2024年3月30日发(作者：毛秋)

一些带min和max的等式和不等式的应用

王红权;朱成万

【摘 要】近几年高考试题中常出现一些带有符号min和max的试题.题目结构千

变万化,解题方法技巧性强,学生对符号"min"和"max"非常恐惧.文章梳理出与这类

题目相关的6个等式和不等式,揭示这类试题的特点,透视解题方法,从而让考生深刻

理解这类试题的本质,少走弯路.

【期刊名称】《中学教研：数学版》

【年(卷),期】2017(000)010

【总页数】4页(P23-26)

【关键词】绝对值不等式;绝对值恒等式;解题策略

【作 者】王红权;朱成万

【作者单位】杭州市基础教育研究室,浙江杭州 310003;杭州市第十四中学,浙江杭

州 310006

【正文语种】中 文

【中图分类】O122.3

随着课程改革的推进，高考试题也常考常新，近几年出现一些带有符号min和

max的试题，题目结构千变万化，给人感觉耳目一新的同时，也让人眼花缭乱，

解题方法有较强的技巧性，难以把握．学生往往通过分类讨论而陷入泥潭，从而对

符号“min”和“max”产生一种恐惧心理．因此梳理这类题目的特点和解题方法

很有必要，能更好地理解符号min{x，y}和max{x，y}的含义，为破解含这些符号

的试题提供新的视角和技术保障．与这些问题有关的一些常见的等式和不等式，具

体有如下6个：

① min{x，y}≤≤max{x，y}；

② min{x，y}≤≤max{x，y}；

③ min{x，y}=[x+y-|x-y|]；

④ max{x，y}=[x+y+|x-y|]；

⑤ |x|+|y|=max{|x-y|，|x+y|}；

⑥ ||x|-|y||=min{|x-y|，|x+y|}．

本文约定“min”表示两者中的较小者，“max”表示两者中的较大者，即

该不等式串的意义十分明显：两个数中较小的数不大于它们的平均数，即

且两个数中较大的数不小于它们的平均数，即

道理浅显易懂，但运用它解决具体问题却非易事，需要费一番功夫．

例1 设求A的最大值．

解 A≤≤=,

当x=y时，等号成立，故A的最大值为．

评注 本题解答的关键是用到两个数中较小者不大于它们的平均数，即min{x，y}≤，

从而使问题得以解决．通常，不等式串① 还可以进行拓展(也可向多元拓展)：

作为拓展不等式串的一个运用，请看例2．

例2 若函数f(x)=x2+px+q的图像经过点(α，0)，(β，0)，且存在整数n，使得

n<α<β

A．min{f(n)，f(n+1)}>

B．min{f(n)，f(n+1)}<

C．min{f(n)，f(n+1)}=

D．min{f(n)，f(n+1)}≥

(2014年浙江省杭州市高三第一学期教学质量检测试题第8题)

解 设f(x)=(x-α)(x-β)，则

f(n)·f(n+1)=

(n-α)(n-β)(n+1-α)(n+1-β)=

[(α-n)(n+1-α)][(β-n)(n+1-β)]<，

其中等号不能同时取到,从而

故选B.

例3 设求A的最小值．

解 A≥ ≥=，

当x=y时，等号成立，故A的最小值为.

评注 本题用到了拓展性质max{x，y，z}≥．

例4 记设a，b为平面向量，则

A．min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a+b|，|a-b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a+b|2，|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D．max{|a+b|2，|a-b|2}≥|a|2+|b|2

解 因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab，

两式相加，得

从而 max{|a+b|2，|a-b|2}≥

故选D．

评注 本题解决有两个关键之处：一是“较大数不小于平均数”，即max{x，y}≥的

运用；二是平行四边形对角线的性质，即

这种解法简洁灵巧，但需要解题者有较强的数学洞察力，是体现学生数学核心素养

的好题．

接下来我们看式③和④，我们称其为平凡恒等式或者平均数等式．

③min{x，y}=[x+y-|x-y|]；

④max{x，y}=[x+y+|x-y|]．

这是一组对偶的式子，意义十分明显，式③表示两个数中较小数等于它们的平均数

减去它们绝对值之差的一半，即

式④表示两个数中较大数等于它们的平均数加上它们绝对值之差的一半，即

这一点可以在数轴上直观表示出来．如图1，设点A对应实数x，点C对应实数y，

点B为AC的中点，则

式子min{x，y}=-的几何意义表示|OA|=|OB|-|BA|；式子max{x，y}=+的几何意

义表示|OC|=|OB|+|BC|．

例5 若实数x，y满足不等式组

设z=min{2x-y+4，x+y+6}，则z的取值范围是

A．[9，11] B．[9，12]

C．[9，13] D．[9，14]

(2017年4月浙江省稽阳联谊学校高三联考试题第7题)

解 根据式③，得

当x=4，y=3时，zmin=9；当x=6，y=3时，zmax=13.故选C．

例6 已知f(x)，g(x)都是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，设函数

F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|．若a>0，则

A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

解 设

则

由题意知

从而 F(a)= 2min{f(a),g(1-a)}≤

2min{f(a),g(1+a)}=F(-a),

于是 F(1+a)= 2min{f(1+a),g(a)}≥

2min{f(1-a),g(a)}=

F(1-a)．

评注 例5和例6都是有一定难度的题目，当时学生的得分都不高，究其原因主要

是解题工具选择不恰当．如例5，大部分学生是根据线性规划来讨论的，运算相当

复杂；例6学生更是无从下手．笔者运用式③，解法简单明了，使问题的难度降

低了一个档次．

例7 已知a>0，b∈R,函数f(x)=4ax2-2bx-a+b．证明：当0≤x≤1时，函数f(x)

的最大值为|2a-b|+a．

解 f(x)max=max{f(0),f(1)}=

max{-a+b,3a-b}=

[(-a+b)+(3a-b)+|(-a+b)-(3a-b)|]=

|2a-b|+a.

例8 已知方程f(x)+2+|f(x)-2|-2ax-4=0有3个根x1

x1)，则实数a=______．

解 设g(x)=2，其中x∈[-1，1]，则

f(x)+2+ |f(x)-2|=

2max{f(x)，g(x)}，

方程可转化为

设F(x)=max{f(x)，g(x)}，F(x)的图像如图2所示，则

由-2x=ax+2，解得

得

由2=ax+2，解得

由x3-x2=2(x2-x1)，得

即

得

评注 例7和例8是两道难题，本文运用式④，问题得以轻松解决．可见解题工具

的选择是一件很重要的事，选择不得当，简单问题会复杂化；选择得当，复杂问题

就会简单化．要做到这一点，关键还是对数学的理解．

对于三角形不等式：

当x，y同号时，有

当x，y异号时，有

因此有

⑤|x|+|y|=max{|x-y|，|x+y|}；

⑥||x|-|y||=min{|x-y|，|x+y|}．

我们称式⑤和式⑥为绝对值恒等式，它在解决有关绝对值的题目中有着广泛的应用，

下面举例说明．

例9 已知a∈[-1，1]，若-c≤|a+1|恒成立，求正实数c的最小值．

解 由题意可得

根据式⑥有

因为a∈[-1，1]，所以

又当a=1时，取到等号，故c的最小值是．

评注 这是一个恒成立问题，由题意将问题转化为是解决本题的第一步．之后，问

题变成了求实数c的最大值．使用式⑥，不等问题转化为等式问题得以解决．

例10 设函数

若|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2(其中l>0)对任意实数x都成立，则l的最小值为

______．

(2017年浙江省杭州市高三数学第二次模拟试题第14题)

解 |f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|=

即max{|f(x)-1|,|f(x+l)-1|}≥1恒成立．

根据图3可知，l的最小值为2．

评注 本题运用公式⑤，将绝对值里面两个函数和转化为绝对值里只有一个函数，

使问题大大简化．这种做法的最大优点在于避免了繁杂的讨论．

例11 已知函数f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[-1，1]

上的最大值．

1)证明:当|a|≥2时，M(a，b)≥2；

2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|+|b|的最大值．

1)证明 当|a|≥2时，

M(a，b)= max{|f(1)|，|f(-1)|}≥

=

(|1+a+b|+|1-a+b|)≥

(|1+a+b-1+a-b|)=|a|≥2．

2)解 根据绝对值恒等式(式⑤)有

|a|+|b|= max{|a+b|，|a-b|}=

max{|f(1)-1|，|f(-1)-1|}≤

max{|f(1)|+1，|f(-1)|+1}≤

M(a，b)+1≤3．

评注 本题呈现方式简洁明了，解决方法独特，解题过程简约．两个设问，分别用

到了本文介绍的两组公式，第1)小题用到了大数不小于平均数这一简单的结论；

第2)小题主要是用到绝对值恒等式，并用函数值来代替参数式(如a+b=f(1)-1)，

进而根据函数的有界性来控制参变量．

本文研究的6个重要等式与不等式，其意义显而易见，所谓大道至简.在解高考题

中能直入问题的本质，把复杂问题简单化，所谓卸繁驭简．大道至简，卸繁驭简，

揭示问题的本质，正是我们的教学追求．

【相关文献】

[1] 王红权．含绝对值的不等式问题复习研究[J].中学教研(数学)，2016(12)：31-36．

[2] 朱成万．中学数学核心内容的教学解构与建构[M].北京：中国经济出版社，2015．

2024年3月30日发(作者：毛秋)

一些带min和max的等式和不等式的应用

王红权;朱成万

【摘 要】近几年高考试题中常出现一些带有符号min和max的试题.题目结构千

变万化,解题方法技巧性强,学生对符号"min"和"max"非常恐惧.文章梳理出与这类

题目相关的6个等式和不等式,揭示这类试题的特点,透视解题方法,从而让考生深刻

理解这类试题的本质,少走弯路.

【期刊名称】《中学教研：数学版》

【年(卷),期】2017(000)010

【总页数】4页(P23-26)

【关键词】绝对值不等式;绝对值恒等式;解题策略

【作 者】王红权;朱成万

【作者单位】杭州市基础教育研究室,浙江杭州 310003;杭州市第十四中学,浙江杭

州 310006

【正文语种】中 文

【中图分类】O122.3

随着课程改革的推进，高考试题也常考常新，近几年出现一些带有符号min和

max的试题，题目结构千变万化，给人感觉耳目一新的同时，也让人眼花缭乱，

解题方法有较强的技巧性，难以把握．学生往往通过分类讨论而陷入泥潭，从而对

符号“min”和“max”产生一种恐惧心理．因此梳理这类题目的特点和解题方法

很有必要，能更好地理解符号min{x，y}和max{x，y}的含义，为破解含这些符号

的试题提供新的视角和技术保障．与这些问题有关的一些常见的等式和不等式，具

体有如下6个：

① min{x，y}≤≤max{x，y}；

② min{x，y}≤≤max{x，y}；

③ min{x，y}=[x+y-|x-y|]；

④ max{x，y}=[x+y+|x-y|]；

⑤ |x|+|y|=max{|x-y|，|x+y|}；

⑥ ||x|-|y||=min{|x-y|，|x+y|}．

本文约定“min”表示两者中的较小者，“max”表示两者中的较大者，即

该不等式串的意义十分明显：两个数中较小的数不大于它们的平均数，即

且两个数中较大的数不小于它们的平均数，即

道理浅显易懂，但运用它解决具体问题却非易事，需要费一番功夫．

例1 设求A的最大值．

解 A≤≤=,

当x=y时，等号成立，故A的最大值为．

评注 本题解答的关键是用到两个数中较小者不大于它们的平均数，即min{x，y}≤，

从而使问题得以解决．通常，不等式串① 还可以进行拓展(也可向多元拓展)：

作为拓展不等式串的一个运用，请看例2．

例2 若函数f(x)=x2+px+q的图像经过点(α，0)，(β，0)，且存在整数n，使得

n<α<β

A．min{f(n)，f(n+1)}>

B．min{f(n)，f(n+1)}<

C．min{f(n)，f(n+1)}=

D．min{f(n)，f(n+1)}≥

(2014年浙江省杭州市高三第一学期教学质量检测试题第8题)

解 设f(x)=(x-α)(x-β)，则

f(n)·f(n+1)=

(n-α)(n-β)(n+1-α)(n+1-β)=

[(α-n)(n+1-α)][(β-n)(n+1-β)]<，

其中等号不能同时取到,从而

故选B.

例3 设求A的最小值．

解 A≥ ≥=，

当x=y时，等号成立，故A的最小值为.

评注 本题用到了拓展性质max{x，y，z}≥．

例4 记设a，b为平面向量，则

A．min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a+b|，|a-b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a+b|2，|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D．max{|a+b|2，|a-b|2}≥|a|2+|b|2

解 因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab，

两式相加，得

从而 max{|a+b|2，|a-b|2}≥

故选D．

评注 本题解决有两个关键之处：一是“较大数不小于平均数”，即max{x，y}≥的

运用；二是平行四边形对角线的性质，即

这种解法简洁灵巧，但需要解题者有较强的数学洞察力，是体现学生数学核心素养

的好题．

接下来我们看式③和④，我们称其为平凡恒等式或者平均数等式．

③min{x，y}=[x+y-|x-y|]；

④max{x，y}=[x+y+|x-y|]．

这是一组对偶的式子，意义十分明显，式③表示两个数中较小数等于它们的平均数

减去它们绝对值之差的一半，即

式④表示两个数中较大数等于它们的平均数加上它们绝对值之差的一半，即

这一点可以在数轴上直观表示出来．如图1，设点A对应实数x，点C对应实数y，

点B为AC的中点，则

式子min{x，y}=-的几何意义表示|OA|=|OB|-|BA|；式子max{x，y}=+的几何意

义表示|OC|=|OB|+|BC|．

例5 若实数x，y满足不等式组

设z=min{2x-y+4，x+y+6}，则z的取值范围是

A．[9，11] B．[9，12]

C．[9，13] D．[9，14]

(2017年4月浙江省稽阳联谊学校高三联考试题第7题)

解 根据式③，得

当x=4，y=3时，zmin=9；当x=6，y=3时，zmax=13.故选C．

例6 已知f(x)，g(x)都是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，设函数

F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|．若a>0，则

A．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

B．F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

C．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

D．F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

解 设

则

由题意知

从而 F(a)= 2min{f(a),g(1-a)}≤

2min{f(a),g(1+a)}=F(-a),

于是 F(1+a)= 2min{f(1+a),g(a)}≥

2min{f(1-a),g(a)}=

F(1-a)．

评注 例5和例6都是有一定难度的题目，当时学生的得分都不高，究其原因主要

是解题工具选择不恰当．如例5，大部分学生是根据线性规划来讨论的，运算相当

复杂；例6学生更是无从下手．笔者运用式③，解法简单明了，使问题的难度降

低了一个档次．

例7 已知a>0，b∈R,函数f(x)=4ax2-2bx-a+b．证明：当0≤x≤1时，函数f(x)

的最大值为|2a-b|+a．

解 f(x)max=max{f(0),f(1)}=

max{-a+b,3a-b}=

[(-a+b)+(3a-b)+|(-a+b)-(3a-b)|]=

|2a-b|+a.

例8 已知方程f(x)+2+|f(x)-2|-2ax-4=0有3个根x1

x1)，则实数a=______．

解 设g(x)=2，其中x∈[-1，1]，则

f(x)+2+ |f(x)-2|=

2max{f(x)，g(x)}，

方程可转化为

设F(x)=max{f(x)，g(x)}，F(x)的图像如图2所示，则

由-2x=ax+2，解得

得

由2=ax+2，解得

由x3-x2=2(x2-x1)，得

即

得

评注 例7和例8是两道难题，本文运用式④，问题得以轻松解决．可见解题工具

的选择是一件很重要的事，选择不得当，简单问题会复杂化；选择得当，复杂问题

就会简单化．要做到这一点，关键还是对数学的理解．

对于三角形不等式：

当x，y同号时，有

当x，y异号时，有

因此有

⑤|x|+|y|=max{|x-y|，|x+y|}；

⑥||x|-|y||=min{|x-y|，|x+y|}．

我们称式⑤和式⑥为绝对值恒等式，它在解决有关绝对值的题目中有着广泛的应用，

下面举例说明．

例9 已知a∈[-1，1]，若-c≤|a+1|恒成立，求正实数c的最小值．

解 由题意可得

根据式⑥有

因为a∈[-1，1]，所以

又当a=1时，取到等号，故c的最小值是．

评注 这是一个恒成立问题，由题意将问题转化为是解决本题的第一步．之后，问

题变成了求实数c的最大值．使用式⑥，不等问题转化为等式问题得以解决．

例10 设函数

若|f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|≥2(其中l>0)对任意实数x都成立，则l的最小值为

______．

(2017年浙江省杭州市高三数学第二次模拟试题第14题)

解 |f(x)+f(x+l)-2|+|f(x)-f(x+l)|=

即max{|f(x)-1|,|f(x+l)-1|}≥1恒成立．

根据图3可知，l的最小值为2．

评注 本题运用公式⑤，将绝对值里面两个函数和转化为绝对值里只有一个函数，

使问题大大简化．这种做法的最大优点在于避免了繁杂的讨论．

例11 已知函数f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)，记M(a，b)是|f(x)|在区间[-1，1]

上的最大值．

1)证明:当|a|≥2时，M(a，b)≥2；

2)当a，b满足M(a，b)≤2时，求|a|+|b|的最大值．

1)证明 当|a|≥2时，

M(a，b)= max{|f(1)|，|f(-1)|}≥

=

(|1+a+b|+|1-a+b|)≥

(|1+a+b-1+a-b|)=|a|≥2．

2)解 根据绝对值恒等式(式⑤)有

|a|+|b|= max{|a+b|，|a-b|}=

max{|f(1)-1|，|f(-1)-1|}≤

max{|f(1)|+1，|f(-1)|+1}≤

M(a，b)+1≤3．

评注 本题呈现方式简洁明了，解决方法独特，解题过程简约．两个设问，分别用

到了本文介绍的两组公式，第1)小题用到了大数不小于平均数这一简单的结论；

第2)小题主要是用到绝对值恒等式，并用函数值来代替参数式(如a+b=f(1)-1)，

进而根据函数的有界性来控制参变量．

本文研究的6个重要等式与不等式，其意义显而易见，所谓大道至简.在解高考题

中能直入问题的本质，把复杂问题简单化，所谓卸繁驭简．大道至简，卸繁驭简，

揭示问题的本质，正是我们的教学追求．

【相关文献】

[1] 王红权．含绝对值的不等式问题复习研究[J].中学教研(数学)，2016(12)：31-36．

[2] 朱成万．中学数学核心内容的教学解构与建构[M].北京：中国经济出版社，2015．