2024年6月13日发(作者：欧阳香馨)

空间中的各种距离

1.点到平面的距离

(1)定义 平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

(2)常用方法

1）定义法

①找到(或作出)表示距离的线段；

②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.

2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就

是所求的点面距离.

3)体积法

4)转化法 将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.

5）向量法 建立三维直角坐标系

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，

例1 如图，正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

的所有棱长都为

2

，

D

为

CC

1

中点．

（Ⅰ）求证：

AB

1

⊥

平面

A

1

BD

；

（Ⅲ）求点

C

到平面

A

1

BD

的距离．

解法一：（Ⅰ）取

BC

中点

O

，连结

AO

．

Q△ABC

为正三角形，

AO⊥BC

．

Q

正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，平面

ABC⊥

平面

BCC

1

B

1

，

AO⊥

平面

BCC

1

B

1

．

A

C

B

A

F

C

O

B

D

D

连结

B

1

O

，在正方形

BB

1

C

1

C

中，

O，D

分别为

BC，CC

1

的中点，

B

1

O⊥BD

，

AB

1

⊥BD

．

在正方形

ABB

1

A

1

中，

AB

1

⊥A

1

B

，

AB

1

⊥

平面

A

1

BD

．

S

△A

1

BD

6

，

S

△BCD

1

． （Ⅲ）

△A

1

BD

中，

BDA

1

D5，A

1

B22，

在正三棱柱中，

A

1

到平面

BCC

1

B

1

的距离为

设点

C

到平面

A

1

BD

的距离为

d

．

3

．

由

V

A

1

BCD

V

CA

1

BD

，得

d

3S

△BCD

2

．



S

△A

1

BD

2

11

S

△BCD

g3S

△A

1

BD

gd

，

33



点

C

到平面

A

1

BD

的距离为

2

．

2

解法二：（Ⅰ）取

BC

中点

O

，连结

AO

．

Q△ABC

为正三角形，

AO⊥BC

．

Q

在正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，平面

ABC⊥

平面

BCC

1

B

1

，

AD⊥

平面

BCC

1

B

1

．

取

B

1

C

1

中点

O

1

，以

O

为原点，则

B(1，

OB

，

OA

的方向为

x，y，z

轴的正方向建立空间直角坐标系，

0，0)

，

OO

1

，

，2，0)

D(11，，0)

，

A

，0，3)

，

B

1

(1

，2，3)

，

A(0

1

(0

uuur

uuuur

uuur

，

z

A

F

C

O

B

x

D

y

uuur

uuur

uuur

AB

1

(12，，3)

，

BD(210)，，

，

BA

1

(1，2，3)

．

uuuruuuruuuruuur

QAB

1

gBD2200

，

AB

1

gBA

1

1430

，

uuuruuuruuuruuur

．

AB

1

⊥BD

，

AB

1

⊥BA

1

AB

1

⊥

平面

A

1

BD

．

2.直线和平面的距离

(1)定义 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的

距离

例． 如图，在棱长为2的正方体

AC

1

中，G是

AA

1

的中点，求BD到平面

GB

1

D

1

的距离.

思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.

解析一

BD

∥平面

GB

1

D

1

，

BD

上任意一点到平面

GB

1

D

1

的距离皆为所求，以下求点O平面

GB

1

D

1

的距离,

B

1

D

1

A

1

C

1

，

B

1

D

1

A

1

A

，

B

1

D

1



平面

A

1

ACC

1

,

又

B

1

D

1



平面

GB

1

D

1



平面

A

1

ACC

1

GB

1

D

1

，两个平面的交线是

O

1

G

,

G

D

A

H

C

O

B

2024年6月13日发(作者：欧阳香馨)

空间中的各种距离

1.点到平面的距离

(1)定义 平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

(2)常用方法

1）定义法

①找到(或作出)表示距离的线段；

②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.

2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就

是所求的点面距离.

3)体积法

4)转化法 将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.

5）向量法 建立三维直角坐标系

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，

例1 如图，正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

的所有棱长都为

2

，

D

为

CC

1

中点．

（Ⅰ）求证：

AB

1

⊥

平面

A

1

BD

；

（Ⅲ）求点

C

到平面

A

1

BD

的距离．

解法一：（Ⅰ）取

BC

中点

O

，连结

AO

．

Q△ABC

为正三角形，

AO⊥BC

．

Q

正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，平面

ABC⊥

平面

BCC

1

B

1

，

AO⊥

平面

BCC

1

B

1

．

A

C

B

A

F

C

O

B

D

D

连结

B

1

O

，在正方形

BB

1

C

1

C

中，

O，D

分别为

BC，CC

1

的中点，

B

1

O⊥BD

，

AB

1

⊥BD

．

在正方形

ABB

1

A

1

中，

AB

1

⊥A

1

B

，

AB

1

⊥

平面

A

1

BD

．

S

△A

1

BD

6

，

S

△BCD

1

． （Ⅲ）

△A

1

BD

中，

BDA

1

D5，A

1

B22，

在正三棱柱中，

A

1

到平面

BCC

1

B

1

的距离为

设点

C

到平面

A

1

BD

的距离为

d

．

3

．

由

V

A

1

BCD

V

CA

1

BD

，得

d

3S

△BCD

2

．



S

△A

1

BD

2

11

S

△BCD

g3S

△A

1

BD

gd

，

33



点

C

到平面

A

1

BD

的距离为

2

．

2

解法二：（Ⅰ）取

BC

中点

O

，连结

AO

．

Q△ABC

为正三角形，

AO⊥BC

．

Q

在正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，平面

ABC⊥

平面

BCC

1

B

1

，

AD⊥

平面

BCC

1

B

1

．

取

B

1

C

1

中点

O

1

，以

O

为原点，则

B(1，

OB

，

OA

的方向为

x，y，z

轴的正方向建立空间直角坐标系，

0，0)

，

OO

1

，

，2，0)

D(11，，0)

，

A

，0，3)

，

B

1

(1

，2，3)

，

A(0

1

(0

uuur

uuuur

uuur

，

z

A

F

C

O

B

x

D

y

uuur

uuur

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AB

1

(12，，3)

，

BD(210)，，

，

BA

1

(1，2，3)

．

uuuruuuruuuruuur

QAB

1

gBD2200

，

AB

1

gBA

1

1430

，

uuuruuuruuuruuur

．

AB

1

⊥BD

，

AB

1

⊥BA

1

AB

1

⊥

平面

A

1

BD

．

2.直线和平面的距离

(1)定义 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的

距离

例． 如图，在棱长为2的正方体

AC

1

中，G是

AA

1

的中点，求BD到平面

GB

1

D

1

的距离.

思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.

解析一

BD

∥平面

GB

1

D

1

，

BD

上任意一点到平面

GB

1

D

1

的距离皆为所求，以下求点O平面

GB

1

D

1

的距离,

B

1

D

1

A

1

C

1

，

B

1

D

1

A

1

A

，

B

1

D

1



平面

A

1

ACC

1

,

又

B

1

D

1



平面

GB

1

D

1



平面

A

1

ACC

1

GB

1

D

1

，两个平面的交线是

O

1

G

,

G

D

A

H

C

O

B