2024年5月30日发(作者：欧晓莉)
论证阿贝尔定理的错误
作者：江西临川江国泉
阿贝尔定理认为，五次和五次以上的一元高次方程不存在一般的代数求根公式。这是一个错误的
结论。首先，他论证的方法是错误的。是片面的。同样，伽罗瓦以群论，群置换理论解释一元五次
方程不存在一般代数求根公式，也存在类似的错误，现在，我来揭示其中的错误所在。
第一，他认为，如果一元五次或更高次方程有一般代数求根公式，则在根的表示式中必可表示
出每个根的性质。或者说每一个根都是一个置换，因此，他认为一元五次或更高次方程一般情况下
不可能降次求解。只有一些特殊方程例外。
那么我可以追问，一元三次方程求根公式中根的表示式中是如何做到表示三个根的性质呢？一
元五次方程根的表示式为什么不可以借鉴这种表示呢？如果阿贝尔认为一元三、四次方程是所有一
元高次方程中特殊的一种，那么我要追问，凭的是什么？就凭人类所掌握的一元三次方程的几种推
导方法，而一元五次方程却不能套用来下定论吗？如果阿贝尔只是从已掌握的推导方法上谈一元三、
四次方程与其他高次方程的区别，那么，我可以说他的的论证应只是一种猜想，因为没有证据证明
除此之外，再无其他方法可推导一元三次方程的求根公式。就象地球之外的星球上有没有生命一样。
需用人类继续探索。
我们知道事物总是一分为二的，既存在特殊性也有普遍性，阿贝尔、伽罗华等人只看到了事物
的特殊性一面，忽视了普遍性另一面，忽视了事物之间的联系。
一元高次方程之间有什么共性被阿贝尔、伽罗华等人忽视了呢？原来是：定理A 二个一元高
次方程之间如果存在同解，必可推导出它们的公共解方程式。定理B 要判别二个一元高次方程之
间是否存在同解必可通过它们之间的系数来判别，判别式可通过韦达定理推算出来。定理c 一元三
次或更高次方程都存在群置换的问题。
第二、阿贝尔和伽罗华都承认特殊的一元五次方程或更高次的方程还是可以求解的，但都未证明普
通方程不能化成特殊方程求解的证据，那么能否将一般高次方程化成特殊高次方程形式呢？下面介
绍一种一元高次方程求根公式的通用推导方法。
利用数学新定理，发明一元高次方程求根公式通用推导方法
1、 二个数学新定理介绍
定理A、 同解方程式必可求定理：指任意二个一元高次方程之间，只要存在相同的解，
则相同解方程式必可求出。
利用价值：如果我们要推导出一个系数为已知数的一元高次方程求根公式，我们可以先
求出和此方程有同解的一元高次方程，只要求出的同解方程不是原方程的整倍数，根据
同解方程式必可求定理，就可推导出方次更低的同解方程式来。
定理B、 同解方程判别定理：指任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一
对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。这种函
数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。
利用价值：1》、根据方程系数判别式等于零，则二个方程之间必存在相同解。因此，我
们如果要设置一个和原方程有相同解的方程出来，只要确保它们的方程系数符合判别式
等于零，这个方程必与原方程有同解。
2》、利用此定理可以对多元高次方程组快速消元。这个应用在此不作详细介绍。
2、同解方程式必可求定理论证过程
同
解方程式必可求出定理
定理：任意二个一元高次方程之间只要存在同解，必可推导出它们的同解方程式。
论证过程
由于论证过程具有明显的规律性，为了简便说明，在此以方程 x
3
＋ax
2
＋bx＋c =0与
方程x
4
＋mx
3
＋nx
2
＋px＋q=0若有公共相等根存在来推导它们的公解方程：
由于x
4
＋mx
3
＋nx
2
＋px＋q=0的左边x
4
＋mx
3
＋nx
2
＋px＋q总可可化成二部分,即一部分
可以整除另一方程左边 x
3
＋ax
2
＋bx＋c的一部分 和不能整除 x
3
＋ax
2
＋bx＋c的另一部
分,因此方程又化成：
（ x
3
＋ax
2
＋bx＋c ）（x＋m－a）＋（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac
－cm=0 ；的形式.
由于它们存在同解，它们的公共根必须代入二个方程都成立，当：x
2
的系数（n＋a
2
－
am－b）≠0时因为这个公共根代入（ x
3
＋ax
2
＋bx＋c ）（x＋m－a）等于零，所以代
入（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm必等于零。否则它不是公共根,
因此公共根必存在在方程：（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0
之中，如果已知二个方程存在2个同解根，则方程：（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm
－c）x＋q＋ac－cm=0，就是二个方程的同解方程式。
当x
2
的系数（n＋a
2
－am－b）=0，而x系数（p＋ab－bm－c）≠0则二个方程之间
的同解方程必为：（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0 ；
当（n＋a
2
－am－b）=0
又
（p＋ab－bm－c）=0时二个方程的公共根方程为：
x
3
＋ax
2
＋bx＋c =0（说明：前题已告之二个方程有公共根）
当x
2
的系数（n＋a
2
－am－b）≠0，而已知前题是二个方程只存在一个公共根时，
公共根方程必须继续推导下去。
前面推导已经知道，公共根即存在于方程x
3
＋ax
2
＋bx＋c =0中，又存在于方程
（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0中，而方程：（n＋a
2
－am－
b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0除以（n＋a
2
－am－b）变成：
x
2
＋【（p＋ab－bm－c）/（n＋a
2
－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a
2
－am－b）
=0 ；
2024年5月30日发(作者：欧晓莉)
论证阿贝尔定理的错误
作者：江西临川江国泉
阿贝尔定理认为，五次和五次以上的一元高次方程不存在一般的代数求根公式。这是一个错误的
结论。首先，他论证的方法是错误的。是片面的。同样，伽罗瓦以群论，群置换理论解释一元五次
方程不存在一般代数求根公式，也存在类似的错误，现在，我来揭示其中的错误所在。
第一，他认为，如果一元五次或更高次方程有一般代数求根公式，则在根的表示式中必可表示
出每个根的性质。或者说每一个根都是一个置换，因此，他认为一元五次或更高次方程一般情况下
不可能降次求解。只有一些特殊方程例外。
那么我可以追问，一元三次方程求根公式中根的表示式中是如何做到表示三个根的性质呢？一
元五次方程根的表示式为什么不可以借鉴这种表示呢？如果阿贝尔认为一元三、四次方程是所有一
元高次方程中特殊的一种，那么我要追问，凭的是什么？就凭人类所掌握的一元三次方程的几种推
导方法，而一元五次方程却不能套用来下定论吗？如果阿贝尔只是从已掌握的推导方法上谈一元三、
四次方程与其他高次方程的区别，那么，我可以说他的的论证应只是一种猜想，因为没有证据证明
除此之外，再无其他方法可推导一元三次方程的求根公式。就象地球之外的星球上有没有生命一样。
需用人类继续探索。
我们知道事物总是一分为二的，既存在特殊性也有普遍性，阿贝尔、伽罗华等人只看到了事物
的特殊性一面，忽视了普遍性另一面，忽视了事物之间的联系。
一元高次方程之间有什么共性被阿贝尔、伽罗华等人忽视了呢？原来是：定理A 二个一元高
次方程之间如果存在同解，必可推导出它们的公共解方程式。定理B 要判别二个一元高次方程之
间是否存在同解必可通过它们之间的系数来判别，判别式可通过韦达定理推算出来。定理c 一元三
次或更高次方程都存在群置换的问题。
第二、阿贝尔和伽罗华都承认特殊的一元五次方程或更高次的方程还是可以求解的，但都未证明普
通方程不能化成特殊方程求解的证据，那么能否将一般高次方程化成特殊高次方程形式呢？下面介
绍一种一元高次方程求根公式的通用推导方法。
利用数学新定理，发明一元高次方程求根公式通用推导方法
1、 二个数学新定理介绍
定理A、 同解方程式必可求定理：指任意二个一元高次方程之间，只要存在相同的解，
则相同解方程式必可求出。
利用价值：如果我们要推导出一个系数为已知数的一元高次方程求根公式，我们可以先
求出和此方程有同解的一元高次方程，只要求出的同解方程不是原方程的整倍数，根据
同解方程式必可求定理，就可推导出方次更低的同解方程式来。
定理B、 同解方程判别定理：指任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一
对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。这种函
数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。
利用价值：1》、根据方程系数判别式等于零，则二个方程之间必存在相同解。因此，我
们如果要设置一个和原方程有相同解的方程出来，只要确保它们的方程系数符合判别式
等于零，这个方程必与原方程有同解。
2》、利用此定理可以对多元高次方程组快速消元。这个应用在此不作详细介绍。
2、同解方程式必可求定理论证过程
同
解方程式必可求出定理
定理：任意二个一元高次方程之间只要存在同解，必可推导出它们的同解方程式。
论证过程
由于论证过程具有明显的规律性，为了简便说明，在此以方程 x
3
＋ax
2
＋bx＋c =0与
方程x
4
＋mx
3
＋nx
2
＋px＋q=0若有公共相等根存在来推导它们的公解方程：
由于x
4
＋mx
3
＋nx
2
＋px＋q=0的左边x
4
＋mx
3
＋nx
2
＋px＋q总可可化成二部分,即一部分
可以整除另一方程左边 x
3
＋ax
2
＋bx＋c的一部分 和不能整除 x
3
＋ax
2
＋bx＋c的另一部
分,因此方程又化成：
（ x
3
＋ax
2
＋bx＋c ）（x＋m－a）＋（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac
－cm=0 ；的形式.
由于它们存在同解，它们的公共根必须代入二个方程都成立，当：x
2
的系数（n＋a
2
－
am－b）≠0时因为这个公共根代入（ x
3
＋ax
2
＋bx＋c ）（x＋m－a）等于零，所以代
入（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm必等于零。否则它不是公共根,
因此公共根必存在在方程：（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0
之中，如果已知二个方程存在2个同解根，则方程：（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm
－c）x＋q＋ac－cm=0，就是二个方程的同解方程式。
当x
2
的系数（n＋a
2
－am－b）=0，而x系数（p＋ab－bm－c）≠0则二个方程之间
的同解方程必为：（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0 ；
当（n＋a
2
－am－b）=0
又
（p＋ab－bm－c）=0时二个方程的公共根方程为：
x
3
＋ax
2
＋bx＋c =0（说明：前题已告之二个方程有公共根）
当x
2
的系数（n＋a
2
－am－b）≠0，而已知前题是二个方程只存在一个公共根时，
公共根方程必须继续推导下去。
前面推导已经知道，公共根即存在于方程x
3
＋ax
2
＋bx＋c =0中，又存在于方程
（n＋a
2
－am－b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0中，而方程：（n＋a
2
－am－
b）x
2
＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm=0除以（n＋a
2
－am－b）变成：
x
2
＋【（p＋ab－bm－c）/（n＋a
2
－am－b）】x＋（q＋ac－cm）/（n＋a
2
－am－b）
=0 ；