对于多跨静定梁这类主从结构，利用单跨静定梁的已知影响线以及基本部分与附属部分

间的传力关系，在铰点和支座处直线延伸或连以直线达到快捷绘图。机动法作多跨静定梁影

响线尤为便捷，该梁去除与某量值相应的联系，使之成为一个自由度的几何可变体系，沿量

值正向发生约束容许的单位位移（虚位移），各梁段刚体位移给出影响线轮廓图（均为分段

直线），再由简单铰连接各部分位移图形成全梁影响线图。

用静力法（如力法）绘制n次超静定结构影响线需要多次求解n-1次超静定基本结构，

求出多余未知力影响线，再叠加出所求量值的影响线；若用位移法（或力矩分配法）也需要

根据不同的单位荷载作用位置，多次分析超静定结构，据分析结果连成所求影响线，因此计

算工作量大。若只需要影响线轮廓或仅求少数几个截面内力影响线，则用机动法绘制，简便

直观。超静定结构与静定结构不同之处是撤去与某量值S

K

相应的约束后，基本结构仍是几

何不变体系，使基本结构沿S

K

正方向发生单位位移时，勾绘出整个基本结构由此产生的竖

向位移曲线轮廓，并绘于水平基线上，标出正负号；必要时再作基本结构的静力分析，计算

出各分段点的竖标值，即形成完整的超静定结构影响线图。

例1 试作图9.2.1a所示桁架指定杆件内力（或其分力）的影响线。

解：(1)求S

1

IL(设P=1沿下弦移动):

作截面Ⅰ-Ⅰ，当P=1在H结点以右作用时，取左半部分为隔离体，由



M

C



0,

得

S

1



3

R

A

2

作S

1

IL的右直线（梁式桁架R

A

、R

B

影响线同简支梁）。

当 P=1在G结点以左作用时，取右半部分为隔离体，也由

5

R

B

2



M

C



0,

得

S

1



作S

1

IL的左直线。

当 P=1在GH节间移动时，将G、H处竖标顶点连以直线，得S

1

IL（图9.2.1b）

(2)求S

2

IL(或X

2

IL，设P=1沿下弦移动)：

作截面Ⅱ-Ⅱ，当P=1在G节点以右作用时，取左半部分为隔离体，由



M

D

0,

得

6

X

2

6

S

EF

12

R

A

0

由于F为T形结点，S

EF

=S

1

，所以X

2

=-2R

A

-S

1

。在HB段，

X

2



2R

A



3

R

A



1

R

A

，

22

在G节点时，

S

1



25

16

，所以

X

1



13

，以直线连接G、H节点的竖标顶点。

16

当P=1在D节点以左作用时，取右半部分为隔离体，也由



M

D



0,

得

X

2



S

EF



2R

B

,

即

X

2



51

R

B



3R

B



R

B

22

3

S

2



3

13

直线连接G、D节点的竖标顶点。作X

2

IL(图9.2.1c)，由比例关系：

X

2



可得 S

2

IL。当P=1沿上弦移动时，影响线完全相同。

E

2

m

,

3

2



2

2

II

F

I

1

4

m

A

R

A

P=1

CD

II

G

I

H

B

R

B

8×3

m

(a)

2