2024年4月7日发(作者：戈依波)

教 案

课题

名称

6.4 MATLAB 符 号 计 算

应

知

应

会

重

点

难

点

进 度

时 数

2

教

学

目

标

简单了解MATLAB符号表达式的基本运算函数和化简函数及替

换函数。

会运用Matlab求符号微积分、符号方程、及级数

MATLAB的符号微积分和符号方程求解

MATLAB的泰勒级数

讲授

教学

教学

资源

内

教材、网上资源

容

教

具

投影仪

时间分配

10’

5’

5’

5’

5’

5’

10’

10’

10’

10’

10’

5’

教

材

分

析

教学方

法

一、

符号对象

1、创建符号变量和符号矩阵

2、符号表达式的基本运算函数

3、符号表达式的化简函数

4、符号表达式的替换函数

二、符号微积分

1、符号极限

2、符号求导

3、符号积分

4、积分变换

三、符号方程求解

1、代数方程

2、符号微分方程求解

四、级数

1、级数的符号求和

2、函数的泰勒级数

作业

教

学

后

记

1

内容 备 注

6.4 MATLAB 符 号 计 算

一、符号对象

1、创建符号变量和符号矩阵

MATLAB的符号数学工具箱提供了两个sym和syms基本函数，用来创建

符号变量和符号矩阵。

 函数sym的调用格式为：

符号变量名=sym（‘表达式’）

说明：函数sym可创建一个符号变量，表达式可以是字符、字符串、数学

表达式或字符表达式等。

 函数syms的调用格式：

syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名3 …

说明：函数syms可一次创建多个符号变量。

例6.25创建符号变量。

>> a=sym('matlab')

a =

matlab

>> b=sym('3*x^2+4*x+7')

b =

3*x^2+4*x+7

在工作空间浏览器上可以看到A、B、C三个符号变量。使用sym函数和

syms函数也可以创建符号矩阵。符号矩阵是一个数组，它的元素是符号表达式。

MATLAB在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别；否

则，这些符号表达式几乎完全像基本的MATLAB命令。

例6.26 创建符号矩阵。

>> e=[1 3 5;2 4 6;7 9 11]; %建立数值矩阵

>> m=sym(e) %创建符号矩阵

m =

[ 1, 3, 5]

[ 2, 4, 6]

[ 7, 9, 11]

在命令窗口的显示中，数值矩阵只显示元素的数值，而符号矩阵的每行元

2

素放在一对方括号内；在工作空间窗口显示的变量图标两者也不同，数值矩阵

的图标为 ，符号矩阵（也称为符号对象）的图标为 ，二者很容易区分。

2、符号表达式的基本运算函数

符号表达式的运算与普通数值运算的方式不同，它的运算结果是符号表达

式或符号矩阵。在MATLAB运算中，浮点运算速度最快，而符号计算占用时

间和内存都比较多，但它的计算结果最精确。在默认情况下，当用函数sym生

成符号变量后，MATLAB将对这些变量进行符号计算。在MATLAB符号计算

工具箱中提供来了很多函数用于符号计算。下面将介绍一些常用的符号运算函

数，如表6-6所示。

表6-6 常用的符号函数

函数格式

symadd(S

1

，S

2

)

symsub(S

1

，S

2

)

symmul(S

1

，S

2

)

symdiv(S

1

，S

2

)

sympow(S，p)

说明

符号表达式S

1

加上符号表达式S

2

符号表达式S

1

减去符号表达式S

2

符号表达式S

1

乘上符号表达式S

2

符号表达式S

1

除符号表达式S

2

符号表达式S

1

的p次幂，p可以是表达式

例6.27 计算表达式x

3

-1与表达式x-1的和、差、积、商和乘方。

>> syms x

>> s1=x^3-1;

>> s2=x-1;

>> symadd(s1,s2)

ans =

x^3-2+x

>> symsub(s1,s2)

ans =

x^3-x

>> symmul(s1,s2)

ans =

(x^3-1)*(x-1)

>> symdiv(s1,s2)

ans =

(x^3-1)/(x-1)

>> sympow(s1,s2)

ans =

3

(x^3-1)^(x-1)

3、符号表达式的化简函数

符号数学工具箱提供了符号表达式的因式分解、展开、合并、化简、通分

等函数，见表6-7所示。

表6-7 符号表达式的化简函数

函数格式

collect(s，x)

expand(s)

factor(s)

numden(s)

说明

合并自变量x的同幂系数

符号表达式s的展开

因式分解

符号表达式s的分式通分

3

函数格式

simple(s)

simplify(s)

radsimp(s)

horner(s)

说明

寻找表达式的最简型

符号表达式的化简

对含根式的表达式s化简

符号表达式s的嵌套形式

例6.28 对表达式

fx1

进行因式分解。

>> syms x %在命令窗口创建符号变量x

>> f=factor(x^3-1)

f =

(x-1)*(x^2+x+1)

例6.29 展开三角表达式sin(a+b)。

>> s=sym('sin(a+b)'); %用sym函数创建符号变量

>> expand(s)

ans =

sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

例6.30化简分式(4x

2

+8x+3)/(2x+1)。

>> syms x

>> s=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1);

>> simplify(s)

ans =

2*x+3

4、符号表达式的替换函数

MATLAB的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和

subs，可以通过符号替换使表达式的输出形式化简，得到一个简单的表达式。

 函数Subexpr的调用格式为：

[R，SYM]=subexpr(S，SYM)

说明：此函数用变量SYM（字符或字符串）的值代替符号表达式S中重复出现

4

的字符串，R是返回替换后的结果。

 函数subs的调用格式：

R=subs(S，old，new)

说明：该函数是用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的变量old，

R是替换后的符号表达式。需要注意的，当变量new是数值形式时，显示的结

果虽然是数值，但它事实上是符号变量。要强制地求值需要用vpa函数。

3x

3

x

2

1

例6.31 求表达式在x=1时的代数值。

x

2

1

>>clear

>>clc

>> syms x

>> s=(3*x^3+x^2-1)/(x^2+1);

>> r=subs(s,'x','1')

r =

(3*(1)^3+(1)^2-1)/((1)^2+1)

>> vpa(r) %强制求值

ans =

1.5000000

二、符号微积分

1、符号极限

极限是微积分的基础，在MATLAB中，极限的求解是由limit函数实现的，

其主要格式如表6-8所示。

表6-8 符号极限的函数格式

函数格式

limit(s)

limit(s，a)

limit(s，x，a)

limit(s，x，a，‘right’)

limit(F，x，a，‘left’)

说明

s为符号表达式。在系统默认表达式中的自变量趋向于0时的极限。

a为常数。计算符号表达式s中由默认自变量趋向于a条件下的极限。

计算符号表达式s在x趋向于a条件下的极限。

计算符号表达式s在x趋向于a条件下的右极限

计算符号表达式s在x趋向于a条件下左的极限

x

sin(x)

11



1



例6.32 分别计算表达式

lim

、

lim

、

lim

、

lim



1



和

x0



x

x0



x

x0

x





x

x



5

x0



x

lim

e

。

先在命令窗口创建符号变量a和x，再分别计算上面各表达式的极限。

>>clear

>>clc

>> syms x a;

>> limit(1/x,x,0, 'right')

ans =

inf

>> limit(1/x,x,0, 'left' )

ans =

-inf

>> limit (sin(x)/x)

ans =

1

>> limit((1+1/x)^x,x,inf,'left')

ans =

exp(1)

>> limit(exp(-x),x,0,'left')

ans =

1

2、符号求导

在符号数学工具箱中，表达式的导数由函数diff实现,其调用格式为:

diff(s，x，n)

说明：其中s为符号表达式，x为自变量，n为求导的阶数。

例6.33 分别计算表达式x

5

的一阶导数和三阶导数。

>>clear

>>clc

>> syms x

>> diff(x^5)

ans =

5*x^4

>> diff(x^5,3)

ans =

60*x^2

3、符号积分

6

积分算法是非结构性的，许多函数的原函数存在，但不可用有限解析式表

达式表示，即使可以求积分的函数，其求积分过程也可能很复杂，但利用

MATLAB求积分就非常容易。在MATLAB的符号数学工具箱中，表达式的积

分由函数int实现，该函数可求不定积分和定积分，其调用格式如表6-9所示。

表6-9 符号积分的函数格式

函数格式

int(s)

int(s，x)

int(s，a，b)

int(s，x，a，b)

说明

求符号表达式s对于默认自变量的不定积分。

求符号表达式s对于自变量x的不定积分

求符号表达式s对于默认自变量从a到b的定积分。

求符号表达式s对于自变量x从a到b的定积分。

例6.34 分别计算下列表达式的积分：

2

3

x

x

x

dx

dy

（4）



dx

（3）



（1）



(43x)dx

（2）



1

x2

xy

xy

22

在命令窗口创建符号变量x和y，分别计算上面各表达式的积分。

>>clear

>>clc

>> syms x y

>> s=(4-3*x^2)^2;

>> int(s)

ans =

9/5*x^5-8*x^3+16*x

>> int(x/(x+y),x)

ans =

x-y*log(x+y)

>> int(x/(x+y),y)

ans =

x*log(x+y)

>> int(x^2/(x+2),x,1,3)

ans =

4*log(5)-4*log(3)

>> double(ans)

ans =

2.0433

4、积分变换

积分变换就是通过积分运算把一个函数f（原函数）变成另外一个函数F

7

（像函数）。变化的过程是：

F(t)



f(x)K(x,t)dx

a

b

其中二元函数

K(x,t)

称为变换的核，变换的核决定了变换的不同名称。在

一定的条件下原函数和像函数之间是一一对应的，可以相互转化。积分变换的

意义是换一个角度来认识函数，积分变换的一项基本应用是解微分方程，求解

过程是基于这样一种想法：假如不容易从原方程直接求得解f，则对原方程进

行变换，如果能从变换后的方程中求得解F，则对F进行逆变换，即可求得原

方程的解f，当然，在选择变换的核时，应该使得变换以后的方程比原方程容

易求解。MATLAB提供的变换函数如表6-10所示。

表6-10 常用的积分变换函数

函数名称 函数格式

fourier(fx，x，t)

傅立叶变换

ifourier(Fw，t，x) Fw为函数F(t)的符号表达式、t为自变量、x为原函数f(x)

的自变量。结果为函数F(t)的傅立叶原函数f(x)

拉普拉斯变换

laplace(fx，x，t)

ilaplace(Fw，t，x)

Z变换

ztrans(fx，x，t)

iztrans(Fw，t，x)

2

说明

Fx为函数f(x)的符号表达式、x为自变量、t像函数F(t)

的自变量。结果为函数f(x)的傅立叶像函数F(t)

结果为函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)

结果为函数F(t)的拉普拉斯原函数f(x)

结果为函数f(x)的Z变换像函数F(t)

结果为函数F(t)的Z变换原函数f(x)

例6.35 求函数

ye

x

的傅立叶变换及其逆变换。

>> syms x t

>> y=exp(-x^2);

>> Ft=fourier(y,x,t) %傅立叶变换

Ft =

pi^(1/2)*exp(-1/4*t^2)

>> fx=ifourier(Ft,t,x) %傅立叶逆变换

fx =

1/2*4^(1/2)*exp(-x^2)

三、符号方程求解

1、代数方程

代数方程是指未涉及微积分运算的方程，相对比较简单。在MATLAB符号数

8

学工具箱中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用

格式如表6-11所示。

表6-11 符号方程的函数

函数格式

solve(s)

solve(s，x)

solve(s

1

,s

2,

…s

n

，x

1

,x

2

,...x

n

)

说明

求解符号表达式s=0的代数方程，自变量为默认自变量

求解符号表达式s=0的代数方程，自变量为x

求解由符号表达式s

1

,s

2,

…s

n

组成的代数方程组，自变量分别为x

1

,x

2

,...x

n

例6.36 分别求解代数方程ax

2

+bx+c=0。

在命令窗口创建符号变量a、b、c和x。

>>clear

>>clc

>> syms a b c x

>> s=a*x^2+b*x+c;

>> solve(s)

ans =

[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]

[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]

例6.37 求解代数方程组：



2x

2

y

2

3z4



xz3





x2y3z



在命令窗口创建符号变量x、y、z，求解方程组。

>> syms x y z

>> s1=2*x^2+y^2-3*z-4;

>> s2=y+z-3;

>> s3=x-2*y-3*z;

>> [x,y,z]=solve(s1,s2,s3)

x =

[ 7/2+1/6*i*699^(1/2)]

[ 7/2-1/6*i*699^(1/2)]

y =

[ 11/2-1/6*i*699^(1/2)]

[ 11/2+1/6*i*699^(1/2)]

z =

[ -5/2+1/6*i*699^(1/2)]

9

[ -5/2-1/6*i*699^(1/2)]

2、符号微分方程求解

在MATLAB中，用大写字母D来表示微分方程的导数。例如：Dy表示

y



，

D2y表示

y



。D2y+Dy+x-10=0表示微分方程

y



y



x100

。Dy(0)=3

表示

y



(0)3

。

在符号数学工具箱中，求解表达式微分方程的符号解由函数dsolve实现，其调

用格式为：

 r=dsolve(‘eq’,‘cond’, ‘var’)

说明：式中eq代表常微分方程，cond代表常微分方程的边界条件或初始

条件，var代表自变量，缺省是按系统默认原则处理。该函数可求解微分方程

的特解。

 r=dsolve(‘eq1’, ‘eq2’…‘eqN’,‘cond1’, ‘cond2’…‘condN’,

‘var1’…‘varN’)

说明：该函数求解由eq1，eq2，…指定的常微分方程组在条件cond1，

cond2，…,condN下的符号解，若不给出初始条件，则求方程组的通解。var1，…，

varN为求解变量，如果不指定，将为默认自变量。

dyt

2

y

2



例6.38 求微分方程的通解。

dt

2t

2

在命令窗口分别输入表达式，求解方程。

>> y=dsolve('Dy-(t^2+y^2)/t^2/2','t') %方程右端的零可以不写

y =

t*(-log(t)+2+C1)/(-log(t)+C1) %通解

例6.39 求微分方程

dy

2xy

2

的通解，和当y(0)=1时的特解。

dx

在命令窗口输入表达式，求解方程。

>> y=dsolve('Dy=2*x*y^2','x') %求通解

y =

-1/(x^2-C1)

>> y=dsolve('Dy=2*x*y^2','y(0)=1','x') %求特解

y =

-1/(x^2-1)

10

四、级数

1、级数的符号求和

数值级数和函数级数是高等数学的重点研究内容，也是物理学以及其他工

程技术学科的重要理论基础和分析工具。在MATLAB符号数学工具中，级数表

达式的求和由函数symsum实现，其调用格式如表6-12。

表6-12 级数求和函数

函数格式

symsum(S)

symsum(S，x)

symsum(S，a，b)

symsum(S，x，a，b)

说明

计算符号表达式S（表示级数的通项）对于默认自变量的不定和。

计算符号表达式S对于自变量x的不定和。

计算符号表达式S对于默认自变量从a到b的有限和。

计算符号表达式S对于自变量x从a到b的有限和。

10

x

k

例6.40 分别计算表达式



k

、



(k3)

、



。

k1

k

0

2



在命令窗口创建符号变量k和x，分别计算上面各表达式。

>>clear

>>clc

>> syms x k

>> symsum(k)

ans =

1/2*k^2-1/2*k

>> symsum(k^2-3,0,10)

ans =

352

>> symsum(x^k/k,k,1,inf)

ans =

-log(1-x)

2、函数的泰勒级数

泰勒级数可以将一个任意函数表示为一个幂级数，并且，在许多情况下，

只需要取幂级数的前有限项来表示该函数，这对于大多数工程应用问题来说，

精度已经足够。在MATLAB符号数学工具中，表达式的Taylor级数展开由函数

11

taylor实现，其调用格式如表6-13所示。

表6-13 泰勒级数函数格式

函数格式

taylor(s)

taylor(s,n)

taylor(f,n,a)

taylor(f,x,n,a)

说明

计算符号表达式s在默认自变量等于0处的5阶Taylor级数展开式。

计算符号表达式s在默认自变量等于0处的n-1阶Taylor级数展开式。

计算符号表达式s在默认自变量等于a处的n-1阶Taylor级数展开式

计算符号表达式s在自变量x等于a处的n-1阶Taylor级数展开式

1xx

2

例6.41 分别计算表达式的5阶泰勒级数展开式和12阶泰勒级

1xx

2

数展开式。

在命令窗口创建符号变量，分别计算上面各表达式。

>>clear

>>clc

>> syms x

>> s=(1-x+x^2)/(1+x+x^2);

>> taylor(s)

ans =

1-2*x+2*x^2-2*x^4+2*x^5

>> taylor(s,x,12)

ans =

1-2*x+2*x^2-2*x^4+2*x^5-2*x^7+2*x^8-2*x^10+2*x^11

12

2024年4月7日发(作者：戈依波)

教 案

课题

名称

6.4 MATLAB 符 号 计 算

应

知

应

会

重

点

难

点

进 度

时 数

2

教

学

目

标

简单了解MATLAB符号表达式的基本运算函数和化简函数及替

换函数。

会运用Matlab求符号微积分、符号方程、及级数

MATLAB的符号微积分和符号方程求解

MATLAB的泰勒级数

讲授

教学

教学

资源

内

教材、网上资源

容

教

具

投影仪

时间分配

10’

5’

5’

5’

5’

5’

10’

10’

10’

10’

10’

5’

教

材

分

析

教学方

法

一、

符号对象

1、创建符号变量和符号矩阵

2、符号表达式的基本运算函数

3、符号表达式的化简函数

4、符号表达式的替换函数

二、符号微积分

1、符号极限

2、符号求导

3、符号积分

4、积分变换

三、符号方程求解

1、代数方程

2、符号微分方程求解

四、级数

1、级数的符号求和

2、函数的泰勒级数

作业

教

学

后

记

1

内容 备 注

6.4 MATLAB 符 号 计 算

一、符号对象

1、创建符号变量和符号矩阵

MATLAB的符号数学工具箱提供了两个sym和syms基本函数，用来创建

符号变量和符号矩阵。

 函数sym的调用格式为：

符号变量名=sym（‘表达式’）

说明：函数sym可创建一个符号变量，表达式可以是字符、字符串、数学

表达式或字符表达式等。

 函数syms的调用格式：

syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名3 …

说明：函数syms可一次创建多个符号变量。

例6.25创建符号变量。

>> a=sym('matlab')

a =

matlab

>> b=sym('3*x^2+4*x+7')

b =

3*x^2+4*x+7

在工作空间浏览器上可以看到A、B、C三个符号变量。使用sym函数和

syms函数也可以创建符号矩阵。符号矩阵是一个数组，它的元素是符号表达式。

MATLAB在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别；否

则，这些符号表达式几乎完全像基本的MATLAB命令。

例6.26 创建符号矩阵。

>> e=[1 3 5;2 4 6;7 9 11]; %建立数值矩阵

>> m=sym(e) %创建符号矩阵

m =

[ 1, 3, 5]

[ 2, 4, 6]

[ 7, 9, 11]

在命令窗口的显示中，数值矩阵只显示元素的数值，而符号矩阵的每行元

2

素放在一对方括号内；在工作空间窗口显示的变量图标两者也不同，数值矩阵

的图标为 ，符号矩阵（也称为符号对象）的图标为 ，二者很容易区分。

2、符号表达式的基本运算函数

符号表达式的运算与普通数值运算的方式不同，它的运算结果是符号表达

式或符号矩阵。在MATLAB运算中，浮点运算速度最快，而符号计算占用时

间和内存都比较多，但它的计算结果最精确。在默认情况下，当用函数sym生

成符号变量后，MATLAB将对这些变量进行符号计算。在MATLAB符号计算

工具箱中提供来了很多函数用于符号计算。下面将介绍一些常用的符号运算函

数，如表6-6所示。

表6-6 常用的符号函数

函数格式

symadd(S

1

，S

2

)

symsub(S

1

，S

2

)

symmul(S

1

，S

2

)

symdiv(S

1

，S

2

)

sympow(S，p)

说明

符号表达式S

1

加上符号表达式S

2

符号表达式S

1

减去符号表达式S

2

符号表达式S

1

乘上符号表达式S

2

符号表达式S

1

除符号表达式S

2

符号表达式S

1

的p次幂，p可以是表达式

例6.27 计算表达式x

3

-1与表达式x-1的和、差、积、商和乘方。

>> syms x

>> s1=x^3-1;

>> s2=x-1;

>> symadd(s1,s2)

ans =

x^3-2+x

>> symsub(s1,s2)

ans =

x^3-x

>> symmul(s1,s2)

ans =

(x^3-1)*(x-1)

>> symdiv(s1,s2)

ans =

(x^3-1)/(x-1)

>> sympow(s1,s2)

ans =

3

(x^3-1)^(x-1)

3、符号表达式的化简函数

符号数学工具箱提供了符号表达式的因式分解、展开、合并、化简、通分

等函数，见表6-7所示。

表6-7 符号表达式的化简函数

函数格式

collect(s，x)

expand(s)

factor(s)

numden(s)

说明

合并自变量x的同幂系数

符号表达式s的展开

因式分解

符号表达式s的分式通分

3

函数格式

simple(s)

simplify(s)

radsimp(s)

horner(s)

说明

寻找表达式的最简型

符号表达式的化简

对含根式的表达式s化简

符号表达式s的嵌套形式

例6.28 对表达式

fx1

进行因式分解。

>> syms x %在命令窗口创建符号变量x

>> f=factor(x^3-1)

f =

(x-1)*(x^2+x+1)

例6.29 展开三角表达式sin(a+b)。

>> s=sym('sin(a+b)'); %用sym函数创建符号变量

>> expand(s)

ans =

sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

例6.30化简分式(4x

2

+8x+3)/(2x+1)。

>> syms x

>> s=(4*x^2+8*x+3)/(2*x+1);

>> simplify(s)

ans =

2*x+3

4、符号表达式的替换函数

MATLAB的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和

subs，可以通过符号替换使表达式的输出形式化简，得到一个简单的表达式。

 函数Subexpr的调用格式为：

[R，SYM]=subexpr(S，SYM)

说明：此函数用变量SYM（字符或字符串）的值代替符号表达式S中重复出现

4

的字符串，R是返回替换后的结果。

 函数subs的调用格式：

R=subs(S，old，new)

说明：该函数是用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的变量old，

R是替换后的符号表达式。需要注意的，当变量new是数值形式时，显示的结

果虽然是数值，但它事实上是符号变量。要强制地求值需要用vpa函数。

3x

3

x

2

1

例6.31 求表达式在x=1时的代数值。

x

2

1

>>clear

>>clc

>> syms x

>> s=(3*x^3+x^2-1)/(x^2+1);

>> r=subs(s,'x','1')

r =

(3*(1)^3+(1)^2-1)/((1)^2+1)

>> vpa(r) %强制求值

ans =

1.5000000

二、符号微积分

1、符号极限

极限是微积分的基础，在MATLAB中，极限的求解是由limit函数实现的，

其主要格式如表6-8所示。

表6-8 符号极限的函数格式

函数格式

limit(s)

limit(s，a)

limit(s，x，a)

limit(s，x，a，‘right’)

limit(F，x，a，‘left’)

说明

s为符号表达式。在系统默认表达式中的自变量趋向于0时的极限。

a为常数。计算符号表达式s中由默认自变量趋向于a条件下的极限。

计算符号表达式s在x趋向于a条件下的极限。

计算符号表达式s在x趋向于a条件下的右极限

计算符号表达式s在x趋向于a条件下左的极限

x

sin(x)

11



1



例6.32 分别计算表达式

lim

、

lim

、

lim

、

lim



1



和

x0



x

x0



x

x0

x





x

x



5

x0



x

lim

e

。

先在命令窗口创建符号变量a和x，再分别计算上面各表达式的极限。

>>clear

>>clc

>> syms x a;

>> limit(1/x,x,0, 'right')

ans =

inf

>> limit(1/x,x,0, 'left' )

ans =

-inf

>> limit (sin(x)/x)

ans =

1

>> limit((1+1/x)^x,x,inf,'left')

ans =

exp(1)

>> limit(exp(-x),x,0,'left')

ans =

1

2、符号求导

在符号数学工具箱中，表达式的导数由函数diff实现,其调用格式为:

diff(s，x，n)

说明：其中s为符号表达式，x为自变量，n为求导的阶数。

例6.33 分别计算表达式x

5

的一阶导数和三阶导数。

>>clear

>>clc

>> syms x

>> diff(x^5)

ans =

5*x^4

>> diff(x^5,3)

ans =

60*x^2

3、符号积分

6

积分算法是非结构性的，许多函数的原函数存在，但不可用有限解析式表

达式表示，即使可以求积分的函数，其求积分过程也可能很复杂，但利用

MATLAB求积分就非常容易。在MATLAB的符号数学工具箱中，表达式的积

分由函数int实现，该函数可求不定积分和定积分，其调用格式如表6-9所示。

表6-9 符号积分的函数格式

函数格式

int(s)

int(s，x)

int(s，a，b)

int(s，x，a，b)

说明

求符号表达式s对于默认自变量的不定积分。

求符号表达式s对于自变量x的不定积分

求符号表达式s对于默认自变量从a到b的定积分。

求符号表达式s对于自变量x从a到b的定积分。

例6.34 分别计算下列表达式的积分：

2

3

x

x

x

dx

dy

（4）



dx

（3）



（1）



(43x)dx

（2）



1

x2

xy

xy

22

在命令窗口创建符号变量x和y，分别计算上面各表达式的积分。

>>clear

>>clc

>> syms x y

>> s=(4-3*x^2)^2;

>> int(s)

ans =

9/5*x^5-8*x^3+16*x

>> int(x/(x+y),x)

ans =

x-y*log(x+y)

>> int(x/(x+y),y)

ans =

x*log(x+y)

>> int(x^2/(x+2),x,1,3)

ans =

4*log(5)-4*log(3)

>> double(ans)

ans =

2.0433

4、积分变换

积分变换就是通过积分运算把一个函数f（原函数）变成另外一个函数F

7

（像函数）。变化的过程是：

F(t)



f(x)K(x,t)dx

a

b

其中二元函数

K(x,t)

称为变换的核，变换的核决定了变换的不同名称。在

一定的条件下原函数和像函数之间是一一对应的，可以相互转化。积分变换的

意义是换一个角度来认识函数，积分变换的一项基本应用是解微分方程，求解

过程是基于这样一种想法：假如不容易从原方程直接求得解f，则对原方程进

行变换，如果能从变换后的方程中求得解F，则对F进行逆变换，即可求得原

方程的解f，当然，在选择变换的核时，应该使得变换以后的方程比原方程容

易求解。MATLAB提供的变换函数如表6-10所示。

表6-10 常用的积分变换函数

函数名称 函数格式

fourier(fx，x，t)

傅立叶变换

ifourier(Fw，t，x) Fw为函数F(t)的符号表达式、t为自变量、x为原函数f(x)

的自变量。结果为函数F(t)的傅立叶原函数f(x)

拉普拉斯变换

laplace(fx，x，t)

ilaplace(Fw，t，x)

Z变换

ztrans(fx，x，t)

iztrans(Fw，t，x)

2

说明

Fx为函数f(x)的符号表达式、x为自变量、t像函数F(t)

的自变量。结果为函数f(x)的傅立叶像函数F(t)

结果为函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)

结果为函数F(t)的拉普拉斯原函数f(x)

结果为函数f(x)的Z变换像函数F(t)

结果为函数F(t)的Z变换原函数f(x)

例6.35 求函数

ye

x

的傅立叶变换及其逆变换。

>> syms x t

>> y=exp(-x^2);

>> Ft=fourier(y,x,t) %傅立叶变换

Ft =

pi^(1/2)*exp(-1/4*t^2)

>> fx=ifourier(Ft,t,x) %傅立叶逆变换

fx =

1/2*4^(1/2)*exp(-x^2)

三、符号方程求解

1、代数方程

代数方程是指未涉及微积分运算的方程，相对比较简单。在MATLAB符号数

8

学工具箱中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用

格式如表6-11所示。

表6-11 符号方程的函数

函数格式

solve(s)

solve(s，x)

solve(s

1

,s

2,

…s

n

，x

1

,x

2

,...x

n

)

说明

求解符号表达式s=0的代数方程，自变量为默认自变量

求解符号表达式s=0的代数方程，自变量为x

求解由符号表达式s

1

,s

2,

…s

n

组成的代数方程组，自变量分别为x

1

,x

2

,...x

n

例6.36 分别求解代数方程ax

2

+bx+c=0。

在命令窗口创建符号变量a、b、c和x。

>>clear

>>clc

>> syms a b c x

>> s=a*x^2+b*x+c;

>> solve(s)

ans =

[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]

[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]

例6.37 求解代数方程组：



2x

2

y

2

3z4



xz3





x2y3z



在命令窗口创建符号变量x、y、z，求解方程组。

>> syms x y z

>> s1=2*x^2+y^2-3*z-4;

>> s2=y+z-3;

>> s3=x-2*y-3*z;

>> [x,y,z]=solve(s1,s2,s3)

x =

[ 7/2+1/6*i*699^(1/2)]

[ 7/2-1/6*i*699^(1/2)]

y =

[ 11/2-1/6*i*699^(1/2)]

[ 11/2+1/6*i*699^(1/2)]

z =

[ -5/2+1/6*i*699^(1/2)]

9

[ -5/2-1/6*i*699^(1/2)]

2、符号微分方程求解

在MATLAB中，用大写字母D来表示微分方程的导数。例如：Dy表示

y



，

D2y表示

y



。D2y+Dy+x-10=0表示微分方程

y



y



x100

。Dy(0)=3

表示

y



(0)3

。

在符号数学工具箱中，求解表达式微分方程的符号解由函数dsolve实现，其调

用格式为：

 r=dsolve(‘eq’,‘cond’, ‘var’)

说明：式中eq代表常微分方程，cond代表常微分方程的边界条件或初始

条件，var代表自变量，缺省是按系统默认原则处理。该函数可求解微分方程

的特解。

 r=dsolve(‘eq1’, ‘eq2’…‘eqN’,‘cond1’, ‘cond2’…‘condN’,

‘var1’…‘varN’)

说明：该函数求解由eq1，eq2，…指定的常微分方程组在条件cond1，

cond2，…,condN下的符号解，若不给出初始条件，则求方程组的通解。var1，…，

varN为求解变量，如果不指定，将为默认自变量。

dyt

2

y

2



例6.38 求微分方程的通解。

dt

2t

2

在命令窗口分别输入表达式，求解方程。

>> y=dsolve('Dy-(t^2+y^2)/t^2/2','t') %方程右端的零可以不写

y =

t*(-log(t)+2+C1)/(-log(t)+C1) %通解

例6.39 求微分方程

dy

2xy

2

的通解，和当y(0)=1时的特解。

dx

在命令窗口输入表达式，求解方程。

>> y=dsolve('Dy=2*x*y^2','x') %求通解

y =

-1/(x^2-C1)

>> y=dsolve('Dy=2*x*y^2','y(0)=1','x') %求特解

y =

-1/(x^2-1)

10

四、级数

1、级数的符号求和

数值级数和函数级数是高等数学的重点研究内容，也是物理学以及其他工

程技术学科的重要理论基础和分析工具。在MATLAB符号数学工具中，级数表

达式的求和由函数symsum实现，其调用格式如表6-12。

表6-12 级数求和函数

函数格式

symsum(S)

symsum(S，x)

symsum(S，a，b)

symsum(S，x，a，b)

说明

计算符号表达式S（表示级数的通项）对于默认自变量的不定和。

计算符号表达式S对于自变量x的不定和。

计算符号表达式S对于默认自变量从a到b的有限和。

计算符号表达式S对于自变量x从a到b的有限和。

10

x

k

例6.40 分别计算表达式



k

、



(k3)

、



。

k1

k

0

2



在命令窗口创建符号变量k和x，分别计算上面各表达式。

>>clear

>>clc

>> syms x k

>> symsum(k)

ans =

1/2*k^2-1/2*k

>> symsum(k^2-3,0,10)

ans =

352

>> symsum(x^k/k,k,1,inf)

ans =

-log(1-x)

2、函数的泰勒级数

泰勒级数可以将一个任意函数表示为一个幂级数，并且，在许多情况下，

只需要取幂级数的前有限项来表示该函数，这对于大多数工程应用问题来说，

精度已经足够。在MATLAB符号数学工具中，表达式的Taylor级数展开由函数

11

taylor实现，其调用格式如表6-13所示。

表6-13 泰勒级数函数格式

函数格式

taylor(s)

taylor(s,n)

taylor(f,n,a)

taylor(f,x,n,a)

说明

计算符号表达式s在默认自变量等于0处的5阶Taylor级数展开式。

计算符号表达式s在默认自变量等于0处的n-1阶Taylor级数展开式。

计算符号表达式s在默认自变量等于a处的n-1阶Taylor级数展开式

计算符号表达式s在自变量x等于a处的n-1阶Taylor级数展开式

1xx

2

例6.41 分别计算表达式的5阶泰勒级数展开式和12阶泰勒级

1xx

2

数展开式。

在命令窗口创建符号变量，分别计算上面各表达式。

>>clear

>>clc

>> syms x

>> s=(1-x+x^2)/(1+x+x^2);

>> taylor(s)

ans =

1-2*x+2*x^2-2*x^4+2*x^5

>> taylor(s,x,12)

ans =

1-2*x+2*x^2-2*x^4+2*x^5-2*x^7+2*x^8-2*x^10+2*x^11

12