2024年7月15日发(作者：敛雨伯)

严谨 规范 求真 铸魂

1-7 两个重要极限练习题

教学过程：

x

问题1：观察当x0时函数的变化趋势：

x0

引入：

考察极限

lim

sinx

x(弧度) 0.50

0.9585

0.10

0.9983

0.05

0.9996

0.04

0.9997

0.03

0.9998

0.02 ...

sinx

x

0.9999 ...

sinx

1，即

sinx

=1；

lim



x0

xx

当x取负值趋近于0时，-x0, -x>0, sin(-x)>0．于是

sinxsin(x)

lim

．

lim



x0



x0

x(x)

当x取正值趋近于0时，

综上所述，得

sinx

1

．

x0

x

sinx

lim1

的特点：

x0

x

00

(1)它是“

”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是

；

00

(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂．

一．

lim

推广 如果

lim



(x)=0,(a可以是有限数x

0

, 或)，

xa

则

lim

例1 求

lim

xa

sin







x





sin







x





=

lim

=1．





x



0





x







x



tanx

．

x0

x

sinx

tanx

sinx1sinx1

解

lim

=

lim

cosx

limlimlim111

．

x0

x0x0x0x0

x

xxcosxxcosx

sin3x

．

x0

x

sin3x3sin3xsint

解

lim

=

lim(令3xt)3lim3

．

x0x0t0

x3xt

1cosx

例3 求

lim

．

2

x0

x

例2 求

lim

解

lim

1cosx

=

lim

x0

x0

x

2

2sin

2

x

2

xxxx

sin

2

sinsin

2

lim

2

lim

1



2



2



1

．

x0x0

2

xxx

2

2()

2

222

例4 求

lim

arcsinx

．

x0

x

严谨 规范 求真 铸魂

解 令arcsinx=t，则x=sint且x0时t0．

所以

lim

arcsinxt

=

lim1

．

x0t0

xsint

tanxsinx

例5 求

lim

．

3

x0

x

sinx1cosx

sinxsinx

tanxsinx

cosx

解

lim

=

lim

cosx

3

lim

3

3

x0

x0x0

x

xx

=

lim

sinx11cosx1

limlim

．

2

x0x0x0

xcosx2

x

1

考察极限

lim(1)

x

e

x

x

问题2：观察当x+时函数的变化趋势：

x

1

2

2

2.25

10

2.594

1000

2.717

10000

2.7181

100000

2.7182

100000

2.71828

...

...

1

(1)

x

x

11

当x取正值并无限增大时，

(1)

x

是逐渐增大的，但是不论x如何大，

(1)

x

的值

xx

1

总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x+时，可以验证

(1)

x

是趋近于一个确

x

定的无理数e＝．

1

当x-时，函数

(1)

x

有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．

x

综上所述，得

二．

lim(1

1

)

x

=

e

．

x

x

x

lim(1

1

x

)

=

e

x

的特点：

无穷大案

（１）lim(1+无穷小) ；

（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．

xa

推广 （１）若

lim



(x)= ,(a可以是有限数x

0

, 或)，则

lim(1

xa

1



(x)

1

)lim



1





x







(x)



(x)





(x)

=e；

（２）若

lim



(x)=0,(a可以是有限数x

0

, 或)，则

xa

lim



1





x



xa



1



(x)

lim





x



0



1





x





1



(x)

=e．

1

1

=t，则x时t0，代入后得到

lim



1t



t

e

．

t0

x

如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1



，因此通常称之为1



不

定型．

变形 令

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2

例6 求

lim(1)

x

．

x

x

2

2

解 令－=t，则x=－．

x

t

当x时t0，



2

于是

lim(1)

x

=

lim(1t)

t

[lim(1t)

t

]

2

=e

–2

．

t0t0

x

x

3x

x

例7 求

lim()

．

x

2x

3x

1

解 令=1+u，则x=2－．

2x

u

当x时u0，

2

3x

x

于是

lim()

=

lim(1u)

u

lim[(1u)

u

(1u)

2

]

u0u0

x

2x

11

21

=

[lim(1u)]

1

[lim(1u)

2

]

=e

-1

．

u0u0

1

u

例8 求

lim(1tanx)

cotx

．

x0

解 设t=tanx，则

当x0时t0，

于是

lim(1tanx)

x0

1

＝cotx．

t

cotx

=

lim(1t)

=e．

t0

1

t

小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。

作业：见首页

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§2-1 导数的概念

教学过程：

引入：

一、两个实例

实例1 瞬时速度

考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程

1

2

gt来确定．现在来求t=1秒这一时刻质点的速度．

2

当



t很小时，从1秒到1+



t秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间

内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似．

s由公式s=



t (s)

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

上表看出，平均速度

9.8m/s．考察下列各式：



s=



s(m)

1.029

0.09849

0.0098049

0.000980049

0.



s

(m/s)



t

10.29

9.849

9.8049

9.80049

9.800049



s



s

随着



t变化而变化，当



t越小时，越接近于一个定值—



t



t

111

g(1+t)

2

－

g1

2

=

g[2t+(t)

2

]，

222



s

1

2t(t)

2

1

=g=

g(2+t)，

t



t

22



s

思考： 当



t越来越接近于0时，越来越接近于1秒时的“速度”．现在取



t0的极



t

限，得

lim



s1

limg



2



t





g=9.8(m/s)．



0



t



0

2

为质点在

t

=1秒时速度为瞬时速度．

一般地，设质点的位移规律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量



t，s相应的改变量为



s=f(t+



t)-f(t)，在时间段t到t+



t内的平均速度为

v

=



sf



t



t



f



t



，





t



t

对平均速度取



t0的极限，得

sf



tt



f



t



，

lim

t0

t

t0

t

称v(t)为时刻t的瞬时速。

研究类似的例子

实例2 曲线的切线

设方程为y=f(x)曲线为L．其上一点A的坐标为(x

0

,f(x

0

))．在曲线上点A附近另取一点

B，它的坐标是(x

0

+



x, f(x

0

+



x))．直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作



．由图中的

v(t)=

lim

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Rt



ACB，可知割线AB的斜率

CB



y

f



x

0





x



f



x

0



tan



=．



AC



x



x

在数量上，它表示当自变量从x变到x+



x时函数f(x)

关于变量x的平均变化率(增长率或减小率)．

现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时



x0，

过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置——

直线AT，我们就称L在点A处存在切线AT．记AT

的倾斜角为



，则



为



的极限，若



90，得切线AT

的斜率为

tan



=

lim

tan



=

lim



x0

y

f(x

0

+



x)

B

f(x

0

)

O

A

x

0





T

C

x

x

0

+



x

f(x

0





x)f(x

0

)



y

．

lim



x0



x



x0



x

在数量上，它表示函数f(x)在x处的变化率．

上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是

要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率．

1. 自变量x作微小变化



x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率

y

=

x处变化率的近似；

2. 对

y

求



x0的极限

lim



y

，作为点



x



y

，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值．



x0



x

二、导数的定义

1.

函数在一点处可导的概念

定义 设函数y=f(x)在x

0

的某个邻域内有定义．对应于自变量x在x

0

处有改变量x，

函数y=f(x)相应的改变量为



y=f(x

0

+



x)-f(x

0

)，若这两个改变量的比



y

f



x

0





x



f



x

0







x



x

当



x0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点x

0

处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)

df(x)

dy

在点x

0

处的导数(或变化率)，记作

y



|

xx

0

或f(x

0

)或或．即

xx

0

xx

0

dx

dx

y



|

xx

0

=f(x

0

)=

lim

比值

f(x

0





x)f(x

0

)



y

(2-1)

lim



x0



x



x0



x



y

表示函数y=f(x)在x到x+



x之间的平均变化率，导数

y



|

00

xx

0

则表示了函数



x

在点x

0

处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x

0

处的变化的快慢．

如果当



x0时



y

的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x

0

处不可导或导数不存在．



x

在定义中，若设x=x

0

+



x，则(2-1)可写成

xx

0

f(x

0

)=

lim

f



x



f



x

0



(2-2)

xx

0

根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x

0

处的导数的步骤如下：

第一步 求函数的改变量



y=f(x

0

+



x)-f(x

0

)；

第二步 求比值



y

f(x

0





x)f(x

0

)

；





x



x

严谨 规范 求真 铸魂

第三步 求极限f(x

0

)=

lim



y

．



x0



x

例1 求y=f(x)=x

2

在点x=2处的导数．

解



y=f(2+



x)-f(2)=(2+



x)

2

-2

2

=4



x+(



x)

2

；



y4



x





x



2



y

= =4+



x；

lim



lim

(4+



x)=4．





x0



x



x



x

x0

所以y|

x=2

=4．

当

lim



f



x

0





x



f



x

0



存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x

0

处的左导数，记作



x0



x



f





(x

0

)

；当

lim



fx

0





xfx

0

存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x

0

处的右导数，



x0



x



(x

0

)

． 记作

f



据极限与左、右极限之间的关系



(x

0

)

,

f





(x

0

)

，且

f





(x

0

)

=

f





(x

0

)

= f(x

0

)． f(x

0

)  存在

f



2. 导函数的概念

如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可

导．这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x

0

都有对应着一个确定的导数f(x

0

)，这样就在

开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f(x)

或y等．

根据导数定义，就可得出导函数



yf



x



x



f



x



f(x)=y=

lim

(2-3)

lim



x0



x



x0



x

导函数也简称为导数．

注意 （１）f(x)是x的函数，而f(x

0

)是一个数值

（２）f(x)在点处的导数f(x

0

)就是导函数f(x)在点x

0

处的函数值．

例2 求y=C (C为常数)的导数．



y



y0

解 因为



y=C-C=0，=0，所以y=

lim

=0．





x0



x



x



x

即 (C)=0常数的导数恒等于零）．

例3 求y=x

n

(nN, xR)的导数．

解 因为



y=(x+



x)

n

-x

n

=nx

n

-1



x+

C

n

2

x

n

-2

(



x)

2

+...+(



x)

n

，



y

= nx

n

-1

+

C

n

2

x

n

-2





x+...+(



x)

n

-1

，



x



y

从而有 y=

lim

=

lim

[ nx

n

-1

+

C

n

2

x

n

-2





x+...+(



x)

n-1

]= nx

n

-1

．



x0



x



x0

即 (x

n

)=nx

n

-1

．

可以证明，一般的幂函数y=x



, (



R, x>0)的导数为

(x



)=



x

-1

．

1

1

1

1

1

1

例如 (

x

)=(

x

2

)=

x



2



；()=(x

-1

)=-x

-2

=-

2

．

x

2

x

2x

例4 求y=sinx, (xR)的导数．

严谨 规范 求真 铸魂



y

=

sin(x



x)sinx

，在§1-7中已经求得



x



x



y

=cosx，

lim



x0



x

解

即 (sinx)=cosx．

用类似的方法可以求得y=cosx, (xR)的导数为

(cosx)=-sinx．

例5 求y=log

a

x的导数(a>0, a1, x>0)．

解 对a=e、y=lnx的情况，在§1-7中已经求得为

(lnx)=

1

．

x

lnx

，以下与§1-7完全相同推导，可得

lna

对一般的a，只要先用换底公式得y=log

a

x=

(log

a

x)=

1

．

xlna

三、导数的几何意义

方程为y=f(x)的曲线，在点A(x

0

,f(x

0

))处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)

在x

0

存在导数f(x

0

)，且AT的斜率k=f(x

0

)．

导数的几何意义——函数y=f(x)在x

0

处的导数f(x

0

)，是函数图象在点(x

0

,f(x

0

))处切线

的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为

y-f(x

0

)=f(x

0

)(x-x

0

) (2-4)

过切点A (x

0

,f(x

0

))且垂直于切线的直线，称为曲线y=f(x)在点A (x

0

,f(x

0

))处的法线，则

当切线非水平(即f(x

0

)0)时的法线方程为

1

y-f(x

0

)=-(x-x

0

) (2-5)

f



(x

0

)

例6 求曲线y=sinx在点(

解 （sinx）=cosx



,

1

)处的切线和法线方程．

6

2



x

6



x

6

=

3

．

2

3

1



=(x－)，

2

2

6

23

1



法线方程 y－=－(x－)．

3

2

6

例7 求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程．

解 设切点为A(x

0

, y

0

)，则曲线在点A处的切线的斜率为y(x

0

)，

1

y(x

0

)=(lnx)

xx

0

=，

x

0

11

1

因为切线平行于直线y=2x，，所以=2，即x

0

=；又切点位于曲线上，因而y

0

=ln=-ln2．

22

x

0

所求的切线和法线方程为 y－

故所求的切线方程为

1

)，即y=2x-1-ln2．

2

四、可导和连续的关系

如果函数y=f(x)在点x

0

处可导，则存在极限

y+ln2=2(x-

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lim



x0



y

=f(x)，则



y

=f(x)+ (

00

lim

=0)，或



y= f(x

0

)



x+







x (

lim



=0)，



x0



x0



x



x



x0

所以

lim



y=

lim

[f(x

0

)



x+







x]=0．



x0

这表明函数y=f(x)在点x

0

处连续．

但y=f(x)在点x

0

处连续，在x

0

处不一定是可导的．

例如：（１）y=|x|在x=0处都连续但却不可导．

y

y=|x|

x

O

（２）y=

3

x

在x=0处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂

直的．

学生思考：

y

1

-1

•

y=

3

x

x

O

1

-1

•



x

2

,x0

设函数f(x)=



，讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性．



x1, x0

小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。

作业：见首页

严谨 规范 求真 铸魂

§4－2 换元积分法

教学过程

复习引入

1． 不定积分的概念；

2． 不定积分的基本公式和性质。

新课：一、第一类换元积分法

例如：



cos2xdx

，积分基本公式中只有：



cosxdx

=sinx+C．为了应用这个公式，可进行

如下变换：

1

令2x=u



cos2xdx



cos2xd(2x)　

2

u=2x回代

11

cosudu　

sinu+C

2



2

1

sin2x+C,

2

11

因为(sin2x+C)=cos2x，所以



cosxdx

=sin2x+C是正确的．

22

定理1 设f(u)具有原函数F(u)，



(x)是连续函数，那么



f[



(x)]





(x)dx

=F[



(x)]+C．

证明思路 因为F(u)是f(u)的一个原函数，所以F(u)=f(u)；

由复合函数的微分法得：

d F[



(x)]=F(u)



(x)dx=f[



(x)]



(x)dx，

所以

f[



(x)]





(x)dx

=F[



(x)]+C．

基本思想：作变量代换u=



(x), (d



(x)=



(x)dx)，变原积分为



f(u)du

，利用已知f(u)

的原函数是F(u)得到积分，称为第一类换元积分法．

例1 求



(axb)

10

dx

, (a,b为常数)．



1

d(ax+b)，所以

a

1

1

10

1

111010

令

ax+b=u

(axb)dx(axb)d(axb)　udu＝u

+C



a



11a

a



u=ax+b回代

1

(ax+b)

11

+C．

11a

lnx

例2 求



dx

．

x

1

解 因为

dx=d(lnx)，所以

x

u=lnx回代

1

(lnx)

2

+C．

lnx=u

udu

1

u

2

+C 原式=



lnxd(lnx)

令



2

2

解 因为dx=

例3 求



xe

x

dx

．

2

严谨 规范 求真 铸魂

解 因为xdx=

2

1

d(x

)，所以

2

原式=

例4 求

1

2

x2



ed(x)

2

令x

2

=u

11

u

u

u=x

2

回代

1

x

2

+C． =e+C

edu

e

2



2

2



x

ax

22

dx

．

解 因为xdx=

222

11

d(x

)=－

d(a

-x)，所以

22

1

原式=－

2



1

ax

22

令a

2

-x

2

=u

d(a

2

x

2

)

－

1

2



1

u

du

= －

u

+C

－

a

2

x

2

+C．

a

2

-x

2

=u回代

sinx

dx

．

2

1＋cosx

第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d(x)，另一部

分为(x)的函数f[(x)]，且f(u)的原函数易于求得．因此，第一类换元积分法又形象化

地被称为凑微分法．

常用微分式：

2

1

1

dx=

d(ax)； xdx=d(x

)；

2

a

1

dx=d(ln|x|)；

1

dx=2d(

x

)；

x

x

学生思考： 求



1

1

1

dx=－d(

)；

dx=d(arctanx)；

x

x

2

1x

2

1

dx=d(arcsinx)； e

x

dx=d(e

x

)；

1x

2

sinxdx=－d(cosx)； cosxdx=d(sinx)；

22

sec

xdx=d(tanx)； cscxdx=-d(cotx)；

secxtanxdx=d(secx)；

cscxcotxdx=－d(cscx)．

11

例6 求



2

cosdx

．

x

x

111

解 原式=





cosd()sinC

．

xxx

例7 求



1

ax

22

dx

, (a>0)．

解 原式=



a

1

x

2

1(

a

)

dx



xx

d()arcsinC

．

a

1(

x

)

2

a

a

1

例8 求



1

dx

．

22

ax

严谨 规范 求真 铸魂

解 原式=

1

a

2

例9 求



111x1x

dxd()arctan()C

．



1(

x

)

2



x

2

a

1(

a

)

aaa

a

1

dx

, (常数a0)．

22

ax

111111

解 原式=

()dx[d(ax)



ax

d(ax)]

2a



axax2a



ax

1ax

=

ln||C

．

2aax

例10 求



tanxdx

．

解 原式=



sinx1

dx



d(cosx)

=－ln|cosx|+C．

cosxcosx

类似可得：



cotxdx

=ln|sinx|+C．

例11 求



secxdx

．

1d(sinx)d(sinx)

dx







1sin

2

x

，

cosx

cos

2

x

利用例9的结论得

11sinx11sinx

2

原式=

ln||Cln()

+C=ln|secx+tanx|+C．

21sinx2cosx

解 原式=



类似可得：



cscxdx

=ln|cscx-cotx|+C．

学生思考：1 求



sin

2

xdx

．2 求



sin

3

xdx

3 求



cos3xcos2xdx

4 求



1lnx

dx

xlnx

教师讲评

小结 第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。

作业 见首页

严谨 规范 求真 铸魂

高等数学典型教案

淮安信息职业技术学院数学教研室

2024年7月15日发(作者：敛雨伯)

严谨 规范 求真 铸魂

1-7 两个重要极限练习题

教学过程：

x

问题1：观察当x0时函数的变化趋势：

x0

引入：

考察极限

lim

sinx

x(弧度) 0.50

0.9585

0.10

0.9983

0.05

0.9996

0.04

0.9997

0.03

0.9998

0.02 ...

sinx

x

0.9999 ...

sinx

1，即

sinx

=1；

lim



x0

xx

当x取负值趋近于0时，-x0, -x>0, sin(-x)>0．于是

sinxsin(x)

lim

．

lim



x0



x0

x(x)

当x取正值趋近于0时，

综上所述，得

sinx

1

．

x0

x

sinx

lim1

的特点：

x0

x

00

(1)它是“

”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是

；

00

(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂．

一．

lim

推广 如果

lim



(x)=0,(a可以是有限数x

0

, 或)，

xa

则

lim

例1 求

lim

xa

sin







x





sin







x





=

lim

=1．





x



0





x







x



tanx

．

x0

x

sinx

tanx

sinx1sinx1

解

lim

=

lim

cosx

limlimlim111

．

x0

x0x0x0x0

x

xxcosxxcosx

sin3x

．

x0

x

sin3x3sin3xsint

解

lim

=

lim(令3xt)3lim3

．

x0x0t0

x3xt

1cosx

例3 求

lim

．

2

x0

x

例2 求

lim

解

lim

1cosx

=

lim

x0

x0

x

2

2sin

2

x

2

xxxx

sin

2

sinsin

2

lim

2

lim

1



2



2



1

．

x0x0

2

xxx

2

2()

2

222

例4 求

lim

arcsinx

．

x0

x

严谨 规范 求真 铸魂

解 令arcsinx=t，则x=sint且x0时t0．

所以

lim

arcsinxt

=

lim1

．

x0t0

xsint

tanxsinx

例5 求

lim

．

3

x0

x

sinx1cosx

sinxsinx

tanxsinx

cosx

解

lim

=

lim

cosx

3

lim

3

3

x0

x0x0

x

xx

=

lim

sinx11cosx1

limlim

．

2

x0x0x0

xcosx2

x

1

考察极限

lim(1)

x

e

x

x

问题2：观察当x+时函数的变化趋势：

x

1

2

2

2.25

10

2.594

1000

2.717

10000

2.7181

100000

2.7182

100000

2.71828

...

...

1

(1)

x

x

11

当x取正值并无限增大时，

(1)

x

是逐渐增大的，但是不论x如何大，

(1)

x

的值

xx

1

总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x+时，可以验证

(1)

x

是趋近于一个确

x

定的无理数e＝．

1

当x-时，函数

(1)

x

有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．

x

综上所述，得

二．

lim(1

1

)

x

=

e

．

x

x

x

lim(1

1

x

)

=

e

x

的特点：

无穷大案

（１）lim(1+无穷小) ；

（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．

xa

推广 （１）若

lim



(x)= ,(a可以是有限数x

0

, 或)，则

lim(1

xa

1



(x)

1

)lim



1





x







(x)



(x)





(x)

=e；

（２）若

lim



(x)=0,(a可以是有限数x

0

, 或)，则

xa

lim



1





x



xa



1



(x)

lim





x



0



1





x





1



(x)

=e．

1

1

=t，则x时t0，代入后得到

lim



1t



t

e

．

t0

x

如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1



，因此通常称之为1



不

定型．

变形 令

严谨 规范 求真 铸魂

2

例6 求

lim(1)

x

．

x

x

2

2

解 令－=t，则x=－．

x

t

当x时t0，



2

于是

lim(1)

x

=

lim(1t)

t

[lim(1t)

t

]

2

=e

–2

．

t0t0

x

x

3x

x

例7 求

lim()

．

x

2x

3x

1

解 令=1+u，则x=2－．

2x

u

当x时u0，

2

3x

x

于是

lim()

=

lim(1u)

u

lim[(1u)

u

(1u)

2

]

u0u0

x

2x

11

21

=

[lim(1u)]

1

[lim(1u)

2

]

=e

-1

．

u0u0

1

u

例8 求

lim(1tanx)

cotx

．

x0

解 设t=tanx，则

当x0时t0，

于是

lim(1tanx)

x0

1

＝cotx．

t

cotx

=

lim(1t)

=e．

t0

1

t

小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。

作业：见首页

严谨 规范 求真 铸魂

§2-1 导数的概念

教学过程：

引入：

一、两个实例

实例1 瞬时速度

考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程

1

2

gt来确定．现在来求t=1秒这一时刻质点的速度．

2

当



t很小时，从1秒到1+



t秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间

内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似．

s由公式s=



t (s)

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

上表看出，平均速度

9.8m/s．考察下列各式：



s=



s(m)

1.029

0.09849

0.0098049

0.000980049

0.



s

(m/s)



t

10.29

9.849

9.8049

9.80049

9.800049



s



s

随着



t变化而变化，当



t越小时，越接近于一个定值—



t



t

111

g(1+t)

2

－

g1

2

=

g[2t+(t)

2

]，

222



s

1

2t(t)

2

1

=g=

g(2+t)，

t



t

22



s

思考： 当



t越来越接近于0时，越来越接近于1秒时的“速度”．现在取



t0的极



t

限，得

lim



s1

limg



2



t





g=9.8(m/s)．



0



t



0

2

为质点在

t

=1秒时速度为瞬时速度．

一般地，设质点的位移规律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量



t，s相应的改变量为



s=f(t+



t)-f(t)，在时间段t到t+



t内的平均速度为

v

=



sf



t



t



f



t



，





t



t

对平均速度取



t0的极限，得

sf



tt



f



t



，

lim

t0

t

t0

t

称v(t)为时刻t的瞬时速。

研究类似的例子

实例2 曲线的切线

设方程为y=f(x)曲线为L．其上一点A的坐标为(x

0

,f(x

0

))．在曲线上点A附近另取一点

B，它的坐标是(x

0

+



x, f(x

0

+



x))．直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作



．由图中的

v(t)=

lim

严谨 规范 求真 铸魂

Rt



ACB，可知割线AB的斜率

CB



y

f



x

0





x



f



x

0



tan



=．



AC



x



x

在数量上，它表示当自变量从x变到x+



x时函数f(x)

关于变量x的平均变化率(增长率或减小率)．

现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时



x0，

过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置——

直线AT，我们就称L在点A处存在切线AT．记AT

的倾斜角为



，则



为



的极限，若



90，得切线AT

的斜率为

tan



=

lim

tan



=

lim



x0

y

f(x

0

+



x)

B

f(x

0

)

O

A

x

0





T

C

x

x

0

+



x

f(x

0





x)f(x

0

)



y

．

lim



x0



x



x0



x

在数量上，它表示函数f(x)在x处的变化率．

上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是

要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率．

1. 自变量x作微小变化



x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率

y

=

x处变化率的近似；

2. 对

y

求



x0的极限

lim



y

，作为点



x



y

，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值．



x0



x

二、导数的定义

1.

函数在一点处可导的概念

定义 设函数y=f(x)在x

0

的某个邻域内有定义．对应于自变量x在x

0

处有改变量x，

函数y=f(x)相应的改变量为



y=f(x

0

+



x)-f(x

0

)，若这两个改变量的比



y

f



x

0





x



f



x

0







x



x

当



x0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点x

0

处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)

df(x)

dy

在点x

0

处的导数(或变化率)，记作

y



|

xx

0

或f(x

0

)或或．即

xx

0

xx

0

dx

dx

y



|

xx

0

=f(x

0

)=

lim

比值

f(x

0





x)f(x

0

)



y

(2-1)

lim



x0



x



x0



x



y

表示函数y=f(x)在x到x+



x之间的平均变化率，导数

y



|

00

xx

0

则表示了函数



x

在点x

0

处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x

0

处的变化的快慢．

如果当



x0时



y

的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x

0

处不可导或导数不存在．



x

在定义中，若设x=x

0

+



x，则(2-1)可写成

xx

0

f(x

0

)=

lim

f



x



f



x

0



(2-2)

xx

0

根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x

0

处的导数的步骤如下：

第一步 求函数的改变量



y=f(x

0

+



x)-f(x

0

)；

第二步 求比值



y

f(x

0





x)f(x

0

)

；





x



x

严谨 规范 求真 铸魂

第三步 求极限f(x

0

)=

lim



y

．



x0



x

例1 求y=f(x)=x

2

在点x=2处的导数．

解



y=f(2+



x)-f(2)=(2+



x)

2

-2

2

=4



x+(



x)

2

；



y4



x





x



2



y

= =4+



x；

lim



lim

(4+



x)=4．





x0



x



x



x

x0

所以y|

x=2

=4．

当

lim



f



x

0





x



f



x

0



存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x

0

处的左导数，记作



x0



x



f





(x

0

)

；当

lim



fx

0





xfx

0

存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x

0

处的右导数，



x0



x



(x

0

)

． 记作

f



据极限与左、右极限之间的关系



(x

0

)

,

f





(x

0

)

，且

f





(x

0

)

=

f





(x

0

)

= f(x

0

)． f(x

0

)  存在

f



2. 导函数的概念

如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可

导．这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x

0

都有对应着一个确定的导数f(x

0

)，这样就在

开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f(x)

或y等．

根据导数定义，就可得出导函数



yf



x



x



f



x



f(x)=y=

lim

(2-3)

lim



x0



x



x0



x

导函数也简称为导数．

注意 （１）f(x)是x的函数，而f(x

0

)是一个数值

（２）f(x)在点处的导数f(x

0

)就是导函数f(x)在点x

0

处的函数值．

例2 求y=C (C为常数)的导数．



y



y0

解 因为



y=C-C=0，=0，所以y=

lim

=0．





x0



x



x



x

即 (C)=0常数的导数恒等于零）．

例3 求y=x

n

(nN, xR)的导数．

解 因为



y=(x+



x)

n

-x

n

=nx

n

-1



x+

C

n

2

x

n

-2

(



x)

2

+...+(



x)

n

，



y

= nx

n

-1

+

C

n

2

x

n

-2





x+...+(



x)

n

-1

，



x



y

从而有 y=

lim

=

lim

[ nx

n

-1

+

C

n

2

x

n

-2





x+...+(



x)

n-1

]= nx

n

-1

．



x0



x



x0

即 (x

n

)=nx

n

-1

．

可以证明，一般的幂函数y=x



, (



R, x>0)的导数为

(x



)=



x

-1

．

1

1

1

1

1

1

例如 (

x

)=(

x

2

)=

x



2



；()=(x

-1

)=-x

-2

=-

2

．

x

2

x

2x

例4 求y=sinx, (xR)的导数．

严谨 规范 求真 铸魂



y

=

sin(x



x)sinx

，在§1-7中已经求得



x



x



y

=cosx，

lim



x0



x

解

即 (sinx)=cosx．

用类似的方法可以求得y=cosx, (xR)的导数为

(cosx)=-sinx．

例5 求y=log

a

x的导数(a>0, a1, x>0)．

解 对a=e、y=lnx的情况，在§1-7中已经求得为

(lnx)=

1

．

x

lnx

，以下与§1-7完全相同推导，可得

lna

对一般的a，只要先用换底公式得y=log

a

x=

(log

a

x)=

1

．

xlna

三、导数的几何意义

方程为y=f(x)的曲线，在点A(x

0

,f(x

0

))处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)

在x

0

存在导数f(x

0

)，且AT的斜率k=f(x

0

)．

导数的几何意义——函数y=f(x)在x

0

处的导数f(x

0

)，是函数图象在点(x

0

,f(x

0

))处切线

的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为

y-f(x

0

)=f(x

0

)(x-x

0

) (2-4)

过切点A (x

0

,f(x

0

))且垂直于切线的直线，称为曲线y=f(x)在点A (x

0

,f(x

0

))处的法线，则

当切线非水平(即f(x

0

)0)时的法线方程为

1

y-f(x

0

)=-(x-x

0

) (2-5)

f



(x

0

)

例6 求曲线y=sinx在点(

解 （sinx）=cosx



,

1

)处的切线和法线方程．

6

2



x

6



x

6

=

3

．

2

3

1



=(x－)，

2

2

6

23

1



法线方程 y－=－(x－)．

3

2

6

例7 求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程．

解 设切点为A(x

0

, y

0

)，则曲线在点A处的切线的斜率为y(x

0

)，

1

y(x

0

)=(lnx)

xx

0

=，

x

0

11

1

因为切线平行于直线y=2x，，所以=2，即x

0

=；又切点位于曲线上，因而y

0

=ln=-ln2．

22

x

0

所求的切线和法线方程为 y－

故所求的切线方程为

1

)，即y=2x-1-ln2．

2

四、可导和连续的关系

如果函数y=f(x)在点x

0

处可导，则存在极限

y+ln2=2(x-

严谨 规范 求真 铸魂

lim



x0



y

=f(x)，则



y

=f(x)+ (

00

lim

=0)，或



y= f(x

0

)



x+







x (

lim



=0)，



x0



x0



x



x



x0

所以

lim



y=

lim

[f(x

0

)



x+







x]=0．



x0

这表明函数y=f(x)在点x

0

处连续．

但y=f(x)在点x

0

处连续，在x

0

处不一定是可导的．

例如：（１）y=|x|在x=0处都连续但却不可导．

y

y=|x|

x

O

（２）y=

3

x

在x=0处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂

直的．

学生思考：

y

1

-1

•

y=

3

x

x

O

1

-1

•



x

2

,x0

设函数f(x)=



，讨论函数f(x)在x=0处的连续性和可导性．



x1, x0

小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。

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严谨 规范 求真 铸魂

§4－2 换元积分法

教学过程

复习引入

1． 不定积分的概念；

2． 不定积分的基本公式和性质。

新课：一、第一类换元积分法

例如：



cos2xdx

，积分基本公式中只有：



cosxdx

=sinx+C．为了应用这个公式，可进行

如下变换：

1

令2x=u



cos2xdx



cos2xd(2x)　

2

u=2x回代

11

cosudu　

sinu+C

2



2

1

sin2x+C,

2

11

因为(sin2x+C)=cos2x，所以



cosxdx

=sin2x+C是正确的．

22

定理1 设f(u)具有原函数F(u)，



(x)是连续函数，那么



f[



(x)]





(x)dx

=F[



(x)]+C．

证明思路 因为F(u)是f(u)的一个原函数，所以F(u)=f(u)；

由复合函数的微分法得：

d F[



(x)]=F(u)



(x)dx=f[



(x)]



(x)dx，

所以

f[



(x)]





(x)dx

=F[



(x)]+C．

基本思想：作变量代换u=



(x), (d



(x)=



(x)dx)，变原积分为



f(u)du

，利用已知f(u)

的原函数是F(u)得到积分，称为第一类换元积分法．

例1 求



(axb)

10

dx

, (a,b为常数)．



1

d(ax+b)，所以

a

1

1

10

1

111010

令

ax+b=u

(axb)dx(axb)d(axb)　udu＝u

+C



a



11a

a



u=ax+b回代

1

(ax+b)

11

+C．

11a

lnx

例2 求



dx

．

x

1

解 因为

dx=d(lnx)，所以

x

u=lnx回代

1

(lnx)

2

+C．

lnx=u

udu

1

u

2

+C 原式=



lnxd(lnx)

令



2

2

解 因为dx=

例3 求



xe

x

dx

．

2

严谨 规范 求真 铸魂

解 因为xdx=

2

1

d(x

)，所以

2

原式=

例4 求

1

2

x2



ed(x)

2

令x

2

=u

11

u

u

u=x

2

回代

1

x

2

+C． =e+C

edu

e

2



2

2



x

ax

22

dx

．

解 因为xdx=

222

11

d(x

)=－

d(a

-x)，所以

22

1

原式=－

2



1

ax

22

令a

2

-x

2

=u

d(a

2

x

2

)

－

1

2



1

u

du

= －

u

+C

－

a

2

x

2

+C．

a

2

-x

2

=u回代

sinx

dx

．

2

1＋cosx

第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为d(x)，另一部

分为(x)的函数f[(x)]，且f(u)的原函数易于求得．因此，第一类换元积分法又形象化

地被称为凑微分法．

常用微分式：

2

1

1

dx=

d(ax)； xdx=d(x

)；

2

a

1

dx=d(ln|x|)；

1

dx=2d(

x

)；

x

x

学生思考： 求



1

1

1

dx=－d(

)；

dx=d(arctanx)；

x

x

2

1x

2

1

dx=d(arcsinx)； e

x

dx=d(e

x

)；

1x

2

sinxdx=－d(cosx)； cosxdx=d(sinx)；

22

sec

xdx=d(tanx)； cscxdx=-d(cotx)；

secxtanxdx=d(secx)；

cscxcotxdx=－d(cscx)．

11

例6 求



2

cosdx

．

x

x

111

解 原式=





cosd()sinC

．

xxx

例7 求



1

ax

22

dx

, (a>0)．

解 原式=



a

1

x

2

1(

a

)

dx



xx

d()arcsinC

．

a

1(

x

)

2

a

a

1

例8 求



1

dx

．

22

ax

严谨 规范 求真 铸魂

解 原式=

1

a

2

例9 求



111x1x

dxd()arctan()C

．



1(

x

)

2



x

2

a

1(

a

)

aaa

a

1

dx

, (常数a0)．

22

ax

111111

解 原式=

()dx[d(ax)



ax

d(ax)]

2a



axax2a



ax

1ax

=

ln||C

．

2aax

例10 求



tanxdx

．

解 原式=



sinx1

dx



d(cosx)

=－ln|cosx|+C．

cosxcosx

类似可得：



cotxdx

=ln|sinx|+C．

例11 求



secxdx

．

1d(sinx)d(sinx)

dx







1sin

2

x

，

cosx

cos

2

x

利用例9的结论得

11sinx11sinx

2

原式=

ln||Cln()

+C=ln|secx+tanx|+C．

21sinx2cosx

解 原式=



类似可得：



cscxdx

=ln|cscx-cotx|+C．

学生思考：1 求



sin

2

xdx

．2 求



sin

3

xdx

3 求



cos3xcos2xdx

4 求



1lnx

dx

xlnx

教师讲评

小结 第一类换元积分法关键是凑微分，基本的凑微分方法要掌握。

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严谨 规范 求真 铸魂

高等数学典型教案

淮安信息职业技术学院数学教研室