2024年6月5日发(作者：昂英杰)

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方

程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程

：

一、

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y

1

、y

2

是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC

1

y

1

C

2

y

2

就是它的通解

我们看看 能否适当选取r 使ye

rx

满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye

rx

代入方程

ypyqy0

得

(r

2

prq)e

rx

0

由此可见 只要r满足代数方程r

2

prq0 函数ye

rx

就是微分方程的解

特征方程 方程r

2

prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r

1

、r

2

可用公式

求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r

1

、r

2

时 函数

y

1

e

r

1

x

、

y

2

e

r

2

x

是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数

y

1

e

r

1

x

、

y

2

e

r

2

x

是方程的解 又

因此方程的通解为

yC

1

e

r

1

x

C

2

e

r

2

x



(2)特征方程有两个相等的实根r

1

r

2

时 函数

y

1

e

r

1

x

、

y

2

xe

r

1

x

是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性

无关的解

这是因为

y

1

e

r

1

x

是方程的解 又

r

1

x

2

e

r

1

x

(2r

1

p)xe(r

1

pr

1

q)0



y

1

e

r

1

x

(r

1

r

2

)x

e

不是常数

y

2

e

r

2

x

y

2

xe

r

1

x

x

不是常数 所以

y

2

xe

也是方程的解 且

y

1

e

r

1

x

r

1

x

因此方程的通解为

yC

1

e

r

1

x

C

2

xe

r

1

x



(3)特征方程有一对共轭复根r

1, 2





i



时 函数ye

(



i



)x

、ye

(



i



)x

是微分方程的两个线性无关的复数形式的

解 函数ye



x

cos



x、ye



x

sin



x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y

1

e

(



i



)x

和y

2

e

(



i



)x

都是方程的解 而由欧拉公式 得

y

1

e

(



i



)x

e



x

(cos



xisin



x)

y

2

e

(



i



)x

e



x

(cos



xisin



x)

1

y

1

y

2

2e



x

cos



x

e



x

cos



x(y

1

y

2

)



2

1

y

1

y

2

2ie



x

sin



x

e



x

sin



x(y

1

y

2

)



2i

故e



x

cos



x、y

2

e



x

sin



x也是方程解

可以验证 y

1

e



x

cos



x、y

2

e



x

sin



x是方程的线性无关解

因此方程的通解为

ye



x

(C

1

cos



xC

2

sin



x )

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步 写出微分方程的特征方程

r

2

prq0

第二步 求出特征方程的两个根r

1

、r

2



第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

例1 求微分方程y2y3y0的通解

解 所给微分方程的特征方程为

r

2

2r30 即(r1)(r3)0

其根r

1

1 r

2

3是两个不相等的实根 因此所求通解为

yC

1

e

x

C

2

e

3x



例2 求方程y2yy0满足初始条件y|

x0

4、y|

x0

2的特解

解 所给方程的特征方程为

r

2

2r10 即(r1)

2

0

其根r

1

r

2

1是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y(C

1

C

2

x)e

x



将条件y|

x0

4代入通解 得C

1

4 从而

y(4C

2

x)e

x



将上式对x求导 得

y(C

2

4C

2

x)e

x



再把条件y|

x0

2代入上式 得C

2

2 于是所求特解为

x(42x)e

x



例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

解 所给方程的特征方程为

r

2

2r50

特征方程的根为r

1

12i r

2

12i 是一对共轭复根

2024年6月5日发(作者：昂英杰)

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方

程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程

：

一、

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程 方程

ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数

如果y

1

、y

2

是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC

1

y

1

C

2

y

2

就是它的通解

我们看看 能否适当选取r 使ye

rx

满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye

rx

代入方程

ypyqy0

得

(r

2

prq)e

rx

0

由此可见 只要r满足代数方程r

2

prq0 函数ye

rx

就是微分方程的解

特征方程 方程r

2

prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r

1

、r

2

可用公式

求出

特征方程的根与通解的关系

(1)特征方程有两个不相等的实根r

1

、r

2

时 函数

y

1

e

r

1

x

、

y

2

e

r

2

x

是方程的两个线性无关的解

这是因为

函数

y

1

e

r

1

x

、

y

2

e

r

2

x

是方程的解 又

因此方程的通解为

yC

1

e

r

1

x

C

2

e

r

2

x



(2)特征方程有两个相等的实根r

1

r

2

时 函数

y

1

e

r

1

x

、

y

2

xe

r

1

x

是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性

无关的解

这是因为

y

1

e

r

1

x

是方程的解 又

r

1

x

2

e

r

1

x

(2r

1

p)xe(r

1

pr

1

q)0



y

1

e

r

1

x

(r

1

r

2

)x

e

不是常数

y

2

e

r

2

x

y

2

xe

r

1

x

x

不是常数 所以

y

2

xe

也是方程的解 且

y

1

e

r

1

x

r

1

x

因此方程的通解为

yC

1

e

r

1

x

C

2

xe

r

1

x



(3)特征方程有一对共轭复根r

1, 2





i



时 函数ye

(



i



)x

、ye

(



i



)x

是微分方程的两个线性无关的复数形式的

解 函数ye



x

cos



x、ye



x

sin



x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y

1

e

(



i



)x

和y

2

e

(



i



)x

都是方程的解 而由欧拉公式 得

y

1

e

(



i



)x

e



x

(cos



xisin



x)

y

2

e

(



i



)x

e



x

(cos



xisin



x)

1

y

1

y

2

2e



x

cos



x

e



x

cos



x(y

1

y

2

)



2

1

y

1

y

2

2ie



x

sin



x

e



x

sin



x(y

1

y

2

)



2i

故e



x

cos



x、y

2

e



x

sin



x也是方程解

可以验证 y

1

e



x

cos



x、y

2

e



x

sin



x是方程的线性无关解

因此方程的通解为

ye



x

(C

1

cos



xC

2

sin



x )

求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为

第一步 写出微分方程的特征方程

r

2

prq0

第二步 求出特征方程的两个根r

1

、r

2



第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解

例1 求微分方程y2y3y0的通解

解 所给微分方程的特征方程为

r

2

2r30 即(r1)(r3)0

其根r

1

1 r

2

3是两个不相等的实根 因此所求通解为

yC

1

e

x

C

2

e

3x



例2 求方程y2yy0满足初始条件y|

x0

4、y|

x0

2的特解

解 所给方程的特征方程为

r

2

2r10 即(r1)

2

0

其根r

1

r

2

1是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为

y(C

1

C

2

x)e

x



将条件y|

x0

4代入通解 得C

1

4 从而

y(4C

2

x)e

x



将上式对x求导 得

y(C

2

4C

2

x)e

x



再把条件y|

x0

2代入上式 得C

2

2 于是所求特解为

x(42x)e

x



例 3 求微分方程y2y5y 0的通解

解 所给方程的特征方程为

r

2

2r50

特征方程的根为r

1

12i r

2

12i 是一对共轭复根