2024年6月2日发(作者：申旎)
圆锥曲线常用的二级结论
椭圆
双曲线
标准方程
1 a b 0
a
2
b
2
x
2
y
2
1 a 0, b 0
a
2
b
2
x
2
y
2
焦点
F
1
c, 0
, F
2
c, 0
焦点
F
1
c, 0
, F
2
c, 0
焦半径
PF
1
a ex
0
, PF
2
a ex
0
PF
1
ex
0
a , PF
2
ex
0
a
e
为离心率，
x
0
为点
P
的横坐标.
PF a c
P
为双曲线上一点，
F
为焦点.
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
e
为离心率，
x
0
为点
P
的横坐标.
焦半径范围
a c PF a c
P
为椭圆上一点，
F
为焦点.
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径
通径长为
2b
2
a
2b
2
a
如图，直线
l
过焦点
F
1
与椭圆相交于
A, B
如图，直线
l
过焦点
F
1
与双曲线相交于
两点.则
△ABF
2
的周长为
4a
.
A, B
两点.则
F
2
A F
2
B AB 4a
.
（即
F
2
A F
2
B AB 4a
）
倾斜角为的直线
l
过焦点
F
与椭圆相交
倾斜角为的直线
l
过焦点
F
与双曲线相
于
A, B
两点.
焦点弦
交于
A, B
两点.
焦点弦长
AB
2ab
2
a
2
b
2
sin
2
b
.
2
焦点弦长
AB
2ab
2
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
a
2
b
2
sin
2
b
2
AF
与
BF
数量关系
直线
l
过焦点
F
与椭圆相交于
A, B
两点，
则
直线
l
过焦点
F
与双曲线相交于
A, B
两点
，则
2a
.
2
AF BF b
1 1 2a
.
2
AF BF b
1 1
已知点
P
是椭圆上一点，
O
坐标原点，
则
b PO a
.
已知点
P
是双曲线上一点，
O
坐标原点，
则
PO a
.
如图，
P
是双曲线上异于实轴端点的一点
如图，
P
是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知
F
1
PF
2
，
PF
1
F
2
，
，已知
F
1
PF
2
，
PF
1
F
2
，
PF
2
F
1
PF
2
F
1
，则
2
，则
2
2
sin
（1）
S btan
；
△PF
1
F
2
（2）离心率
e
.
焦三角形
b
2
（1）
S
△PF
1
F
2
b cot
；
2
tan
2
（2）离心率
e
.
sin sin
sin
sin sin
如图，已知直线
l
与椭圆相交于
A, B
两点
，点
M
为
AB
的中点，
O
为原点，则
如图，已知直线
l
与双曲线相交于
A, B
两
点，点
M
为
AB
的中点，
O
为原点，则
k
OM
k
AB
b
2
a
2
.
垂径定理
k
OM
k
AB
2
a
b
2
.
（注：直线
l
与双曲线的渐近线相交于
A, B
两点，其他条件不变，结论依然成立
）
如图，已知点
A, B
椭圆长轴端点（短轴端
点），
P
是椭圆上异于
A, B
的一点，
如图，已知点
A, B
双曲线实轴端点，
P
是
双曲线上异于
A, B
的一点，
则
k
PA
k
PB
2
.
b
2
周角定理
a
则
k
PA
k
PB
2
.
b
2
a
推广：如图，已知点
A, B
是椭圆上关于原
点对称的两点，
P
是椭圆上异于
A, B
的一
点，若直线
PA, PB
的斜率存在且不为零
，
推广：如图，已知点
A, B
是双曲线上关于
原点对称的两点，
P
是双曲线上异于
A, B
的一点，若直线
PA, PB
的斜率存在且不
为零，
k
PA
k
PB
2
a
b
2
k
PA
k
PB
b
2
a
2
.
直线
l
过焦点
F
c, 0
与椭圆相交于
A, B
直线
l
过焦点
F
c, 0
与双曲线相交于
a
2
两点，点
P
, 0
，
c
则
APF BPF
（即
k
PA
k
PB
0
）.
a
2
A, B
两点，点
P
, 0
，
c
则
APF BPF
（即
k
PA
k
PB
0
）.
已知点
P
x
0
, y
0
是双曲线上一点，则双
曲线在点
P
处的切线方程为
x
0
x
y
0
y
1
.
2 2
已知点
P
x
0
, y
0
是椭圆上一点，则椭圆
切线方程
x x y y
0
1
在点
P
处的切线方程为
0
.
2
ab
2
ab
2024年6月2日发(作者：申旎)
圆锥曲线常用的二级结论
椭圆
双曲线
标准方程
1 a b 0
a
2
b
2
x
2
y
2
1 a 0, b 0
a
2
b
2
x
2
y
2
焦点
F
1
c, 0
, F
2
c, 0
焦点
F
1
c, 0
, F
2
c, 0
焦半径
PF
1
a ex
0
, PF
2
a ex
0
PF
1
ex
0
a , PF
2
ex
0
a
e
为离心率，
x
0
为点
P
的横坐标.
PF a c
P
为双曲线上一点，
F
为焦点.
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
e
为离心率，
x
0
为点
P
的横坐标.
焦半径范围
a c PF a c
P
为椭圆上一点，
F
为焦点.
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径
通径长为
2b
2
a
2b
2
a
如图，直线
l
过焦点
F
1
与椭圆相交于
A, B
如图，直线
l
过焦点
F
1
与双曲线相交于
两点.则
△ABF
2
的周长为
4a
.
A, B
两点.则
F
2
A F
2
B AB 4a
.
（即
F
2
A F
2
B AB 4a
）
倾斜角为的直线
l
过焦点
F
与椭圆相交
倾斜角为的直线
l
过焦点
F
与双曲线相
于
A, B
两点.
焦点弦
交于
A, B
两点.
焦点弦长
AB
2ab
2
a
2
b
2
sin
2
b
.
2
焦点弦长
AB
2ab
2
.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
a
2
b
2
sin
2
b
2
AF
与
BF
数量关系
直线
l
过焦点
F
与椭圆相交于
A, B
两点，
则
直线
l
过焦点
F
与双曲线相交于
A, B
两点
，则
2a
.
2
AF BF b
1 1 2a
.
2
AF BF b
1 1
已知点
P
是椭圆上一点，
O
坐标原点，
则
b PO a
.
已知点
P
是双曲线上一点，
O
坐标原点，
则
PO a
.
如图，
P
是双曲线上异于实轴端点的一点
如图，
P
是椭圆上异于长轴端点的一点，
已知
F
1
PF
2
，
PF
1
F
2
，
，已知
F
1
PF
2
，
PF
1
F
2
，
PF
2
F
1
PF
2
F
1
，则
2
，则
2
2
sin
（1）
S btan
；
△PF
1
F
2
（2）离心率
e
.
焦三角形
b
2
（1）
S
△PF
1
F
2
b cot
；
2
tan
2
（2）离心率
e
.
sin sin
sin
sin sin
如图，已知直线
l
与椭圆相交于
A, B
两点
，点
M
为
AB
的中点，
O
为原点，则
如图，已知直线
l
与双曲线相交于
A, B
两
点，点
M
为
AB
的中点，
O
为原点，则
k
OM
k
AB
b
2
a
2
.
垂径定理
k
OM
k
AB
2
a
b
2
.
（注：直线
l
与双曲线的渐近线相交于
A, B
两点，其他条件不变，结论依然成立
）
如图，已知点
A, B
椭圆长轴端点（短轴端
点），
P
是椭圆上异于
A, B
的一点，
如图，已知点
A, B
双曲线实轴端点，
P
是
双曲线上异于
A, B
的一点，
则
k
PA
k
PB
2
.
b
2
周角定理
a
则
k
PA
k
PB
2
.
b
2
a
推广：如图，已知点
A, B
是椭圆上关于原
点对称的两点，
P
是椭圆上异于
A, B
的一
点，若直线
PA, PB
的斜率存在且不为零
，
推广：如图，已知点
A, B
是双曲线上关于
原点对称的两点，
P
是双曲线上异于
A, B
的一点，若直线
PA, PB
的斜率存在且不
为零，
k
PA
k
PB
2
a
b
2
k
PA
k
PB
b
2
a
2
.
直线
l
过焦点
F
c, 0
与椭圆相交于
A, B
直线
l
过焦点
F
c, 0
与双曲线相交于
a
2
两点，点
P
, 0
，
c
则
APF BPF
（即
k
PA
k
PB
0
）.
a
2
A, B
两点，点
P
, 0
，
c
则
APF BPF
（即
k
PA
k
PB
0
）.
已知点
P
x
0
, y
0
是双曲线上一点，则双
曲线在点
P
处的切线方程为
x
0
x
y
0
y
1
.
2 2
已知点
P
x
0
, y
0
是椭圆上一点，则椭圆
切线方程
x x y y
0
1
在点
P
处的切线方程为
0
.
2
ab
2
ab