2024年8月25日发(作者：越峻)
第2课时 习题课 对数函数图象和性质的应用
A级必备知识基础练
1.已知函数f(x)=log
3
(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为(
)
A.(0,+∞)
C.(1,2)
B.
0,
1
(
2
)
4
+m的值域为R,则m的取值范围为(
)
5
x
D.(-∞,0)
2.已知函数f(x)=lg5
x
+
A.(-4,+∞)
C.(-∞,4)
3.已知函数f(x)=
是
.
B.[-4,+∞)
D.(-∞,-4]
{
log
2
x,x>0,
3,x≤0,
x
直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f
()
1
=0,则不等式f(lo
g
1
x)>0的解集
8
3
为
.
5.求函数y=log
a
(a-ax)的单调区间.
6.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.
1
B级关键能力提升练
7.若函数f(x)=log
2
(x
2
-ax-3a)在区间(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围是(
)
A.(-∞,4)B.(-4,4]
C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)
8.已知函数f(x)=
A.{x|x>-1}
B.{x|-1 C.{x|x>-1,且x≠0} D. x∨-1 1 { log 2 x+a,x>0, 若f(4)=3,则f(x)>0的解集为( ) ax+1,x≤0, { 2 } 9.(多选题)(2021江苏镇江扬中第二高级中学高一期末)下列结论中正确的有( ) A.函数f(x)=a x-1 +3(a>0,a≠1)的图象一定过定点P(1,3) B.函数f(x-1)的定义域是(1,3),则函数f(x)的定义域为(2,4) C.若log a >1,则a的取值范围是 1 2 1 ,1 2 D.若2 -x -2 y >ln x-ln(-y)(x>0,y<0),则x+y<0 10.已知函数y=log a x(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是 . 11.已知函数f(x)=log 2 1+ax (a为常数)是奇函数. x-1 (1)求a的值与函数f(x)的定义域; (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log 2 (x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围. 2 C级学科素养创新练 12.已知函数y=log 2 (x 2 -2kx+k)的值域为R,则实数k的取值范围是( ) A.(0,1)B.[0,1) C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.[1,+∞) 第2课时 习题课 对数函数图象和性质的应用 1.B 由于函数f(x)=log 3 (1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且函数y=log 3 u为增函数,则函数u=1-ax 在(-∞,2]上为减函数,且u=1-ax>0在(-∞,2]上恒成立,∴-a<0,得a>0,且u min =1-2a>0,解得a< 1 .因此,实数a的取值范围是 1 .故选B. 0, 2 2 2.D 令t=5 x + () 4 x 4 +m≥2 5· x +m=4+m,当且仅当x=log 5 2时,等号成立.则y=lgt. x 5 5 √ ∵值域为R,∴t可取(0,+∞)上的每一个正数, ∴4+m≤0,∴m≤-4,故选D. 3.(0,1] 函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0 3 4. 0, 1 ∪(2,+∞) ∵f(x)是R上的偶函数, ( 2 ) ∴它的图象关于y轴对称. ∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0]上单调递减.由f () 1 2 1 =0,得f 1 =0. - 33 () ∴f(lo g 1 x)>0,∴lo g 1 x<- 或lo g 1 x>,解得x>2或0 0, 888 1 3 1 3 () 1 ∪(2,+∞). 2 5.解令t=a-ax. ①当a>1时,y=log a t在定义域内是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax 所以y=log a (a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减. ②当0 a t在定义域内是减函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax x<1. 所以y=log a (a-ax)在区间(-∞,1)上单调递增. 综上所述,当a>1时,函数y=log a (a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减; 当0 a (a-ax)在区间(-∞,1)上单调递增. 6.解(1)要使函数f(x)有意义, 则 x+2>0, 解得-2 故所求函数f(x)的定义域为(-2,2). (2)f(x)为奇函数.证明如下: 由(1)知f(x)的定义域为(-2,2), { 2-x>0, 4 设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2), 且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x), 故f(x)为奇函数. 7.D 令g(x)=x 2 -ax-3a,则由函数f(x)=log 2 t在区间(-∞,-2]上单调递减,可得函数g(x)在区间(- ∞,-2]上单调递减,所以g(-2)>0,且 a ≥-2,解得-4≤a<4,故选D. 2 8.D ∵f(4)=log 2 4+a=3,∴a=1, ∴f(x)= { log 2 x+1,x>0, x+1,x≤0, 2 当x>0时,log 2 x+1>0,∴log 2 x>-1=log 2 1 , ∴x> 1 . 2 当x≤0时,x+1>0,∴x>-1.∴-1 综上,-1 1 . 2 对于A选项,f(x)=a x-1 +3(a>0,a≠1),令x-1=0,可得x=1,f(1)=a 0 +3=4, 所以函数f(x)的图象过定点(1,4),A选项错误; 对于B选项,1 对于C选项,当0 a 1 >1=log a a,可得a> 1 ,此时 1 222 当a>1时,由log a 1 >1=log a a,可得a< 1 ,此时a∈⌀. 22 综上所述,实数a的取值范围是 1 ,1,C选项正确; 2 对于D选项,当x>0,y<0时,由2 -x -2 y >lnx-ln(-y),可得2 -x -lnx>2 y -ln(-y), 构造函数f(x)=2 -x -lnx(x>0),则f(x)>f(-y), 由于函数y 1 =2 -x ,y 2 =-lnx在(0,+∞)上均为减函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,则x<-y,即 x+y<0,D选项正确. 5 故选CD. 10. 1 ,1 ∪(1,2] 当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上单调递增,由log a 2≥1,得1 [ ) 2 当0 a x在区间(2,+∞)上单调递减,且log a 2≤-1,得 1 ≤a<1. 2 故a的取值范围是 [ ) 1 ∪(1,2]. ,1 2 x-1 11.解(1)∵函数f(x)=log 2 1+ax 是奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴log 2 1-ax =-log 2 1+ax . -x-1x-1 即log 2 ax-1 =log 2 x-1 ,∴a=±1. x+11+ax 当a=-1时,f(x)=log 2 1-x 无意义,舍去,∴a=1. x-1 令 1+x >0,解得x<-1或x>1. x-1 所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}. (2)f(x)+log 2 (x-1)=log 2 (1+x), 当x>1时,x+1>2,∴log 2 (1+x)>log 2 2=1. ∵x∈(1,+∞),f(x)+log 2 (x-1)>m恒成立, ∴m≤1.故m的取值范围是(-∞,1]. 12.C 令t=x 2 -2kx+k,由y=log 2 (x 2 -2kx+k)的值域为R,故其真数x 2 -2kx+k必能取到(0,+∞) 内的所有值,故函数t=x 2 -2kx+k的图象一定恒与x轴有交点,所以Δ=4k 2 -4k≥0,即k≤0或k≥1. 6 2024年8月25日发(作者：越峻) 第2课时 习题课 对数函数图象和性质的应用 A级必备知识基础练 1.已知函数f(x)=log 3 (1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为( ) A.(0,+∞) C.(1,2) B. 0, 1 ( 2 ) 4 +m的值域为R,则m的取值范围为( ) 5 x D.(-∞,0) 2.已知函数f(x)=lg5 x + A.(-4,+∞) C.(-∞,4) 3.已知函数f(x)= 是 . B.[-4,+∞) D.(-∞,-4] { log 2 x,x>0, 3,x≤0, x 直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f () 1 =0,则不等式f(lo g 1 x)>0的解集 8 3 为 . 5.求函数y=log a (a-ax)的单调区间. 6.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x). (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明. 1 B级关键能力提升练 7.若函数f(x)=log 2 (x 2 -ax-3a)在区间(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,4)B.(-4,4] C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4) 8.已知函数f(x)= A.{x|x>-1} B.{x|-1 C.{x|x>-1,且x≠0} D. x∨-1 1 { log 2 x+a,x>0, 若f(4)=3,则f(x)>0的解集为( ) ax+1,x≤0, { 2 } 9.(多选题)(2021江苏镇江扬中第二高级中学高一期末)下列结论中正确的有( ) A.函数f(x)=a x-1 +3(a>0,a≠1)的图象一定过定点P(1,3) B.函数f(x-1)的定义域是(1,3),则函数f(x)的定义域为(2,4) C.若log a >1,则a的取值范围是 1 2 1 ,1 2 D.若2 -x -2 y >ln x-ln(-y)(x>0,y<0),则x+y<0 10.已知函数y=log a x(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是 . 11.已知函数f(x)=log 2 1+ax (a为常数)是奇函数. x-1 (1)求a的值与函数f(x)的定义域; (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log 2 (x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围. 2 C级学科素养创新练 12.已知函数y=log 2 (x 2 -2kx+k)的值域为R,则实数k的取值范围是( ) A.(0,1)B.[0,1) C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.[1,+∞) 第2课时 习题课 对数函数图象和性质的应用 1.B 由于函数f(x)=log 3 (1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且函数y=log 3 u为增函数,则函数u=1-ax 在(-∞,2]上为减函数,且u=1-ax>0在(-∞,2]上恒成立,∴-a<0,得a>0,且u min =1-2a>0,解得a< 1 .因此,实数a的取值范围是 1 .故选B. 0, 2 2 2.D 令t=5 x + () 4 x 4 +m≥2 5· x +m=4+m,当且仅当x=log 5 2时,等号成立.则y=lgt. x 5 5 √ ∵值域为R,∴t可取(0,+∞)上的每一个正数, ∴4+m≤0,∴m≤-4,故选D. 3.(0,1] 函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0 3 4. 0, 1 ∪(2,+∞) ∵f(x)是R上的偶函数, ( 2 ) ∴它的图象关于y轴对称. ∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0]上单调递减.由f () 1 2 1 =0,得f 1 =0. - 33 () ∴f(lo g 1 x)>0,∴lo g 1 x<- 或lo g 1 x>,解得x>2或0 0, 888 1 3 1 3 () 1 ∪(2,+∞). 2 5.解令t=a-ax. ①当a>1时,y=log a t在定义域内是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax 所以y=log a (a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减. ②当0 a t在定义域内是减函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax x<1. 所以y=log a (a-ax)在区间(-∞,1)上单调递增. 综上所述,当a>1时,函数y=log a (a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减; 当0 a (a-ax)在区间(-∞,1)上单调递增. 6.解(1)要使函数f(x)有意义, 则 x+2>0, 解得-2 故所求函数f(x)的定义域为(-2,2). (2)f(x)为奇函数.证明如下: 由(1)知f(x)的定义域为(-2,2), { 2-x>0, 4 设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2), 且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x), 故f(x)为奇函数. 7.D 令g(x)=x 2 -ax-3a,则由函数f(x)=log 2 t在区间(-∞,-2]上单调递减,可得函数g(x)在区间(- ∞,-2]上单调递减,所以g(-2)>0,且 a ≥-2,解得-4≤a<4,故选D. 2 8.D ∵f(4)=log 2 4+a=3,∴a=1, ∴f(x)= { log 2 x+1,x>0, x+1,x≤0, 2 当x>0时,log 2 x+1>0,∴log 2 x>-1=log 2 1 , ∴x> 1 . 2 当x≤0时,x+1>0,∴x>-1.∴-1 综上,-1 1 . 2 对于A选项,f(x)=a x-1 +3(a>0,a≠1),令x-1=0,可得x=1,f(1)=a 0 +3=4, 所以函数f(x)的图象过定点(1,4),A选项错误; 对于B选项,1 对于C选项,当0 a 1 >1=log a a,可得a> 1 ,此时 1 222 当a>1时,由log a 1 >1=log a a,可得a< 1 ,此时a∈⌀. 22 综上所述,实数a的取值范围是 1 ,1,C选项正确; 2 对于D选项,当x>0,y<0时,由2 -x -2 y >lnx-ln(-y),可得2 -x -lnx>2 y -ln(-y), 构造函数f(x)=2 -x -lnx(x>0),则f(x)>f(-y), 由于函数y 1 =2 -x ,y 2 =-lnx在(0,+∞)上均为减函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,则x<-y,即 x+y<0,D选项正确. 5 故选CD. 10. 1 ,1 ∪(1,2] 当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上单调递增,由log a 2≥1,得1 [ ) 2 当0 a x在区间(2,+∞)上单调递减,且log a 2≤-1,得 1 ≤a<1. 2 故a的取值范围是 [ ) 1 ∪(1,2]. ,1 2 x-1 11.解(1)∵函数f(x)=log 2 1+ax 是奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴log 2 1-ax =-log 2 1+ax . -x-1x-1 即log 2 ax-1 =log 2 x-1 ,∴a=±1. x+11+ax 当a=-1时,f(x)=log 2 1-x 无意义,舍去,∴a=1. x-1 令 1+x >0,解得x<-1或x>1. x-1 所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}. (2)f(x)+log 2 (x-1)=log 2 (1+x), 当x>1时,x+1>2,∴log 2 (1+x)>log 2 2=1. ∵x∈(1,+∞),f(x)+log 2 (x-1)>m恒成立, ∴m≤1.故m的取值范围是(-∞,1]. 12.C 令t=x 2 -2kx+k,由y=log 2 (x 2 -2kx+k)的值域为R,故其真数x 2 -2kx+k必能取到(0,+∞) 内的所有值,故函数t=x 2 -2kx+k的图象一定恒与x轴有交点,所以Δ=4k 2 -4k≥0,即k≤0或k≥1. 6