2024年6月6日发(作者：伍岑)
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第２１卷 第２期 新乡师范高等专科学校学报
Ｖ０１．２１．Ｎｏ．２
２００７年３月
Ｊ０Ｉ瓜ＮＡＩ．ＯＦ ＸＩＮＸＩＡＮＧ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣＯＬＬＥＧＥ
ＭＡＲ，２００７
一
类拟线性波动方程解的爆破
张媛媛 ，王宏伟
（１．开封大学数学教研部，河南开封４７５０００；２．新乡学院数学系，河南新乡４５３００３）
摘要：借助于一些偏微分方程的标准技巧对方程的非线性项进行估计，通过凸性引理得到了在三种不同初始
能量下解的爆破。
关键词：拟线性波动方程；解的爆破；凸性引理
中图分类号：Ｏ１７５．２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００８—７６１３（２００７）０２－００２（００３
０引言
（３）“。∈Ｈ２（ ），“ ∈Ｌ （ ），并且Ｅ（０）：
本文研究下列一类拟线性波动方程
＋尼△ ＋尼△ ＋／．（ ）＝ｇ（ ），
Ｉ“ Ｉ ，＋｜ｉ｝Ｉｌ△“。Ｉ 一２－『－『 ｇ（ｓ）ｄｓｄ 贝０
（ ，ｔ）∈Ｒ ×（０，∞） （１）
Ｃａｕｃｈｙ问题（１）和（２）的任何弱解ｕ（ｘ，ｔ）在下列条
“（ ，０）＝／２，０（ ），“ （ ，０）＝“１（ ），
件之一成立时，在有限时刻发生爆破。
∈Ｒ ，ｋ＞０ （２）
１）Ｅ（０）≤０；
解的爆破。其中“（ ，ｔ）为未知函数，下标 、 分别
２）Ｅ（０）＞０，（“ｏ，“１）＞０，且ｊ ＞０，使得
表示对变量ｔ、 求偏导。方程（１）是在非线性薄膜振
４ （“。，“ ） 一４ａ Ｅ（０）ＩＩ“。ＩＩ 一Ｉｌ“。Ｉ Ｉ一
动中出现的数学模型［】 ］。本文借助一些重要的不
２１Ｉ“。ＩＩ Ｉｌ△ Ｉｌ 一Ｉｌ△“。ｌＩ ＞４ａ Ｅ（０）Ｉｌ△“。Ｉ ｌ。
等式对方程中的非线性源项和阻尼项进行估计，利
用凸性引理得到解的爆破。
证明：假定问题（１）和（２）解的最大存在区间为
无穷。令
引理 假定Ｆ（ｔ）∈Ｃ ，Ｆ（ｔ）≥０，对于ｔ≥０
满足不等式
（ ）：《ｕ（．， ） ＩＩ△ｕ（．，ｓ）ＩＩ ｄｓ＋
（ ） （ｔ）一（１＋ ）Ｆ （ｔ）≥０， ≥０，
（Ｔ一 ）ＩＩ△“ｏ Ｉ ＋ｙ（ｔ＋ｒ） ， （３）
如果，（０）＞０，Ｆ （０）＞０，则存在一个实数 ，
则 Ｆ （ｔ）＝
使得０＜Ｔ≤ ，并且 （ ）一∞， 一 ３ｌ。
２【（“，“ ）＋ｙ（ ＋ｒ）＋－『 （△“，Ａｕ，）ｄｓ］， （４）
１解的爆破
（ｔ）＝
定理 假定
２［１ｌ“ ｌｌ ＋（“，“ ）＋（“，△ “ ）＋ｙ】。 （５）
（１）厂∈ｃ（Ｒ），０≤ ｓ）ｓ≤Ｃ１ Ｉ ｓ Ｉ” ，ｓ∈ ，
又因为 （ｔ）≤４Ｆ（ｔ）
０≤口＜１；
（２）ｇ∈Ｃ（ ），Ｉ ｇ（ｓ）ｌ≤Ｃ２ Ｉ ｓ ｌ ，ｇ（ｓ）ｓ≥
（１、 １ｌｌ ＋ｆ＋ △Ｊ ０‘ ｌｌ△ ｌ ｌｄｓ＋ｙ＋ｙ））， ， （６）
ＫＩ ｇ（ｒ）ｄｒ＞０，ｓ∈Ｒ，这里
设 ＞０，以后对它作进一步的限制，由（４）、
（５）、（６）式得
Ｋ＞Ｃ１／Ｃ２＋Ｃ１（口＋１）＋２；
Ｆ（ｔ） （ｔ）一（１＋ ） （ｔ）≥Ｆ（ｔ） （ｔ）一
收稿日期：２００６—１２－２５
作者简介：张媛媛（１９８１一），女，河南民权人，开封大学数学教研部教师，理学硕士，主要从事非线性发展方程的研究。
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第２期 张媛媛，王宏伟：一类拟线性波动方程解的爆破
４（１＋盯）Ｆ（ ）（ＩＩ Ｉ Ｉ＋ｊ． ＩＩ△ Ｉ Ｉ２ｄｓ＋ｙ）
＝
Ｆ（ｔ）Ｐ（ｔ），
其中Ｐ（ｔ）＝一２（１＋２ａ）Ｅ（Ｏ）＋４ｃｒｋ ｌｌ△ｕ ｌ ｌ
＋２（ｇ（ｕ），ｕ）一２（ ｕ ），ｕ）＋４盯Ｉ Ｉ ＩＡｕ ＩＩ ｄｓ＋
４（１ ） 一ｊ． ｄ
一
２（１＋２盯）ｙ．
由（１）、（２）、Ｈｔ￣ｌｄｅｒ不等式、Ｙｏｕｎｇ不等式，得
Ｉ（ ｕ ），ｕ）Ｉ≤ （ａ＋１）ＩＩ ｕ ＩＩ ＋
差ｊ．
而一ＩＩ ｕｔ Ｉ Ｉ≥一Ｅ（ｏ）一２Ｊ ｊ。ｇ（ｓ）捌 。
所以，Ｐ（ｔ）≥一［２（１＋２ａ）＋Ｃ （口＋１）］Ｅ（Ｏ）
一
２（１＋ ）ｙ＋【２Ｋ—Ｃ１／Ｃ２—４（１＋２ａ）一２Ｃ１（口＋１）］
Ｊ Ｊ。ｇ（ｓ ｄ ・
若ＥＣｏ） ０，由（２），取
ｃｒ＝【Ｋ—Ｃ１／Ｃ２一Ｃ１（口＋１）一２］／８＞０。
ｙ＝一［１＋ ］Ｅ（ｏ）≥ｏ．
这时，Ｆ（ｔ） （ｔ）一（１＋ｃｒ） （ｔ）≥０，ｔ∈［０，Ｔ］．
取ｒ＞０，Ｔ＞Ｏ，使得（ｕ０，ｕ１）＋ ＞０，
２ａ［ｕ０，ｕ１＋ ］＞ｌｌ△ｕ０ ｌｌ ，
ｌｌ ｕ０ ｌ ｌ＋
≥ 丁＝＿］ ’
舭，（０）＝２［（／ｄ，０￣／ｄ，１）＋ ］＞ ≤
Ｉ Ｉｕ。Ｉ Ｉ＋Ｔ Ｉ Ａｕ。ＩＩ ＋
—■ ≤
因此，由凸性引理， Ｔ ≤Ｆ（Ｏ）／［ａＦ （０）］，使得
Ｆ（ｔ）一∞，ｔ— ，与假设矛盾。
若Ｅ（Ｏ）＞０，取ｙ＝Ｏ，贝４
（ｔ）Ｆ（ｔ）一（盯＋１）Ｆ （ｔ）≥
一
２Ｆ（ｔ）［（１＋２ａ）＋Ｃ （口＋１）］Ｅ（Ｏ）。
定义‘，（￡）＝一Ｆ （ｔ），则 （￡）＝ａＦ （￡） （￡），
（￡）≥一 ［（１＋２ａ）＋Ｃ，（口＋１）ＩＥ（Ｏ）Ｆ一 （￡）。
由假定（２）知，Ｊ （０）＞Ｏ，令ｔ ＝ｓｕｐ｛ｔ Ｉ／（ｒ）
＞ｏ，ｒ∈（ｏ，￡）｝＞ｏ。 （￡）≥
４ａ２［１＋ ］砌）ｄＦ
（ｔ）。ｔ∈『０。ｔ ）。
对ｔ积分，
Ｊ （ｔ）≥／ （０）＋４ａ Ｅ（Ｏ）Ｆ
（ｔ）４ｃｒ Ｅ（Ｏ）Ｆ （０）。
若 充分小，则
（／ｄ，０，ｕ ） 一Ｅ（Ｏ）【ｌ ｌｕ。ｌ ｌ＋ ｌｌ△ｕ。ｌ ｌ］＞０。
所以，由Ｊ （￡） 的连续性，得Ｊ （ｔ）≥
［Ｊ （０）一４ａ Ｅ（Ｏ）Ｆ （０）］ ，０＜ｔ＜ｔ 。
对所有的ｔ≥０都成立。对ｔ积分，得
Ｊ（ｔ）≥ｊ（ｏ）＋［Ｊ （０）一４ａ Ｅ（０）Ｆ （０）］专ｔ。
适当选取 ，使得
丽Ｊ［ （） ０ ４
一
ａ
Ｅ（Ｏ）
Ｆ
（）］
０
可得
ｌ ｌｕ。ｌｌ ＋２ ｌ ｌｕ。ｌｌ ｌｌ△ｕ。ｌｌ ＋ ｌｌ△ｕ。ｌ ｌ≤
４盯 【（ｕ０，ｕ１） 一Ｅ（Ｏ）（１ ｌｕ０ ｌ ｌ＋ ｌｌ△ｕ０ ｌ ｌ）］。
取１＜Ｔ＝７＂ｏ＜
（ ， 一舻 ｌ Ｕｏ ２１ｌ Ｕｏ ｌｌ ｌ ｌ
ｌ ｌ ｌ
满足的 即为所求。所以， 满足‘，（ ）＝Ｏ，且
≤
告 ＜
ｏ
因此，当ｔ一巧时，Ｆ（ｔ）一∞，也与假设矛盾，
定理证毕。
２例子
下面举例说明满足定理条件的 。、 、 ｓ）和
ｇ（ｓ）是存在的。这里只举一维情形的例子。
首先讨论Ｅ（Ｏ）＜０的情形。为此，取
．
厂（ｓ）＝
７ Ｉ ｓ吉Ｉ ｓ，ｇ（ｓ）＝ｓ ，ｕ。（ ）＝ｅｘｐ（一Ｘ２），ｕ （ ）＝
１０ ｅｘｐ（一 ）。显然，ｕ０∈ （Ｒ），ｕ ∈Ｌ （Ｒ）。这
里口＝１／３∈（０，１），这时取Ｃ ＝１／７，Ｃ ＝１，Ｋ＝
３，条件（１）、（２）就满足了。通过计算得ｌ ｌ。ｌｌ ＝
（７ｒ／２） ，ｌｌ ｕ ｌｌ ＝１／１００（７ｒ／２）ｍ，ｌｌ ｕ。 ｌ ｌ＝
３（７ｒ／２）ｍ，（ｕ０，ｕ１）＝１０ （７ｒ／２） ，Ｅ（Ｏ）＝
ｌ ｌｌｌ ｃ ，＋ｊ｝ｌ ｌ。 ｌ ｌ２ ｃ ，一２』ｌ： ｊ． ｓ ｄｓｄ ＝
［１／１００＋３ｋ］＝（７ｃ／２） 一２（７ｃ／３） ／３。
当０＜ｊ｝＜２（２／３） ／９—１／３００ ０．１７８ １时，
Ｅ（Ｏ）＜０。
可取ｊ｝：０．Ｏ１，ｃｒ＝２／３＞０，Ｅ（Ｏ） 一６．３２１＜
０，ｙ ０．６５７ ９＞０。
取ｒ＞０，Ｔ＞Ｏ，使得（ｕ０，ｕ１）＋７ｒ＞Ｏ， ［（ｕ０，ｕ１）
＋ ］＞ｌ ｌｕ０ ｌｌ ，ｒ＞２．１５７ （７ｒ／２） ４．０９５ ９。
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新乡师范高等专科学校学报 第２ｌ卷
Ｉ￣ｒ＝１０，这时Ｔ ＞ｔ
因为
ｌ２．９４５ ０。设 ＝２０，Ｆ（０）：『ＩⅡｏ『Ｉ。＋ 『ＩⅡｏ 『Ｉ。
舻（ ， 一舻 ｌ ｌＵｏ ＩＩ 一ｌ ｌＵｏ ｌ 一２１ｌ Ｕｏ
舻胸『Ｉ‰『Ｉ
１４．２７２ ６。
ｌ 一ｌ ｌｌ ｌ
＋ １４２．２４０ ６，Ｆ （０）＝２［（Ⅱｏ，Ⅱ１）＋ ］
因此， Ｔ１≤Ｆ（０）／［ Ｆ （０）］一１５．９１２ ５＜２０，
１３．４０８ ４。
取１＜Ｔ＝Ｔｏ＝１３＜１４．２７２ ６，，（０）＝４ Ｘ
１０－３（，ｒ／２） ，Ｆ （０）＝１０ （，ｒ／２）ｍ，
使得当ｔ一 时，Ｆ（￡）一∞。
Ｊ（Ｏ）：一５
０ｏ
（１ｒ／２）｛，／ （０）：
≤一２．６２３ ８，使得．，（ ）
若Ｅ（０）＝０，取尼＝８（２／３） 一１］／３
１．８４４０。ｙ＝０， ＝１０，Ⅱｏ（ ）＝１２ｅｘｐ（一 ），Ⅱ１（ ）
＝
３９０．６２５（１ｒ／２） ，于是
＝
２０ｅｘｐ（＿ ）＇谢Ｔ ＞ｔ 一
所以，当ｔ一巧时Ｆ（ｔ）一∞。
参考文献：
Ｉ １ Ｉ ＢＡＮＫＳ Ｈ Ｔ，ＧｒＬ［．］ＪｋｌＶｌＤ Ｓ，ＳＨＵＢＯＶ Ｖ Ｉ，Ｇｌｏｂａｌ Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ
０．０３３ Ｏｏ可取Ｔ＝１，Ｆ（０）＝５７６（丌，２）ｍ， （０）＝
４８０（，ｒ／２）ｍ。
因此， ≤Ｆ（０），［ Ｆ （０）］一０．１２＜１，使得
当ｔ一巧时，Ｆ（ｔ）一∞。
ｆｏｒｌ￣ａｍｐｅａＡｂｓｔｒａｃｔ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ Ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｄｉｆｅｒ－
ｅｎｔｉａｌ ａｎｄ Ｉｎｔｅｒａｌ Ｅｑｔｍｔｉｏｒ￣，１９９７，ｌＯ（Ｚ）：３０９—３３２．
若Ｅ（０）＞０，取尼＝１ ０００，Ⅱｏ（ ）＝１００ ｅｘｐ（一
），Ⅱ，（ ）：２一ｅｘｐ（一 ），其余条件和Ｅ（０）＜０
的情形一样。Ｅ（Ｏ）：０．５５（，ｒ／２） 一２（１ｒ／３） ／３＞０，
（Ⅱｏ，Ⅱ１）＝２一Ｘ １０ （，ｒ／２） ＞Ｏｏ这时取 ＝１／２，
［２］ＣＨＥＮ Ｇｕｏ Ｗａｎｇ，ＸＩＮＧ Ｊｉａ ｓｈｅｎｇ，ＹＡＮＧ Ｚｈｉ。ｊｉａｒＩ．Ｃａｕｅｈｙ
Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ Ｇｅｎｅｍｌｉｚｅｄ ｎＩＢｑ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｓｅｖｅｒａｌ ＶａＩｉａｂｌｅ￣
［Ｊ］．ＮｏｎｌｉｎｅａｒＡｎａｌｙｓｉｓＴＮＡ，１９９６，ｚ６（７）：１２５５—１２７０．
［３］杨志坚，陈国旺．一类广义Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程解的Ｂｌｏｗｕｐ
［Ｊ］．数学物理学报，１９９６，１６（１）：３１—３９．
则４ （Ⅱ。，Ⅱ ） 一４ Ｅ（Ｏ）ＩＩⅡ。ＩＩ 一Ｉ Ｉｎ。ＩＩ 一
２『ＩⅡｏ『Ｉ 『ＩⅡｏ 『 一『ＩＩⅡｏ 『 一４Ｉ Ｅ（Ｏ）『ＩⅡｏ 『Ｉ
＝
［８×６－１ａ，３ ×ｌＯ－４—０．９７５×ｌＯ－４—８×１０－。】丌＞Ｏｏ
【责任编辑邢怀民】
Ｔｈｅ Ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｒ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｒ Ｑ－￣ｓｉｌｉｎｅａｒ Ｗａｖｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ＺｔｔＡＮＧ Ｙｕａｎ－ｙｕａｎ］，ＷＡＮＧ Ｉ－Ｉｏｎｇ－ｗｅｉ２
（１．Ｔｅａｃｈｉｎｇ ａｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｋａｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋａｉｆｅｎｇ ４７５０００，Ｃｈｉｎａ，
２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
．
，
Ｘｉｎｘｉａｎｇ ４５３０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ￡ｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｗｅ ｏｒｅ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂｙ
ａｐｐｌｙｉｎｇ ｓｏｍｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｅ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｅｒｍｓ ｉｎｇｅｎｉｏｕｓｌｙ．Ａｎｄ ｗ＿ｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｆ ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
ｗｈｅｎ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｃａｓｅｓ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｅｎｅｒｇｙ ｈｏｌｄｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｎｃａｖｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｉ．ａｎｙ．ｔｈｒｅｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａ ｇｉｖｅｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ ＷａＶｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｆ ｓｏｌｕｄｏｎｓ；ｃｏｎｃａｖｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ
2024年6月6日发(作者：伍岑)
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第２１卷 第２期 新乡师范高等专科学校学报
Ｖ０１．２１．Ｎｏ．２
２００７年３月
Ｊ０Ｉ瓜ＮＡＩ．ＯＦ ＸＩＮＸＩＡＮＧ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣＯＬＬＥＧＥ
ＭＡＲ，２００７
一
类拟线性波动方程解的爆破
张媛媛 ，王宏伟
（１．开封大学数学教研部，河南开封４７５０００；２．新乡学院数学系，河南新乡４５３００３）
摘要：借助于一些偏微分方程的标准技巧对方程的非线性项进行估计，通过凸性引理得到了在三种不同初始
能量下解的爆破。
关键词：拟线性波动方程；解的爆破；凸性引理
中图分类号：Ｏ１７５．２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００８—７６１３（２００７）０２－００２（００３
０引言
（３）“。∈Ｈ２（ ），“ ∈Ｌ （ ），并且Ｅ（０）：
本文研究下列一类拟线性波动方程
＋尼△ ＋尼△ ＋／．（ ）＝ｇ（ ），
Ｉ“ Ｉ ，＋｜ｉ｝Ｉｌ△“。Ｉ 一２－『－『 ｇ（ｓ）ｄｓｄ 贝０
（ ，ｔ）∈Ｒ ×（０，∞） （１）
Ｃａｕｃｈｙ问题（１）和（２）的任何弱解ｕ（ｘ，ｔ）在下列条
“（ ，０）＝／２，０（ ），“ （ ，０）＝“１（ ），
件之一成立时，在有限时刻发生爆破。
∈Ｒ ，ｋ＞０ （２）
１）Ｅ（０）≤０；
解的爆破。其中“（ ，ｔ）为未知函数，下标 、 分别
２）Ｅ（０）＞０，（“ｏ，“１）＞０，且ｊ ＞０，使得
表示对变量ｔ、 求偏导。方程（１）是在非线性薄膜振
４ （“。，“ ） 一４ａ Ｅ（０）ＩＩ“。ＩＩ 一Ｉｌ“。Ｉ Ｉ一
动中出现的数学模型［】 ］。本文借助一些重要的不
２１Ｉ“。ＩＩ Ｉｌ△ Ｉｌ 一Ｉｌ△“。ｌＩ ＞４ａ Ｅ（０）Ｉｌ△“。Ｉ ｌ。
等式对方程中的非线性源项和阻尼项进行估计，利
用凸性引理得到解的爆破。
证明：假定问题（１）和（２）解的最大存在区间为
无穷。令
引理 假定Ｆ（ｔ）∈Ｃ ，Ｆ（ｔ）≥０，对于ｔ≥０
满足不等式
（ ）：《ｕ（．， ） ＩＩ△ｕ（．，ｓ）ＩＩ ｄｓ＋
（ ） （ｔ）一（１＋ ）Ｆ （ｔ）≥０， ≥０，
（Ｔ一 ）ＩＩ△“ｏ Ｉ ＋ｙ（ｔ＋ｒ） ， （３）
如果，（０）＞０，Ｆ （０）＞０，则存在一个实数 ，
则 Ｆ （ｔ）＝
使得０＜Ｔ≤ ，并且 （ ）一∞， 一 ３ｌ。
２【（“，“ ）＋ｙ（ ＋ｒ）＋－『 （△“，Ａｕ，）ｄｓ］， （４）
１解的爆破
（ｔ）＝
定理 假定
２［１ｌ“ ｌｌ ＋（“，“ ）＋（“，△ “ ）＋ｙ】。 （５）
（１）厂∈ｃ（Ｒ），０≤ ｓ）ｓ≤Ｃ１ Ｉ ｓ Ｉ” ，ｓ∈ ，
又因为 （ｔ）≤４Ｆ（ｔ）
０≤口＜１；
（２）ｇ∈Ｃ（ ），Ｉ ｇ（ｓ）ｌ≤Ｃ２ Ｉ ｓ ｌ ，ｇ（ｓ）ｓ≥
（１、 １ｌｌ ＋ｆ＋ △Ｊ ０‘ ｌｌ△ ｌ ｌｄｓ＋ｙ＋ｙ））， ， （６）
ＫＩ ｇ（ｒ）ｄｒ＞０，ｓ∈Ｒ，这里
设 ＞０，以后对它作进一步的限制，由（４）、
（５）、（６）式得
Ｋ＞Ｃ１／Ｃ２＋Ｃ１（口＋１）＋２；
Ｆ（ｔ） （ｔ）一（１＋ ） （ｔ）≥Ｆ（ｔ） （ｔ）一
收稿日期：２００６—１２－２５
作者简介：张媛媛（１９８１一），女，河南民权人，开封大学数学教研部教师，理学硕士，主要从事非线性发展方程的研究。
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第２期 张媛媛，王宏伟：一类拟线性波动方程解的爆破
４（１＋盯）Ｆ（ ）（ＩＩ Ｉ Ｉ＋ｊ． ＩＩ△ Ｉ Ｉ２ｄｓ＋ｙ）
＝
Ｆ（ｔ）Ｐ（ｔ），
其中Ｐ（ｔ）＝一２（１＋２ａ）Ｅ（Ｏ）＋４ｃｒｋ ｌｌ△ｕ ｌ ｌ
＋２（ｇ（ｕ），ｕ）一２（ ｕ ），ｕ）＋４盯Ｉ Ｉ ＩＡｕ ＩＩ ｄｓ＋
４（１ ） 一ｊ． ｄ
一
２（１＋２盯）ｙ．
由（１）、（２）、Ｈｔ￣ｌｄｅｒ不等式、Ｙｏｕｎｇ不等式，得
Ｉ（ ｕ ），ｕ）Ｉ≤ （ａ＋１）ＩＩ ｕ ＩＩ ＋
差ｊ．
而一ＩＩ ｕｔ Ｉ Ｉ≥一Ｅ（ｏ）一２Ｊ ｊ。ｇ（ｓ）捌 。
所以，Ｐ（ｔ）≥一［２（１＋２ａ）＋Ｃ （口＋１）］Ｅ（Ｏ）
一
２（１＋ ）ｙ＋【２Ｋ—Ｃ１／Ｃ２—４（１＋２ａ）一２Ｃ１（口＋１）］
Ｊ Ｊ。ｇ（ｓ ｄ ・
若ＥＣｏ） ０，由（２），取
ｃｒ＝【Ｋ—Ｃ１／Ｃ２一Ｃ１（口＋１）一２］／８＞０。
ｙ＝一［１＋ ］Ｅ（ｏ）≥ｏ．
这时，Ｆ（ｔ） （ｔ）一（１＋ｃｒ） （ｔ）≥０，ｔ∈［０，Ｔ］．
取ｒ＞０，Ｔ＞Ｏ，使得（ｕ０，ｕ１）＋ ＞０，
２ａ［ｕ０，ｕ１＋ ］＞ｌｌ△ｕ０ ｌｌ ，
ｌｌ ｕ０ ｌ ｌ＋
≥ 丁＝＿］ ’
舭，（０）＝２［（／ｄ，０￣／ｄ，１）＋ ］＞ ≤
Ｉ Ｉｕ。Ｉ Ｉ＋Ｔ Ｉ Ａｕ。ＩＩ ＋
—■ ≤
因此，由凸性引理， Ｔ ≤Ｆ（Ｏ）／［ａＦ （０）］，使得
Ｆ（ｔ）一∞，ｔ— ，与假设矛盾。
若Ｅ（Ｏ）＞０，取ｙ＝Ｏ，贝４
（ｔ）Ｆ（ｔ）一（盯＋１）Ｆ （ｔ）≥
一
２Ｆ（ｔ）［（１＋２ａ）＋Ｃ （口＋１）］Ｅ（Ｏ）。
定义‘，（￡）＝一Ｆ （ｔ），则 （￡）＝ａＦ （￡） （￡），
（￡）≥一 ［（１＋２ａ）＋Ｃ，（口＋１）ＩＥ（Ｏ）Ｆ一 （￡）。
由假定（２）知，Ｊ （０）＞Ｏ，令ｔ ＝ｓｕｐ｛ｔ Ｉ／（ｒ）
＞ｏ，ｒ∈（ｏ，￡）｝＞ｏ。 （￡）≥
４ａ２［１＋ ］砌）ｄＦ
（ｔ）。ｔ∈『０。ｔ ）。
对ｔ积分，
Ｊ （ｔ）≥／ （０）＋４ａ Ｅ（Ｏ）Ｆ
（ｔ）４ｃｒ Ｅ（Ｏ）Ｆ （０）。
若 充分小，则
（／ｄ，０，ｕ ） 一Ｅ（Ｏ）【ｌ ｌｕ。ｌ ｌ＋ ｌｌ△ｕ。ｌ ｌ］＞０。
所以，由Ｊ （￡） 的连续性，得Ｊ （ｔ）≥
［Ｊ （０）一４ａ Ｅ（Ｏ）Ｆ （０）］ ，０＜ｔ＜ｔ 。
对所有的ｔ≥０都成立。对ｔ积分，得
Ｊ（ｔ）≥ｊ（ｏ）＋［Ｊ （０）一４ａ Ｅ（０）Ｆ （０）］专ｔ。
适当选取 ，使得
丽Ｊ［ （） ０ ４
一
ａ
Ｅ（Ｏ）
Ｆ
（）］
０
可得
ｌ ｌｕ。ｌｌ ＋２ ｌ ｌｕ。ｌｌ ｌｌ△ｕ。ｌｌ ＋ ｌｌ△ｕ。ｌ ｌ≤
４盯 【（ｕ０，ｕ１） 一Ｅ（Ｏ）（１ ｌｕ０ ｌ ｌ＋ ｌｌ△ｕ０ ｌ ｌ）］。
取１＜Ｔ＝７＂ｏ＜
（ ， 一舻 ｌ Ｕｏ ２１ｌ Ｕｏ ｌｌ ｌ ｌ
ｌ ｌ ｌ
满足的 即为所求。所以， 满足‘，（ ）＝Ｏ，且
≤
告 ＜
ｏ
因此，当ｔ一巧时，Ｆ（ｔ）一∞，也与假设矛盾，
定理证毕。
２例子
下面举例说明满足定理条件的 。、 、 ｓ）和
ｇ（ｓ）是存在的。这里只举一维情形的例子。
首先讨论Ｅ（Ｏ）＜０的情形。为此，取
．
厂（ｓ）＝
７ Ｉ ｓ吉Ｉ ｓ，ｇ（ｓ）＝ｓ ，ｕ。（ ）＝ｅｘｐ（一Ｘ２），ｕ （ ）＝
１０ ｅｘｐ（一 ）。显然，ｕ０∈ （Ｒ），ｕ ∈Ｌ （Ｒ）。这
里口＝１／３∈（０，１），这时取Ｃ ＝１／７，Ｃ ＝１，Ｋ＝
３，条件（１）、（２）就满足了。通过计算得ｌ ｌ。ｌｌ ＝
（７ｒ／２） ，ｌｌ ｕ ｌｌ ＝１／１００（７ｒ／２）ｍ，ｌｌ ｕ。 ｌ ｌ＝
３（７ｒ／２）ｍ，（ｕ０，ｕ１）＝１０ （７ｒ／２） ，Ｅ（Ｏ）＝
ｌ ｌｌｌ ｃ ，＋ｊ｝ｌ ｌ。 ｌ ｌ２ ｃ ，一２』ｌ： ｊ． ｓ ｄｓｄ ＝
［１／１００＋３ｋ］＝（７ｃ／２） 一２（７ｃ／３） ／３。
当０＜ｊ｝＜２（２／３） ／９—１／３００ ０．１７８ １时，
Ｅ（Ｏ）＜０。
可取ｊ｝：０．Ｏ１，ｃｒ＝２／３＞０，Ｅ（Ｏ） 一６．３２１＜
０，ｙ ０．６５７ ９＞０。
取ｒ＞０，Ｔ＞Ｏ，使得（ｕ０，ｕ１）＋７ｒ＞Ｏ， ［（ｕ０，ｕ１）
＋ ］＞ｌ ｌｕ０ ｌｌ ，ｒ＞２．１５７ （７ｒ／２） ４．０９５ ９。
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新乡师范高等专科学校学报 第２ｌ卷
Ｉ￣ｒ＝１０，这时Ｔ ＞ｔ
因为
ｌ２．９４５ ０。设 ＝２０，Ｆ（０）：『ＩⅡｏ『Ｉ。＋ 『ＩⅡｏ 『Ｉ。
舻（ ， 一舻 ｌ ｌＵｏ ＩＩ 一ｌ ｌＵｏ ｌ 一２１ｌ Ｕｏ
舻胸『Ｉ‰『Ｉ
１４．２７２ ６。
ｌ 一ｌ ｌｌ ｌ
＋ １４２．２４０ ６，Ｆ （０）＝２［（Ⅱｏ，Ⅱ１）＋ ］
因此， Ｔ１≤Ｆ（０）／［ Ｆ （０）］一１５．９１２ ５＜２０，
１３．４０８ ４。
取１＜Ｔ＝Ｔｏ＝１３＜１４．２７２ ６，，（０）＝４ Ｘ
１０－３（，ｒ／２） ，Ｆ （０）＝１０ （，ｒ／２）ｍ，
使得当ｔ一 时，Ｆ（￡）一∞。
Ｊ（Ｏ）：一５
０ｏ
（１ｒ／２）｛，／ （０）：
≤一２．６２３ ８，使得．，（ ）
若Ｅ（０）＝０，取尼＝８（２／３） 一１］／３
１．８４４０。ｙ＝０， ＝１０，Ⅱｏ（ ）＝１２ｅｘｐ（一 ），Ⅱ１（ ）
＝
３９０．６２５（１ｒ／２） ，于是
＝
２０ｅｘｐ（＿ ）＇谢Ｔ ＞ｔ 一
所以，当ｔ一巧时Ｆ（ｔ）一∞。
参考文献：
Ｉ １ Ｉ ＢＡＮＫＳ Ｈ Ｔ，ＧｒＬ［．］ＪｋｌＶｌＤ Ｓ，ＳＨＵＢＯＶ Ｖ Ｉ，Ｇｌｏｂａｌ Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ
０．０３３ Ｏｏ可取Ｔ＝１，Ｆ（０）＝５７６（丌，２）ｍ， （０）＝
４８０（，ｒ／２）ｍ。
因此， ≤Ｆ（０），［ Ｆ （０）］一０．１２＜１，使得
当ｔ一巧时，Ｆ（ｔ）一∞。
ｆｏｒｌ￣ａｍｐｅａＡｂｓｔｒａｃｔ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ Ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｄｉｆｅｒ－
ｅｎｔｉａｌ ａｎｄ Ｉｎｔｅｒａｌ Ｅｑｔｍｔｉｏｒ￣，１９９７，ｌＯ（Ｚ）：３０９—３３２．
若Ｅ（０）＞０，取尼＝１ ０００，Ⅱｏ（ ）＝１００ ｅｘｐ（一
），Ⅱ，（ ）：２一ｅｘｐ（一 ），其余条件和Ｅ（０）＜０
的情形一样。Ｅ（Ｏ）：０．５５（，ｒ／２） 一２（１ｒ／３） ／３＞０，
（Ⅱｏ，Ⅱ１）＝２一Ｘ １０ （，ｒ／２） ＞Ｏｏ这时取 ＝１／２，
［２］ＣＨＥＮ Ｇｕｏ Ｗａｎｇ，ＸＩＮＧ Ｊｉａ ｓｈｅｎｇ，ＹＡＮＧ Ｚｈｉ。ｊｉａｒＩ．Ｃａｕｅｈｙ
Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ Ｇｅｎｅｍｌｉｚｅｄ ｎＩＢｑ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｓｅｖｅｒａｌ ＶａＩｉａｂｌｅ￣
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［３］杨志坚，陈国旺．一类广义Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程解的Ｂｌｏｗｕｐ
［Ｊ］．数学物理学报，１９９６，１６（１）：３１—３９．
则４ （Ⅱ。，Ⅱ ） 一４ Ｅ（Ｏ）ＩＩⅡ。ＩＩ 一Ｉ Ｉｎ。ＩＩ 一
２『ＩⅡｏ『Ｉ 『ＩⅡｏ 『 一『ＩＩⅡｏ 『 一４Ｉ Ｅ（Ｏ）『ＩⅡｏ 『Ｉ
＝
［８×６－１ａ，３ ×ｌＯ－４—０．９７５×ｌＯ－４—８×１０－。】丌＞Ｏｏ
【责任编辑邢怀民】
Ｔｈｅ Ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｒ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｒ Ｑ－￣ｓｉｌｉｎｅａｒ Ｗａｖｅ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ＺｔｔＡＮＧ Ｙｕａｎ－ｙｕａｎ］，ＷＡＮＧ Ｉ－Ｉｏｎｇ－ｗｅｉ２
（１．Ｔｅａｃｈｉｎｇ ａｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｋａｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋａｉｆｅｎｇ ４７５０００，Ｃｈｉｎａ，
２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｘｉｎｘｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
．
，
Ｘｉｎｘｉａｎｇ ４５３０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ￡ｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｗｅ ｏｒｅ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂｙ
ａｐｐｌｙｉｎｇ ｓｏｍｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｅ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｅｒｍｓ ｉｎｇｅｎｉｏｕｓｌｙ．Ａｎｄ ｗ＿ｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｆ ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ
ｗｈｅｎ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｃａｓｅｓ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｅｎｅｒｇｙ ｈｏｌｄｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｎｃａｖｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｉ．ａｎｙ．ｔｈｒｅｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａ ｇｉｖｅｎ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ ＷａＶｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｂｌｏｗ－ｕｐ ｏｆ ｓｏｌｕｄｏｎｓ；ｃｏｎｃａｖｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ