2024年6月5日发(作者：国芳菲)

2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知

i

是实数集，复数

z

满足

zzi3i

，则复数

z

的共轭复数为

．．

A

．

12i

【答案】

C

【分析】将

zzi3i

化为

z



B

．

12i

C

．

2i

D

．

2i

3



i

，对其进行化简得到

z2i

，利用共轭复数的性质得到

1



i

3



i

1



i

z2i

．

【详解】

zzi3i

可化为

z





z

=

3

+

i

(3

+

i

)(1

-

i

)4

-

2

i

=

==

2

-

i

1

+

i

(1

+

i

)(1

-

i

)2



z

的共轭复数为

z2i

故选

C

．

【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母

“

实数化

”

．

x

2

y

2

2．方程



1

表示双曲线，则

m

的取值范围是（

2



m

2



m

A

．

2m2

C．

m0

【答案】

A

B

．

m0

D．

m2

）

【分析】根据双曲线的定义以及双曲线方程的标准形式可知

2m

与

2m

同号列不等式即可求解

.

x

2

y

2

【详解】因为方程



1

表示双曲线，

2



m

2



m

所以



2m



2m



0

，

即



m2



m2



0

，

解得：

2m2

.

故选：

A.

3．已知数据

x

1

，

x

2

，

x

3

，

x

4

，

x

5

的方差为5，则数据

2x

1

3

，

2x

2

3

，

2x

3

3

，

2x

4

3

，

2x

5

3

的

方差为（

A

．

10

【答案】

D

【分析】利用数据线性变换前后方差的关系，求得所求的方差

.

）

B

．

15C

．

17D

．

20

【详解】因为数据

x

1

，

x

2

，

x

3

，

x

4

，

x

5

的方差为5，所以数据

2x

1

3

，

2x

2

3

，

2x

3

3

，

2x

4

3

，

2x

5

3

的方差为

52

2

20

.

故选：

D

【点睛】本小题主要考查数据线性变换前后方差的关系，属于基础题

.

4

．具有线性相关关系的变量

x

，

y

，满足一组数据如表所示，

y

与

x

的回归直线方程为

y3x1.5

，

则

m

的值为

x

0

12

3

y

1

m

4m

8

A．

1

【答案】A

B．

1.5

C．

2

D．

2.5

【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.

【详解】

x1.5

y



中心点为：

(1.5,

5

m



7

4

5

m

7

)

代入回归方程

4

5

m



7



4.5



1.5



m



1

4

故答案选A

【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.

5．魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算注》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失

弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如

12

12

12

x

在正数

1



12

中的

“…”

代表无限次重复，设

1



12

，则可利用方程

x



求得

x

，类似地可

1



x

1



1



得正数

555

等于（

A．3

【答案】B

B．5

）

C．7D．9

【分析】设

555x

，然后解方程

x5x

即可得．

【详解】设

555x

，则

x5x

，解得

x5

．

故选：B．

x

2

y

2

6．已知双曲线C：

2



2



1(

a



0,

b



0)

的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：

ab

1

，则双曲线

C

的渐近线方程为（

A．

y22x

【答案】

A

B．

y2x

）

C．

y

2

x

2

D．

y

2

x

4

【分析】根据相似三角形，直接得到

c

3

，计算渐近线的斜率.

a

【详解】如图，可知焦点

F

到渐近线的距离与顶点

A

到渐近线的距离之比为

3

：

1

，

c

bc

2

即

3

，



1



22

，

a

aa

2

所以双曲线的渐近线方程为

y22x

.

故选：

A.

7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为

（）

11

，则判断框中填写的内容可以是

12

A

．

n5

C

．

n6

【答案】

C

B

．

n6

D

．

n9

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的

S

，

n

的值，当

n8

时，

S

满足条件，退出循环，输出

S

的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．

11

，此时应该不

12

【详解】解：模拟执行程序框图，可得

S0

，

n2

；

满足条件，

S

满足条件，

S

满足条件，

S

1

，

n4

；

2

113



，

n6

；

244

11111



，

n8

；

24612

11

；

12

由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为

故判断框中填写的内容可以是

n6

.

故选：

C.

【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的

S

值是解题的关键，属于基础

题．



x



1



2cos



l:xy40

C

:

8．已知直线

与圆



，则

C

上各点到

l

的距离的最小值为



y



1



2sin



A．

222

【答案】

A

B．

2

C．

22

D．

25

【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系

为相离，最近距离为

dr

.



x



1



2cos



【详解】将圆

C

:



化成在平面直角坐标系下的形式，圆

C:(x1)

2

(y1)

2

4

，圆心

C



y



1



2sin



为

(1,1)

，半径

r2

.

已知直线

l:xy40

，那么，圆心

C

到直线

l

的距离为

d



|1



1



4|

1



(



1)

22



22



r

，故直线

l

与圆

C

相离，所以

C

上各点到

l

的距离的最小值为

dr222

.

故答案为

A.

【点睛】本题考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型

.

9．定义在



0,





上的可导函数

f



x



满足

f'



x



xf



x



，且

f



2



0

，则

A．



0,2



【答案】

A

【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性求解不等式，可得结果

.

B．



0,2



U



2,



C．



2,





D．



f



x





0

的解集为（

x

）

【详解】令

F



x





f



x



xf

'



x





f



x



，则

F

'



x





x

x

2

由

f'



x



xf



x



，即

xf'



x



f



x



0

所以当

x



0,



时，

F'



x



0

可知函数

F



x



在

x



0,



单调递减

又

f



2



0

若

F



x





则

f



x





0

，则

0x2

x

f



x





0

的解集为



0,2



x

故选：

A

【点睛】本题主要通过构造函数，利用函数的单调性求解不等式，属中档题

.

10．如图过抛物线

y

2

4x

焦点的直线依次交抛物线与圆



x1



y

2

1

于A、B、C、D，则

ABCD

2

A．4

【答案】

C

B．2C．1D．

2

1

【分析】根据抛物线的几何意义转化

ABAF

1=

x

A

，

CDDF

1

x

D

，再通过直线过焦点可知

p

2

，即可得到答案.

x

A

x

D



4

【详解】抛物线焦点为

F



1,0



，

ABAF

1=

x

A

,

CDDF

1

x

D

,，于是

p

2

ABCDx

A

x

D



1

，故选C.

4

【点睛】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算

能力及分析能力

.

11．四张卡片的正面分别写上

ycosx

，

ytanx2sinx

，

ysinxsinx

，

ysinxcosxsinxcosx

，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡

片所书写函数周期相同的概率为（

A

．

2

3

）

C

．

1

3

B

．

1

6

D

．

2

1

【答案】B

【分析】确定各个函数的周期，

ycosx

的周期为

π

，

ytanx2sinx

的周期为

2π

，

ysinxsinx

不是周期函数，

ysinxcosxsinxcosx

周期为

2π

，再计算概率得到答案

.

【详解】

ycosx

的图像是由

ycosx

的图像

x

轴下方的部分向上翻折形成，故周期为

π

；

ytanx

的周期为

π

，

y2sinx

的周期为

2π

，故

ytanx2sinx

的周期为

2π

；

ysinx

不是周期函数，故

ysinxsinx

不是周期函数，



2sin

x

,sin

x



cos

x

y



sin

x



cos

x



sin

x



cos

x





，画出函数图像，如图所示：



2cos

x

,sin

x



cos

x

根据图像知函数周期为

2π

.

设四张卡片分别为

1

，

2

，

3

，

4

，则共有



1,2



,



1,3



,



1,4



,



2,3



,



2,4



,



3,4



6

种选择，

1

满足条件的只有

1

种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为

.

6

故选：B







12

．若



x





0,



，不等式

xsinxmxcosx

恒成立，则正实数

m

的取值范围是（



2





3



（

0

，

1]

（

0

，

2]

（

3

，

+∞

）

A

．

B

．

C

．



,2



D

．



2



）

【答案】B







时结论显然成立，当

x





0,



，分离参数

m

，

xsinxmxcosx

恒成立等

2



2



x



sin

x

x



sin

x







价于

m



，令函数

f

(

x

)



，

x





0,



，利用导数研究函数

f(x)

在

x

cos

x

x

cos

x



2



【分析】当

x0

和

x















x





0,



上的单调性，进而求出函数

f(x)

在

x





0,



上的最小值，即可求出

m

．



2



2



【详解】当

x0

时，显然不等式

xsinxmxcosx

恒成立，

当

x





2

时，显然不等式

xsinxmxcosx

恒成立

x



sin

x











当

x





0,



，由不等式

xsinxmxcosx

恒成立，有

m



，

x





0,



在恒成立，

x

cos

x



2



2



x



x

2

sin

x



sin

x

cos

x

x



sin

x









令

f

(

x

)



，

x





0,



，则

f

(

x

)



，

x

cos

x

(

x

cos

x

)

2



2









令

g(x)xx

2

sinxsinxcosx

，

x





0,



，则

g



(x)12xsinxx

2

cosxcos2x0

，



2









∴

g(x)

在

x





0,



上单调递增，∴

g(x)g(0)0

，即

f



(x)0

，



2









∴

f(x)

在

x





0,



上单调递增，∵当

x0

时，

f(x)2

，



2



x



sin

x











∴当

x





0,



时，

f(x)2

恒成立，∵

m



，在

x





0,



恒成立，

x

cos

x



2



2



∴

m2

，

因此正实数

m

的取值范围为



0,2



．

故选

B

．

【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立的问题，解题的关键是分离参数，得到新函数，

利用导数研究函数的单调性以及最值，有一定综合性，属于基础题．

二、填空题

13．已知复数

z



【答案】

0

【分析】先化简求得

z

再计算实部和虚部的和即可

.

【详解】

z



故答案为：

0

【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念

,

属于基础题型

.

14

．对某同学的

7

次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的

以下说法：

2

i



1



i



2

i



1



i

,故实部和虚部之和为

110

.

1



i



1



i



1



i



2

i

，则复数

z

的实部和虚部之和为______.

1



i

①中位数为

84

；②众数为

83

；

③平均数为

85

；④极差为

16

；

其中，正确说法的序号是

__________

．

【答案】②④

【分析】先根据茎叶图将各数据从小到大排列，再利用中位数、众数、平均数与极差的定义求解即

可

.

【详解】将各数据按从小到大排列为：

76

，

78

，

83

，

83

，

85

，

91

，

92

．

易得中位数是

83

，故①错误；

众数是

83

，故②正确；

平均数为

76



78



83



83



85



91



92



84

，故③错误．

7

极差是

927616

，故④正确．

故答案为：②④．

x

2

y

2

15．已知双曲线



2



1

的左、右焦点分别为

F

1

、

F

2

，过

F

2

且与

x

轴垂直的直线

l

与双曲线的两

4

b

1)

，动点

P(x，y)

在双曲线上，则

PMPF

2

的最条渐近线分别交于

A

、

B

两点，

|AB|35

，

M(4，

小值为

__________

．

【答案】

524

【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令

xc

，解得

y

，可得

AB

，由双曲线的基本量的关系，

解得

a,b,c

，可得双曲线的方程，讨论

P

在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，

结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．

【详解】由题意知：双曲线的左、右焦点分别为

F

1



c,0



，

F

2



c,0



，渐近线方程为：

y



b

x

a

令

xc

，解得：

y



bc

2

bc



35

，可得：

AB



aa

由

a2

，

c

2

a

2

b

2

，解得：

b5

，

c3

x

2

y

2

则双曲线的方程为：



1

，则

F

1



3,0



，

F

2



3,0



45

若

P

在左支上，由双曲线的定义可得：

PF

2

2aPF

1

2024年6月5日发(作者：国芳菲)

2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知

i

是实数集，复数

z

满足

zzi3i

，则复数

z

的共轭复数为

．．

A

．

12i

【答案】

C

【分析】将

zzi3i

化为

z



B

．

12i

C

．

2i

D

．

2i

3



i

，对其进行化简得到

z2i

，利用共轭复数的性质得到

1



i

3



i

1



i

z2i

．

【详解】

zzi3i

可化为

z





z

=

3

+

i

(3

+

i

)(1

-

i

)4

-

2

i

=

==

2

-

i

1

+

i

(1

+

i

)(1

-

i

)2



z

的共轭复数为

z2i

故选

C

．

【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母

“

实数化

”

．

x

2

y

2

2．方程



1

表示双曲线，则

m

的取值范围是（

2



m

2



m

A

．

2m2

C．

m0

【答案】

A

B

．

m0

D．

m2

）

【分析】根据双曲线的定义以及双曲线方程的标准形式可知

2m

与

2m

同号列不等式即可求解

.

x

2

y

2

【详解】因为方程



1

表示双曲线，

2



m

2



m

所以



2m



2m



0

，

即



m2



m2



0

，

解得：

2m2

.

故选：

A.

3．已知数据

x

1

，

x

2

，

x

3

，

x

4

，

x

5

的方差为5，则数据

2x

1

3

，

2x

2

3

，

2x

3

3

，

2x

4

3

，

2x

5

3

的

方差为（

A

．

10

【答案】

D

【分析】利用数据线性变换前后方差的关系，求得所求的方差

.

）

B

．

15C

．

17D

．

20

【详解】因为数据

x

1

，

x

2

，

x

3

，

x

4

，

x

5

的方差为5，所以数据

2x

1

3

，

2x

2

3

，

2x

3

3

，

2x

4

3

，

2x

5

3

的方差为

52

2

20

.

故选：

D

【点睛】本小题主要考查数据线性变换前后方差的关系，属于基础题

.

4

．具有线性相关关系的变量

x

，

y

，满足一组数据如表所示，

y

与

x

的回归直线方程为

y3x1.5

，

则

m

的值为

x

0

12

3

y

1

m

4m

8

A．

1

【答案】A

B．

1.5

C．

2

D．

2.5

【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.

【详解】

x1.5

y



中心点为：

(1.5,

5

m



7

4

5

m

7

)

代入回归方程

4

5

m



7



4.5



1.5



m



1

4

故答案选A

【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.

5．魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算注》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失

弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如

12

12

12

x

在正数

1



12

中的

“…”

代表无限次重复，设

1



12

，则可利用方程

x



求得

x

，类似地可

1



x

1



1



得正数

555

等于（

A．3

【答案】B

B．5

）

C．7D．9

【分析】设

555x

，然后解方程

x5x

即可得．

【详解】设

555x

，则

x5x

，解得

x5

．

故选：B．

x

2

y

2

6．已知双曲线C：

2



2



1(

a



0,

b



0)

的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：

ab

1

，则双曲线

C

的渐近线方程为（

A．

y22x

【答案】

A

B．

y2x

）

C．

y

2

x

2

D．

y

2

x

4

【分析】根据相似三角形，直接得到

c

3

，计算渐近线的斜率.

a

【详解】如图，可知焦点

F

到渐近线的距离与顶点

A

到渐近线的距离之比为

3

：

1

，

c

bc

2

即

3

，



1



22

，

a

aa

2

所以双曲线的渐近线方程为

y22x

.

故选：

A.

7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为

（）

11

，则判断框中填写的内容可以是

12

A

．

n5

C

．

n6

【答案】

C

B

．

n6

D

．

n9

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的

S

，

n

的值，当

n8

时，

S

满足条件，退出循环，输出

S

的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．

11

，此时应该不

12

【详解】解：模拟执行程序框图，可得

S0

，

n2

；

满足条件，

S

满足条件，

S

满足条件，

S

1

，

n4

；

2

113



，

n6

；

244

11111



，

n8

；

24612

11

；

12

由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为

故判断框中填写的内容可以是

n6

.

故选：

C.

【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的

S

值是解题的关键，属于基础

题．



x



1



2cos



l:xy40

C

:

8．已知直线

与圆



，则

C

上各点到

l

的距离的最小值为



y



1



2sin



A．

222

【答案】

A

B．

2

C．

22

D．

25

【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系

为相离，最近距离为

dr

.



x



1



2cos



【详解】将圆

C

:



化成在平面直角坐标系下的形式，圆

C:(x1)

2

(y1)

2

4

，圆心

C



y



1



2sin



为

(1,1)

，半径

r2

.

已知直线

l:xy40

，那么，圆心

C

到直线

l

的距离为

d



|1



1



4|

1



(



1)

22



22



r

，故直线

l

与圆

C

相离，所以

C

上各点到

l

的距离的最小值为

dr222

.

故答案为

A.

【点睛】本题考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型

.

9．定义在



0,





上的可导函数

f



x



满足

f'



x



xf



x



，且

f



2



0

，则

A．



0,2



【答案】

A

【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性求解不等式，可得结果

.

B．



0,2



U



2,



C．



2,





D．



f



x





0

的解集为（

x

）

【详解】令

F



x





f



x



xf

'



x





f



x



，则

F

'



x





x

x

2

由

f'



x



xf



x



，即

xf'



x



f



x



0

所以当

x



0,



时，

F'



x



0

可知函数

F



x



在

x



0,



单调递减

又

f



2



0

若

F



x





则

f



x





0

，则

0x2

x

f



x





0

的解集为



0,2



x

故选：

A

【点睛】本题主要通过构造函数，利用函数的单调性求解不等式，属中档题

.

10．如图过抛物线

y

2

4x

焦点的直线依次交抛物线与圆



x1



y

2

1

于A、B、C、D，则

ABCD

2

A．4

【答案】

C

B．2C．1D．

2

1

【分析】根据抛物线的几何意义转化

ABAF

1=

x

A

，

CDDF

1

x

D

，再通过直线过焦点可知

p

2

，即可得到答案.

x

A

x

D



4

【详解】抛物线焦点为

F



1,0



，

ABAF

1=

x

A

,

CDDF

1

x

D

,，于是

p

2

ABCDx

A

x

D



1

，故选C.

4

【点睛】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算

能力及分析能力

.

11．四张卡片的正面分别写上

ycosx

，

ytanx2sinx

，

ysinxsinx

，

ysinxcosxsinxcosx

，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡

片所书写函数周期相同的概率为（

A

．

2

3

）

C

．

1

3

B

．

1

6

D

．

2

1

【答案】B

【分析】确定各个函数的周期，

ycosx

的周期为

π

，

ytanx2sinx

的周期为

2π

，

ysinxsinx

不是周期函数，

ysinxcosxsinxcosx

周期为

2π

，再计算概率得到答案

.

【详解】

ycosx

的图像是由

ycosx

的图像

x

轴下方的部分向上翻折形成，故周期为

π

；

ytanx

的周期为

π

，

y2sinx

的周期为

2π

，故

ytanx2sinx

的周期为

2π

；

ysinx

不是周期函数，故

ysinxsinx

不是周期函数，



2sin

x

,sin

x



cos

x

y



sin

x



cos

x



sin

x



cos

x





，画出函数图像，如图所示：



2cos

x

,sin

x



cos

x

根据图像知函数周期为

2π

.

设四张卡片分别为

1

，

2

，

3

，

4

，则共有



1,2



,



1,3



,



1,4



,



2,3



,



2,4



,



3,4



6

种选择，

1

满足条件的只有

1

种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为

.

6

故选：B







12

．若



x





0,



，不等式

xsinxmxcosx

恒成立，则正实数

m

的取值范围是（



2





3



（

0

，

1]

（

0

，

2]

（

3

，

+∞

）

A

．

B

．

C

．



,2



D

．



2



）

【答案】B







时结论显然成立，当

x





0,



，分离参数

m

，

xsinxmxcosx

恒成立等

2



2



x



sin

x

x



sin

x







价于

m



，令函数

f

(

x

)



，

x





0,



，利用导数研究函数

f(x)

在

x

cos

x

x

cos

x



2



【分析】当

x0

和

x















x





0,



上的单调性，进而求出函数

f(x)

在

x





0,



上的最小值，即可求出

m

．



2



2



【详解】当

x0

时，显然不等式

xsinxmxcosx

恒成立，

当

x





2

时，显然不等式

xsinxmxcosx

恒成立

x



sin

x











当

x





0,



，由不等式

xsinxmxcosx

恒成立，有

m



，

x





0,



在恒成立，

x

cos

x



2



2



x



x

2

sin

x



sin

x

cos

x

x



sin

x









令

f

(

x

)



，

x





0,



，则

f

(

x

)



，

x

cos

x

(

x

cos

x

)

2



2









令

g(x)xx

2

sinxsinxcosx

，

x





0,



，则

g



(x)12xsinxx

2

cosxcos2x0

，



2









∴

g(x)

在

x





0,



上单调递增，∴

g(x)g(0)0

，即

f



(x)0

，



2









∴

f(x)

在

x





0,



上单调递增，∵当

x0

时，

f(x)2

，



2



x



sin

x











∴当

x





0,



时，

f(x)2

恒成立，∵

m



，在

x





0,



恒成立，

x

cos

x



2



2



∴

m2

，

因此正实数

m

的取值范围为



0,2



．

故选

B

．

【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立的问题，解题的关键是分离参数，得到新函数，

利用导数研究函数的单调性以及最值，有一定综合性，属于基础题．

二、填空题

13．已知复数

z



【答案】

0

【分析】先化简求得

z

再计算实部和虚部的和即可

.

【详解】

z



故答案为：

0

【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念

,

属于基础题型

.

14

．对某同学的

7

次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的

以下说法：

2

i



1



i



2

i



1



i

,故实部和虚部之和为

110

.

1



i



1



i



1



i



2

i

，则复数

z

的实部和虚部之和为______.

1



i

①中位数为

84

；②众数为

83

；

③平均数为

85

；④极差为

16

；

其中，正确说法的序号是

__________

．

【答案】②④

【分析】先根据茎叶图将各数据从小到大排列，再利用中位数、众数、平均数与极差的定义求解即

可

.

【详解】将各数据按从小到大排列为：

76

，

78

，

83

，

83

，

85

，

91

，

92

．

易得中位数是

83

，故①错误；

众数是

83

，故②正确；

平均数为

76



78



83



83



85



91



92



84

，故③错误．

7

极差是

927616

，故④正确．

故答案为：②④．

x

2

y

2

15．已知双曲线



2



1

的左、右焦点分别为

F

1

、

F

2

，过

F

2

且与

x

轴垂直的直线

l

与双曲线的两

4

b

1)

，动点

P(x，y)

在双曲线上，则

PMPF

2

的最条渐近线分别交于

A

、

B

两点，

|AB|35

，

M(4，

小值为

__________

．

【答案】

524

【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令

xc

，解得

y

，可得

AB

，由双曲线的基本量的关系，

解得

a,b,c

，可得双曲线的方程，讨论

P

在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，

结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．

【详解】由题意知：双曲线的左、右焦点分别为

F

1



c,0



，

F

2



c,0



，渐近线方程为：

y



b

x

a

令

xc

，解得：

y



bc

2

bc



35

，可得：

AB



aa

由

a2

，

c

2

a

2

b

2

，解得：

b5

，

c3

x

2

y

2

则双曲线的方程为：



1

，则

F

1



3,0



，

F

2



3,0



45

若

P

在左支上，由双曲线的定义可得：

PF

2

2aPF

1