2024年8月5日发(作者：公羊芳春)

旗开得胜

线面角的求解

【方法总结】

1、 线面角的范围：[0°,90°]

2、 线面角求法（一）：

先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；

找线在面外的一点B，过点B向平面



做垂线，确定垂足O；

连结斜足与垂足为斜线AB在面



上的投影；

投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；

把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：

1） 线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面



，无需再做辅助线；

2） 题中已知有与面



垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；

3） 过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面



（这

两个垂直平面一个是面



，另一个是过点B且与



垂直的平面）。

3、线面角求法（二）

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求

解。

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

4、线面角求法（三）

利用空间向量进行求解，高二再学。

【巩固练习】

1、已知正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的体积为

162

，点

P

在正方形

A

1

B

1

C

1

D

1

上，且

A

1

,C

到

P的距离分别为

2,23

，则直线

CP

与平面

BDD

1

B

1

所成角的正切值为( )

A.

2

2

B.

3

3

C.

1

2

D.

1

3

【答案】A

【解析】易知

AB22

；连接

C

1

P

，在直角

CC

1

P

中，可计算

C

1

PCP

2

CC

1

2

2

；

又

A

1

P2,A

1

C

1

4

，所以点

P

是

A

1

C

1

的中点；连接

AC

与

BD

交于点

O

，易证

AC

平

面

BDD

1

B

1

，直线

CP

在平面

BDD

1

B

1

内的射影是

OP

，所以

CPO

就是直线

CP

与平面

BDD

1

B

1

所成的角，在直角

CPO

中，

tanCPO

CO



2

.

PO2

2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

平面

A．

所成的角的大小为

B． C． D．

[来源网ZXXK]

【答案】C

【解析】

如图所示，当平面

取的中点，则

平面

平面

时，三棱锥的体积最大，

，

故直线

所以

和平面所成的角为，则，

，故选C.

PAAB,

PCBC

，

ABBC,AB2BC2,

PC

3、如图，在三棱锥

P-ABC

中，

则

PA

与平面

ABC

所成角的大小为_______.

5

，

【答案】

45



【解析】

如图，作平行四边形

ABCD

，连接

PD

，由

ABBC

，则平行四边形

ABCD

是矩形．

由

BCCD

，

BCPC

，

PCCDC

，∴

BC⊥

平面

PCD

，而

PD

平面

PCD

，∴

BC⊥PD

，同理可得

ABPD

，又

ABBCB

，∴

PD

平面

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

ABCD

．

PDCD,PDAD

，

PAD

是

PA

与平面

ABC

所成角．

由

CDAB2,PC5

得

PD1

，又

ADBC1

，∴

PAD45

．

∴

PA

与平面

ABC

所成角是

45

．

4、已知三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

的侧棱与底面边长都相等，A

1

在底面ABC内的射影为△ABC

的中心O，则AB

1

与底面ABC所成角的正弦值为（ ）

A．

2

3

B．

1

3

C．

3

3

【答案】A

【解析】作

A

1

H

面

ABC

于点

H

,延长

B

1

A

1

到

D

,延长

BA

到

E

使得

B

1

A

1

A

1

D

，

BAAE,

如图

则有

A

1

EAB

1

，又因为

A

1

O

面

ABC

，

故

A

sinA

AO

1

1

EO

为所求角，且

1

EO

A

1

E

读万卷书 行万里路

D．

2

3

1

旗开得胜

已知底面为正三角形，且

O

为底面中点，解三角形可知：

AO

336

ABAA

1

,A

1

OAA

1

333

又在

AEO

中运用余弦定理，

EAO150

则

EO



EA







AO



2EAAOcosEAO

AOEO3AB

1

22

22

21

AB

3

故由勾股定理可得

A

1

E

6

2

故选

A

则

sinA

1

EO

3



3

3

5、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且

AD

1

DB

，

3

点C为圆O上一点，且

BC3AC

.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.

(1)求证：CD⊥平面PAB；

(2)求直线PC与平面PAB所成的角．

【答案】（1）见解析；（2）

30

1

读万卷书 行万里路

【解析】(1)证明：连接CO，

由3AD＝DB知，点D为AO的中点．

又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.

由

3

AC＝BC知，∠CAB＝60°，

所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.

因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，

由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，

得CD⊥平面PAB.

(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，

又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝

3

.

在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝

3

，

所以

tanCPD

CD3

PD



3

，∠CPD＝30°，

即直线PC与平面PAB所成的角为30°.

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

6、如图，在四棱锥

P

-

ABCD

中，

AP

平面

PCD

，

AD//BC

，

ABBC

，

APABBC

1

2

AD

，

E

为

AD

的中点，

AC

与

BE

相交于点

O

.

（1）证明：

PO

平面

ABCD

.

（2）求直线

BC

与平面

PBD

所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

22

11

【解析】

（1）证明：

AP

平面

PCD

，

CD

平面

PCD

，

APCD

，

AD//BC,

BC

1

2

AD

，

E

为

AD

的中点，则

BC//DE

且

BCDE

.



四边形

BCDE

为平行四边形，

BE//CD

，

APBE

.

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

旗开得胜

又

ABBC,

ABBC

1

AD

，且

E

为

AD

的中点，



四边形

ABCE

为正方形，

2

BEAC

，又

APACA,

BE

平面

APC

，

PO

平面

APC

，则

BEPO

.

AP

平面

PCD,

PC

平面

PCD

，

APPC

，

又

AC2AB2AP

，

PAC

为等腰直角三角形，

O

为斜边

AC

上的中点，

POAC

且

ACBEO,

PO

平面

ABCD

.

（2）高一学生可以用等体积法求解。

解：以

O

为坐标原点，建立空间直角坐标系

O

-

xyz

，如图所示

不妨设

OB1

，则

B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),D(2,1,0)

,

则

BC(1,1,0),PB(1,0,1),PD(2,1,1)

.

设平面

PBD

的法向量为

n(x,y,z)

，

则





nPB0，



xz0,



xz



nPD0，

即





2xyz0,

即



,



y3z,

令

z1

，得

n(1,3,1)

.

设

BC

与平面

PBD

所成角为



，

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

则

sin



cosBC,n

113101

1

2

3

2

1

2



1



2

1

2



22

.

11

7、如图．在四棱锥

PABCD

中，

AD//BC

，

BAD90

，

PA

平面

ABCD

，且

BC1

．

APAB3

，

ADC60

，

M、N

分别为棱

PC，PB

的中点.

（1）证明：

A，D，M，N

四点共面，且

PB

平面

ADMN

；

（2）求直线

BD

与平面

ADMN

所成角的正弦值．

【答案】(1) 证明见解析；(2)

42

14

【解析】（1）证明因为

M，N

分别为

PC，PB

的中点，所以

MN//BC

；

又因为

AD//BC

，所以

MN//AD

．从而

A，D，M，N

四点共面；

因为

PA

平面

ABCD

，

AD

平面

ABCD

．所以

PAAD

，

又因为

ADAB

，

ABPAA

，所以

AD

平面

PAB

，从而

ADPB

，

因为

APAB

，且

N

为

PB

的中点，所以

PBAN

；

又因为

ANADA

，所以

PB

平面

ADMN

；

（2）如图，连结

DN

；

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

由（1）知

PB

平面

ADMN

，

所以，

DN

为直线

BD

在平面

ADMN

内的射影，且

DNBN

，

所以，

BDN

即为直线

BD

与平面

ADMN

所成的角：

在直角梯形

ABCD

内，过

C

作

CHAD

于

H

，则四边形

ABCH

为矩形；

CHAB3,AHBC1

，在

RCDH

中，

DH

CH3

1

；

tanADC

3

所以，

ADAHDH2

，

BDAD

2

AB

2

7

，

16

，

BD7

，

PB

22

在

RtBDN

中，

BND90

，

BN

所以

sinBDN

BN642

.



BD

27

14

42

.

14

综上，直线

BD

与平面

ADMN

所成角的正弦值为

8、在三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，底面

ABC

是等腰三角形，且

ABC90

，侧面

ABB

1

A

1

是菱形，

BAA

1

60

，平面

ABB

1

A

1



平面

BAC

，点

M

是

AA

1

的中点．

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

（1）求证：

BB

1

CM

；

（2）求直线

BM

与平面

CB

1

M

所成角的正弦值．

【答案】(1) 证明见解析；(2)

10

5

【解析】

（1）证明：在

RtABC

中，

B

是直角，即

BCAB

，平面

ABC

平面

AA

1

B

1

B

，

平面

ABC

平面

AA

1

B

1

BAB

，

BC

平面

ABC

，

BC

平面

AA

1

B

1

BAB

，

BCB

1

B

.

在菱形

AA



1

B

1

B

中，

A

1

AB60

，连接

BM

，

A

1

B

则

A

1

AB

是正三角形，

∵点

M

是

AA

1

中点，

AA

1

BM

.

又

AA

1

//B

1

B

，

BB

1

BM

.

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

又

BMBCB

，

BB

1



平面

BMC

BB

1

MC

.

（2）作

BGMB

1

于

G

，连结

CG

．

由（1）知

BC⊥

平面

AA

1

B

1

B

，得到

BCMB

1

，

又

BGMB

1

，且

BCBGB

，所以

MB

1



平面

BCG

.

又因为

MB

1



平面

CMB

1

，所以

CMB

1



BCG

，

又平面

CMB

1

平面

BCGCG

,

作

BHCG

于点

H，

则

BH

平面

CMB

1

，则

BMH

即为所求线面角．

设

ABBC 2

，

由已知得

BB

1

2,BM3,BG

22130

，

,BH

75

30

BH10

，

sinBMH

5



BM5

3

则

BM

与平面

CB

1

M

所成角的正弦值为

10

．

5

9、如图，在四棱锥

PABCD

中，底面为直角梯形，

AD

∥

BC

，∠

BAD

=90°，

PA

⊥底面

ABCD

，且

PA

=

AD

=

AB

=2

BC

=2，

M

、

N

分别为

PC

、

CB

的中点.

1

读万卷书 行万里路

(1)求证:

PB

⊥平面

ADMN

；

(2)求

BD

与平面

ADMN

所成角的大小.

【答案】（1）答案见解析；（2）



6

【解析】证明：（1）∵

M

、

N

分别为

PC

、

PB

的中点，

AD

∥

BC

，

∴

AD

∥

MN

，即

A

，

D

，

M

，

N

四点共面，

∵

N

是

PB

的中点，

PA

＝

AB

，

∴

AN

⊥

PB

，

∵

AD

⊥面

PAB

，

∴

AD

⊥

PB

，

又∵

AD

∩

AN

＝

N

，

∴

PB

⊥平面

ADMN

；

（2）连结

DN

，

BD

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

∵

PB

⊥平面

ADMN

，

∴∠

BDN

是

BD

与平面

ADMN

所成的角，

在

RtBDN

中，

BN

1

PB

1

PA

2

AB

2



1

2

2

2

2

222

2

，

BDDA

2

AB

2

2

2

2

2

22

，

sinBDN

BN

BD



1

2

，

∴

BD

与平面

ADMN

所成的角是



6

．

10．四面体

ABCD

中，

AB

=

3a，

AC

=

AD

=

2a，

且∠

BAC

=∠

CAD

=∠

DAB

=



2

.

(1)求证:

AB

⊥平面

ACD

；

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

旗开得胜

(2)求直线

AB

与平面

BCD

所成角的正弦值.

【答案】(1)证明过程见解析；(2)

22

.

11

【解析】(1)因为∠

BAC

=∠

D

AB=



2

,

所以

ABAC,ABAD

又因为

ABADACA,AD,AC

平面

ACD

,所以

AB

⊥平面

ACD

；

(2)由(1)可知：

AB

⊥平面

ACD

，∠

CAD

=



2

,

所以四面体

ABCD

的体积为：

11

VDACABA2a

3

.设

AO

平面

BCD

,O为垂足，所以

ABO

是直线

AB

与平

32

面

BCD

所成角的.设

AOh

,

因为∠

BAC

=∠

CAD

=∠

DAB

=



2

,

所以利用勾股定理可以求出：

CD22a,BCBD13a

,所以

11

S

BCD

22a(13a)

2

(22a)

2

22a

2

,由棱锥的体积公式可得：

22

113

VS

BCD

h2a

3

22a

2

hh22a

,

3311

3

22a

AO

11

22

. 在直角三角形

ABO

中,

sinABO

AB3a11

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

所以直线

AB

与平面

BCD

所成角正弦值为

22

.

11

11．如图，已知长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

ABAD1

，

AA

1

2

，点

G

为

CC

1

中点，

（1）求直线

AD

1

与平面

ABCD

所成角的正切值；

（2）求异面直线

A

1

C

1

与

BG

所成角大小。

【答案】（1）

2

；（2）



3

【解析】

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

（1）因为

DD

1



面

ABCD

，所以



D

1

AD

为直线

D

1

A

与平面

ABCD

所成角，

所以

tan



D

1

AD

DD

1

AD

2

直线

AD

1

与平面

ABCD

所成角的正切值为2；



2



取

BB

1

中点

F

，联结

A

1

F和C

1

F

，则

C

1

F//BG

，所以



A

1

C

1

F

即为异面直线

A

1

C

1

与BG

所成角或补角。因为

AC

11

A

1

FC



AC



1

F2

，所以

11

F

3

，



异面直线

A



1

C

1

与

BG

所成角大小为

3

.

12．如图，

ABCD

是平行四边形，

AP

平面

ABCD

，

BE//AP

，

ABAP2

，

BEBC1

，

CBA60

.

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

（1）求证：

EC//

平面

PAD

；

（2）求直线

PC

与平面

PABE

所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

21

.

14

【解析】（1）证明：

BE//AP

，

BE

平面

PAD

，

AP

平面

PAD

，

BE//

平面

PAD

.

同理可证

BC//

平面

PAD

.

BCBEB

，



平面

BCE//

平面

PAD

.

EC

平面

BCE

，

EC//

平面

PAD

；

（2）作

CMAB

于点

M

，连接

PM

，

PA

平面

ABCD

，

CM

平面

ABCD

，

CMPA

.

又

CMAB

，

PAABA

，

CM

平面

PABE

.

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

则

CPM

为

PC

与平面

PABE

所成角，

在

ABC

中，

AB2

，

BC1

，

ABC60

，

CMBCsin60

3

，

2

BMBCcos60

113

，

AMABBM2

，

222

5

，

PCCM

2

PM

2

7

，

2

PMAM

2

PA

2



3

CM21

，因此，直线

PC

与平面

PABE

所成角的正弦值为

21

.

2

sinCPM

14

PC14

7

13、如图,直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中,

ABAC,AB1,AC2,AA

1

2,D,E

分别为

BC,A

1

C

1

的中点.

(1)证明:

C

1

D//

平面

ABE

;

(2)求

CC

1

与平面

ABE

所成角的正弦值.

5

5

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）法一：取

AB

中点

H

，连接

EH,HD

，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

EC

1

∥

AC

.

2

∵

D

为

BC

中点，

H

为

AB

中点，∴

HD

∥

AC,

1

2

HD

∥

EC

1

，

平面

ABE

， ∴四边形

DHEC

1

为平行四边形，∴

DC

1

∥HE

.∵

EH

平面

ABE

，

C

1

D

∴

C

1

D∥

平面

ABE

.

法二：取

AC

中点

K

，连结

C

1

K,KD

，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

AC

11

∥

AC

.

∵

E

为

A

1

C

1

中点，

K

为

AC

中点，∴

EC

1

∥

AK

，

∴四边形

AKC

1

E

为平行四边形，∴

AE∥C

1

K

.

又

C

1

K



平面

ABE

，

AE

平面

ABE

，∴

C

1

K∥

平面

ABE

.

∵

K,D

分别为

AC,BC

中点，∴

DK

∥

1

2

AB

.

又

DK



平面

ABE

，

AB

平面

ABE

，∴

DK∥

平面

ABE

.

C

1

KDKK,

平面

C

1

KD∥

平面

ABE

.

C

1

D

平面

C

1

KD,C

1

D∥

平面

ABE

.

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

（2）法一：直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

AA

1



平面

ABC

，∴

AA

1

AB

.

又∵

ABAC

，且

AC∩AA

1

A

，∴

AB

平面

ACC

1

A

1

.

过

A

1

作

A

1

FAE

于

F

.∵

A

1

F

平面

ACC

1

A

1

，∴

ABA

1

F

.

又

AB∩AEA,A

1

F

平面

ABE

.

又

CC

1

∥AA

1

,A

1

AE

即为

CC

1

与平面

ABE

所成的角.

AA

1

2,A

1

E1,AE5,sinA

1

AE

15

.



5

5

法二：（等积法）

CC

1

∥AA

1

,AA

1

、CC

1

与平面

ABE

所成的角相等.

连结

A

1

B

，直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

AA

1



平面

ABC

，∴

AA

1

AB

.

又

ABAC,ACAA

1

A,AB

平面

ACC

1

A

1

.

1111

V

BA

1

AE

S

△A

1

AE

AB121

，

AEAA

1

2

A

1

E

2

2

2

1

2

5

.

3323

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

设

A

1

到平面

ABE

的距离为

d

，

V

AABE



1

1115

S

△ABE

d15dd

.

3326

∵

V

AABE

V

BAAE

,

11

2

15

d

，即

.

d

5

36

设

CC

1

与平面

ABE

所成的角为



，

sin





d5



.

AA

1

5

14、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且

AD

1

DB

，

3

点C为圆O上一点，且

BC3AC

.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.

(1)求证：CD⊥平面PAB；

(2)求直线PC与平面PAB所成的角．

【答案】（1）见解析；（2）

30

1

读万卷书 行万里路

【解析】(1)证明：连接CO，

由3AD＝DB知，点D为AO的中点．

又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.

由

3

AC＝BC知，∠CAB＝60°，

所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.

因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，

由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，

得CD⊥平面PAB.

(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，

又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝

3

.

在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝

3

，

所以

tanCPD

CD3

PD



3

，∠CPD＝30°，

即直线PC与平面PAB所成的角为30°.

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

旗开得胜

15、如图，在三棱锥

DABC

中，

DADBDC

，

D

在底面

ABC

上的射影

E

在

AC

上，

DFAB

于

F

.

（1）求证：

BC

平行平面

DEF

，平面

DAB

平面

DEF

；

（2）若

BACADC



3

，求直线

BE

与平面

DAB

所成角的正弦值.

【答案】（1）详见解析（2）

15

5

【解析】（1）证明：因为

DADBDC

，所以

E

，

F

分别是

AB

，

AC

的中点

所以

EF∥BC

，从而

BC∥

平面

DEF

又

ABDF

，

ABDE

，所以

AB

平面

DEF

从而平面

DAB

平面

DEF

1

读万卷书 行万里路

（2）在

DEF

中过

E

作

DF

的垂线，垂足

H

由（1）知

EH

平面

DAB

，

EBH

即所求线面角

由

F

是

AB

中点，

ABEF

得

EAEB

设

AC2

，则

BE1

，因为

BACADC



3

，

则

DE3

，

EF

3

2

，

DF

15

2

，

EH

15

5

所以所求线面角的正弦值为

sinEBF

EH15

EB



5

16、如图，在正方体

ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，

O

为

AC

的中点．

(Ⅰ) 求证：

OC

1

//

平面

AB

1

D

1

；

(Ⅱ) 求证：

B

1

D

1

平面A

1

ACC

1

；并求出直线

D

1

A

与平面

A

1

ACC

1

所成的角.

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）证明见解析，

30

0

.

【解析】(Ⅰ) 令

B

1

D

1

A

1

C

1

O

1

,连接

O

1

A

,

A

1

A//B

1

B,A

1

AB

1

B,C

1

C//B

1

B,C

1

CB

1

B,

A

1

A//C

1

C,A

1

AC

1

C,

则四边形

A

1

ACC

1

是平行四边形，

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1



AC

11

//AC,AC

11

AC

;又

点O

1

，O分别

是

A

1

C

1

，AC

的中点

AO//O

1

C

1

,AOO

1

C

1

,则四边形

O

1

AOC

1

是平行四边形，

AO

1

//OC

1

，

AO

1

平面AB

1

D

1

,OC

1

平面AB

1

D

1

所以

OC

1

//

平面

AB

1

D

1

；

(Ⅱ)

四边形A

1

B

1

C

1

D

1

是正方形

B

1

D

1

A

1

C

1

又

A

1

A平面B

1

D

1

A

1

AB

1

D

1

,且A

1

AA

1

C

1

A

1

,

所以

B

1

D

1

平面A

1

ACC

1

，

则

D

1

AO

1

就是直线

D

1

A

与平面

A

1

ACC

1

所成的角，

又

ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

是正方体，所以

D

1

O

1



1

2

D

1

A

,

故直线

D

1

A

与平面

A

1

ACC

1

所成的角为

30

0

.

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

2024年8月5日发(作者：公羊芳春)

旗开得胜

线面角的求解

【方法总结】

1、 线面角的范围：[0°,90°]

2、 线面角求法（一）：

先确定斜线与平面，找到线面的交点A为斜足；

找线在面外的一点B，过点B向平面



做垂线，确定垂足O；

连结斜足与垂足为斜线AB在面



上的投影；

投影AO与斜线AB之间的夹角为线面角；

把投影AO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。

注意：以上第二步过面外一点向平面做垂线的方法有一下几种：

1） 线在面外的一点B与平面上某点的连线正垂直于面



，无需再做辅助线；

2） 题中已知有与面



垂直的直线，过线在面外的一点B直接做此垂线的平行线；

3） 过线在面外的一点B做两垂直平面交线的垂线，利用面面垂直的性质证明OB⊥面



（这

两个垂直平面一个是面



，另一个是过点B且与



垂直的平面）。

3、线面角求法（二）

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求

解。

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

4、线面角求法（三）

利用空间向量进行求解，高二再学。

【巩固练习】

1、已知正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的体积为

162

，点

P

在正方形

A

1

B

1

C

1

D

1

上，且

A

1

,C

到

P的距离分别为

2,23

，则直线

CP

与平面

BDD

1

B

1

所成角的正切值为( )

A.

2

2

B.

3

3

C.

1

2

D.

1

3

【答案】A

【解析】易知

AB22

；连接

C

1

P

，在直角

CC

1

P

中，可计算

C

1

PCP

2

CC

1

2

2

；

又

A

1

P2,A

1

C

1

4

，所以点

P

是

A

1

C

1

的中点；连接

AC

与

BD

交于点

O

，易证

AC

平

面

BDD

1

B

1

，直线

CP

在平面

BDD

1

B

1

内的射影是

OP

，所以

CPO

就是直线

CP

与平面

BDD

1

B

1

所成的角，在直角

CPO

中，

tanCPO

CO



2

.

PO2

2、把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

平面

A．

所成的角的大小为

B． C． D．

[来源网ZXXK]

【答案】C

【解析】

如图所示，当平面

取的中点，则

平面

平面

时，三棱锥的体积最大，

，

故直线

所以

和平面所成的角为，则，

，故选C.

PAAB,

PCBC

，

ABBC,AB2BC2,

PC

3、如图，在三棱锥

P-ABC

中，

则

PA

与平面

ABC

所成角的大小为_______.

5

，

【答案】

45



【解析】

如图，作平行四边形

ABCD

，连接

PD

，由

ABBC

，则平行四边形

ABCD

是矩形．

由

BCCD

，

BCPC

，

PCCDC

，∴

BC⊥

平面

PCD

，而

PD

平面

PCD

，∴

BC⊥PD

，同理可得

ABPD

，又

ABBCB

，∴

PD

平面

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

ABCD

．

PDCD,PDAD

，

PAD

是

PA

与平面

ABC

所成角．

由

CDAB2,PC5

得

PD1

，又

ADBC1

，∴

PAD45

．

∴

PA

与平面

ABC

所成角是

45

．

4、已知三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

的侧棱与底面边长都相等，A

1

在底面ABC内的射影为△ABC

的中心O，则AB

1

与底面ABC所成角的正弦值为（ ）

A．

2

3

B．

1

3

C．

3

3

【答案】A

【解析】作

A

1

H

面

ABC

于点

H

,延长

B

1

A

1

到

D

,延长

BA

到

E

使得

B

1

A

1

A

1

D

，

BAAE,

如图

则有

A

1

EAB

1

，又因为

A

1

O

面

ABC

，

故

A

sinA

AO

1

1

EO

为所求角，且

1

EO

A

1

E

读万卷书 行万里路

D．

2

3

1

旗开得胜

已知底面为正三角形，且

O

为底面中点，解三角形可知：

AO

336

ABAA

1

,A

1

OAA

1

333

又在

AEO

中运用余弦定理，

EAO150

则

EO



EA







AO



2EAAOcosEAO

AOEO3AB

1

22

22

21

AB

3

故由勾股定理可得

A

1

E

6

2

故选

A

则

sinA

1

EO

3



3

3

5、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且

AD

1

DB

，

3

点C为圆O上一点，且

BC3AC

.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.

(1)求证：CD⊥平面PAB；

(2)求直线PC与平面PAB所成的角．

【答案】（1）见解析；（2）

30

1

读万卷书 行万里路

【解析】(1)证明：连接CO，

由3AD＝DB知，点D为AO的中点．

又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.

由

3

AC＝BC知，∠CAB＝60°，

所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.

因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，

由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，

得CD⊥平面PAB.

(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，

又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝

3

.

在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝

3

，

所以

tanCPD

CD3

PD



3

，∠CPD＝30°，

即直线PC与平面PAB所成的角为30°.

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

6、如图，在四棱锥

P

-

ABCD

中，

AP

平面

PCD

，

AD//BC

，

ABBC

，

APABBC

1

2

AD

，

E

为

AD

的中点，

AC

与

BE

相交于点

O

.

（1）证明：

PO

平面

ABCD

.

（2）求直线

BC

与平面

PBD

所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

22

11

【解析】

（1）证明：

AP

平面

PCD

，

CD

平面

PCD

，

APCD

，

AD//BC,

BC

1

2

AD

，

E

为

AD

的中点，则

BC//DE

且

BCDE

.



四边形

BCDE

为平行四边形，

BE//CD

，

APBE

.

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

旗开得胜

又

ABBC,

ABBC

1

AD

，且

E

为

AD

的中点，



四边形

ABCE

为正方形，

2

BEAC

，又

APACA,

BE

平面

APC

，

PO

平面

APC

，则

BEPO

.

AP

平面

PCD,

PC

平面

PCD

，

APPC

，

又

AC2AB2AP

，

PAC

为等腰直角三角形，

O

为斜边

AC

上的中点，

POAC

且

ACBEO,

PO

平面

ABCD

.

（2）高一学生可以用等体积法求解。

解：以

O

为坐标原点，建立空间直角坐标系

O

-

xyz

，如图所示

不妨设

OB1

，则

B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),D(2,1,0)

,

则

BC(1,1,0),PB(1,0,1),PD(2,1,1)

.

设平面

PBD

的法向量为

n(x,y,z)

，

则





nPB0，



xz0,



xz



nPD0，

即





2xyz0,

即



,



y3z,

令

z1

，得

n(1,3,1)

.

设

BC

与平面

PBD

所成角为



，

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

则

sin



cosBC,n

113101

1

2

3

2

1

2



1



2

1

2



22

.

11

7、如图．在四棱锥

PABCD

中，

AD//BC

，

BAD90

，

PA

平面

ABCD

，且

BC1

．

APAB3

，

ADC60

，

M、N

分别为棱

PC，PB

的中点.

（1）证明：

A，D，M，N

四点共面，且

PB

平面

ADMN

；

（2）求直线

BD

与平面

ADMN

所成角的正弦值．

【答案】(1) 证明见解析；(2)

42

14

【解析】（1）证明因为

M，N

分别为

PC，PB

的中点，所以

MN//BC

；

又因为

AD//BC

，所以

MN//AD

．从而

A，D，M，N

四点共面；

因为

PA

平面

ABCD

，

AD

平面

ABCD

．所以

PAAD

，

又因为

ADAB

，

ABPAA

，所以

AD

平面

PAB

，从而

ADPB

，

因为

APAB

，且

N

为

PB

的中点，所以

PBAN

；

又因为

ANADA

，所以

PB

平面

ADMN

；

（2）如图，连结

DN

；

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

由（1）知

PB

平面

ADMN

，

所以，

DN

为直线

BD

在平面

ADMN

内的射影，且

DNBN

，

所以，

BDN

即为直线

BD

与平面

ADMN

所成的角：

在直角梯形

ABCD

内，过

C

作

CHAD

于

H

，则四边形

ABCH

为矩形；

CHAB3,AHBC1

，在

RCDH

中，

DH

CH3

1

；

tanADC

3

所以，

ADAHDH2

，

BDAD

2

AB

2

7

，

16

，

BD7

，

PB

22

在

RtBDN

中，

BND90

，

BN

所以

sinBDN

BN642

.



BD

27

14

42

.

14

综上，直线

BD

与平面

ADMN

所成角的正弦值为

8、在三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，底面

ABC

是等腰三角形，且

ABC90

，侧面

ABB

1

A

1

是菱形，

BAA

1

60

，平面

ABB

1

A

1



平面

BAC

，点

M

是

AA

1

的中点．

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

（1）求证：

BB

1

CM

；

（2）求直线

BM

与平面

CB

1

M

所成角的正弦值．

【答案】(1) 证明见解析；(2)

10

5

【解析】

（1）证明：在

RtABC

中，

B

是直角，即

BCAB

，平面

ABC

平面

AA

1

B

1

B

，

平面

ABC

平面

AA

1

B

1

BAB

，

BC

平面

ABC

，

BC

平面

AA

1

B

1

BAB

，

BCB

1

B

.

在菱形

AA



1

B

1

B

中，

A

1

AB60

，连接

BM

，

A

1

B

则

A

1

AB

是正三角形，

∵点

M

是

AA

1

中点，

AA

1

BM

.

又

AA

1

//B

1

B

，

BB

1

BM

.

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

又

BMBCB

，

BB

1



平面

BMC

BB

1

MC

.

（2）作

BGMB

1

于

G

，连结

CG

．

由（1）知

BC⊥

平面

AA

1

B

1

B

，得到

BCMB

1

，

又

BGMB

1

，且

BCBGB

，所以

MB

1



平面

BCG

.

又因为

MB

1



平面

CMB

1

，所以

CMB

1



BCG

，

又平面

CMB

1

平面

BCGCG

,

作

BHCG

于点

H，

则

BH

平面

CMB

1

，则

BMH

即为所求线面角．

设

ABBC 2

，

由已知得

BB

1

2,BM3,BG

22130

，

,BH

75

30

BH10

，

sinBMH

5



BM5

3

则

BM

与平面

CB

1

M

所成角的正弦值为

10

．

5

9、如图，在四棱锥

PABCD

中，底面为直角梯形，

AD

∥

BC

，∠

BAD

=90°，

PA

⊥底面

ABCD

，且

PA

=

AD

=

AB

=2

BC

=2，

M

、

N

分别为

PC

、

CB

的中点.

1

读万卷书 行万里路

(1)求证:

PB

⊥平面

ADMN

；

(2)求

BD

与平面

ADMN

所成角的大小.

【答案】（1）答案见解析；（2）



6

【解析】证明：（1）∵

M

、

N

分别为

PC

、

PB

的中点，

AD

∥

BC

，

∴

AD

∥

MN

，即

A

，

D

，

M

，

N

四点共面，

∵

N

是

PB

的中点，

PA

＝

AB

，

∴

AN

⊥

PB

，

∵

AD

⊥面

PAB

，

∴

AD

⊥

PB

，

又∵

AD

∩

AN

＝

N

，

∴

PB

⊥平面

ADMN

；

（2）连结

DN

，

BD

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

∵

PB

⊥平面

ADMN

，

∴∠

BDN

是

BD

与平面

ADMN

所成的角，

在

RtBDN

中，

BN

1

PB

1

PA

2

AB

2



1

2

2

2

2

222

2

，

BDDA

2

AB

2

2

2

2

2

22

，

sinBDN

BN

BD



1

2

，

∴

BD

与平面

ADMN

所成的角是



6

．

10．四面体

ABCD

中，

AB

=

3a，

AC

=

AD

=

2a，

且∠

BAC

=∠

CAD

=∠

DAB

=



2

.

(1)求证:

AB

⊥平面

ACD

；

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

旗开得胜

(2)求直线

AB

与平面

BCD

所成角的正弦值.

【答案】(1)证明过程见解析；(2)

22

.

11

【解析】(1)因为∠

BAC

=∠

D

AB=



2

,

所以

ABAC,ABAD

又因为

ABADACA,AD,AC

平面

ACD

,所以

AB

⊥平面

ACD

；

(2)由(1)可知：

AB

⊥平面

ACD

，∠

CAD

=



2

,

所以四面体

ABCD

的体积为：

11

VDACABA2a

3

.设

AO

平面

BCD

,O为垂足，所以

ABO

是直线

AB

与平

32

面

BCD

所成角的.设

AOh

,

因为∠

BAC

=∠

CAD

=∠

DAB

=



2

,

所以利用勾股定理可以求出：

CD22a,BCBD13a

,所以

11

S

BCD

22a(13a)

2

(22a)

2

22a

2

,由棱锥的体积公式可得：

22

113

VS

BCD

h2a

3

22a

2

hh22a

,

3311

3

22a

AO

11

22

. 在直角三角形

ABO

中,

sinABO

AB3a11

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

所以直线

AB

与平面

BCD

所成角正弦值为

22

.

11

11．如图，已知长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

ABAD1

，

AA

1

2

，点

G

为

CC

1

中点，

（1）求直线

AD

1

与平面

ABCD

所成角的正切值；

（2）求异面直线

A

1

C

1

与

BG

所成角大小。

【答案】（1）

2

；（2）



3

【解析】

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

（1）因为

DD

1



面

ABCD

，所以



D

1

AD

为直线

D

1

A

与平面

ABCD

所成角，

所以

tan



D

1

AD

DD

1

AD

2

直线

AD

1

与平面

ABCD

所成角的正切值为2；



2



取

BB

1

中点

F

，联结

A

1

F和C

1

F

，则

C

1

F//BG

，所以



A

1

C

1

F

即为异面直线

A

1

C

1

与BG

所成角或补角。因为

AC

11

A

1

FC



AC



1

F2

，所以

11

F

3

，



异面直线

A



1

C

1

与

BG

所成角大小为

3

.

12．如图，

ABCD

是平行四边形，

AP

平面

ABCD

，

BE//AP

，

ABAP2

，

BEBC1

，

CBA60

.

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

（1）求证：

EC//

平面

PAD

；

（2）求直线

PC

与平面

PABE

所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

21

.

14

【解析】（1）证明：

BE//AP

，

BE

平面

PAD

，

AP

平面

PAD

，

BE//

平面

PAD

.

同理可证

BC//

平面

PAD

.

BCBEB

，



平面

BCE//

平面

PAD

.

EC

平面

BCE

，

EC//

平面

PAD

；

（2）作

CMAB

于点

M

，连接

PM

，

PA

平面

ABCD

，

CM

平面

ABCD

，

CMPA

.

又

CMAB

，

PAABA

，

CM

平面

PABE

.

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

则

CPM

为

PC

与平面

PABE

所成角，

在

ABC

中，

AB2

，

BC1

，

ABC60

，

CMBCsin60

3

，

2

BMBCcos60

113

，

AMABBM2

，

222

5

，

PCCM

2

PM

2

7

，

2

PMAM

2

PA

2



3

CM21

，因此，直线

PC

与平面

PABE

所成角的正弦值为

21

.

2

sinCPM

14

PC14

7

13、如图,直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中,

ABAC,AB1,AC2,AA

1

2,D,E

分别为

BC,A

1

C

1

的中点.

(1)证明:

C

1

D//

平面

ABE

;

(2)求

CC

1

与平面

ABE

所成角的正弦值.

5

5

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）法一：取

AB

中点

H

，连接

EH,HD

，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

EC

1

∥

AC

.

2

∵

D

为

BC

中点，

H

为

AB

中点，∴

HD

∥

AC,

1

2

HD

∥

EC

1

，

平面

ABE

， ∴四边形

DHEC

1

为平行四边形，∴

DC

1

∥HE

.∵

EH

平面

ABE

，

C

1

D

∴

C

1

D∥

平面

ABE

.

法二：取

AC

中点

K

，连结

C

1

K,KD

，在直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

AC

11

∥

AC

.

∵

E

为

A

1

C

1

中点，

K

为

AC

中点，∴

EC

1

∥

AK

，

∴四边形

AKC

1

E

为平行四边形，∴

AE∥C

1

K

.

又

C

1

K



平面

ABE

，

AE

平面

ABE

，∴

C

1

K∥

平面

ABE

.

∵

K,D

分别为

AC,BC

中点，∴

DK

∥

1

2

AB

.

又

DK



平面

ABE

，

AB

平面

ABE

，∴

DK∥

平面

ABE

.

C

1

KDKK,

平面

C

1

KD∥

平面

ABE

.

C

1

D

平面

C

1

KD,C

1

D∥

平面

ABE

.

读万卷书 行万里路

1

旗开得胜

（2）法一：直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

AA

1



平面

ABC

，∴

AA

1

AB

.

又∵

ABAC

，且

AC∩AA

1

A

，∴

AB

平面

ACC

1

A

1

.

过

A

1

作

A

1

FAE

于

F

.∵

A

1

F

平面

ACC

1

A

1

，∴

ABA

1

F

.

又

AB∩AEA,A

1

F

平面

ABE

.

又

CC

1

∥AA

1

,A

1

AE

即为

CC

1

与平面

ABE

所成的角.

AA

1

2,A

1

E1,AE5,sinA

1

AE

15

.



5

5

法二：（等积法）

CC

1

∥AA

1

,AA

1

、CC

1

与平面

ABE

所成的角相等.

连结

A

1

B

，直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

AA

1



平面

ABC

，∴

AA

1

AB

.

又

ABAC,ACAA

1

A,AB

平面

ACC

1

A

1

.

1111

V

BA

1

AE

S

△A

1

AE

AB121

，

AEAA

1

2

A

1

E

2

2

2

1

2

5

.

3323

1

读万卷书 行万里路

旗开得胜

设

A

1

到平面

ABE

的距离为

d

，

V

AABE



1

1115

S

△ABE

d15dd

.

3326

∵

V

AABE

V

BAAE

,

11

2

15

d

，即

.

d

5

36

设

CC

1

与平面

ABE

所成的角为



，

sin





d5



.

AA

1

5

14、如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且

AD

1

DB

，

3

点C为圆O上一点，且

BC3AC

.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.

(1)求证：CD⊥平面PAB；

(2)求直线PC与平面PAB所成的角．

【答案】（1）见解析；（2）

30

1

读万卷书 行万里路

【解析】(1)证明：连接CO，

由3AD＝DB知，点D为AO的中点．

又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.

由

3

AC＝BC知，∠CAB＝60°，

所以△ACO为等边三角形．故CD⊥AO.

因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，

所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，

由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，

得CD⊥平面PAB.

(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，

又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝

3

.

在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝

3

，

所以

tanCPD

CD3

PD



3

，∠CPD＝30°，

即直线PC与平面PAB所成的角为30°.

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1

旗开得胜

15、如图，在三棱锥

DABC

中，

DADBDC

，

D

在底面

ABC

上的射影

E

在

AC

上，

DFAB

于

F

.

（1）求证：

BC

平行平面

DEF

，平面

DAB

平面

DEF

；

（2）若

BACADC



3

，求直线

BE

与平面

DAB

所成角的正弦值.

【答案】（1）详见解析（2）

15

5

【解析】（1）证明：因为

DADBDC

，所以

E

，

F

分别是

AB

，

AC

的中点

所以

EF∥BC

，从而

BC∥

平面

DEF

又

ABDF

，

ABDE

，所以

AB

平面

DEF

从而平面

DAB

平面

DEF

1

读万卷书 行万里路

（2）在

DEF

中过

E

作

DF

的垂线，垂足

H

由（1）知

EH

平面

DAB

，

EBH

即所求线面角

由

F

是

AB

中点，

ABEF

得

EAEB

设

AC2

，则

BE1

，因为

BACADC



3

，

则

DE3

，

EF

3

2

，

DF

15

2

，

EH

15

5

所以所求线面角的正弦值为

sinEBF

EH15

EB



5

16、如图，在正方体

ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，

O

为

AC

的中点．

(Ⅰ) 求证：

OC

1

//

平面

AB

1

D

1

；

(Ⅱ) 求证：

B

1

D

1

平面A

1

ACC

1

；并求出直线

D

1

A

与平面

A

1

ACC

1

所成的角.

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）证明见解析，

30

0

.

【解析】(Ⅰ) 令

B

1

D

1

A

1

C

1

O

1

,连接

O

1

A

,

A

1

A//B

1

B,A

1

AB

1

B,C

1

C//B

1

B,C

1

CB

1

B,

A

1

A//C

1

C,A

1

AC

1

C,

则四边形

A

1

ACC

1

是平行四边形，

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1



AC

11

//AC,AC

11

AC

;又

点O

1

，O分别

是

A

1

C

1

，AC

的中点

AO//O

1

C

1

,AOO

1

C

1

,则四边形

O

1

AOC

1

是平行四边形，

AO

1

//OC

1

，

AO

1

平面AB

1

D

1

,OC

1

平面AB

1

D

1

所以

OC

1

//

平面

AB

1

D

1

；

(Ⅱ)

四边形A

1

B

1

C

1

D

1

是正方形

B

1

D

1

A

1

C

1

又

A

1

A平面B

1

D

1

A

1

AB

1

D

1

,且A

1

AA

1

C

1

A

1

,

所以

B

1

D

1

平面A

1

ACC

1

，

则

D

1

AO

1

就是直线

D

1

A

与平面

A

1

ACC

1

所成的角，

又

ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

是正方体，所以

D

1

O

1



1

2

D

1

A

,

故直线

D

1

A

与平面

A

1

ACC

1

所成的角为

30

0

.

读万卷书 行万里路

旗开得胜

1