2024年8月3日发(作者：督光启)
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
47
第四章 不 定 积 分
§ 4 – 1 不定积分的概念与性质
一.填空题
1．若在区间上
F
(x)f(x)
，则F(x)叫做
f(x)
在该区间上的一个 ,
f(x)
的
所有原函数叫做
f(x)
在该区间上的__________。
2．F(x)是
f(x)
的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________.
3．因为
d(arcsinx)
1
1
x
2
dx
,所以arcsinx是______的一个原函数。
4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与
x
3
成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该
曲线方程为__________ 。
二．是非判断题
1． 若f
x
的某个原函数为常数，则f
x
0. [ ]
2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ]
3．
f
x
dx
f
x
dx
. [ ]
4． 若f
x
在某一区间内不连续，则在这个区间内f
x
必无原函数. [ ]
5.
y
ln
ax
与
ylnx
是同一函数的原函数. [ ]
三．单项选择题
1．c为任意常数，且
F'(x)
=f(x),下式成立的有 。
（A）
F'(x)dx
f(x)+c; （B）
f(x)dx
=F(x)+c;
（C）
F(x)dx
F'(x)
+c; (D)
f'(x)dx
=F(x)+c.
2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)
0，则下式成立的有 。
（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;
（C）F(x)+G(x)=c; (D)
F(x)G(x)
=c.
3．下列各式中 是
f(x)sin|x|
的原函数。
(A)
ycos|x|
; (B) y=-|cosx|;
(c)y=
cosx,x
0,
cosx
2,x
0;
(D) y=
cosx
c
1
,x
0,
cosx
c
2
,x
0.
c
1
、
c
2
任意常数。
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48
4.
F
(x)f(x)
,f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又
F(x)xf(x)x
2
，则f(x)=______.
(A)
2x1
(B)
x
2
1
(C)
2x1
(D)
x
2
1
5.设
f
(sin
2
x
)cos
2
x
，则f(x)=________.
(A)
sinx
1
sin
2
xc;
(B)
x
1
x
2
c;
(C)
sin
2
x
1
sin
4
xc;
(D)
x
2
1
x
4
c;
2
22
2
6.设a是正数，函数
f(x)a
x
,
(x)a
x
log
a
e,则
______.
(A)
f(x)是
(x)的导数；
(B)
(x)是f(x)的导数；
(C)
f(x)是
(x)的原函数；
(D)
(x)是f(x)的不定积分。
四．计算题
1.
m
x
n
dx
2.
dh
2gh
(
g是常数）
3．
（x1)(x1)dx
4.
5.
e(1
3
(1
x)
2
3
x
dx
x
e
x
x
)
dx
6.
3
2x
e
3x
dx
4sin
3
x
1
x
2
22x
2
dx
7.
dx
8.
2
sinx
x
2
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49
1
cos
2
x
xx
2
9.
(cossin)dx
10.
dx
22
1
cos2x
2
2
3x
3
3
2x
cos2x
11.
dx
12.
dx
22
x
sinxcosx
3
13.
(
15.
(1
五．应用题
1．一曲线通过点(
e
,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该
曲线的方程.
2．一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3
t
(米/秒),问:
(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2) 物体走完360米需要多少时间
2
2
32
)dx
14.
secx(secxtanx)dx
2
2
1
x
1
x
1
)
xxdx
16.
2
x
1
x
dx
1
x
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50
§4-2 换元积分法
一、填空题
1.
dx______d(ax)
(
(a0)
) 2.
dx______d(7x3)
3.
xdx_______d(x
2
)
4.
xdx______d(5x
2
)
5.
xdx______d(1x
2
)
6.
x
2
dx_______d(23x
3
)
7.
edx______d(e)
8.
e
2
2x2x
x
2
dx
______d(1
e)
x
1)dx
d(______)
3
x
2
9.
xe
2x
dx
d(_______)
10.
cos(
11.
dxdx
______d(5lnx)
12.
______d(35lnx)
xx
13.
sin(
t
)dtd(______)
14.
dx
1
x
2
______d(1
arcsinx)
15．
1
xx
1
2
dx
1
1
x
2
1
()
2
x
dx
1
x
_________
1
1
()
2
x
d
16.若
f(x)dxF(x)c,则
f(axb)dx________(a0)
二．是非判断题
lnx1
1
11
1．
dx
2
c
. [ ]
x
x
d
x
2
x
1
2．
x
1
x
dx
2arctgx
c
. [ ]
3．设
f
x
dxsinxc
，则
f
arcsinx
dx
x
c
. [ ]
1
x
2
4．已知
f
lnx
1,0
x
1,
x,1
x
,
且
x,
x
0,
f
0
0
，且
f
x
x
1,0
x
. [ ]
e
5．
sin
2
xdx
1
sin
3
xc
. [ ]
3
6．若
f
x
dxF
x
c
，则
f
g
x
dxF
g
x
c
. [ ]
三．单项选择题
1.
f
(3x)dx
_____.
(A)
1
1
f
(
x
)
c
;
(B)
f(3x)c;
3
3
(C)
3f(x)c;
(D)
3f(3x)c;
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2.
f
(x)
.
1
[f(x)]
2
dx
________
(A)
ln|1f(x)|c;
(B)
1
ln|1[f(x)]
2
|c;
2
(C)
arctan[f(x)]c;
(D)
1
arctan[f(x)]c.
2
1
x
3.
dx
.
x
1
(A)
1
2ln|
x
|
x
C
(B)
2ln|x|xC
x
x
(C)
1
2ln|
x
|
C
(D)
ln|x|xC
x
3
2
x
2
3
x
dx
.
. 4.
x
2
2
33
3x
2ln
()
x
c;
(A) (B)
3x
2x(
3
)
x
1
c
22
2
x
2
3
2
3
(C)
3
c
c
(D)
3
ln3
ln2
2
ln3
ln2
2
x
5.
1
x
7
x(1
x
7
)
dx
______.
7
x
(A)
1
ln|
7
(1
x
7
)
2
1x
7
|
c;
(B)
7
ln|
1
x
7
|
c;
1x
6
1x
6
（C）
ln|
|
c
;
|
c;
(D)
ln|
6
1
x
6
6
(1
x
6
)
2
6.
|x|dx_____.
(A)
1
11
1
|
x
|
2
c
;
(B)
x
2
c;
(c)
x|x|c;
(D)
x
2
c;
2
22
2
e
3x
1
7.
x
dx
_____.
e
1
1
1
(A)
e
2x
e
x
x
c;
(B)
e
2x
e
x
c
;
2
2
1
1
(C)
e
2x
e
x
x
c;
(D)
e
2x
e
x
c
.
2
2
8.
e
1sin
2
x
sin2
x
的全体原函数是________.
(B) e
1sin
2
xc;
(A) e
1sin
2
x;
(C) e
1sin
2
xc
(D) e
1
sin
2
x
c
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52
四．计算题
1．
x
(2x
2
3)
30
dx
2.
1
dx
7
3．
e
4
x
dx
5.
e
x
cos(e
x
)dx
7.
tg
10
xsec
2
xdx
9.
cosx
sinx
cosx
sinx
dx
11.
x
1
x
2
1
x
2
e
dx
13.
sin
3
xcos
5
xdx
(1
2x)
3
4.
lnx
x
dx
6.
cosxe
sinx
dx
8.
sin
3
xdx
10.
dx
xsin
2
x
1
12.
(1
1
x
x
x
2
)
edx
14.
f'(x)
f(x)
dx
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53
15.
dx
dx
dx
dx
16.
x
x
e
e
(xlnx)lnlnx
e
2x
cosx
17.
dx
2
x
1
e
19.
ctgx
lnsinx
dx
21.
sinxcosx
1
sin
4
x
dx
23.
x
2
a
2
x
2
dx
2
25.
x
9
x
dx
27.
dx
1
2
x
sinx
6sinx
12
20.
cos
2
(
t
)sin(
t
)dx
22.
sin2xcos3xdx
24.
1
(x
2
1)
3
dx
26.
1
1
1
x
2
dx
28.
dx
1
e
x
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54
4-3 分部积分法
一．单项选择题
1.
xf
""
(
x
)
dx
___.
(A)x
f
'
(
x
)
f
(
x
)
c
;
(B) x
f
'
(x)f
'
(x)c;
(c) x
f
'
(
x
)
f
(
x
)
c
;
(D)
xf
'
(
x
)
2.
sinxln(tanx)dx___.
(A)－cosxln(tanx)+ln|tan
(c)ln(tanx)+ln|tan
3.
x
sin
2
xdx
___.
(A)
f
(
x
)
dx
.
x
|
c
;
(B)cosxln(tanx)+ln|cscx－cotx|+c;
2
x
|
c
;
(D)－cosxln(tanx)+ln|sinx|+c.
2
11
1
2
1
xxsin2xc;
(B)
x
2
cos2
xc
;
48
44
(C)xcosx－sinx+c; (D)
1
x
2
1
cos2xc;
8
4
x
4.
arcsin
dx
__.
2
x
(A)
1
1
arcsin
x
ln|csc
x
cot
x
|
c
;
(B)
arcsin
x
ln|cot
x
csc
x
|
c
;
x
x
2
11
1
x
2
11
1
x
(C)
arcsinx
ln||
c;
(D)
arcsinx
ln||
c;
xx
xx
x
5.
arctane
dx
__.
e
x
11
arctane
x
ln(1
e
2x
)
c
;
(B)
ln(1
e
2x
)
e
x
arctan
e
x
x
c
;
22
1
xx2x
(C)arctan
e
x
(e
x
1)c;
(D)
earctane
x
ln(1
e
)
c
;
2
lnx
2
)
dx
__.
6.
(
x
1
2
1
2
(A)
(lnx
2lnx
2)
c;
(B)
lnx2lnxc
;
xx
(A)
e
x
1
121
(C)
ln
2
x
lnx
c;
(D)
e
x
arctane
x
x
ln(1
e
2x
)
c
.
2
xxx
2
7．
(arcsin
x
)
dx
___.
(A)arcsinx(xarcsinx
21x
2
)2xc;
(B)arcsinx(xarcsinx+2
1x
2
)2xc;
(C)arcsinx(xarcsinx+2
1x
2
)c;
(D)arcsinx(xarcsinx+2
1x
2
2)c;
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55
二．计算题
1、
x
2
lnxdx
2、
x
2
cosxdx
3、
xtg
2
xdx
5、
e
3
x
dx
7、
(lnx)
2
dx
9、
(lnx)
3
x
2
dx
4、
xcosx
sin
3
x
dx
6、
(
x
2
2
x
5)
e
x
dx
8、
cos(lnx)dx
10、
xtgxsec
4
xdx
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56
4-4 几种特殊类型的积分（一）
一．单项选择题
4
x
1．
x
4
5x
2
4
dx
__.
(A) x
arctan
8
3
x1
1
arctanx
c;
(B) x
c;
23
3arctanx
2
8
(C) ln
(
x
4
)
c;
(D) x
c.
x
2
1
2．
x
x
4
2x
2
1
dx
__.
(A)
1x
2
(2
1)
42
ln|
x
2
(2
1)
|
c;
2
(C)
1
42
ln|
x
2
1)
x
2
(2
1)
|
c;
3．
x
3
x
8
3
dx
____
(A)
1x
2
43
arctan
3
c;
(C)
1x
4
23
arctan
3
c
4．
dx
x(x
10
2)
______.
(A) ln
dx
(
x
10
2)
+arctanx
5
c;
(C)
1x
10
20
ln(
x
10
2
)
c;
5．
3x
2
x
2
2x
5
dx
_______.
(A)
3
2
ln|x
2
2x
5|
1x
1
2
arctan
2
2;
(C)
3
2
1x
2
(x
2x
5)
1
2
arctan
2
c;
二．计算题
1、
x
2
x
x
3
x
2
x
1
dx
3arctanx
(B)
2
1
2
ln|
x
(2
1)
4x
2
(2
1)
|
c;
(D)
1
42
ln|
x
1
2
x
2
1
2
|
c.
(B)
1
43
arctan
x
4
3
c
(D)
1
23
arctan
x
2
3
c
(B)
1
2
ln(
x
10
2
x
10
)
c;
1
x
5
(D)
6
ln(
2
x
10
)
c
(B)
3x
1
2
x
2
tan
2
c;
(D) ln|x
2
2x
5|
tan
x
1
2
c
2、
2x
3
x
2
3x
10
dx
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
57
x
5
x
4
8
x
2
1
3、
dx
4、
dx
3
x
x
5、
x
(x
1)(x
2)(x
3)
dx
7、
dx
x
(
x
2
1)
9、
dx
x
4
1
(x
1)
2
(x
1)
6、
3
x
3
1
dx
8、
dx
(
x
2
1)(
x
2
x
)
10、
dx
(
x
2
1)(
x
2
x
1)
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
58
4-5 几种特殊类型的积分（二）
一．单项选择题
1．
1
的全体原函数
是———。
1
sinx
(A) tanx
1
c;
(B)
sinx
2
1
tan
x
2
c;
(C)
tanx
1
c;
(D) tanx+
1
c
sinx
cosx
2
u11
2．若
R(sinx,cosx)dx
R(,)
1
u
2
1
u
2
1
u
2
du
,
则u
_____
22
(A) tan
3．
x
2
(B) cot
x
(C) tanx (D) cotx
2
sinxcosx
sin
4
x
coc
4
x
dx
________.
(A)
1
arctan(cos2x)c;
2
(B)
1
arctan(cos2x)c
2
1sin2x
1
(C) arctan(
cos2x)
+c, (D)
ln||
c.
2sin2x
1
4．
1
cosx
dx
_____.
1
cosx
(A) x+2cotx+cscx+c;
(C) -x+2 (cscx-cotx)+c;
5．
sinx(2cscx
cotx
1
)dx
_______.
3
sinx
(B) -x-2cotx+c;
(D) -x+cscx-cotx+c
(A) 2xsinx
cotxc
(C) 2
sinxcotxc;
二．计算题
1.
(B) 2x
sinxcotxc
(D)
xcscxcotxc
2
sinx
dx
2.
2
sinx
dx
2
sin
x
3.
1
tgx1
dx
4.
sin2x
1sin
x
cos
x
dx
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
59
sin
5
x
1
5.
6.
dx
dx
3
cos
2
x
7.
1
3
sin
2
x
dx
9.
1
3sin
x
4cos
x
dx
`11.
1
1
(2x
3)
2
dx
13.
dx
1
3
x
1
dx
15.
1
1
x
6
(1
x)
5
(1
3
1
x)
dx
sinxcosx
8.
sinx
sin
x
cos
x
dx
10.
sinxcosx
sin
x
cos
x
dx
12..
x
3
1
x
1
dx
14.
1
x
4
x
dx
16.
1
x
1
x
.
dx
x
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
60
第四章自测题
一.填空题
1.
(2
x)
dx
1
x
______.
2.
sin2x
dx
______.
1
sin
2
x
3.
11
sin
x
3
x
dx
______.
4.
xarctanxdx______.
5．已知ƒ'(x)=│x│,且
f(2)a
，则ƒ(x)=__________。
[f(x)]
6．
f
(x)dx
____________。
二.单项选择题
1. 对于不定积分
(A)
d
f(x)dx
,下列等式中 是正确的.
f(x)
； (B)
f
(x)dxf(x)
；
f(x)dx
(C)
df(x)f(x)
； (D)
2. 函数
f(x)
在
(,)
上连续,则
d
f(x)dx
等于______.
d
f(x)dxf(x)
；
dx
(A)
f(x)
； (B)
f(x)dx
； (C)
f(x)c
； (D)
f
(x)dx
3. 若
F(x)
和
G(x)
都是
f(x)
的原函数,则______.
(A)
F(x)G(x)0
； (B)
F(x)G(x)0
；
C)
F(x)G(x)c
,(常数)；
三.计算下列各题
1.
(D)
F(x)G(x)c
,(常数)；
x
a
2
x
2
dx
； 2.
dx
； 4.
x
1
dx
；
x
2
4x
13
3.
xarccosx
1
x
2
xe
x
e
1
x
2
dx
；
ln(
e
x
1)
dx
. 5.
xsinxdx
； 6.
e
x
7.
sinx
cosx
xsin2x
x
3
3
dx
8.
x
x
dx
1
x
1
x
1
2
2
9.
1
1
x
4
dx
10.
dx
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
61
11.
1
x
(1
x
)
dx
12.
dx
x
(1
x
)
dx
13.
x
1
x
x
1
2
dx
14.
xdx
5
x
x
2
x
0
1
15．设
f(x)
x
1
0
x
1
，求
2x
x
1
f(x)dx
。
四．设
f
(sin
2
x
)cos2
x
tan
2
x
,当0 f(x) . 五．设 F(x) 为 f(x) 的原函数,当 x0 时有 f(x)F(x)sin 2 2x ,且 F(0)1 , F(x)0 ,试求 f(x) . 六．确定 A , B 使下式成立： dxAsinxdx B (1 2cosx) 2 1 2cosx 1 2cos x 七．设 f(x) 的导函数 f (x) 的图象为过原点和点(2,0)的抛物线,开口向下,且 f(x) 极小值为2,极大值为6,求 f(x) .
2024年8月3日发(作者：督光启)
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
47
第四章 不 定 积 分
§ 4 – 1 不定积分的概念与性质
一.填空题
1．若在区间上
F
(x)f(x)
，则F(x)叫做
f(x)
在该区间上的一个 ,
f(x)
的
所有原函数叫做
f(x)
在该区间上的__________。
2．F(x)是
f(x)
的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________.
3．因为
d(arcsinx)
1
1
x
2
dx
,所以arcsinx是______的一个原函数。
4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与
x
3
成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该
曲线方程为__________ 。
二．是非判断题
1． 若f
x
的某个原函数为常数，则f
x
0. [ ]
2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ]
3．
f
x
dx
f
x
dx
. [ ]
4． 若f
x
在某一区间内不连续，则在这个区间内f
x
必无原函数. [ ]
5.
y
ln
ax
与
ylnx
是同一函数的原函数. [ ]
三．单项选择题
1．c为任意常数，且
F'(x)
=f(x),下式成立的有 。
（A）
F'(x)dx
f(x)+c; （B）
f(x)dx
=F(x)+c;
（C）
F(x)dx
F'(x)
+c; (D)
f'(x)dx
=F(x)+c.
2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)
0，则下式成立的有 。
（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;
（C）F(x)+G(x)=c; (D)
F(x)G(x)
=c.
3．下列各式中 是
f(x)sin|x|
的原函数。
(A)
ycos|x|
; (B) y=-|cosx|;
(c)y=
cosx,x
0,
cosx
2,x
0;
(D) y=
cosx
c
1
,x
0,
cosx
c
2
,x
0.
c
1
、
c
2
任意常数。
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
48
4.
F
(x)f(x)
,f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又
F(x)xf(x)x
2
，则f(x)=______.
(A)
2x1
(B)
x
2
1
(C)
2x1
(D)
x
2
1
5.设
f
(sin
2
x
)cos
2
x
，则f(x)=________.
(A)
sinx
1
sin
2
xc;
(B)
x
1
x
2
c;
(C)
sin
2
x
1
sin
4
xc;
(D)
x
2
1
x
4
c;
2
22
2
6.设a是正数，函数
f(x)a
x
,
(x)a
x
log
a
e,则
______.
(A)
f(x)是
(x)的导数；
(B)
(x)是f(x)的导数；
(C)
f(x)是
(x)的原函数；
(D)
(x)是f(x)的不定积分。
四．计算题
1.
m
x
n
dx
2.
dh
2gh
(
g是常数）
3．
（x1)(x1)dx
4.
5.
e(1
3
(1
x)
2
3
x
dx
x
e
x
x
)
dx
6.
3
2x
e
3x
dx
4sin
3
x
1
x
2
22x
2
dx
7.
dx
8.
2
sinx
x
2
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
49
1
cos
2
x
xx
2
9.
(cossin)dx
10.
dx
22
1
cos2x
2
2
3x
3
3
2x
cos2x
11.
dx
12.
dx
22
x
sinxcosx
3
13.
(
15.
(1
五．应用题
1．一曲线通过点(
e
,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该
曲线的方程.
2．一物体由静止开始运动,经t秒后的速度是3
t
(米/秒),问:
(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少?
(2) 物体走完360米需要多少时间
2
2
32
)dx
14.
secx(secxtanx)dx
2
2
1
x
1
x
1
)
xxdx
16.
2
x
1
x
dx
1
x
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
50
§4-2 换元积分法
一、填空题
1.
dx______d(ax)
(
(a0)
) 2.
dx______d(7x3)
3.
xdx_______d(x
2
)
4.
xdx______d(5x
2
)
5.
xdx______d(1x
2
)
6.
x
2
dx_______d(23x
3
)
7.
edx______d(e)
8.
e
2
2x2x
x
2
dx
______d(1
e)
x
1)dx
d(______)
3
x
2
9.
xe
2x
dx
d(_______)
10.
cos(
11.
dxdx
______d(5lnx)
12.
______d(35lnx)
xx
13.
sin(
t
)dtd(______)
14.
dx
1
x
2
______d(1
arcsinx)
15．
1
xx
1
2
dx
1
1
x
2
1
()
2
x
dx
1
x
_________
1
1
()
2
x
d
16.若
f(x)dxF(x)c,则
f(axb)dx________(a0)
二．是非判断题
lnx1
1
11
1．
dx
2
c
. [ ]
x
x
d
x
2
x
1
2．
x
1
x
dx
2arctgx
c
. [ ]
3．设
f
x
dxsinxc
，则
f
arcsinx
dx
x
c
. [ ]
1
x
2
4．已知
f
lnx
1,0
x
1,
x,1
x
,
且
x,
x
0,
f
0
0
，且
f
x
x
1,0
x
. [ ]
e
5．
sin
2
xdx
1
sin
3
xc
. [ ]
3
6．若
f
x
dxF
x
c
，则
f
g
x
dxF
g
x
c
. [ ]
三．单项选择题
1.
f
(3x)dx
_____.
(A)
1
1
f
(
x
)
c
;
(B)
f(3x)c;
3
3
(C)
3f(x)c;
(D)
3f(3x)c;
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
51
2.
f
(x)
.
1
[f(x)]
2
dx
________
(A)
ln|1f(x)|c;
(B)
1
ln|1[f(x)]
2
|c;
2
(C)
arctan[f(x)]c;
(D)
1
arctan[f(x)]c.
2
1
x
3.
dx
.
x
1
(A)
1
2ln|
x
|
x
C
(B)
2ln|x|xC
x
x
(C)
1
2ln|
x
|
C
(D)
ln|x|xC
x
3
2
x
2
3
x
dx
.
. 4.
x
2
2
33
3x
2ln
()
x
c;
(A) (B)
3x
2x(
3
)
x
1
c
22
2
x
2
3
2
3
(C)
3
c
c
(D)
3
ln3
ln2
2
ln3
ln2
2
x
5.
1
x
7
x(1
x
7
)
dx
______.
7
x
(A)
1
ln|
7
(1
x
7
)
2
1x
7
|
c;
(B)
7
ln|
1
x
7
|
c;
1x
6
1x
6
（C）
ln|
|
c
;
|
c;
(D)
ln|
6
1
x
6
6
(1
x
6
)
2
6.
|x|dx_____.
(A)
1
11
1
|
x
|
2
c
;
(B)
x
2
c;
(c)
x|x|c;
(D)
x
2
c;
2
22
2
e
3x
1
7.
x
dx
_____.
e
1
1
1
(A)
e
2x
e
x
x
c;
(B)
e
2x
e
x
c
;
2
2
1
1
(C)
e
2x
e
x
x
c;
(D)
e
2x
e
x
c
.
2
2
8.
e
1sin
2
x
sin2
x
的全体原函数是________.
(B) e
1sin
2
xc;
(A) e
1sin
2
x;
(C) e
1sin
2
xc
(D) e
1
sin
2
x
c
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
52
四．计算题
1．
x
(2x
2
3)
30
dx
2.
1
dx
7
3．
e
4
x
dx
5.
e
x
cos(e
x
)dx
7.
tg
10
xsec
2
xdx
9.
cosx
sinx
cosx
sinx
dx
11.
x
1
x
2
1
x
2
e
dx
13.
sin
3
xcos
5
xdx
(1
2x)
3
4.
lnx
x
dx
6.
cosxe
sinx
dx
8.
sin
3
xdx
10.
dx
xsin
2
x
1
12.
(1
1
x
x
x
2
)
edx
14.
f'(x)
f(x)
dx
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
53
15.
dx
dx
dx
dx
16.
x
x
e
e
(xlnx)lnlnx
e
2x
cosx
17.
dx
2
x
1
e
19.
ctgx
lnsinx
dx
21.
sinxcosx
1
sin
4
x
dx
23.
x
2
a
2
x
2
dx
2
25.
x
9
x
dx
27.
dx
1
2
x
sinx
6sinx
12
20.
cos
2
(
t
)sin(
t
)dx
22.
sin2xcos3xdx
24.
1
(x
2
1)
3
dx
26.
1
1
1
x
2
dx
28.
dx
1
e
x
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
54
4-3 分部积分法
一．单项选择题
1.
xf
""
(
x
)
dx
___.
(A)x
f
'
(
x
)
f
(
x
)
c
;
(B) x
f
'
(x)f
'
(x)c;
(c) x
f
'
(
x
)
f
(
x
)
c
;
(D)
xf
'
(
x
)
2.
sinxln(tanx)dx___.
(A)－cosxln(tanx)+ln|tan
(c)ln(tanx)+ln|tan
3.
x
sin
2
xdx
___.
(A)
f
(
x
)
dx
.
x
|
c
;
(B)cosxln(tanx)+ln|cscx－cotx|+c;
2
x
|
c
;
(D)－cosxln(tanx)+ln|sinx|+c.
2
11
1
2
1
xxsin2xc;
(B)
x
2
cos2
xc
;
48
44
(C)xcosx－sinx+c; (D)
1
x
2
1
cos2xc;
8
4
x
4.
arcsin
dx
__.
2
x
(A)
1
1
arcsin
x
ln|csc
x
cot
x
|
c
;
(B)
arcsin
x
ln|cot
x
csc
x
|
c
;
x
x
2
11
1
x
2
11
1
x
(C)
arcsinx
ln||
c;
(D)
arcsinx
ln||
c;
xx
xx
x
5.
arctane
dx
__.
e
x
11
arctane
x
ln(1
e
2x
)
c
;
(B)
ln(1
e
2x
)
e
x
arctan
e
x
x
c
;
22
1
xx2x
(C)arctan
e
x
(e
x
1)c;
(D)
earctane
x
ln(1
e
)
c
;
2
lnx
2
)
dx
__.
6.
(
x
1
2
1
2
(A)
(lnx
2lnx
2)
c;
(B)
lnx2lnxc
;
xx
(A)
e
x
1
121
(C)
ln
2
x
lnx
c;
(D)
e
x
arctane
x
x
ln(1
e
2x
)
c
.
2
xxx
2
7．
(arcsin
x
)
dx
___.
(A)arcsinx(xarcsinx
21x
2
)2xc;
(B)arcsinx(xarcsinx+2
1x
2
)2xc;
(C)arcsinx(xarcsinx+2
1x
2
)c;
(D)arcsinx(xarcsinx+2
1x
2
2)c;
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
55
二．计算题
1、
x
2
lnxdx
2、
x
2
cosxdx
3、
xtg
2
xdx
5、
e
3
x
dx
7、
(lnx)
2
dx
9、
(lnx)
3
x
2
dx
4、
xcosx
sin
3
x
dx
6、
(
x
2
2
x
5)
e
x
dx
8、
cos(lnx)dx
10、
xtgxsec
4
xdx
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
56
4-4 几种特殊类型的积分（一）
一．单项选择题
4
x
1．
x
4
5x
2
4
dx
__.
(A) x
arctan
8
3
x1
1
arctanx
c;
(B) x
c;
23
3arctanx
2
8
(C) ln
(
x
4
)
c;
(D) x
c.
x
2
1
2．
x
x
4
2x
2
1
dx
__.
(A)
1x
2
(2
1)
42
ln|
x
2
(2
1)
|
c;
2
(C)
1
42
ln|
x
2
1)
x
2
(2
1)
|
c;
3．
x
3
x
8
3
dx
____
(A)
1x
2
43
arctan
3
c;
(C)
1x
4
23
arctan
3
c
4．
dx
x(x
10
2)
______.
(A) ln
dx
(
x
10
2)
+arctanx
5
c;
(C)
1x
10
20
ln(
x
10
2
)
c;
5．
3x
2
x
2
2x
5
dx
_______.
(A)
3
2
ln|x
2
2x
5|
1x
1
2
arctan
2
2;
(C)
3
2
1x
2
(x
2x
5)
1
2
arctan
2
c;
二．计算题
1、
x
2
x
x
3
x
2
x
1
dx
3arctanx
(B)
2
1
2
ln|
x
(2
1)
4x
2
(2
1)
|
c;
(D)
1
42
ln|
x
1
2
x
2
1
2
|
c.
(B)
1
43
arctan
x
4
3
c
(D)
1
23
arctan
x
2
3
c
(B)
1
2
ln(
x
10
2
x
10
)
c;
1
x
5
(D)
6
ln(
2
x
10
)
c
(B)
3x
1
2
x
2
tan
2
c;
(D) ln|x
2
2x
5|
tan
x
1
2
c
2、
2x
3
x
2
3x
10
dx
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
57
x
5
x
4
8
x
2
1
3、
dx
4、
dx
3
x
x
5、
x
(x
1)(x
2)(x
3)
dx
7、
dx
x
(
x
2
1)
9、
dx
x
4
1
(x
1)
2
(x
1)
6、
3
x
3
1
dx
8、
dx
(
x
2
1)(
x
2
x
)
10、
dx
(
x
2
1)(
x
2
x
1)
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
58
4-5 几种特殊类型的积分（二）
一．单项选择题
1．
1
的全体原函数
是———。
1
sinx
(A) tanx
1
c;
(B)
sinx
2
1
tan
x
2
c;
(C)
tanx
1
c;
(D) tanx+
1
c
sinx
cosx
2
u11
2．若
R(sinx,cosx)dx
R(,)
1
u
2
1
u
2
1
u
2
du
,
则u
_____
22
(A) tan
3．
x
2
(B) cot
x
(C) tanx (D) cotx
2
sinxcosx
sin
4
x
coc
4
x
dx
________.
(A)
1
arctan(cos2x)c;
2
(B)
1
arctan(cos2x)c
2
1sin2x
1
(C) arctan(
cos2x)
+c, (D)
ln||
c.
2sin2x
1
4．
1
cosx
dx
_____.
1
cosx
(A) x+2cotx+cscx+c;
(C) -x+2 (cscx-cotx)+c;
5．
sinx(2cscx
cotx
1
)dx
_______.
3
sinx
(B) -x-2cotx+c;
(D) -x+cscx-cotx+c
(A) 2xsinx
cotxc
(C) 2
sinxcotxc;
二．计算题
1.
(B) 2x
sinxcotxc
(D)
xcscxcotxc
2
sinx
dx
2.
2
sinx
dx
2
sin
x
3.
1
tgx1
dx
4.
sin2x
1sin
x
cos
x
dx
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
59
sin
5
x
1
5.
6.
dx
dx
3
cos
2
x
7.
1
3
sin
2
x
dx
9.
1
3sin
x
4cos
x
dx
`11.
1
1
(2x
3)
2
dx
13.
dx
1
3
x
1
dx
15.
1
1
x
6
(1
x)
5
(1
3
1
x)
dx
sinxcosx
8.
sinx
sin
x
cos
x
dx
10.
sinxcosx
sin
x
cos
x
dx
12..
x
3
1
x
1
dx
14.
1
x
4
x
dx
16.
1
x
1
x
.
dx
x
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
60
第四章自测题
一.填空题
1.
(2
x)
dx
1
x
______.
2.
sin2x
dx
______.
1
sin
2
x
3.
11
sin
x
3
x
dx
______.
4.
xarctanxdx______.
5．已知ƒ'(x)=│x│,且
f(2)a
，则ƒ(x)=__________。
[f(x)]
6．
f
(x)dx
____________。
二.单项选择题
1. 对于不定积分
(A)
d
f(x)dx
,下列等式中 是正确的.
f(x)
； (B)
f
(x)dxf(x)
；
f(x)dx
(C)
df(x)f(x)
； (D)
2. 函数
f(x)
在
(,)
上连续,则
d
f(x)dx
等于______.
d
f(x)dxf(x)
；
dx
(A)
f(x)
； (B)
f(x)dx
； (C)
f(x)c
； (D)
f
(x)dx
3. 若
F(x)
和
G(x)
都是
f(x)
的原函数,则______.
(A)
F(x)G(x)0
； (B)
F(x)G(x)0
；
C)
F(x)G(x)c
,(常数)；
三.计算下列各题
1.
(D)
F(x)G(x)c
,(常数)；
x
a
2
x
2
dx
； 2.
dx
； 4.
x
1
dx
；
x
2
4x
13
3.
xarccosx
1
x
2
xe
x
e
1
x
2
dx
；
ln(
e
x
1)
dx
. 5.
xsinxdx
； 6.
e
x
7.
sinx
cosx
xsin2x
x
3
3
dx
8.
x
x
dx
1
x
1
x
1
2
2
9.
1
1
x
4
dx
10.
dx
专业 班级 姓名 学号 成绩 时间
61
11.
1
x
(1
x
)
dx
12.
dx
x
(1
x
)
dx
13.
x
1
x
x
1
2
dx
14.
xdx
5
x
x
2
x
0
1
15．设
f(x)
x
1
0
x
1
，求
2x
x
1
f(x)dx
。
四．设
f
(sin
2
x
)cos2
x
tan
2
x
,当0 f(x) . 五．设 F(x) 为 f(x) 的原函数,当 x0 时有 f(x)F(x)sin 2 2x ,且 F(0)1 , F(x)0 ,试求 f(x) . 六．确定 A , B 使下式成立： dxAsinxdx B (1 2cosx) 2 1 2cosx 1 2cos x 七．设 f(x) 的导函数 f (x) 的图象为过原点和点(2,0)的抛物线,开口向下,且 f(x) 极小值为2,极大值为6,求 f(x) .