2024年6月5日发(作者：麻鸿煊)

二次方程虚根计算公式

二次方程是数学中的重要概念之一，具有广泛的应用。在解二次方程

的过程中，我们会遇到虚根，也就是无法用实数表示的根。为了求解二次

方程的虚根，我们可以采用虚根计算公式。

一、虚根的概念

虚根是指二次方程的解不是实数，而是虚数。虚数是形如a+bi的数，

其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2 = -1、在虚数中，实

数部分为0的虚数称为纯虚数，形如bi。

二、基本概念

1. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，

其中a、b和c是已知实数，且a不等于0。

2.二次根式：二次根式是一元二次方程的解，即方程的根。

3. 判别式：一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式为Δ = b^2

- 4ac，用来判断方程的解的情况。

利用判别式可以判断一元二次方程的解的情况：当Δ>0时，方程有

两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方

程有两个不相等的复根，即虚根。

对于Δ<0的情况，我们就可以使用虚根计算公式来求解虚根。虚根

计算公式为：

x1=(-b+√(-Δ))/2a

x2=(-b-√(-Δ))/2a

其中√表示开方。

应用虚根计算公式，我们可以解决以下问题。

例题1：求解方程x^2+2x+5=0的解。

解：根据虚根计算公式，首先计算判别式Δ：

Δ=2^2-4*1*5=4-20=-16

由于Δ<0，所以方程没有实数根，解是虚根。

根据虚根计算公式，可以得到：

x1=(-2+√(-(-16)))/2*1=(-2+4i)/2=-1+2i

x2=(-2-√(-(-16)))/2*1=(-2-4i)/2=-1-2i

所以，方程x^2+2x+5=0的虚根为-1+2i和-1-2i。

例题2：求解方程2x^2+3x+4=0的解。

解：根据虚根计算公式，首先计算判别式Δ：

Δ=3^2-4*2*4=9-32=-23

由于Δ<0，所以方程没有实数根，解是虚根。

根据虚根计算公式，可以得到：

x1=(-3+√(-(-23)))/2*2=(-3+√23i)/4

x2=(-3-√(-(-23)))/2*2=(-3-√23i)/4

所以，方程2x^2+3x+4=0的虚根为(-3+√23i)/4和(-3-√23i)/4

虚根的应用广泛，包括物理、工程和电子等领域。例如，电路中的振

荡器就是利用虚根来产生稳定的振荡频率。

总而言之，虚根是一元二次方程无法用实数表示的根。通过虚根计算

公式，我们可以求解一元二次方程的虚根。在实际应用中，虚根的概念和

计算公式有重要的意义。

2024年6月5日发(作者：麻鸿煊)

二次方程虚根计算公式

二次方程是数学中的重要概念之一，具有广泛的应用。在解二次方程

的过程中，我们会遇到虚根，也就是无法用实数表示的根。为了求解二次

方程的虚根，我们可以采用虚根计算公式。

一、虚根的概念

虚根是指二次方程的解不是实数，而是虚数。虚数是形如a+bi的数，

其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2 = -1、在虚数中，实

数部分为0的虚数称为纯虚数，形如bi。

二、基本概念

1. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，

其中a、b和c是已知实数，且a不等于0。

2.二次根式：二次根式是一元二次方程的解，即方程的根。

3. 判别式：一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式为Δ = b^2

- 4ac，用来判断方程的解的情况。

利用判别式可以判断一元二次方程的解的情况：当Δ>0时，方程有

两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方

程有两个不相等的复根，即虚根。

对于Δ<0的情况，我们就可以使用虚根计算公式来求解虚根。虚根

计算公式为：

x1=(-b+√(-Δ))/2a

x2=(-b-√(-Δ))/2a

其中√表示开方。

应用虚根计算公式，我们可以解决以下问题。

例题1：求解方程x^2+2x+5=0的解。

解：根据虚根计算公式，首先计算判别式Δ：

Δ=2^2-4*1*5=4-20=-16

由于Δ<0，所以方程没有实数根，解是虚根。

根据虚根计算公式，可以得到：

x1=(-2+√(-(-16)))/2*1=(-2+4i)/2=-1+2i

x2=(-2-√(-(-16)))/2*1=(-2-4i)/2=-1-2i

所以，方程x^2+2x+5=0的虚根为-1+2i和-1-2i。

例题2：求解方程2x^2+3x+4=0的解。

解：根据虚根计算公式，首先计算判别式Δ：

Δ=3^2-4*2*4=9-32=-23

由于Δ<0，所以方程没有实数根，解是虚根。

根据虚根计算公式，可以得到：

x1=(-3+√(-(-23)))/2*2=(-3+√23i)/4

x2=(-3-√(-(-23)))/2*2=(-3-√23i)/4

所以，方程2x^2+3x+4=0的虚根为(-3+√23i)/4和(-3-√23i)/4

虚根的应用广泛，包括物理、工程和电子等领域。例如，电路中的振

荡器就是利用虚根来产生稳定的振荡频率。

总而言之，虚根是一元二次方程无法用实数表示的根。通过虚根计算

公式，我们可以求解一元二次方程的虚根。在实际应用中，虚根的概念和

计算公式有重要的意义。