2024年6月5日发(作者：尉迟绮波)
南京市2023届高三年级第二次模拟考试
数 学
2023.05
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡
上．
第 I 卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
2．已知复数z满足iz＝2－i，其中i为虚数单位，则
z
为
A．－1－2i B．1＋2i C．－1＋2i D．1－2i
A
＋
B
3．在△ABC中，角A，B，c的对边分别为a，b，c．若bsin
＝csinB，则角C的大小为
2
ππ2π5π
A． B． C． D．
6336
4．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已
知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加
铅球．下列说法正确的为
A．丙参加了铅球
C．丙参加了标枪
B．乙参加了铅球
D．甲参加了标枪
5．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统
文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示(图中●表示太极，表示
◖
阳仪，
◗
表示阴
仪)．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即a
1
为天一对应的经
历过的两仪数量总和0，a
2
为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，a
3
为衍生到天三时经
历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则a
15
为
大衍图
(第5题图)
A．84 B．98 C．112 D．128
6．直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何休，
若该几何体外接球表面积为
A．
16π
，则AC长为
3
3
B．1 C．
2
D．
3
2
xy
7．已知椭圆C：
＋＝
1(
a＞b＞0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆C交于点A，
ab
B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为
A．
7
3
B．
6
3
C．
7
6
D．
6
6
8．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)．若对任意x∈R有f′(x)＞1，f(1
＋x)＋f(1－x)＝0，且f(0)＝－2，则不等式f(x－1)＞x－1的解集为
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，
不选或有选错的得0分．
2
9．在(x－)
n
的展开式中
x
A．常数项为160
C．第4项的二项式系数为15
x
10．若实数x，y满足
－y
2
＝1，则
2
A．|x|≥
2
B．x
2
＋y
2
≥2
y1
C．＜
x2
D．|x－
2
y|≤
2
B．含x
2
项的系数为60
D．所有项的系数和为1
11．已知函数f(x)＝|e
x
－a|，a＞0．下列说法正确的为
A．若a＝1，则函数y＝f(x)与y＝1的图象有两个公共点
B．若函数y＝f(x)与y＝a
2
的图象有两个公共点，则0＜a＜1
C．若a＞1，则函数y＝f(f(x))有且仅有两个零点
D．若y＝f(x)在x＝x
1
和x＝x
2
处的切线相互垂直，则x
1
＋x
2
＝0
12．已知四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD为正方形，AA
1
＝AB，∠A
1
AB＝∠A
1
AD＝
60°，则
A．点A
1
在平面ABCD内的射影在AC上
B．AC
1
⊥平面A
1
BD
C．AC
1
与平面A
1
BD的交点是△A
1
BD的重心
D．二面角B
1
－BD－C的大小为45°
第II卷 (非选择题 共90分)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置
上．
13．若直线x－2y＋a＝0被圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为
▲ ．
14．幂函数f(x)＝x
α
(α∈R)满足：任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)＜f(2)＜2，请写出符合
上述条件的一个函数f(x)＝ ▲ ．
15．一个袋子中有n(n∈N*)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出
的两个球颜色不相同”发生的概率记为p(n)，则p(n)的最大值为 ▲ ．
16．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵
爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，
AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积
比为 ▲ ；②设
AD
＝λ
AB
＋μ
AC
，则λ＋μ＝ ▲ ．(第一空2分，第二空3分)
(图1) (图2)
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知f(x)＝sinωx－
3
cosωx，ω＞0．
π3π
(1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，求f(
)的值；
22
ππ
(2)若函数f(x)的图象关于(
，0)对称，且函数f(x)在[0，
]上单调，求ω的值．
34
18．(本小题满分12分)
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝2，(n－2)S
n＋1
＋2a
n＋1
＝nS
n
，n∈N*．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
1117
(2)求证：
2
＋
2
＋…＋
2
＜．
a
a
a
16
2024年6月5日发(作者：尉迟绮波)
南京市2023届高三年级第二次模拟考试
数 学
2023.05
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡
上．
第 I 卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
2．已知复数z满足iz＝2－i，其中i为虚数单位，则
z
为
A．－1－2i B．1＋2i C．－1＋2i D．1－2i
A
＋
B
3．在△ABC中，角A，B，c的对边分别为a，b，c．若bsin
＝csinB，则角C的大小为
2
ππ2π5π
A． B． C． D．
6336
4．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的比赛项目不同．已
知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③若丙没有参加铅球，则甲参加
铅球．下列说法正确的为
A．丙参加了铅球
C．丙参加了标枪
B．乙参加了铅球
D．甲参加了标枪
5．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统
文化中的太极衍生即太极生两仪原理，如图所示(图中●表示太极，表示
◖
阳仪，
◗
表示阴
仪)．若数列的每一项都代表太极衍生过程中经历过的两仪数量总和，即a
1
为天一对应的经
历过的两仪数量总和0，a
2
为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2，a
3
为衍生到天三时经
历过的两仪数量总和4，…，按此规律，则a
15
为
大衍图
(第5题图)
A．84 B．98 C．112 D．128
6．直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何休，
若该几何体外接球表面积为
A．
16π
，则AC长为
3
3
B．1 C．
2
D．
3
2
xy
7．已知椭圆C：
＋＝
1(
a＞b＞0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆C交于点A，
ab
B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为
A．
7
3
B．
6
3
C．
7
6
D．
6
6
8．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)．若对任意x∈R有f′(x)＞1，f(1
＋x)＋f(1－x)＝0，且f(0)＝－2，则不等式f(x－1)＞x－1的解集为
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，
不选或有选错的得0分．
2
9．在(x－)
n
的展开式中
x
A．常数项为160
C．第4项的二项式系数为15
x
10．若实数x，y满足
－y
2
＝1，则
2
A．|x|≥
2
B．x
2
＋y
2
≥2
y1
C．＜
x2
D．|x－
2
y|≤
2
B．含x
2
项的系数为60
D．所有项的系数和为1
11．已知函数f(x)＝|e
x
－a|，a＞0．下列说法正确的为
A．若a＝1，则函数y＝f(x)与y＝1的图象有两个公共点
B．若函数y＝f(x)与y＝a
2
的图象有两个公共点，则0＜a＜1
C．若a＞1，则函数y＝f(f(x))有且仅有两个零点
D．若y＝f(x)在x＝x
1
和x＝x
2
处的切线相互垂直，则x
1
＋x
2
＝0
12．已知四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD为正方形，AA
1
＝AB，∠A
1
AB＝∠A
1
AD＝
60°，则
A．点A
1
在平面ABCD内的射影在AC上
B．AC
1
⊥平面A
1
BD
C．AC
1
与平面A
1
BD的交点是△A
1
BD的重心
D．二面角B
1
－BD－C的大小为45°
第II卷 (非选择题 共90分)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置
上．
13．若直线x－2y＋a＝0被圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则实数a的值为
▲ ．
14．幂函数f(x)＝x
α
(α∈R)满足：任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)＜f(2)＜2，请写出符合
上述条件的一个函数f(x)＝ ▲ ．
15．一个袋子中有n(n∈N*)个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出
的两个球颜色不相同”发生的概率记为p(n)，则p(n)的最大值为 ▲ ．
16．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵
爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，
AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①△DEF与△ABC的面积
比为 ▲ ；②设
AD
＝λ
AB
＋μ
AC
，则λ＋μ＝ ▲ ．(第一空2分，第二空3分)
(图1) (图2)
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知f(x)＝sinωx－
3
cosωx，ω＞0．
π3π
(1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，求f(
)的值；
22
ππ
(2)若函数f(x)的图象关于(
，0)对称，且函数f(x)在[0，
]上单调，求ω的值．
34
18．(本小题满分12分)
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝2，(n－2)S
n＋1
＋2a
n＋1
＝nS
n
，n∈N*．
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
1117
(2)求证：
2
＋
2
＋…＋
2
＜．
a
a
a
16