2024年4月4日发(作者：丘雪帆)

2023-2024学年江苏省扬州高三下学期阶段测试数学模拟试题

一、单选题



1



x

1

．设

x

，

yR

，集合

A



1,2



，

B



x,y



，若

A



B





，则

AB

（）



2



1



1





1





1

A

．

1

，

B

．





1,



C

．





1,1,



D

．



1,2,



2

2



2





2





【正确答案】C

【分析】由交集结果解指数方程，求出

x=



1

，进而求出

y

，求出并集.

1

1



1



1





1



x

【详解】由于

A



B





，所以

2



，解得：

x=



1

，所以

y

，所以

A





1,



，

B







1,



，

2

2



2



2





2



1



所以

AB





1,1,



2



故选：C



π

2

．在复平面内，

O

是原点，向量

OZ

对应的复数是

1i

，将

OZ

绕点

O

按逆时针方向旋转，则

4

所得向量对应的复数为（

A．

2

【正确答案】A

【分析】由复数的几何意义结合图象可得.

）

C．

1

D．

i

B．

2i

【详解】





3

如图，由题意可知

OZ



1,1



，

OZ

与

x

轴夹角为

π

，

4



π

绕点

O

逆时针方向旋转后

Z

到达

x

轴上

Z

1

点，又

OZ

1

OZ2

，

4



所以

Z

1

的坐标为



2,0



，所以

OZ

1

对应的复数为

2

.

故选：A.

3．已知

l

、

m

、

n

为空间中三条不同的直线，



、



、



为空间中三个不同的平面，则下列说法

中正确的是（）

A．若







n

，







，







，则

n



B．若







l

，







m

，



I



n

，若

l//m

，则

n//m

C．若



//



，

l

、

m

分别与



、



所成的角相等，则

l//m

D．若m//α，m//β，



//



，则



//



【正确答案】B

【分析】对于ACD，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B选项.

【详解】对于A，如图1，若







n

，







，







，则

n

可以与



平行，故A错误；

对于B，因为







l

，







m

，

l//m

，且

l



，

m



，则

l//



，

因为

l



，



I



n

，则

l//n

，故

m//n

，B正确；

对于C，如图2，若



//



，

l

、

m

分别与



、



所成的角为

0



时，

l

与

m

可以相交、平行或异面，

故C错误；

对于D，如图1，m//α，m//β，



//



，







n

，则



与



相交，D错误.

故选：B.

4．已知



、







0,





，

tan



与

tan



是方程

x

2

33x40

的两个根，则









（

A．

）



3

B．



2

3

4

C．



3

D．



4

或



3

3

【正确答案】C

先求出

tan



+

tan



和

tan



tan



的值,确定

tan



、

tan



的符号，进而可以缩小α、β的围，再根

据两角和的正切公式求出

tan(







)

的值求出答案.

【详解】∵

tan



与

tan



是方程

x

2

33x40

的两个根，

∴

tan



+

tan



33

，

tan



tan



4











∴

tan



0

，

tan



0

，∴







,





,







,





，∴













,2





，



2



2



∵

tan(







)



tan





tan





33



3

，又













,2





1



tan



tan



1



4

4

∴











.

3

故选:C

利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

2















(







)

等．

(2)根据条件进行合理的拆角，如



















，

5．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素

的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度

h

与其死亡后时间

t

(小时)满足的函数关系式为

海鱼的新鲜度为

80%

，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为

60%

，

h

1

ma

t

.若该种海鱼死亡后2小时，

那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（

据：

ln20.7

，

ln31.1

)

A．3.3

【正确答案】B

【分析】根据已知条件得到关于m,a的方程组，求得m,a的值，进而得到函数的关系式，根据要

求得到关于t的指数方程，利用指数与对数之间的转化化为对数式，利用对数的运算法则计算即

得.

2





h



2





1



ma



0.8

【详解】由题思可得：



，

3

h

3



1



ma



0.6







）小时后，海鱼的新鲜度变为

40%

.(参考数

B．3.6C．4D．4.3

解得

a2

，

m0.05

，

所以

h



t





1



0.05



2

.

t

t

令

h



t





1



0.05



2



0.4

，可得

2

t



12

，

两边同时取对数，

故

t



ln122ln2



ln3



3.6

小时，

ln2ln2

故选：B.

6．若

(2x1)

A．4

【正确答案】B

【分析】根据题意，给自变量

x

赋值，取

x1

和

x=



1

，两个式子相减，得到

2



a

1

a

3

a

5

a

99



的值，将

2



a

1

a

3

a

5

a

99



3

构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的

结果，得到余数．

100

【详解】在已知等式中，取

x1

得

a

0

a

1

a

2

a

100

3

，

100

a

0

a

1

xa

2

x

2

a

100

x

100

，则

2



a

1

a

3

a

99



3

被8整除的余数为（

B．5C．6D．7

）

取

x=



1

得

a

0

a

1

a

2

a

100

1

，

两式相减得

2(a

1

a

3

a

5

a

99

)3

即

2



a

1

a

3

a

5

a

99



33

50

100

1

，

100

4

，

因为

3

100

49

50

4



81



4

01

r

10



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



C

50



4

01

r

1



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



3

01

r

1



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



8



5,

r



N

050149

r

50



r

1



C

50



8



8

能被8整除，因为

C

50



8



C

50



8



C

50



8

050149

r

50



r

1

所以

C

50



8



C

50



8



C

50



8



C

50



8



8



5

被8整除的余数为5，

即

2



a

1

a

3

a

5

a

99



3

被8整除的余数为5，

故选：B.

2

7．已知抛物线

C:x2py



p0



，点

P

在

C

上，直线

2xy40

与坐标轴交于

A,B

两点，若

ABP

面积的最小值为1，则

p

（）

C．1或

5

2

A．1

【正确答案】B

B．

3

2

D．

3

5

或

2

2

【分析】先分析直线和抛物线不会相交，然后分析出

P

点的位置为斜率为

2

的直线和抛物线的切

点时

ABP

面积最小，最后用点到直线的距离公式计算.

【详解】



x

2



2

py



x

2



4

px



8

p



0

无解，不妨设

A(2,0),B(0,4)

，由题可得





2

x



y



4



0

否则若直线和抛物线有交点

Q

时，当

PQ

时，

ABP

面积将趋近

0

，

故

Δ16p

2

32p0

，解得

0p2

.

由图可知，当

P

恰好为斜率为

2

的直线和抛物线的切点时，

ABP

的面积最小.

令

y





1

x



2



P



2p,2p



，不妨

A(2,0),B(0,4)

，则

AB2

2

(4)

2

25

，

p

1

5

又



S

△

ABP



min



1



点

P

到直线

AB

的距离为

则

，

4

p

2

p

4

5



3

5

1

，解得

p

（

舍去）.

2

2

5

故选：B

x





e,

x



0

8．已知函数

f



x







，

g



x



k



x1



，若方程

f



x



g



x



0

恰有三个不相等

2









x



2





5,

x



0

的实数根，则实数k的取值范围是（

2

A．



2,1







e,



2

C．



3,1







e,



）

B．



2,1







2e,



D．



3,1







2e,



【正确答案】A

x





e,

x



0

【分析】方程

f



x



g



x



0

恰有三个不相等的实数根可转化为

f



x







与

2



x



2



5,

x



0









g



x



k



x1



的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.

x





e,

x



0

【详解】作出

f



x







与

g



x



k



x1



的图象，如图，

2









x



2





5,

x



0

当

x0

时，设

g



x



k



x1



与

y

e

x

相切于点

B(x

1

,y

1

)

，

y

1



0

e

x

1



则

k



f



(

x

1

)



e



，解得

x

1

2

，所以

ke

2

，

x

1



1

x

1



1

x

1

由图象可知，当

ke

2

时，

g



x



k



x1



与

y

e

x

有2个交点，与

y(x2)

2

+5(x0)

有1个交

点，即

g



x



k



x1



与

yf(x)

有3个交点.；

当

x0

时，设

g



x



k



x1



与

y(x2)

2

+5(x0)

相切于点

C(x

2

,y

2

)

，

由

y



2x4

可知，

k

AC

y

2



0



x

2



4

x

2



1



2

x

2



4



2

，

x

2



1

x

2



1

解得

x

2

1

或

x

2

3

（舍去），此时

k

AC



2

，而

k

AD



1



0



1

，

0



1

由图象知，当

2k1

时，

g



x



k



x1



与

yf(x)

有3个交点.

综上，

2k1

或

ke

2

时图象有3个交点，即方程

f



x



g



x



0

恰有三个不相等的实数根.

故选：A

二、多选题

9．下列命题正确的是（）

A．对于事件A，B，若

A



B

，且

P



A



0.3

，

P



B



0.6

，则

P



BA



1

2

B．若随机变量



~N



2,





，

P





4



0.84

，则

P



2



4



0.16

C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强

D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差

【正确答案】ACD

【分析】根据统计学和概率论的相关定义逐项分析.

【详解】对于A，由于

A



B

，即A发生必定有B发生，根据条件概率的定义

P



B|A



1

，正确；

对于B，根据正态分布密度函数的性质知

P





＞4



1P





＜4



0.16,P





＜0



P





＞4



0.16

，

P



0

＜



＜

4





1



0.16



2



0.68,

P



2

＜



＜

4





P



0＜



＜4





0.34

，错误；

2

对于C，根据相关系数的性质知：

r

约接近于1，表示线性相关程度越强，正确；

对于D，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确；

故选：ACD.

10．设等比数列



a

n



的公比为

q

，其前

n

项和为

S

n

，前

n

项积为

T

n

，并且满足条件

a

则下列结论正确的是（）

1



1,

a

6

a

7



1,

a

6



1



0

a

7



1

，

A．

q1

C．

S

n

的最大值为

S

7

【正确答案】BD

B．

0a

6

a

8

1

D．

T

n

的最大值为

T

6

【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.

＞0,a

6

,a

7

同号，即

a

6

与

a

6

q

同号，

q＞0

，又【详解】由题意，

a

1

＞1,a

6

a

7

＞1



a

6



1



0



a

6



1



0

…①或…②；



a



1



0

a



1



0



7



7

＜1

，即

0＜q＜1

；若为①，则有

a

6

＞1,q＞0,a

7

a

6

q

5

若为②，则有

a

6

a

1

q＜1,q＜1

，

a

7

a

6

q

则不可能大于1，即②不成立；

a

6



1

＜

0,



有

a

7



1

0＜q＜1

，并且

a

n



a

1

q

n



1

＞

0

，

a

1

＞a

2

＞＞a

n

，即



a

n



是递减的正数列，A错误；

2

所以

0a

6

a

8

a

7

＜1

，B正确；

S

n



S

n



1



a

n

＞0

，即

S

n

＞

S

n



1

对任意的n都成立，C错误；



当

n7

时，

a

n

＜

1

，当

1n6

时，

a

n

＞

1

，

T

6

是

T

n

的最大值，D正确；

故选：BD.

11．已知函数

f



x



sin2x3cos2x

的图象向左平移







0



）个单位长度后对应的函数为

ππ

g



x



，若

g



x



在

[



,]

上单调，则



的可取（

46

A．

）

π

3

π

12

B．

π

6

C．D．

5π

12

【正确答案】CD

【分析】利用辅助角公式化简函数

f(x)

并求出

g(x)

，再借助函数

g(x)

的单调区间列式求解作答.

π

π

【详解】依题意，

f

(

x

)



2sin(2

x

)

，于是

g

(

x

)

f

(

x



)



2sin(2

x

2





)

，

3

3

ππππ2π

当

x

[



,]

时，

(2

x

2





)



[2





,2





]

，

46363

πππ2πππ

当

g(x)

在

[



,]

上单调递增时，

[2





,2





]



[



2

k

π,



2

k

π],

k

Z

，

466322

ππ



2





2

k

π



ππ



62

,

k



Z

，解得

k

π





k

π,

k

Z

，不存在整数

k

使得



取得ABCD即



612



2





2π



π



2

k

π



32



选项中的值；

πππ2ππ3π

当

g(x)

在

[



,]

上单调递减时，

[2





,2





]



[



2

k

π,



2

k

π],

k

Z

，

466322

ππ



2





2

k

π



π5π



62

,

k



Z

，解得

k

π





k

π,

k

Z

，

即



2π3π

312



2





2

k

π



32



当

k1

时，

故选：CD

π5π







，

CD

符合，不存在整数

k

使得



取得

AB

选项中的值

.

312

12．下列说法正确的是（）

11

5

,

P



N





，则

P



MN





23

6

11

2

,

P



N





，则

P



MN





23

3

A

．若事件

M,N

互斥，

P



M





B

．若事件

M,N

相互独立，

P



M





133

1

C

．若

P

(

M

)



,

P

(

M∣N

)



,

P

(

M∣N

)



，则

P



N





248

3

1331

∣M





D

．若

P

(

M

)



,

P

(

M∣N

)



,

P

(

M∣N

)



，则

P



N

2484

【正确答案】ABC

【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率

以及全概率公式可判断

C,D

.

【详解】对于

A

：

P



MN



P



M



P



N





5

，正确；

6

11112



，正确；

23233

对于

B

：

P



MN



P



M



P



N



P



MN





∣

N

)



对于

C

：

P

(

M

P

(

MN

)3

P

(

MN

)1



P

(

M

)



P

(

N

)



P

(

MN

)3



,

P

(

M

∣

N

)



，

P

(

N

)4

P

(

N

)1



P

(

N

)8

31

P

(

N

),

P

(

MN

)

P

(

N

)

，

44

P

(

N

)

P

(

MN

)

P

(

MN

)

P

(

MN

)



1

1



P



M





P



N





P



N



3

，解得

P



N





1

,

C

正确；

4

所以



3

1



P



N



8

11

P



MN



4



3

1

∣

M





，

D

错误，对于

D

：由

C

得

P



N

1

P



M



6

2

故选：ABC.

三、填空题







13

．已知平面直角坐标系内的两个向量，

a(1,2)

，

b(m,3m2)

，且平面内的任一向量

c

都可以



唯一的表示成

c



a



b

（



,



为实数），则

m

的取值范围是

__________

．

【正确答案】

mR

且

m2











,



【详解】由平面内的任一向量

c

都可以唯一的表示成

c



a



b

（为实数）可得

a,b

可作为一



组基底，即

a,b

不共线，则

1



3m2



2m

得

mR

且

m2

，故答案为

mR

且

m2

.



14

．已知数列



a

i



的项数为

n



n



N



，且

a

i



a

n



i



1



C

n

(

i



1,2,



n

)

，则



a

i



的前

n

项和

S

n

为

i

_______．

2

n



1

【正确答案】

2

12

n



1

n

【分析】根据倒序相加法求得

2

S

n

=C

n



C

n



C

n

+C

n

，再根据二项式系数和公式即可求解

.

【详解】因为

S

n



a

1



a

2



a

n



1



a

n

，又

S

n



a

n



a

n



1



a

2



a

1

，



所以

2

S

n





a

1



a

n







a

2



a

n



1







a

n



1



a

2







a

n



a

1

又因为

a

i



a

n



i



1



C

n

(

i



1,2,



n

)

，

i

2

n



1

所以

2

S

n

=C



C



C+C



2



1

，即

S

n

=

.

2

1

n

2

n

n



1

n

n

n

n

2

n



1

故答案为

.

2

15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节

目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教

师表演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）

【正确答案】24

【分析】对男教师的位置分

4

类，计算出各类的安排种数为

A

3

，问题得解．

【详解】把

6

个节目按照先后出场顺序依次记为编号

1

，则

3

名男教师只有



1,3,5



、

2

，

3

，

4

，

5

，

6

，

3



1,3,6



、



1,4,6



、



2,4,6



共

4

种位置安排，由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上

4

种安排

3

的每种安排里，故该

6

名教师的节目不同的编排顺序共有

4A

3

24

种

.

3

名女教师的安排均是

1

种，

本题主要考查了计数原理的综合应用，考查了分类思想，属于基础题．

16．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相

切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.

2024年4月4日发(作者：丘雪帆)

2023-2024学年江苏省扬州高三下学期阶段测试数学模拟试题

一、单选题



1



x

1

．设

x

，

yR

，集合

A



1,2



，

B



x,y



，若

A



B





，则

AB

（）



2



1



1





1





1

A

．

1

，

B

．





1,



C

．





1,1,



D

．



1,2,



2

2



2





2





【正确答案】C

【分析】由交集结果解指数方程，求出

x=



1

，进而求出

y

，求出并集.

1

1



1



1





1



x

【详解】由于

A



B





，所以

2



，解得：

x=



1

，所以

y

，所以

A





1,



，

B







1,



，

2

2



2



2





2



1



所以

AB





1,1,



2



故选：C



π

2

．在复平面内，

O

是原点，向量

OZ

对应的复数是

1i

，将

OZ

绕点

O

按逆时针方向旋转，则

4

所得向量对应的复数为（

A．

2

【正确答案】A

【分析】由复数的几何意义结合图象可得.

）

C．

1

D．

i

B．

2i

【详解】





3

如图，由题意可知

OZ



1,1



，

OZ

与

x

轴夹角为

π

，

4



π

绕点

O

逆时针方向旋转后

Z

到达

x

轴上

Z

1

点，又

OZ

1

OZ2

，

4



所以

Z

1

的坐标为



2,0



，所以

OZ

1

对应的复数为

2

.

故选：A.

3．已知

l

、

m

、

n

为空间中三条不同的直线，



、



、



为空间中三个不同的平面，则下列说法

中正确的是（）

A．若







n

，







，







，则

n



B．若







l

，







m

，



I



n

，若

l//m

，则

n//m

C．若



//



，

l

、

m

分别与



、



所成的角相等，则

l//m

D．若m//α，m//β，



//



，则



//



【正确答案】B

【分析】对于ACD，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B选项.

【详解】对于A，如图1，若







n

，







，







，则

n

可以与



平行，故A错误；

对于B，因为







l

，







m

，

l//m

，且

l



，

m



，则

l//



，

因为

l



，



I



n

，则

l//n

，故

m//n

，B正确；

对于C，如图2，若



//



，

l

、

m

分别与



、



所成的角为

0



时，

l

与

m

可以相交、平行或异面，

故C错误；

对于D，如图1，m//α，m//β，



//



，







n

，则



与



相交，D错误.

故选：B.

4．已知



、







0,





，

tan



与

tan



是方程

x

2

33x40

的两个根，则









（

A．

）



3

B．



2

3

4

C．



3

D．



4

或



3

3

【正确答案】C

先求出

tan



+

tan



和

tan



tan



的值,确定

tan



、

tan



的符号，进而可以缩小α、β的围，再根

据两角和的正切公式求出

tan(







)

的值求出答案.

【详解】∵

tan



与

tan



是方程

x

2

33x40

的两个根，

∴

tan



+

tan



33

，

tan



tan



4











∴

tan



0

，

tan



0

，∴







,





,







,





，∴













,2





，



2



2



∵

tan(







)



tan





tan





33



3

，又













,2





1



tan



tan



1



4

4

∴











.

3

故选:C

利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

2















(







)

等．

(2)根据条件进行合理的拆角，如



















，

5．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素

的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度

h

与其死亡后时间

t

(小时)满足的函数关系式为

海鱼的新鲜度为

80%

，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为

60%

，

h

1

ma

t

.若该种海鱼死亡后2小时，

那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（

据：

ln20.7

，

ln31.1

)

A．3.3

【正确答案】B

【分析】根据已知条件得到关于m,a的方程组，求得m,a的值，进而得到函数的关系式，根据要

求得到关于t的指数方程，利用指数与对数之间的转化化为对数式，利用对数的运算法则计算即

得.

2





h



2





1



ma



0.8

【详解】由题思可得：



，

3

h

3



1



ma



0.6







）小时后，海鱼的新鲜度变为

40%

.(参考数

B．3.6C．4D．4.3

解得

a2

，

m0.05

，

所以

h



t





1



0.05



2

.

t

t

令

h



t





1



0.05



2



0.4

，可得

2

t



12

，

两边同时取对数，

故

t



ln122ln2



ln3



3.6

小时，

ln2ln2

故选：B.

6．若

(2x1)

A．4

【正确答案】B

【分析】根据题意，给自变量

x

赋值，取

x1

和

x=



1

，两个式子相减，得到

2



a

1

a

3

a

5

a

99



的值，将

2



a

1

a

3

a

5

a

99



3

构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的

结果，得到余数．

100

【详解】在已知等式中，取

x1

得

a

0

a

1

a

2

a

100

3

，

100

a

0

a

1

xa

2

x

2

a

100

x

100

，则

2



a

1

a

3

a

99



3

被8整除的余数为（

B．5C．6D．7

）

取

x=



1

得

a

0

a

1

a

2

a

100

1

，

两式相减得

2(a

1

a

3

a

5

a

99

)3

即

2



a

1

a

3

a

5

a

99



33

50

100

1

，

100

4

，

因为

3

100

49

50

4



81



4

01

r

10



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



C

50



4

01

r

1



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



3

01

r

1



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



8



5,

r



N

050149

r

50



r

1



C

50



8



8

能被8整除，因为

C

50



8



C

50



8



C

50



8

050149

r

50



r

1

所以

C

50



8



C

50



8



C

50



8



C

50



8



8



5

被8整除的余数为5，

即

2



a

1

a

3

a

5

a

99



3

被8整除的余数为5，

故选：B.

2

7．已知抛物线

C:x2py



p0



，点

P

在

C

上，直线

2xy40

与坐标轴交于

A,B

两点，若

ABP

面积的最小值为1，则

p

（）

C．1或

5

2

A．1

【正确答案】B

B．

3

2

D．

3

5

或

2

2

【分析】先分析直线和抛物线不会相交，然后分析出

P

点的位置为斜率为

2

的直线和抛物线的切

点时

ABP

面积最小，最后用点到直线的距离公式计算.

【详解】



x

2



2

py



x

2



4

px



8

p



0

无解，不妨设

A(2,0),B(0,4)

，由题可得





2

x



y



4



0

否则若直线和抛物线有交点

Q

时，当

PQ

时，

ABP

面积将趋近

0

，

故

Δ16p

2

32p0

，解得

0p2

.

由图可知，当

P

恰好为斜率为

2

的直线和抛物线的切点时，

ABP

的面积最小.

令

y





1

x



2



P



2p,2p



，不妨

A(2,0),B(0,4)

，则

AB2

2

(4)

2

25

，

p

1

5

又



S

△

ABP



min



1



点

P

到直线

AB

的距离为

则

，

4

p

2

p

4

5



3

5

1

，解得

p

（

舍去）.

2

2

5

故选：B

x





e,

x



0

8．已知函数

f



x







，

g



x



k



x1



，若方程

f



x



g



x



0

恰有三个不相等

2









x



2





5,

x



0

的实数根，则实数k的取值范围是（

2

A．



2,1







e,



2

C．



3,1







e,



）

B．



2,1







2e,



D．



3,1







2e,



【正确答案】A

x





e,

x



0

【分析】方程

f



x



g



x



0

恰有三个不相等的实数根可转化为

f



x







与

2



x



2



5,

x



0









g



x



k



x1



的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.

x





e,

x



0

【详解】作出

f



x







与

g



x



k



x1



的图象，如图，

2









x



2





5,

x



0

当

x0

时，设

g



x



k



x1



与

y

e

x

相切于点

B(x

1

,y

1

)

，

y

1



0

e

x

1



则

k



f



(

x

1

)



e



，解得

x

1

2

，所以

ke

2

，

x

1



1

x

1



1

x

1

由图象可知，当

ke

2

时，

g



x



k



x1



与

y

e

x

有2个交点，与

y(x2)

2

+5(x0)

有1个交

点，即

g



x



k



x1



与

yf(x)

有3个交点.；

当

x0

时，设

g



x



k



x1



与

y(x2)

2

+5(x0)

相切于点

C(x

2

,y

2

)

，

由

y



2x4

可知，

k

AC

y

2



0



x

2



4

x

2



1



2

x

2



4



2

，

x

2



1

x

2



1

解得

x

2

1

或

x

2

3

（舍去），此时

k

AC



2

，而

k

AD



1



0



1

，

0



1

由图象知，当

2k1

时，

g



x



k



x1



与

yf(x)

有3个交点.

综上，

2k1

或

ke

2

时图象有3个交点，即方程

f



x



g



x



0

恰有三个不相等的实数根.

故选：A

二、多选题

9．下列命题正确的是（）

A．对于事件A，B，若

A



B

，且

P



A



0.3

，

P



B



0.6

，则

P



BA



1

2

B．若随机变量



~N



2,





，

P





4



0.84

，则

P



2



4



0.16

C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强

D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差

【正确答案】ACD

【分析】根据统计学和概率论的相关定义逐项分析.

【详解】对于A，由于

A



B

，即A发生必定有B发生，根据条件概率的定义

P



B|A



1

，正确；

对于B，根据正态分布密度函数的性质知

P





＞4



1P





＜4



0.16,P





＜0



P





＞4



0.16

，

P



0

＜



＜

4





1



0.16



2



0.68,

P



2

＜



＜

4





P



0＜



＜4





0.34

，错误；

2

对于C，根据相关系数的性质知：

r

约接近于1，表示线性相关程度越强，正确；

对于D，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确；

故选：ACD.

10．设等比数列



a

n



的公比为

q

，其前

n

项和为

S

n

，前

n

项积为

T

n

，并且满足条件

a

则下列结论正确的是（）

1



1,

a

6

a

7



1,

a

6



1



0

a

7



1

，

A．

q1

C．

S

n

的最大值为

S

7

【正确答案】BD

B．

0a

6

a

8

1

D．

T

n

的最大值为

T

6

【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.

＞0,a

6

,a

7

同号，即

a

6

与

a

6

q

同号，

q＞0

，又【详解】由题意，

a

1

＞1,a

6

a

7

＞1



a

6



1



0



a

6



1



0

…①或…②；



a



1



0

a



1



0



7



7

＜1

，即

0＜q＜1

；若为①，则有

a

6

＞1,q＞0,a

7

a

6

q

5

若为②，则有

a

6

a

1

q＜1,q＜1

，

a

7

a

6

q

则不可能大于1，即②不成立；

a

6



1

＜

0,



有

a

7



1

0＜q＜1

，并且

a

n



a

1

q

n



1

＞

0

，

a

1

＞a

2

＞＞a

n

，即



a

n



是递减的正数列，A错误；

2

所以

0a

6

a

8

a

7

＜1

，B正确；

S

n



S

n



1



a

n

＞0

，即

S

n

＞

S

n



1

对任意的n都成立，C错误；



当

n7

时，

a

n

＜

1

，当

1n6

时，

a

n

＞

1

，

T

6

是

T

n

的最大值，D正确；

故选：BD.

11．已知函数

f



x



sin2x3cos2x

的图象向左平移







0



）个单位长度后对应的函数为

ππ

g



x



，若

g



x



在

[



,]

上单调，则



的可取（

46

A．

）

π

3

π

12

B．

π

6

C．D．

5π

12

【正确答案】CD

【分析】利用辅助角公式化简函数

f(x)

并求出

g(x)

，再借助函数

g(x)

的单调区间列式求解作答.

π

π

【详解】依题意，

f

(

x

)



2sin(2

x

)

，于是

g

(

x

)

f

(

x



)



2sin(2

x

2





)

，

3

3

ππππ2π

当

x

[



,]

时，

(2

x

2





)



[2





,2





]

，

46363

πππ2πππ

当

g(x)

在

[



,]

上单调递增时，

[2





,2





]



[



2

k

π,



2

k

π],

k

Z

，

466322

ππ



2





2

k

π



ππ



62

,

k



Z

，解得

k

π





k

π,

k

Z

，不存在整数

k

使得



取得ABCD即



612



2





2π



π



2

k

π



32



选项中的值；

πππ2ππ3π

当

g(x)

在

[



,]

上单调递减时，

[2





,2





]



[



2

k

π,



2

k

π],

k

Z

，

466322

ππ



2





2

k

π



π5π



62

,

k



Z

，解得

k

π





k

π,

k

Z

，

即



2π3π

312



2





2

k

π



32



当

k1

时，

故选：CD

π5π







，

CD

符合，不存在整数

k

使得



取得

AB

选项中的值

.

312

12．下列说法正确的是（）

11

5

,

P



N





，则

P



MN





23

6

11

2

,

P



N





，则

P



MN





23

3

A

．若事件

M,N

互斥，

P



M





B

．若事件

M,N

相互独立，

P



M





133

1

C

．若

P

(

M

)



,

P

(

M∣N

)



,

P

(

M∣N

)



，则

P



N





248

3

1331

∣M





D

．若

P

(

M

)



,

P

(

M∣N

)



,

P

(

M∣N

)



，则

P



N

2484

【正确答案】ABC

【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率

以及全概率公式可判断

C,D

.

【详解】对于

A

：

P



MN



P



M



P



N





5

，正确；

6

11112



，正确；

23233

对于

B

：

P



MN



P



M



P



N



P



MN





∣

N

)



对于

C

：

P

(

M

P

(

MN

)3

P

(

MN

)1



P

(

M

)



P

(

N

)



P

(

MN

)3



,

P

(

M

∣

N

)



，

P

(

N

)4

P

(

N

)1



P

(

N

)8

31

P

(

N

),

P

(

MN

)

P

(

N

)

，

44

P

(

N

)

P

(

MN

)

P

(

MN

)

P

(

MN

)



1

1



P



M





P



N





P



N



3

，解得

P



N





1

,

C

正确；

4

所以



3

1



P



N



8

11

P



MN



4



3

1

∣

M





，

D

错误，对于

D

：由

C

得

P



N

1

P



M



6

2

故选：ABC.

三、填空题







13

．已知平面直角坐标系内的两个向量，

a(1,2)

，

b(m,3m2)

，且平面内的任一向量

c

都可以



唯一的表示成

c



a



b

（



,



为实数），则

m

的取值范围是

__________

．

【正确答案】

mR

且

m2











,



【详解】由平面内的任一向量

c

都可以唯一的表示成

c



a



b

（为实数）可得

a,b

可作为一



组基底，即

a,b

不共线，则

1



3m2



2m

得

mR

且

m2

，故答案为

mR

且

m2

.



14

．已知数列



a

i



的项数为

n



n



N



，且

a

i



a

n



i



1



C

n

(

i



1,2,



n

)

，则



a

i



的前

n

项和

S

n

为

i

_______．

2

n



1

【正确答案】

2

12

n



1

n

【分析】根据倒序相加法求得

2

S

n

=C

n



C

n



C

n

+C

n

，再根据二项式系数和公式即可求解

.

【详解】因为

S

n



a

1



a

2



a

n



1



a

n

，又

S

n



a

n



a

n



1



a

2



a

1

，



所以

2

S

n





a

1



a

n







a

2



a

n



1







a

n



1



a

2







a

n



a

1

又因为

a

i



a

n



i



1



C

n

(

i



1,2,



n

)

，

i

2

n



1

所以

2

S

n

=C



C



C+C



2



1

，即

S

n

=

.

2

1

n

2

n

n



1

n

n

n

n

2

n



1

故答案为

.

2

15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节

目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教

师表演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）

【正确答案】24

【分析】对男教师的位置分

4

类，计算出各类的安排种数为

A

3

，问题得解．

【详解】把

6

个节目按照先后出场顺序依次记为编号

1

，则

3

名男教师只有



1,3,5



、

2

，

3

，

4

，

5

，

6

，

3



1,3,6



、



1,4,6



、



2,4,6



共

4

种位置安排，由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上

4

种安排

3

的每种安排里，故该

6

名教师的节目不同的编排顺序共有

4A

3

24

种

.

3

名女教师的安排均是

1

种，

本题主要考查了计数原理的综合应用，考查了分类思想，属于基础题．

16．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相

切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.