2024年4月6日发(作者：邝博瀚)
2021
年新疆慕华优策高考数学第三次联考试卷（理科）
一、选择题（共
12
小题）
.
1
．已知集合
A
＝
{x|2x
﹣
8
＜
2
﹣
3x}
，
B
＝
{x|x
2
﹣
4x+3
＜
0}
，则
A
∪
B
＝（ ）
A
．（
1
，
2
）
B
．（
2
，
3
）
C
．（﹣∞，
3
）
D
．（
1
，
3
）
2
．若复数
z
满足
z
（
1
﹣
i
）
2022
＝（
2i
）
2022
，则
|z|
＝（ ）
A
．
1
B
．
2
2022
C
．
2
1011
D
．
2
﹣
1011
3
．命题“
x
≥
1
，都有
lnx+x
﹣
1
≥
0
”的否定是（ ）
A
．
x
≥
1
，都有
lnx+x
﹣
1
＜
0
C
．∃
x
0
≥
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
≥
0
4
．
a
＝
log
，
b
＝
log
B
．∃
x
0
＜
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
D
．∃
x
0
≥
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
，
c
＝（），则（ ）
B
．
c
＜
a
＜
b
C
．
c
＜
b
＜
a
D
．
a
＜
b
＜
c
A
．
a
＜
c
＜
b
5
．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明．相传
是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理．我国古代称短直角边为“勾”，长直角边
为“股”，斜边为“弦”．西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯
学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为
1
的勾股数：如
3
，
4
，
5
；
5
，
12
，
13
；
7
，
24
，
25
；
9
，
40
，
41
；…，如设勾为
2n+1
（
n
＝
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，……），则弦为（ ）
A
．
2n
2
﹣
2n+1
B
．
4n
2
+1
C
．
2n
2
+2n
D
．
2n
2
+2n+1
6
．曲线
x
2
+y
2
﹣
2x+4y
﹣
20
＝
0
上的点到直线
3x
﹣
4y+19
＝
0
的最大距离为（ ）
A
．
10
B
．
11
C
．
12
D
．
13
7
．
0.04
）在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩
z
服从正态分布
N
（
a
，，若
P
（
z
≥
100
）
＝
0.5
，且
P
（
z
≥
120
）＝
0.2
，则
p
（
z
≤
80
）＝（ ）
A
．
0.2
B
．
0.3
C
．
0.35
D
．
0.4
8
．底面为正三角形的直棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
AB
＝
8
，
AA
1
＝
6
，
M
，
N
分别为
AB
，
BC
的中
点，则异面直线
A
1
M
与
B
1
N
所成的角的余弦值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．“喊泉”是一种地下水的声学现象．人们在泉口吼叫或发出其它声音时，声音传入泉洞内
的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌．声音越大，涌起的泉涌越高．已知听到
的声强
m
与标准声调
m
0
（
m
0
约为
10
﹣
12
ω
/m
2
）之比的常用对数称作声强
m
的声强级，记作
- 1 -
l
（贝尔），即
l
＝
lg
．取贝尔的
15
倍作为响度的常用单位，简称分贝．已知某处喊泉的
声音响度
y
（分贝）与喷出的泉水高度
x
（
m
）满足关系式
y
＝
3x
，现知甲同学大喝一声激
起的涌泉高度为
60m
．若甲同学大喝一声声强大约相当于
10
个乙同学同时大喝一声的声强，
则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为（ ）
A
．
40m
B
．
45m
C
．
50m
D
．
55m
10
．将函数
f
（
x
）＝
sin
ω
x
（
cos
ω
x
﹣
sin
ω
x
）
+1
（ω＞
0
）的图象上所有点的横坐标扩大为原来
的
2
倍得
y
＝
g
（
x
）的图象，若
g
（
x
）在
[
A
．
0
＜ω≤
2
B
．＜ω≤
2
，
]
上单调递减，
则ω的取值范围为（ ）
C
．≤ω≤
D
．＜ω≤
2
11
．已知椭圆
T
：＝
1
（
a
＞
3
）的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，若椭圆
T
上存在四个点
P
i
（
i
＝
1
，
2
，
3
，
4
）使得△
P
i
F
1
F
2
的面积为
9
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A
．（
0
，
]
B
．（，
1
）
C
．（，）
D
．（，
1
）
12
．已知锐角△
ABC
的角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
asinA
＝
b
（
sinB+sinC
），则
的取值范围为（ ）
A
．（
0
，
1
）
B
．（
1
，）
C
．（）
D
．
[1
，
]
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
13
．已知角α的顶点为原点，始边为
x
的正半轴，其终边上一点的坐标为（﹣
1
，
2
），则
cos
2
α
﹣
sin2
α＝
．
14
．已知向量＝（
1
，），
||
＝
2
，与夹角为，则
+
与
2
的夹角的余弦值
为
．
15
．学校举行秋季运动会，高二（
6
）班选出
5
人参加跳高、跳远、跳绳、
100m
短跑四个项目
比赛，每个项目都要有同学参加，且每个同学只参加一项比赛，则同学甲不参加跳高比赛
的安排方法种数为
．
﹣
16
．
+
∞）
不等式
x
1
a
e
x
﹣
alnx
≥
0
对任意
x
∈（
1
，恒成立，则正实数
a
的取值范围为
．
三、解答题：共
70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17
～
21
题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共
60
分．
17
．已知数列
{a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，前
n
项和为
S
n
，
S
9
＝
144
，
a
3
是
a
1
与
a
8
的等比中
- 2 -
项．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）数列
{b
n
}
满足
+log
2
b
n
＝
0
，若
c
n
＝
a
n
b
n
，求数列
{c
n
}
前
n
项和为
T
n
．
18
．如图（
1
），平面四边形
ABDC
中，∠
ABC
＝∠
D
＝
90
°，
AB
＝
BC
＝
2
，
CD
＝
1
，将△
ABC
沿
BC
边折起如图（
2
），使
____
，点
M
，
N
分别为
AC
，
AD
中点．在题目横线上选择下述
其中一个条件，然后解答此题．①
AD
＝
ABC
⊥平面
BCD
．
（
1
）判断直线
MN
与平面
ABD
的位置关系，并说明理由；
（
2
）求二面角
A
﹣
MN
﹣
B
的正弦值．
．②
AC
为四面体
ABDC
外接球的直径．③平面
19
．元旦期间某牛奶公司做促销活动．一箱某品牌牛奶
12
盒，每盒牛奶可以参与刮奖中奖得
现金活动，但其中只有一些中奖．已知购买一盒牛奶需要
5
元，若有中奖，则每次中奖可
以获得代金券
8
元（可即中即用）．顾客可以在一箱牛奶中先购买
4
盒，然后根据这
4
盒
牛奶中奖结果决定是否购买余下
8
盒．设每盒牛奶中奖概率为
p
（
0
＜
p
＜
1
），且每盒牛奶
是否中奖相互独立．
（
1
）若
p
＝，顾客先购买
4
盒牛奶，求该顾客至少有一盒中奖的概率．
（
2
）设先购买的
4
盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为
p
0
，以
p
0
为
p
值．某顾客认为如
果中奖后售价不超过原来售价的四折（即
40%
）便可以购买如下的
8
盒牛奶，据此，请你
判断该顾客是否可以购买余下的
8
盒牛奶．
20
．已知定点
O
2
（
2
，
0
），点
P
为圆
O
1
：（
x+2
）
2
+y
2
＝
32
（
O
1
为圆心）上一动点，线段
O
2
P
的垂直平分线与直线
O
1
P
交于点
G
．
（
1
）设点
G
的轨迹为曲线
C
，求曲线
C
的方程；
（
2
）若过点
O
2
且不与
x
轴重合的直线
l
与（
1
）中曲线
C
交于
D
，
E
两点，
M
为线段
DE
的中点，直线
OM
（
O
为原点）与曲线
C
交于
A
，
B
两点，且满足
|MD|
2
＝
|MA|
•
|MB|
，若存
在这样的直线，求出直线
l
的方程，若不存在请说明理由．
- 3 -
21
．记
f
″（
x
）＝（
f
′（
x
））′，
f
′（
x
）为
f
（
x
）的导函数．若对∀
x
∈
D
，
f
″（
x
）＞
0
，
则称函数
y
＝
f
（
x
）为
D
上的“凸函数”．已知函数
f
（
x
）＝
e
x
（
1
）若函数
f
（
x
）为
R
上的凸函数，求
a
的取值范围；
（
2
）若函数
y
＝
f
（
x
）﹣
x
在（
1
，
+
∞）上有极值点，求
a
的取值范围．
（二）选考题：共
10
分．请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分，作答时请用
2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
[4-4
坐标系与参数方程
]
22
．已知在极坐标系中曲线
C
的极坐标方程为ρ＝
（
1
）若曲线
C
为双曲线，求实数
m
的取值范围；
（
2
）以极点为原点，极轴为
x
正半轴建立直角坐标系．当
m
＝﹣
1
时，过点
P
（
0
，
1
）作
直线
l
交曲线
C
于
A
，
B
两点，若
|
[4-5
不等式选讲
]
23
．已知函数
f
（
x
）＝
|2x
﹣
1|
﹣
|ax
﹣
3|
．
（
1
）当
a
＝
2
时，若
f
（
x
）≤
2m
2
﹣
m
﹣
1
对
x
∈
R
恒成立，求实数
m
的取值范围；
（
2
）关于
x
的不等式
f
（
x
）≥
3x
﹣
3
在
x
∈
[1
，
2]
上有解，求实数
a
的取值范围．
|
＝
4
，求直线
l
的倾斜角．
．
x
3
﹣
ax
2
﹣
1
，
a
∈
R
．
- 4 -
参考答案
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1
．已知集合
A
＝
{x|2x
﹣
8
＜
2
﹣
3x}
，
B
＝
{x|x
2
﹣
4x+3
＜
0}
，则
A
∪
B
＝（ ）
A
．（
1
，
2
）
B
．（
2
，
3
）
C
．（﹣∞，
3
）
D
．（
1
，
3
）
解：∵
2x
﹣
8
＜
2
﹣
3x
，∴
x
＜
2
，∴
A
＝（﹣∞，
2
），
∵
x
2
﹣
4x+3
＜
0
，∴
1
＜
x
＜
3
，∴
B
＝（
1
，
3
），
∴
A
∪
B
＝（﹣∞，
3
）．
故选：
C
．
2
．若复数
z
满足
z
（
1
﹣
i
）
2022
＝（
2i
）
2022
，则
|z|
＝（ ）
A
．
1
B
．
2
2022
C
．
2
1011
D
．
2
﹣
1011
解：∵
z
（
1
﹣
i
）
2022
＝（
2i
）
2022
，
∴
z
＝＝（﹣
1+i
）
2022
，
∴
|z|
＝＝
2
1011
，
故选：
C
．
3
．命题“
x
≥
1
，都有
lnx+x
﹣
1
≥
0
”的否定是（ ）
A
．
x
≥
1
，都有
lnx+x
﹣
1
＜
0
B
．∃
x
0
＜
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
C
．∃
x
0
≥
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
≥
0
D
．∃
x
0
≥
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃
x
0
≥
1
，使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
，
故选：
D
．
4
．
a
＝
log
，
b
＝
log
，
c
＝（），则（ ）
A
．
a
＜
c
＜
b
B
．
c
＜
a
＜
b
C
．
c
＜
b
＜
a
D
．
a
＜
b
＜
c
解：
a
＝＝
log
2
3
，
∵
1
＝
log
2
2
＜
log
2
3
＜
log
2
4
＝
2
，∴
1
＜
a
＜
2
，
∵
b
＝
log
＝
log
2
5
＞
log
2
4
＝
2
，∴
b
＞
2
，
- 5 -
∵
c
＝（）＝
∴
b
＞
a
＞
c
，
故选：
B
．
＜
1
，
5
．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明．相传
是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理．我国古代称短直角边为“勾”，长直角边
为“股”，斜边为“弦”．西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯
学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为
1
的勾股数：如
3
，
4
，
5
；
5
，
12
，
13
；
7
，
24
，
25
；
9
，
40
，
41
；…，如设勾为
2n+1
（
n
＝
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，……），则弦为（ ）
A
．
2n
2
﹣
2n+1
B
．
4n
2
+1
C
．
2n
2
+2n
D
．
2n
2
+2n+1
解：设斜边（弦）为
x
，则股为
x
﹣
1
，
∴
x
2
＝（
2n+1
）
2
+
（
x
﹣
1
）
2
，解答
x
＝
2n
2
+2n+1
，
故选：
D
．
6
．曲线
x
2
+y
2
﹣
2x+4y
﹣
20
＝
0
上的点到直线
3x
﹣
4y+19
＝
0
的最大距离为（ ）
A
．
10
B
．
11
C
．
12
D
．
13
解：由题意，
x
2
+y
2
﹣
2x+4y
﹣
20
＝
0
的圆心（
1
，﹣
2
）半径
5
，
圆心到直线的距离
d
＝＝
6
，
∴圆
x
2
+y
2
﹣
2x+4y
﹣
20
＝
0
上的点到直线
l
的最大距离是
5+6
＝
11
，
故选：
B
．
7
．
0.04
）在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩
z
服从正态分布
N
（
a
，，若
P
（
z
≥
100
）
＝
0.5
，且
P
（
z
≥
120
）＝
0.2
，则
p
（
z
≤
80
）＝（ ）
A
．
0.2
B
．
0.3
C
．
0.35
D
．
0.4
解：由已知得：
a
＝
100
，
由正态分布的性质有：
P
（
z
≥
120
）＝
P
（
z
≤
80
）＝
0.2
．
故选：
A
．
8
．底面为正三角形的直棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
AB
＝
8
，
AA
1
＝
6
，
M
，
N
分别为
AB
，
BC
的中
点，则异面直线
A
1
M
与
B
1
N
所成的角的余弦值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
- 6 -
解：如图，
|
＝（
＝（
＝
＝
36+
＝
28
，
|
＝
||
＝
）•（
＝
2
，
）
）•（）
+
∴异面直线
A
1
M
与
B
1
N
所成的角的余弦值为：
＝
故选：
C
．
．
9
．“喊泉”是一种地下水的声学现象．人们在泉口吼叫或发出其它声音时，声音传入泉洞内
的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌．声音越大，涌起的泉涌越高．已知听到
的声强
m
与标准声调
m
0
（
m
0
约为
10
﹣
12
ω
/m
2
）之比的常用对数称作声强
m
的声强级，记作
l
（贝尔），即
l
＝
lg
．取贝尔的
15
倍作为响度的常用单位，简称分贝．已知某处喊泉的
声音响度
y
（分贝）与喷出的泉水高度
x
（
m
）满足关系式
y
＝
3x
，现知甲同学大喝一声激
起的涌泉高度为
60m
．若甲同学大喝一声声强大约相当于
10
个乙同学同时大喝一声的声强，
则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为（ ）
A
．
40m
B
．
45m
＝
3x
，
C
．
50m
D
．
55m
解：由题意可知
y
＝
15lg
∴
x
＝
5lg
∴
，又
x
甲
＝
60
，
＝
12
，
，
而乙的声强为甲的
- 7 -
∴
x
乙
＝
5lg
故选：
D
．
＝
60
﹣
5
＝
55m
，
10
．将函数
f
（
x
）＝
sin
ω
x
（
cos
ω
x
﹣
sin
ω
x
）
+1
（ω＞
0
）的图象上所有点的横坐标扩大为原来
的
2
倍得
y
＝
g
（
x
）的图象，若
g
（
x
）在
[
A
．
0
＜ω≤
2
B
．＜ω≤
2
，
]
上单调递减，
则ω的取值范围为（ ）
C
．≤ω≤
D
．＜ω≤
2
＝
解：由题意知
f
（
x
）＝
sin
ω
x
•
co
ω
x
﹣
sin
2
ω
x+1
＝
，
∴
令
∵
g
（
x
）在
[
，则
，
]
上单调递减，
，
，
∴
k
∈
Z
，
∴
当
k
＝
0
时，
当
k
＝
1
时，
∴
故选：
C
．
11
．已知椭圆
T
：
，
，
且ω＞
0
，
，不成立，舍，
＝
1
（
a
＞
3
）的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，若椭圆
T
上存在四个点
P
i
（
i
＝
1
，
2
，
3
，
4
）使得△
P
i
F
1
F
2
的面积为
9
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A
．（
0
，
]
B
．（，
1
）
C
．（，）
D
．（，
1
）
解：当
c
为定值时，
P
为椭圆短轴的端点时，三角形
PF
1
F
2
的面积最大，
∵
b
＝
3
，∴
此时仅有两个
P
使得
，即
c
＝
3
．
，椭圆的离心率为，
- 8 -
当
c
越大时，以原点为圆心，以
c
为半径的圆必与椭圆相交，且有四个交点满足题意，
此时椭圆越扁，离心率越大，
∴＜
e
＜
1
，
故选：
B
．
12
．已知锐角△
ABC
的角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
asinA
＝
b
（
sinB+sinC
），则
的取值范围为（ ）
A
．（
0
，
1
）
B
．（
1
，）
C
．（）
D
．
[1
，
]
解：因为
asinA
＝
b
（
sinB+sinC
），
由正弦定理可得
a
2
＝
b
2
+bc
，显然
a
＞
b
，
A
＞
B
，
可得
cosA
＝
由
cosA
＝
＝＝＞
0
，
，可得
2bcosA
＝
c
﹣
b
，可得
2sinBcosA
＝
sinC
﹣
sinB
＝
sin
（
A+B
）﹣
sinB
，
所以
sin
（
A
﹣
B
）＝
sinB
，
由
A
，
B
，
C
为锐角，
所以
A
﹣
B
＝
B
，
A
＝
2B
，
C
＝π﹣
A
﹣
B
＝π﹣
3B
，
所以
0
＜
2B
＜
所以
故选：
C
．
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
13
．已知角α的顶点为原点，始边为
x
的正半轴，其终边上一点的坐标为（﹣
1
，
2
），则
cos
2
α
﹣
sin2
α＝
1
．
解：依题意有，
cos
α＝﹣，
，
0
＜π﹣
3B
＜
＝
，可得
＝
2cosB
∈（
＜
B
＜
，
，可得
cosB
∈（
）．
，），
- 9 -
2024年4月6日发(作者：邝博瀚)
2021
年新疆慕华优策高考数学第三次联考试卷（理科）
一、选择题（共
12
小题）
.
1
．已知集合
A
＝
{x|2x
﹣
8
＜
2
﹣
3x}
，
B
＝
{x|x
2
﹣
4x+3
＜
0}
，则
A
∪
B
＝（ ）
A
．（
1
，
2
）
B
．（
2
，
3
）
C
．（﹣∞，
3
）
D
．（
1
，
3
）
2
．若复数
z
满足
z
（
1
﹣
i
）
2022
＝（
2i
）
2022
，则
|z|
＝（ ）
A
．
1
B
．
2
2022
C
．
2
1011
D
．
2
﹣
1011
3
．命题“
x
≥
1
，都有
lnx+x
﹣
1
≥
0
”的否定是（ ）
A
．
x
≥
1
，都有
lnx+x
﹣
1
＜
0
C
．∃
x
0
≥
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
≥
0
4
．
a
＝
log
，
b
＝
log
B
．∃
x
0
＜
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
D
．∃
x
0
≥
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
，
c
＝（），则（ ）
B
．
c
＜
a
＜
b
C
．
c
＜
b
＜
a
D
．
a
＜
b
＜
c
A
．
a
＜
c
＜
b
5
．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明．相传
是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理．我国古代称短直角边为“勾”，长直角边
为“股”，斜边为“弦”．西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯
学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为
1
的勾股数：如
3
，
4
，
5
；
5
，
12
，
13
；
7
，
24
，
25
；
9
，
40
，
41
；…，如设勾为
2n+1
（
n
＝
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，……），则弦为（ ）
A
．
2n
2
﹣
2n+1
B
．
4n
2
+1
C
．
2n
2
+2n
D
．
2n
2
+2n+1
6
．曲线
x
2
+y
2
﹣
2x+4y
﹣
20
＝
0
上的点到直线
3x
﹣
4y+19
＝
0
的最大距离为（ ）
A
．
10
B
．
11
C
．
12
D
．
13
7
．
0.04
）在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩
z
服从正态分布
N
（
a
，，若
P
（
z
≥
100
）
＝
0.5
，且
P
（
z
≥
120
）＝
0.2
，则
p
（
z
≤
80
）＝（ ）
A
．
0.2
B
．
0.3
C
．
0.35
D
．
0.4
8
．底面为正三角形的直棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
AB
＝
8
，
AA
1
＝
6
，
M
，
N
分别为
AB
，
BC
的中
点，则异面直线
A
1
M
与
B
1
N
所成的角的余弦值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．“喊泉”是一种地下水的声学现象．人们在泉口吼叫或发出其它声音时，声音传入泉洞内
的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌．声音越大，涌起的泉涌越高．已知听到
的声强
m
与标准声调
m
0
（
m
0
约为
10
﹣
12
ω
/m
2
）之比的常用对数称作声强
m
的声强级，记作
- 1 -
l
（贝尔），即
l
＝
lg
．取贝尔的
15
倍作为响度的常用单位，简称分贝．已知某处喊泉的
声音响度
y
（分贝）与喷出的泉水高度
x
（
m
）满足关系式
y
＝
3x
，现知甲同学大喝一声激
起的涌泉高度为
60m
．若甲同学大喝一声声强大约相当于
10
个乙同学同时大喝一声的声强，
则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为（ ）
A
．
40m
B
．
45m
C
．
50m
D
．
55m
10
．将函数
f
（
x
）＝
sin
ω
x
（
cos
ω
x
﹣
sin
ω
x
）
+1
（ω＞
0
）的图象上所有点的横坐标扩大为原来
的
2
倍得
y
＝
g
（
x
）的图象，若
g
（
x
）在
[
A
．
0
＜ω≤
2
B
．＜ω≤
2
，
]
上单调递减，
则ω的取值范围为（ ）
C
．≤ω≤
D
．＜ω≤
2
11
．已知椭圆
T
：＝
1
（
a
＞
3
）的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，若椭圆
T
上存在四个点
P
i
（
i
＝
1
，
2
，
3
，
4
）使得△
P
i
F
1
F
2
的面积为
9
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A
．（
0
，
]
B
．（，
1
）
C
．（，）
D
．（，
1
）
12
．已知锐角△
ABC
的角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
asinA
＝
b
（
sinB+sinC
），则
的取值范围为（ ）
A
．（
0
，
1
）
B
．（
1
，）
C
．（）
D
．
[1
，
]
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
13
．已知角α的顶点为原点，始边为
x
的正半轴，其终边上一点的坐标为（﹣
1
，
2
），则
cos
2
α
﹣
sin2
α＝
．
14
．已知向量＝（
1
，），
||
＝
2
，与夹角为，则
+
与
2
的夹角的余弦值
为
．
15
．学校举行秋季运动会，高二（
6
）班选出
5
人参加跳高、跳远、跳绳、
100m
短跑四个项目
比赛，每个项目都要有同学参加，且每个同学只参加一项比赛，则同学甲不参加跳高比赛
的安排方法种数为
．
﹣
16
．
+
∞）
不等式
x
1
a
e
x
﹣
alnx
≥
0
对任意
x
∈（
1
，恒成立，则正实数
a
的取值范围为
．
三、解答题：共
70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17
～
21
题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共
60
分．
17
．已知数列
{a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，前
n
项和为
S
n
，
S
9
＝
144
，
a
3
是
a
1
与
a
8
的等比中
- 2 -
项．
（
1
）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（
2
）数列
{b
n
}
满足
+log
2
b
n
＝
0
，若
c
n
＝
a
n
b
n
，求数列
{c
n
}
前
n
项和为
T
n
．
18
．如图（
1
），平面四边形
ABDC
中，∠
ABC
＝∠
D
＝
90
°，
AB
＝
BC
＝
2
，
CD
＝
1
，将△
ABC
沿
BC
边折起如图（
2
），使
____
，点
M
，
N
分别为
AC
，
AD
中点．在题目横线上选择下述
其中一个条件，然后解答此题．①
AD
＝
ABC
⊥平面
BCD
．
（
1
）判断直线
MN
与平面
ABD
的位置关系，并说明理由；
（
2
）求二面角
A
﹣
MN
﹣
B
的正弦值．
．②
AC
为四面体
ABDC
外接球的直径．③平面
19
．元旦期间某牛奶公司做促销活动．一箱某品牌牛奶
12
盒，每盒牛奶可以参与刮奖中奖得
现金活动，但其中只有一些中奖．已知购买一盒牛奶需要
5
元，若有中奖，则每次中奖可
以获得代金券
8
元（可即中即用）．顾客可以在一箱牛奶中先购买
4
盒，然后根据这
4
盒
牛奶中奖结果决定是否购买余下
8
盒．设每盒牛奶中奖概率为
p
（
0
＜
p
＜
1
），且每盒牛奶
是否中奖相互独立．
（
1
）若
p
＝，顾客先购买
4
盒牛奶，求该顾客至少有一盒中奖的概率．
（
2
）设先购买的
4
盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为
p
0
，以
p
0
为
p
值．某顾客认为如
果中奖后售价不超过原来售价的四折（即
40%
）便可以购买如下的
8
盒牛奶，据此，请你
判断该顾客是否可以购买余下的
8
盒牛奶．
20
．已知定点
O
2
（
2
，
0
），点
P
为圆
O
1
：（
x+2
）
2
+y
2
＝
32
（
O
1
为圆心）上一动点，线段
O
2
P
的垂直平分线与直线
O
1
P
交于点
G
．
（
1
）设点
G
的轨迹为曲线
C
，求曲线
C
的方程；
（
2
）若过点
O
2
且不与
x
轴重合的直线
l
与（
1
）中曲线
C
交于
D
，
E
两点，
M
为线段
DE
的中点，直线
OM
（
O
为原点）与曲线
C
交于
A
，
B
两点，且满足
|MD|
2
＝
|MA|
•
|MB|
，若存
在这样的直线，求出直线
l
的方程，若不存在请说明理由．
- 3 -
21
．记
f
″（
x
）＝（
f
′（
x
））′，
f
′（
x
）为
f
（
x
）的导函数．若对∀
x
∈
D
，
f
″（
x
）＞
0
，
则称函数
y
＝
f
（
x
）为
D
上的“凸函数”．已知函数
f
（
x
）＝
e
x
（
1
）若函数
f
（
x
）为
R
上的凸函数，求
a
的取值范围；
（
2
）若函数
y
＝
f
（
x
）﹣
x
在（
1
，
+
∞）上有极值点，求
a
的取值范围．
（二）选考题：共
10
分．请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分，作答时请用
2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
[4-4
坐标系与参数方程
]
22
．已知在极坐标系中曲线
C
的极坐标方程为ρ＝
（
1
）若曲线
C
为双曲线，求实数
m
的取值范围；
（
2
）以极点为原点，极轴为
x
正半轴建立直角坐标系．当
m
＝﹣
1
时，过点
P
（
0
，
1
）作
直线
l
交曲线
C
于
A
，
B
两点，若
|
[4-5
不等式选讲
]
23
．已知函数
f
（
x
）＝
|2x
﹣
1|
﹣
|ax
﹣
3|
．
（
1
）当
a
＝
2
时，若
f
（
x
）≤
2m
2
﹣
m
﹣
1
对
x
∈
R
恒成立，求实数
m
的取值范围；
（
2
）关于
x
的不等式
f
（
x
）≥
3x
﹣
3
在
x
∈
[1
，
2]
上有解，求实数
a
的取值范围．
|
＝
4
，求直线
l
的倾斜角．
．
x
3
﹣
ax
2
﹣
1
，
a
∈
R
．
- 4 -
参考答案
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1
．已知集合
A
＝
{x|2x
﹣
8
＜
2
﹣
3x}
，
B
＝
{x|x
2
﹣
4x+3
＜
0}
，则
A
∪
B
＝（ ）
A
．（
1
，
2
）
B
．（
2
，
3
）
C
．（﹣∞，
3
）
D
．（
1
，
3
）
解：∵
2x
﹣
8
＜
2
﹣
3x
，∴
x
＜
2
，∴
A
＝（﹣∞，
2
），
∵
x
2
﹣
4x+3
＜
0
，∴
1
＜
x
＜
3
，∴
B
＝（
1
，
3
），
∴
A
∪
B
＝（﹣∞，
3
）．
故选：
C
．
2
．若复数
z
满足
z
（
1
﹣
i
）
2022
＝（
2i
）
2022
，则
|z|
＝（ ）
A
．
1
B
．
2
2022
C
．
2
1011
D
．
2
﹣
1011
解：∵
z
（
1
﹣
i
）
2022
＝（
2i
）
2022
，
∴
z
＝＝（﹣
1+i
）
2022
，
∴
|z|
＝＝
2
1011
，
故选：
C
．
3
．命题“
x
≥
1
，都有
lnx+x
﹣
1
≥
0
”的否定是（ ）
A
．
x
≥
1
，都有
lnx+x
﹣
1
＜
0
B
．∃
x
0
＜
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
C
．∃
x
0
≥
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
≥
0
D
．∃
x
0
≥
1
使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃
x
0
≥
1
，使得
lnx
0
+x
0
﹣
1
＜
0
，
故选：
D
．
4
．
a
＝
log
，
b
＝
log
，
c
＝（），则（ ）
A
．
a
＜
c
＜
b
B
．
c
＜
a
＜
b
C
．
c
＜
b
＜
a
D
．
a
＜
b
＜
c
解：
a
＝＝
log
2
3
，
∵
1
＝
log
2
2
＜
log
2
3
＜
log
2
4
＝
2
，∴
1
＜
a
＜
2
，
∵
b
＝
log
＝
log
2
5
＞
log
2
4
＝
2
，∴
b
＞
2
，
- 5 -
∵
c
＝（）＝
∴
b
＞
a
＞
c
，
故选：
B
．
＜
1
，
5
．勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明．相传
是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理．我国古代称短直角边为“勾”，长直角边
为“股”，斜边为“弦”．西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理．毕达哥拉斯
学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为
1
的勾股数：如
3
，
4
，
5
；
5
，
12
，
13
；
7
，
24
，
25
；
9
，
40
，
41
；…，如设勾为
2n+1
（
n
＝
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，……），则弦为（ ）
A
．
2n
2
﹣
2n+1
B
．
4n
2
+1
C
．
2n
2
+2n
D
．
2n
2
+2n+1
解：设斜边（弦）为
x
，则股为
x
﹣
1
，
∴
x
2
＝（
2n+1
）
2
+
（
x
﹣
1
）
2
，解答
x
＝
2n
2
+2n+1
，
故选：
D
．
6
．曲线
x
2
+y
2
﹣
2x+4y
﹣
20
＝
0
上的点到直线
3x
﹣
4y+19
＝
0
的最大距离为（ ）
A
．
10
B
．
11
C
．
12
D
．
13
解：由题意，
x
2
+y
2
﹣
2x+4y
﹣
20
＝
0
的圆心（
1
，﹣
2
）半径
5
，
圆心到直线的距离
d
＝＝
6
，
∴圆
x
2
+y
2
﹣
2x+4y
﹣
20
＝
0
上的点到直线
l
的最大距离是
5+6
＝
11
，
故选：
B
．
7
．
0.04
）在一次期中考试中某校高三年级学生数学成绩
z
服从正态分布
N
（
a
，，若
P
（
z
≥
100
）
＝
0.5
，且
P
（
z
≥
120
）＝
0.2
，则
p
（
z
≤
80
）＝（ ）
A
．
0.2
B
．
0.3
C
．
0.35
D
．
0.4
解：由已知得：
a
＝
100
，
由正态分布的性质有：
P
（
z
≥
120
）＝
P
（
z
≤
80
）＝
0.2
．
故选：
A
．
8
．底面为正三角形的直棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
AB
＝
8
，
AA
1
＝
6
，
M
，
N
分别为
AB
，
BC
的中
点，则异面直线
A
1
M
与
B
1
N
所成的角的余弦值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
- 6 -
解：如图，
|
＝（
＝（
＝
＝
36+
＝
28
，
|
＝
||
＝
）•（
＝
2
，
）
）•（）
+
∴异面直线
A
1
M
与
B
1
N
所成的角的余弦值为：
＝
故选：
C
．
．
9
．“喊泉”是一种地下水的声学现象．人们在泉口吼叫或发出其它声音时，声音传入泉洞内
的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌．声音越大，涌起的泉涌越高．已知听到
的声强
m
与标准声调
m
0
（
m
0
约为
10
﹣
12
ω
/m
2
）之比的常用对数称作声强
m
的声强级，记作
l
（贝尔），即
l
＝
lg
．取贝尔的
15
倍作为响度的常用单位，简称分贝．已知某处喊泉的
声音响度
y
（分贝）与喷出的泉水高度
x
（
m
）满足关系式
y
＝
3x
，现知甲同学大喝一声激
起的涌泉高度为
60m
．若甲同学大喝一声声强大约相当于
10
个乙同学同时大喝一声的声强，
则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为（ ）
A
．
40m
B
．
45m
＝
3x
，
C
．
50m
D
．
55m
解：由题意可知
y
＝
15lg
∴
x
＝
5lg
∴
，又
x
甲
＝
60
，
＝
12
，
，
而乙的声强为甲的
- 7 -
∴
x
乙
＝
5lg
故选：
D
．
＝
60
﹣
5
＝
55m
，
10
．将函数
f
（
x
）＝
sin
ω
x
（
cos
ω
x
﹣
sin
ω
x
）
+1
（ω＞
0
）的图象上所有点的横坐标扩大为原来
的
2
倍得
y
＝
g
（
x
）的图象，若
g
（
x
）在
[
A
．
0
＜ω≤
2
B
．＜ω≤
2
，
]
上单调递减，
则ω的取值范围为（ ）
C
．≤ω≤
D
．＜ω≤
2
＝
解：由题意知
f
（
x
）＝
sin
ω
x
•
co
ω
x
﹣
sin
2
ω
x+1
＝
，
∴
令
∵
g
（
x
）在
[
，则
，
]
上单调递减，
，
，
∴
k
∈
Z
，
∴
当
k
＝
0
时，
当
k
＝
1
时，
∴
故选：
C
．
11
．已知椭圆
T
：
，
，
且ω＞
0
，
，不成立，舍，
＝
1
（
a
＞
3
）的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，若椭圆
T
上存在四个点
P
i
（
i
＝
1
，
2
，
3
，
4
）使得△
P
i
F
1
F
2
的面积为
9
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A
．（
0
，
]
B
．（，
1
）
C
．（，）
D
．（，
1
）
解：当
c
为定值时，
P
为椭圆短轴的端点时，三角形
PF
1
F
2
的面积最大，
∵
b
＝
3
，∴
此时仅有两个
P
使得
，即
c
＝
3
．
，椭圆的离心率为，
- 8 -
当
c
越大时，以原点为圆心，以
c
为半径的圆必与椭圆相交，且有四个交点满足题意，
此时椭圆越扁，离心率越大，
∴＜
e
＜
1
，
故选：
B
．
12
．已知锐角△
ABC
的角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
asinA
＝
b
（
sinB+sinC
），则
的取值范围为（ ）
A
．（
0
，
1
）
B
．（
1
，）
C
．（）
D
．
[1
，
]
解：因为
asinA
＝
b
（
sinB+sinC
），
由正弦定理可得
a
2
＝
b
2
+bc
，显然
a
＞
b
，
A
＞
B
，
可得
cosA
＝
由
cosA
＝
＝＝＞
0
，
，可得
2bcosA
＝
c
﹣
b
，可得
2sinBcosA
＝
sinC
﹣
sinB
＝
sin
（
A+B
）﹣
sinB
，
所以
sin
（
A
﹣
B
）＝
sinB
，
由
A
，
B
，
C
为锐角，
所以
A
﹣
B
＝
B
，
A
＝
2B
，
C
＝π﹣
A
﹣
B
＝π﹣
3B
，
所以
0
＜
2B
＜
所以
故选：
C
．
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
13
．已知角α的顶点为原点，始边为
x
的正半轴，其终边上一点的坐标为（﹣
1
，
2
），则
cos
2
α
﹣
sin2
α＝
1
．
解：依题意有，
cos
α＝﹣，
，
0
＜π﹣
3B
＜
＝
，可得
＝
2cosB
∈（
＜
B
＜
，
，可得
cosB
∈（
）．
，），
- 9 -