2024年5月31日发(作者：智雅娴)
浙江省A9协作体2020学年第二学期期中联考
高一数学参考答案
一、二、选择题（每题5分，共40分）
题号
答案
1
A
2
B
3
D
4
C
5
D
6
C
7
B
8
D
二、选择题（每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
题号
答案
三、填空题（6小题，共30分）
13
．
4 14
．
9
CD
10
AC
11
ABD
12
ABC
3
b
2
15
．
90
16
．
1:3
1
17
．
−
18.
①②③中任选一个都对，
(2,8)
2
四、解答题（共5题，共60分）
18．（本小题满分12分）
证明：
（1）因为
D,E
分别为
AB,AC
的中点，所以
DE//BC
，
又
DE平面PBC,BC平面PBC,
所以
DE//
平面
PBC
。…………………6分
（2）连结
PD
，因为
DE//BC,又ABC=90,所以DE⊥AB
又
PA=PB,D为AB的中点，所以PD⊥AB
，又
PDDE=D
所以
AB⊥
平面
PDE
，又
PE平面PDE,所以AB⊥PE
………………12分
19．（本小题满分12分）
解：
1
3
（1）
b=
−
+
=1
………………………………2分
22
2
2
设向量
a
与
b
的夹角为
，则
[0,
]
.
(
a−b
)
b=ab−b
解得
cos
=
1
2
2
=abcos
−b=21cos
−1=0
2
又因为
[0,
]
，所以
=
3
.………………………………6分
A9协作体 高一数学参考答案 第 1 页 共 3 页
（2）
AE=AD+DE=AD+
11
AB=a+b
，
22
11
AF=AB+BF=AB+AD=a+b
，………………………………9分
22
2
2
1
3
因为
b=
−
+
=1,ab=0
，
22
1
1
2
1
2
55
1
所以
AEAF=
a+b
a+b
=a+b+ab=
………………………12分
2
2242
2
20．（本小题满分12分）
解：
（1）如图，连接AD
1
和CD
1
，
∵ AB∥C
1
D
1
且AB=C
1
D
1
∴ 四边形ABC
1
D
1
为平行四边形
∴ AD
1
∥BC
1
∴ BC
1
与AC所成的角就是AD
1
与AC所成的角……3分
∵ AC= AD
1
=CD
1
∴ ∠CAD
1
=60
O
∴ 异面直线BC
1
与AC所成角的大小为60
O
. …………………………6分
（2）如图，连接BD，与AC交于点O，连接OB
1
，易知BD∥B
1
D
1
∴ 直线B
1
D
1
与平面AB
1
C所成的角就是直线BD与平面AB
1
C所成的角
∵ AC⊥BD，AC⊥B
1
B，且BD∩ B
1
B =B
∴ AC⊥平面DB B
1
D
1
∴ 平面ACB
1
⊥平面DB B
1
D
1
∴
BD
在平面
ACB
1
的射影为
OB
1
∴
∠
BOB
1
就是直线
BD
与平面
AB
1
C
所成的角
………………………………9
分
在
Rt
△
BOB
1
中，
BO=
2
，
BB
1
=2
，所以
tan
∠
BOB
1
=
2
∴
直线
B
1
D
1
与平面
AB
1
C
所成角的正切值为
2
.………………………………12
分
21
．（本小题满分
12
分）
解：
（1）△AOB中，OB=10，OA=20，∠AMB=θ, ∠AOB=2θ
OA·cos2θ=100+400-4 00cos2θ=500-400 cos2θ…………………3
分
∴
AB
2
=OB
2
+OA
2
-2OB·
∴ a =
500−400cos2
，θ∈（0，
（2）S
△
AOB
=
2
）………………………………5分
1
OB·OA·sin2θ=100 sin2θ
2
1
33
S
△
ABC
=AB·BC·sin 60
O
= AB
2
=(500-4 00cos2θ)
2
44
∴ S
A0BC
= S
△
AOB
+ S
△
ABC
=
5003
+ 100sin2θ-100
3
cos2θ
4
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2024年5月31日发(作者：智雅娴)
浙江省A9协作体2020学年第二学期期中联考
高一数学参考答案
一、二、选择题（每题5分，共40分）
题号
答案
1
A
2
B
3
D
4
C
5
D
6
C
7
B
8
D
二、选择题（每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
题号
答案
三、填空题（6小题，共30分）
13
．
4 14
．
9
CD
10
AC
11
ABD
12
ABC
3
b
2
15
．
90
16
．
1:3
1
17
．
−
18.
①②③中任选一个都对，
(2,8)
2
四、解答题（共5题，共60分）
18．（本小题满分12分）
证明：
（1）因为
D,E
分别为
AB,AC
的中点，所以
DE//BC
，
又
DE平面PBC,BC平面PBC,
所以
DE//
平面
PBC
。…………………6分
（2）连结
PD
，因为
DE//BC,又ABC=90,所以DE⊥AB
又
PA=PB,D为AB的中点，所以PD⊥AB
，又
PDDE=D
所以
AB⊥
平面
PDE
，又
PE平面PDE,所以AB⊥PE
………………12分
19．（本小题满分12分）
解：
1
3
（1）
b=
−
+
=1
………………………………2分
22
2
2
设向量
a
与
b
的夹角为
，则
[0,
]
.
(
a−b
)
b=ab−b
解得
cos
=
1
2
2
=abcos
−b=21cos
−1=0
2
又因为
[0,
]
，所以
=
3
.………………………………6分
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（2）
AE=AD+DE=AD+
11
AB=a+b
，
22
11
AF=AB+BF=AB+AD=a+b
，………………………………9分
22
2
2
1
3
因为
b=
−
+
=1,ab=0
，
22
1
1
2
1
2
55
1
所以
AEAF=
a+b
a+b
=a+b+ab=
………………………12分
2
2242
2
20．（本小题满分12分）
解：
（1）如图，连接AD
1
和CD
1
，
∵ AB∥C
1
D
1
且AB=C
1
D
1
∴ 四边形ABC
1
D
1
为平行四边形
∴ AD
1
∥BC
1
∴ BC
1
与AC所成的角就是AD
1
与AC所成的角……3分
∵ AC= AD
1
=CD
1
∴ ∠CAD
1
=60
O
∴ 异面直线BC
1
与AC所成角的大小为60
O
. …………………………6分
（2）如图，连接BD，与AC交于点O，连接OB
1
，易知BD∥B
1
D
1
∴ 直线B
1
D
1
与平面AB
1
C所成的角就是直线BD与平面AB
1
C所成的角
∵ AC⊥BD，AC⊥B
1
B，且BD∩ B
1
B =B
∴ AC⊥平面DB B
1
D
1
∴ 平面ACB
1
⊥平面DB B
1
D
1
∴
BD
在平面
ACB
1
的射影为
OB
1
∴
∠
BOB
1
就是直线
BD
与平面
AB
1
C
所成的角
………………………………9
分
在
Rt
△
BOB
1
中，
BO=
2
，
BB
1
=2
，所以
tan
∠
BOB
1
=
2
∴
直线
B
1
D
1
与平面
AB
1
C
所成角的正切值为
2
.………………………………12
分
21
．（本小题满分
12
分）
解：
（1）△AOB中，OB=10，OA=20，∠AMB=θ, ∠AOB=2θ
OA·cos2θ=100+400-4 00cos2θ=500-400 cos2θ…………………3
分
∴
AB
2
=OB
2
+OA
2
-2OB·
∴ a =
500−400cos2
，θ∈（0，
（2）S
△
AOB
=
2
）………………………………5分
1
OB·OA·sin2θ=100 sin2θ
2
1
33
S
△
ABC
=AB·BC·sin 60
O
= AB
2
=(500-4 00cos2θ)
2
44
∴ S
A0BC
= S
△
AOB
+ S
△
ABC
=
5003
+ 100sin2θ-100
3
cos2θ
4
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