2024年8月22日发(作者：遇玲珑)
2.4.2 抛物线的几何性质(二)
一、基础过关
1．已知抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于
A
、
B
两点，若线
段
AB
的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
( )
B．
x
＝－1
D．
x
＝－2
2
A．
x
＝1
C．
x
＝2
2
2．已知抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点为
F
，点
P
1
(
x
1
，
y
1
)，
P
2
(
x
2
，
y
2
)，
P
3
(
x
3
，
y
3
)在抛物线
上，且|
P
1
F
|，|
P
2
F
|，|
P
3
F
|成等差数列，则有
( )
A．
x
1
＋
x
2
＝
x
3
B．
y
1
＋
y
2
＝
y
3
C．
x
1
＋
x
3
＝2
x
2
D．
y
1
＋
y
3
＝2
y
2
→
2
3．设
O
是坐标原点，
F
是抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点，
A
是抛物线上的一点，
FA
与
x
轴
正向的夹角为60°，则|
OA
|为
( )
21211313
A.
p
B.
p
C.
p
D.
p
42636
1
2
4．已知
F
是抛物线
y
＝
x
的焦点，
P
是该抛物线上的动点，则线段
PF
中点的轨迹方程是
4
( )
A．
x
＝2
y
－1
1
2
C．
x
＝
y
－
2
2
2
1
2
B．
x
＝2
y
－
16
D．
x
＝2
y
－2
2
5．抛物线
x
＝
ay
(
a
≠0)的焦点坐标为__________．
6．设抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点为
F
，点
A
(0，2)．若线段
FA
的中点
B
在抛物线上，则
2
B
到该抛物线准线的距离为________．
二、能力提升
7．若点
P
在抛物线
y
＝
x
上，点
Q
在圆
M
：(
x
－3)＋
y
＝1上，则|
PQ
|的最小值是( )
A.3－1 B.
10
－1
2
D.
11
－1
2
222
C．2
π
2
8．过抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点
F
作两弦
AB
和
CD
，其所在直线的倾斜角分别为与
6
1 / 6
π
，则|
AB
|与|
CD
|的大小关系是
3
( )
A．|
AB
|>|
CD
|
C．|
AB
|<|
CD
|
2
B．|
AB
|＝|
CD
|
D．|
AB
|≠|
CD
|
9．设抛物线
y
＝2
x
的焦点为
F
，过点
M
(3，0)的直线与抛物线相交于
A
，
B
两点，与抛
物线的准线相交于点
C
，|
BF
|＝2，则△
BCF
与△
ACF
的面积之比
S
△
BCF
＝________.
S
△
ACF
5
2
10．已知过抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点的直线交抛物线于
A
、
B
两点，且|
AB
|＝
p
，求
2
AB
所在的直线方程．
11．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
与抛物线
y
＝4
x
相交于不同的
A
、
B
两点．
→→
(1)如果直线
l
过抛物线的焦点，求
OA
·
OB
的值；
→→
(2)如果
OA
·
OB
＝－4，证明直线
l
必过一定点，并求出该定点．
12．抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点为
F
，准线与
x
轴交点为
Q
，过
Q
点的直线
l
交抛物线
于
A
、
B
两点．
(1)直线
l
的斜率为
2
→→
，求证：
FA
·
FB
＝0；
2
2
2
(2)设直线
FA
、
FB
的斜率为
k
FA
、
k
FB
，探究
k
FB
与
k
FA
之间的关系并说明理由．
三、探究与拓展
13．已知过抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点
F
的直线交抛物线于
A
、
B
两点，设
A
(
x
1
，
y
1
)，
2
B
(
x
2
，
y
2
)，则称
AB
为抛物线的焦点弦．
求证：(1)
y
1
y
2
＝－
p
；
x
1
x
2
＝；
4
112
(2)＋＝；
|
FA
||
FB
|
p
(3)以
AB
为直径的圆与抛物线的准线相切．
2
p
2
2 / 6
答案
1．B 2．C 3．B 4．A
5.
0，
4
3
6.2
4
7．D 8．A
10．解 如图所示，抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的准线为
x
＝－，
A
(
x
1
，
2
2
a
p
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，设
A
、
B
到准线的距离分别为
d
A
，
d
B
，由抛物线的定义知，
|
AF
|＝
d
A
＝
x
1
＋，
2
|
BF
|＝
d
B
＝
x
2
＋，
2
53
于是|
AB
|＝
x
1
＋
x
2
＋
p
＝
p
，
x
1
＋
x
2
＝
p
.
22
5
当
x
1
＝
x
2
时，|
AB
|＝2
p
<
p
，直线
AB
与
Ox
不垂直．
2
设直线
AB
的方程为
y
＝
k
x
－
.
2
p
p
p
p
y
＝
k
x
－
2
，
由
y
2
＝2
px
，
1
22222
得
kx
－
p
(
k
＋2)
x
＋
kp
＝0.
4
pk
2
＋23
x
1
＋
x
2
＝＝
p
，解得
k
＝±2.
2
k
2
∴直线
AB
的方程为
y
＝2
x
－
或
y
＝－2
x
－
.
2
2
11．解 (1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设
l
：
x
＝
ty
＋1，代入抛物线方程
y
＝4
x
，
消去
x
，得
y
－4
ty
－4＝0.
设
A
(
x
1
，
y
1
)、
B
(
x
2
，
y
2
)，则
y
1
＋
y
2
＝4
t
，
y
1
y
2
＝－4，
→→
OA
·
OB
＝
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝(
ty
1
＋1)(
ty
2
＋1)＋
y
1
y
2
＝
ty
1
y
2
＋
t
(
y
1
＋
y
2
)＋1＋
y
1
y
2
＝－4
t
＋4
t
＋1－4＝－3.
(2)设
l
：
x
＝
ty
＋
b
，代入抛物线方程
y
＝4
x
，消去
x
，得
2
22
2
2
2
p
p
3 / 6
y
2
－4
ty
－4
b
＝0，设
A
(
x
1
，
y
1
)、
B
(
x
2
，
y
2
)，
则
y
1
＋
y
2
＝4
t
，
y
1
y
2
＝－4
b
.
→→
∵
OA
·
OB
＝
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝(
ty
1
＋
b
)(
ty
2
＋
b
)＋
y
1
y
2
＝
ty
1
y
2
＋
bt
(
y
1
＋
y
2
)＋
b
＋
y
1
y
2
＝－4
bt
＋4
bt
＋
b
－4
b
＝
b
－4
b
，
令
b
－4
b
＝－4，∴
b
－4
b
＋4＝0，
∴
b
＝2，∴直线
l
过定点(2,0)．
22
2222
22
p
－，0
， 12．(1)证明 ∵
Q
2
∴直线
l
的方程为
y
＝
2
p
x
＋
，
2
2
p
y
＝
2
x
＋
2
2
由
y
2
＝2
px
2
.
消去
x
得
y
－22
py
＋
p
＝0.
解得
A
2
3＋22
p
，
2
2－1
2＋1
p
，
B
3－22
p
，
2
p
.
→
p
而
F
，0
，故
FA
＝((1＋2)
p
，(1＋2)
p
)，
2
→
FB
＝((1－2)
p
，(2－1)
p
)，
→→
22
∴
FA
·
FB
＝－
p
＋
p
＝0.
(2)解
k
FA
＝－
k
FB
或
k
FA
＋
k
FB
＝0.
因直线
l
与抛物线交于
A
、
B
两点，
故直线
l
方程：
y
＝
k
x
＋
(
k
≠0)．
2
p
p
y
＝
k
x
＋
2
由
y
2
＝2
px
，消去
x
得
ky
－2
py
＋
kp
＝0.
22
设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，则
y
1
y
2
＝
p
.
2
y
1
y
2
k
FA
＝，
k
FB
＝，
pp
x
1
－
x
2
－
22
4 / 6
∴
k
FA
＝
p
2
y
2
y
2
p
p
2
2
1
－
2
p
2
y
2
－
2
p
2
＝
p
2
y
2
y
2
＝－
k
FB
.
py
2
2
－
p
22
p
＝
5 / 6
13．证明 如图所示．
2
(1)抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点
F
，0
，准线方程：
x
＝－
2
p
2
.
设直线
AB
的方程为
x
＝
ky
＋，把它代入
y
＝2
px
，
2
化简，得
y
－2
pky
－
p
＝0.∴
y
1
y
2
＝－
p
，
222
p
p
2
y
2
y
2
y
1
y
212
∴
x
1
x
2
＝·＝
2
2
p
2
p
4
p
(2)根据抛物线定义知
2
－
p
＝
2
4
p
22
＝.
4
p
2
|
FA
|＝|
AA
1
|＝
x
1
＋，|
FB
|＝|
BB
1
|＝
x
2
＋，
22
∴
111
＋＝＋
|
FA
||
FB
|
pp
x
1
＋
x
2
＋
22
22
＋
2
x
1
＋
p
2
x
2
＋
p
22
x
2
＋
p
＋22
x
1
＋
p
2
x
1
＋
p
2
x
2
＋
p
1
pp
＝
＝
＝
＝
4
x
1
＋
x
2
＋4
p
2
4
x
1
x
2
＋2
px
1
＋
x
2
＋
p
4
x
1
＋
x
2
＋
p
2
＝.
2
px
1
＋
x
2
＋
pp
(3)设
AB
中点为
C
(
x
0
，
y
0
)，过
A
、
B
、
C
分别作准线的垂线，垂足分别为
A
1
，
B
1
，
C
1
.
11
则|
CC
1
|＝·(|
AA
1
|＋|
BB
1
|)＝(|
AF
|＋|
BF
|)
22
1
＝·|
AB
|.
2
∴以线段
AB
为直径的圆与抛物线的准线相切．
内容总结
6 / 6
2024年8月22日发(作者：遇玲珑)
2.4.2 抛物线的几何性质(二)
一、基础过关
1．已知抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于
A
、
B
两点，若线
段
AB
的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
( )
B．
x
＝－1
D．
x
＝－2
2
A．
x
＝1
C．
x
＝2
2
2．已知抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点为
F
，点
P
1
(
x
1
，
y
1
)，
P
2
(
x
2
，
y
2
)，
P
3
(
x
3
，
y
3
)在抛物线
上，且|
P
1
F
|，|
P
2
F
|，|
P
3
F
|成等差数列，则有
( )
A．
x
1
＋
x
2
＝
x
3
B．
y
1
＋
y
2
＝
y
3
C．
x
1
＋
x
3
＝2
x
2
D．
y
1
＋
y
3
＝2
y
2
→
2
3．设
O
是坐标原点，
F
是抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点，
A
是抛物线上的一点，
FA
与
x
轴
正向的夹角为60°，则|
OA
|为
( )
21211313
A.
p
B.
p
C.
p
D.
p
42636
1
2
4．已知
F
是抛物线
y
＝
x
的焦点，
P
是该抛物线上的动点，则线段
PF
中点的轨迹方程是
4
( )
A．
x
＝2
y
－1
1
2
C．
x
＝
y
－
2
2
2
1
2
B．
x
＝2
y
－
16
D．
x
＝2
y
－2
2
5．抛物线
x
＝
ay
(
a
≠0)的焦点坐标为__________．
6．设抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点为
F
，点
A
(0，2)．若线段
FA
的中点
B
在抛物线上，则
2
B
到该抛物线准线的距离为________．
二、能力提升
7．若点
P
在抛物线
y
＝
x
上，点
Q
在圆
M
：(
x
－3)＋
y
＝1上，则|
PQ
|的最小值是( )
A.3－1 B.
10
－1
2
D.
11
－1
2
222
C．2
π
2
8．过抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点
F
作两弦
AB
和
CD
，其所在直线的倾斜角分别为与
6
1 / 6
π
，则|
AB
|与|
CD
|的大小关系是
3
( )
A．|
AB
|>|
CD
|
C．|
AB
|<|
CD
|
2
B．|
AB
|＝|
CD
|
D．|
AB
|≠|
CD
|
9．设抛物线
y
＝2
x
的焦点为
F
，过点
M
(3，0)的直线与抛物线相交于
A
，
B
两点，与抛
物线的准线相交于点
C
，|
BF
|＝2，则△
BCF
与△
ACF
的面积之比
S
△
BCF
＝________.
S
△
ACF
5
2
10．已知过抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点的直线交抛物线于
A
、
B
两点，且|
AB
|＝
p
，求
2
AB
所在的直线方程．
11．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
与抛物线
y
＝4
x
相交于不同的
A
、
B
两点．
→→
(1)如果直线
l
过抛物线的焦点，求
OA
·
OB
的值；
→→
(2)如果
OA
·
OB
＝－4，证明直线
l
必过一定点，并求出该定点．
12．抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点为
F
，准线与
x
轴交点为
Q
，过
Q
点的直线
l
交抛物线
于
A
、
B
两点．
(1)直线
l
的斜率为
2
→→
，求证：
FA
·
FB
＝0；
2
2
2
(2)设直线
FA
、
FB
的斜率为
k
FA
、
k
FB
，探究
k
FB
与
k
FA
之间的关系并说明理由．
三、探究与拓展
13．已知过抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点
F
的直线交抛物线于
A
、
B
两点，设
A
(
x
1
，
y
1
)，
2
B
(
x
2
，
y
2
)，则称
AB
为抛物线的焦点弦．
求证：(1)
y
1
y
2
＝－
p
；
x
1
x
2
＝；
4
112
(2)＋＝；
|
FA
||
FB
|
p
(3)以
AB
为直径的圆与抛物线的准线相切．
2
p
2
2 / 6
答案
1．B 2．C 3．B 4．A
5.
0，
4
3
6.2
4
7．D 8．A
10．解 如图所示，抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的准线为
x
＝－，
A
(
x
1
，
2
2
a
p
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，设
A
、
B
到准线的距离分别为
d
A
，
d
B
，由抛物线的定义知，
|
AF
|＝
d
A
＝
x
1
＋，
2
|
BF
|＝
d
B
＝
x
2
＋，
2
53
于是|
AB
|＝
x
1
＋
x
2
＋
p
＝
p
，
x
1
＋
x
2
＝
p
.
22
5
当
x
1
＝
x
2
时，|
AB
|＝2
p
<
p
，直线
AB
与
Ox
不垂直．
2
设直线
AB
的方程为
y
＝
k
x
－
.
2
p
p
p
p
y
＝
k
x
－
2
，
由
y
2
＝2
px
，
1
22222
得
kx
－
p
(
k
＋2)
x
＋
kp
＝0.
4
pk
2
＋23
x
1
＋
x
2
＝＝
p
，解得
k
＝±2.
2
k
2
∴直线
AB
的方程为
y
＝2
x
－
或
y
＝－2
x
－
.
2
2
11．解 (1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设
l
：
x
＝
ty
＋1，代入抛物线方程
y
＝4
x
，
消去
x
，得
y
－4
ty
－4＝0.
设
A
(
x
1
，
y
1
)、
B
(
x
2
，
y
2
)，则
y
1
＋
y
2
＝4
t
，
y
1
y
2
＝－4，
→→
OA
·
OB
＝
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝(
ty
1
＋1)(
ty
2
＋1)＋
y
1
y
2
＝
ty
1
y
2
＋
t
(
y
1
＋
y
2
)＋1＋
y
1
y
2
＝－4
t
＋4
t
＋1－4＝－3.
(2)设
l
：
x
＝
ty
＋
b
，代入抛物线方程
y
＝4
x
，消去
x
，得
2
22
2
2
2
p
p
3 / 6
y
2
－4
ty
－4
b
＝0，设
A
(
x
1
，
y
1
)、
B
(
x
2
，
y
2
)，
则
y
1
＋
y
2
＝4
t
，
y
1
y
2
＝－4
b
.
→→
∵
OA
·
OB
＝
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝(
ty
1
＋
b
)(
ty
2
＋
b
)＋
y
1
y
2
＝
ty
1
y
2
＋
bt
(
y
1
＋
y
2
)＋
b
＋
y
1
y
2
＝－4
bt
＋4
bt
＋
b
－4
b
＝
b
－4
b
，
令
b
－4
b
＝－4，∴
b
－4
b
＋4＝0，
∴
b
＝2，∴直线
l
过定点(2,0)．
22
2222
22
p
－，0
， 12．(1)证明 ∵
Q
2
∴直线
l
的方程为
y
＝
2
p
x
＋
，
2
2
p
y
＝
2
x
＋
2
2
由
y
2
＝2
px
2
.
消去
x
得
y
－22
py
＋
p
＝0.
解得
A
2
3＋22
p
，
2
2－1
2＋1
p
，
B
3－22
p
，
2
p
.
→
p
而
F
，0
，故
FA
＝((1＋2)
p
，(1＋2)
p
)，
2
→
FB
＝((1－2)
p
，(2－1)
p
)，
→→
22
∴
FA
·
FB
＝－
p
＋
p
＝0.
(2)解
k
FA
＝－
k
FB
或
k
FA
＋
k
FB
＝0.
因直线
l
与抛物线交于
A
、
B
两点，
故直线
l
方程：
y
＝
k
x
＋
(
k
≠0)．
2
p
p
y
＝
k
x
＋
2
由
y
2
＝2
px
，消去
x
得
ky
－2
py
＋
kp
＝0.
22
设
A
(
x
1
，
y
1
)，
B
(
x
2
，
y
2
)，则
y
1
y
2
＝
p
.
2
y
1
y
2
k
FA
＝，
k
FB
＝，
pp
x
1
－
x
2
－
22
4 / 6
∴
k
FA
＝
p
2
y
2
y
2
p
p
2
2
1
－
2
p
2
y
2
－
2
p
2
＝
p
2
y
2
y
2
＝－
k
FB
.
py
2
2
－
p
22
p
＝
5 / 6
13．证明 如图所示．
2
(1)抛物线
y
＝2
px
(
p
>0)的焦点
F
，0
，准线方程：
x
＝－
2
p
2
.
设直线
AB
的方程为
x
＝
ky
＋，把它代入
y
＝2
px
，
2
化简，得
y
－2
pky
－
p
＝0.∴
y
1
y
2
＝－
p
，
222
p
p
2
y
2
y
2
y
1
y
212
∴
x
1
x
2
＝·＝
2
2
p
2
p
4
p
(2)根据抛物线定义知
2
－
p
＝
2
4
p
22
＝.
4
p
2
|
FA
|＝|
AA
1
|＝
x
1
＋，|
FB
|＝|
BB
1
|＝
x
2
＋，
22
∴
111
＋＝＋
|
FA
||
FB
|
pp
x
1
＋
x
2
＋
22
22
＋
2
x
1
＋
p
2
x
2
＋
p
22
x
2
＋
p
＋22
x
1
＋
p
2
x
1
＋
p
2
x
2
＋
p
1
pp
＝
＝
＝
＝
4
x
1
＋
x
2
＋4
p
2
4
x
1
x
2
＋2
px
1
＋
x
2
＋
p
4
x
1
＋
x
2
＋
p
2
＝.
2
px
1
＋
x
2
＋
pp
(3)设
AB
中点为
C
(
x
0
，
y
0
)，过
A
、
B
、
C
分别作准线的垂线，垂足分别为
A
1
，
B
1
，
C
1
.
11
则|
CC
1
|＝·(|
AA
1
|＋|
BB
1
|)＝(|
AF
|＋|
BF
|)
22
1
＝·|
AB
|.
2
∴以线段
AB
为直径的圆与抛物线的准线相切．
内容总结
6 / 6