2024年5月29日发(作者：喻锦)
S
4
及其子群
S
4
的元
已知|S
4
|=24及S
4
的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（ab）（cd），
其中a，b，c，d∈{1,2,3,4}
1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）,所以1阶元有1个，即单位元（1）；
2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C
4
2
+
1
( C
4
2
•C
2
2
)=9个，即：
2
(12),(34),(13),(24)，（14），(23), (12)(34),(13)(24),(14)(23)；
3阶元：形式为（abc）,共有C
4
3
A
2
2
=8个，即 ：
(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243)；
4阶元：形式为（abcd）,共有C
4
4
A
3
3
= 6，即：
(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)；
S
4
的子群
因为|S
4
|=24，由定理1，知S
5
子群的阶可能为：1,2,3,4,6,8,12,24，又因为
|24|=2
3
×3，根据sylow定理，S
4
必存在2阶、3阶、4阶和8阶子群，另S
4
有
平凡子群1阶子群和24阶子群，可能有6阶和12阶子群。
1阶子群：N
1
={（1）}， 为一共轭类。
2阶子群：由S
4
的2阶元生成的循环群，因为S
4
的2阶元有9个，所以S
4
的2阶子群有9个，即：
N
2
=<(12)>={（1），（12）}，
N
3
=<(13)>={（1），（13）}，
N
4
=<(23)>={（1），（23）} ，
N
5
=<(24)>={（1），（24）} ，
N
6
=<(14)>={（1），（14）} ，
N
7
=<(34)>={（1），（34）} ，
N
8
=<(12)(34)>={（1），（12）（34）}，
N
9
=<(13)(24)>={（1），（13）（24）}，
N
10
=<(14)(23)>={（1），（14）（23）}，
1
其中N
2
至N
7
为一共轭类，N
8
至 N
10
为一共轭类。
3阶子群：由S
4
的3阶元生成的循环群，因为每两个互逆的3阶元同单位元
可以组成一个子群，而S
4
的3阶元有6个，所以S
4
的3阶子群有3个，且为一
共轭类，即：
N
11
=<(123)>={（1），（123），（132）} ，
N
12
=<(134)>={（1），（134），（143）} ，
N
13
=<(124)>={（1），（124），（142）} ，
N
14
=<(234)>={（1），（234），（243）} ，
4阶子群：（循环群和非循环群）
循环群：由S
4
的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶
元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S
4
的4阶元有三对互逆的元，故4
阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：
N
15
=<(1234)>={（1），（1234），（13）（24），（1432）}，
N
16
=<(1324)>={（1），（1324），（12）（34），（1423）}，
N
17
=<(1243)>={（1），（1243），（14）（23），（1342）}，
非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，
满足这一条件可构成的4阶非循环群只有4个，且为2个共轭类，即：
N
18
={（1），（12），（34），（12）（34）} ，
N
19
={（1），（13），（24），（13）（24）},
N
20
={（1），（14），（23），（14）（23）}，
和N
21
={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}
8阶子群：此群里的元的阶只能为1阶、2阶、4阶，且由sylow 定理，8
阶子群里必含有4阶子群，故可先确定8阶子群里的4个元素，其余4个元素可
由已确定的元来给出，经由此算法，由全部的4阶子群只找出3个8阶子群，故
8阶子群有3个，且为一共轭类，即：
N
22
={（1），（1234），（13）（24），（1432），（13），（12）（34），（24），
2
（14）（23）}，
N
23
={（1），（1324），（12）（34），（1423），（12），（13）（24），（34），
（14）（32）}，
N
24
={（1），（1243），（14）（23），（1342），（14），（12）（43），（23），
（13）（24）}，
24阶子群：即N
25
=S
4
以上为S
4
里必存在的子群，下面讨论S
4
里可能存在的子群：
6阶子群：因为S
4
包含着S
3
，故S
4
必有同构于S
3
的一类6阶子群，而同构
于S
3
的S
4
的6阶子群有4个，且其元为1阶、2阶和3阶，所以S
4
的6阶子群
有4个，且为一共轭类，即：
N
26
={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，
N
27
={（1），（12），（24），（14），（124），（142）}，
N
28
={（1），（34），（13），（14），（143），（134）}，
N
29
={（1），（34），（24），（23），（234），（243）}，
12阶子群：若S
4
有12阶子群，则由sylow定理，该子群里必存在2阶子群、
4阶子群和3阶子群，经计算，S
4
的12阶子群只有一个，即：
N
30
={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），
（12）（34），（13）（24），（14）（23）}。
综上，S
4
共有30个子群，分为10个共轭类，其中，由正规子群定义及定理
6知S
4
的1阶子群，N
21
，12阶子群和24阶子群为正规子群。
§3.2 S
5
的元
3
已知|S
5
|=120及S
5
的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（abcde），
（ab）（cd），（ab）（cde）其中a，b，c，d，e∈{1,2,3,4,5}
1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）=(e),所以1阶元有1个，即单位元（1）；
2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C
5
2
+
1
( C
5
2
C
3
2
)=25个，即：
2
（12），(13),(14)，(15)，(23)，(24)，(25)，(34)，(35)，(45),(12)(34)，
(12)(35),(12)(45),(13)(24),(13)(25),(13)(45)(14)(23),(14)(25)(14)(35)
(15)(23),(15)(24),(15)(34),(23)(45)，(24)(35),(25)(34)；
3 阶元 ：形式为（abc）,共有C
5
3
A
2
2
=20个，即：
（123)， (124)，(125)，(132)， (134)，(135)，(142)，(143)，(145)， (152)，
(153)， (154)，(234)，(235)，(243)，(245)， (253)，(254)，(345)，(354)；
4阶元：形式为（abcd）,共有C
5
4
A
3
3
= 30，即：
(1234)，(1235)，(1243)，(1245)，(1253)，(1254)，(1324)，(1325)，(1342)，
(1345)，(1352)，(1354)，(1423)，(1425)，(1432)，(1435)，(1452)，(1453)，
(1523)，(1524)，(1532)，(1534)，(1542)，(1543)，(2345)，(2354)，(2435)，
(2453)，(2534)，(2543)；
5阶元：形式为（abcde）,共有C
5
A
4
= 24，即：
(12345)，(12354)，(12435)，(12453)，(12534)，(12543)， (13245)，(13254)，
(13425), (13452) ,(13524)，(13542)， (14235)，(14253)， (14325)，(14352)，
(14523)，(14532)，(15234)，(15243)，(15324)，(15342)， (15423)，(15432)；
6阶元: 形式为（ab）（cde）,共有C
5
2
C
3
3
A
2
2
=20，即：
(12)(345),(12)(354),(13)(245),(13)(254),(14)(235),(14)(253),
(15)(234)，(15)(243),(23)(145)，(23)(154) , (24)(135), (24)(153)，
(25)(134),(25)(143),(34)(125),(34)(152),(35)(124),(35)(142),
(45)(123)，(45)(132);
54
§3.3 S
5
的子群
4
因为|S
5
|=120，由定理1，知S
5
子群的阶可能为：1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,
24,30,40,60,120，又因为|120|=2
3
×3×5，根据sylow定理，S
5
必存在2阶、3
阶、4阶、5阶和8阶子群，另S
5
有平凡子群1阶子群和120阶子群，可能有6
阶、10阶、12阶、15阶、20阶、24阶、30阶、40阶和60阶子群。下述S
5
的
各个阶子群的情况：
1阶子群：
S
5
的一阶子群为平凡子群，只包含单位元（1），即
H
1
={(1)}。
2阶子群：
由S
5
的2阶元生成的循环群，由于2阶子群里只有两个元，其中一个为单位元，
由定理2，可知另一个元必为2阶元，因为S
5
共有25个二阶元，所以S
5
共有25个2
阶子群，其中分为两个共轭类，第一个共轭类为：
H
1
=<(12)>={(1)，(12)}，
H
2
=<(13)>={(1)，(13)}，
H
3
=<(14)>={(1)，(14)}，
H
4
=<(15)>={(1)，(15)}，
H
5
=<(23)>={(1)，(23)}，
H
6
=<(24)>={(1)，(24)}，
H
7
=<(25)>={(1)，(25)}，
H
8
=<(34)>={(1)，(34)}，
H
9
=<(35)>={(1)，(35)I，
H
10
=<(45)>={(1)，(45)}；
第二个共轭类为：
H
11
=<(12)(34)>={(1)，(12)(34)}，
H
12
=<(12)(35)>={(1)，(12)(35)}，
H
13
=<(12)(45)>={(1)，(12)(45)}，
H
14
=<(13)(24)>={(1)，(13)(24)}，
H
15
=<(13)(25)>={(1)，(13)(25)}，
5
H
16
=<(13)(45)>={(1)，(13)(45)}，
H
17
=<(14)(23)>={(1)，(14)(23)}，
H
18
=<(14)(25)>={(1)，(14)(25)}，
H
19
=<(14)(35)>={(1)，(14)(35)}，
H
20
=<(15)(23)>={(1)，(15)(23)}，
H
21
=<(15)(24)>={(1)，(15)(24)}，
H
22
=<(15)(34)>={(1)，(15)(34)}，
H
23
=<(23)(45)>={(1)，(23)(45)}，
H
24
=<(24)(35)>={(1)，(24)(35)}，
H
25
=<(25)(34)>={(1)，(25)(34)}。
3阶子群：
由S
4
的3阶元生成的循环群，由定理1，3阶子群里元的阶只可能为1阶和
3阶，S
5
里1阶的元为单位元，3阶元有20个，3阶元恰好有10组互为逆元，
经计算S
5
的3阶子群有10个，为一个共轭类，即：
H
1
=<(123)>={（1），（123），（132）}，
H
2
=<(124)>={（1），（124），（142）}，
H
3
=<(125)>={（1），（125），（152）}，
H
4
=<(134)>={（1），（134），（143）}，
H
5
=<(135)>={（1），（135），（153）}，
H
6
=<(145)>={（1），（145），（154）}，
H
7
=<(234)>={（1），（234），（243）}，
H
8
=<(235)>={（1），（235），（253）}，
H
9
=<(245)>={（1），（245），（254）}，
H
10
=<(345)>={（1），（345），（354）}。
4阶子群：（循环群和非循环群）
循环群：由S
5
的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶
元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S
5
的4阶元有三对互逆的元，故4
6
阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：
H
1
=<(1234)>={(1)，(1234)，(13)(24)，(1432)}，
H
2
=<(1243)>={(1)，(1243)，(14)(23)，(1342)}，
H
3
=<(1235)>={(1)，(1235)，(13)(25)，(1532)}，
H
4
=<(1253)>={(1)，(1253)，(15)(23)，(1352)}，
H
5
=<(1245)>={(1)，(1245)，(14)(25)，(1542)}，
H
6
=<(1254)>={(1)，(1254)，(15)(24)，(1452)}，
H
7
=<(1324)>={(1)，(1324)，(12)(34)，(1423)}，
H
8
=<(1325)>={(1)，(1325)，(12)(35)，(1523)}，
H
9
=<(1345)>={(1)，(1345)，(14)(35)，(1543)}，
H1
0
=<(1354)>={(1)，(1354)，(15)(34)，(1453)}，
H1
1
=<(1435)>={(1)，(1435)，(13)(45)，(1534)}，
H1
2
=<(1524)>={(1)，(1524)，(12)(45)，(1425)}，
H
13
=<(2345)>={(1)，(2345)，(24)(35)，(2543)}，
H
14
=<(2354)>={(1)，(2354)，(25)(34)，(2453)}，
H
15
=<(2435)>={(1)，(2435)，(23)(45)，(2534)}。
非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，
满足这一条件可构成的4阶非循环群有20个，且为2个共轭类，即：
H
16
={(1)，(12)，(34)，(12)(34)}，
H
17
={(1)，(12)，(35)，(12)(35)}，
H
18
={(1)，(12)，(45)，(12)(45)}，
H
19
={(1)，(13)，(24)，(13)(24)}，
H
20
={(1)，(13)，(25)，(13)(25)}，
H
21
={(1)，(13)，(45)，(13)(45)}，
H
22
={(1)，(14)，(23)，(14)(23)}，
H
23
={(1)，(14)，(25)，(14)(25)}，
H
24
={(1)，(14)，(35)，(14)(35)}，
H
25
={(1)，(15)，(23)，(15)(23)}，
H
26
={(1)，(15)，(24)，(15)(24)}，
7
H
27
={(1)，(15)，(24)，(15)(24)}，
H
28
={(1)，(23)，(45)，(23)(45)}，
H
29
={(1)，(24)，(35)，(24)(35)}，
H
30
={(1)，(25)，(34)，(25)(34)}，
H
31
={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}，
H
32
={(1)，(12)(35)，(13)(25)，(15)(23)}，
H
33
={(1)，(12)(45)，(14)(25)，(15)(24)}，
H
34
={(1)，(13)(45)，(14)(35)，(15)(34)}，
H
35
={(1)，(23)(45)，(24)(35)，(25)(34)}；
其中H
16
至H
30
为一共轭类，H
31
至H
35
为另一共轭类。
5阶子群：
由定理1，5阶子群里元的阶只能为1阶和5阶，故S
5
的5阶子群为由S
5
的5
阶元生成的循坏群，S
5
里1阶的元为单位元，5阶元有24个，经计算S
5
的5阶子
群有6个，为一个共轭类，即：
H
1
=<(12345)>={(1)，(12345),(13524),(14253),(15432)},
H
2
=<(12354)>={(1)，(12354),(13425),(15243),(14532)},
H
3
=<(12435)>={(1)，(12435),(14523),(13254),(15342)},
H
4
=<(12453)>={(1)，(12453),(14325),(15234),(13542)},
H
5
=<(12534)>={(1)，(12534),(15423),(13245),(14352)},
H
6
=<(12543)>={(1)，(12543),(15324),(14235),(13452)}。
S
5
的8阶子群：
由定理1，8阶子群里元的阶只能为1阶、2阶和4阶，仿照S
4
的8阶子群，
经计算，S
5
有15个8阶子群，一个共轭类，即：
H
1
={(1),(1234),(13)(24),(1432),(13),(12)(34),(24), (14)(23)},
H
1
={(1),(1324),(12)(34),(1423),(12),(13)(24),(34), (14)(32)},
H
1
={(1),(1243),(14)(23),(1342),(14),(12)(43),(23), (13)(24)},
H
1
={(1),(1235),(13)(25),(1532),(13),(12)(35),(25), (15)(23)},
8
H
1
={(1),(1245),(14)(25),(1542),(14),(12)(45),(25), (15)(24)},
H
1
={(1),(1253),(15)(23),(1352),(15),(12)(53),(23), (13)(25)},
H
1
={(1),(1254),(15)(24),(1452),(15),(12)(54),(24), (14)(25)},
H
1
={(1),(1325),(12)(35),(1523),(12),(13)(25),(35), (15)(32)},
H
1
={(1),(1345),(14)(35),(1543),(14),(13)(45),(35), (15)(34)},
H
1
={(1),(1354),(15)(34),(1453),(15),(13)(54),(34), (14)(35)},
H
1
={(1),(1425),(12)(45),(1524),(12),(14)(25),(45), (15)(42)},
H
1
={(1),(1435),(13)(45),(1534),(13),(14)(35),(45), (15)(43)},
H
1
={(1),(2345),(24)(35),(1543),(24),(23)(45),(35), (25)(34)},
H
1
={(1),(2354),(25)(34),(2453),(25),(23)(45),(34), (24)(35)},
H
1
={(1),(2435),(23)(45),(2534),(23),(24)(35),(45), (25)(34)}。
S
5
的120阶子群：
S
5
的120阶子群即为S
5
本身。
以上为S
5
里必存在的子群，下面讨论S
5
里可能存在的子群：
S
5
的6阶子群：
由定理1，6阶子群里元的阶只能为1阶、2阶和3阶，同构于S3的为一个
共轭类，即：
H
1
= {(1),(12),(13),(23),（123），（132）}，
H
2
= {(1),(12),(14),(24),（124），（142）}，
H
3
= {(1),(12),(15),(25),（125），（152）}，
H
4
= {(1),(13),(15),(35),（135），（153）}，
H
5
= {(1),(13),(14),(34),（143），（134）}，
H
6
= {(1),(14),(15),(45),（145），（154）}，
H
7
= {(1),(23),(25),(35),（235），（253）}，
H
8
= {(1),(24),(25),(45),（245），（254）}，
H
9
= {(1),(24),(23),(34),（234），（243）}，
H
10
= {(1),(34),(35),(45),（345），（354）}，
9
由2阶元，3阶元，和2×3循环置换构成一个共轭类，即：
H
11
={（1），（12）（345），（12）（354），（12），（345），（354）}，
H
12
={（1），（13）（245），（13）（254），（13），（245），（254）}，
H
13
={（1），（14）（235），（14）（253），（14），（235），（253）}，
H
14
={（1），（15）（234），（15）（243），（15），（234），（243）}，
H
15
={（1），（23）（145），（23）（154），（23），（145），（154）}，
H
16
={（1），（24）（135），（24）（153），（24），（135），（153）}，
H
17
={（1），（25）（134），（25）（143），（25），（134），（143）}，
H
18
={（1），（34）（125），（34）（152），（34），（125），（152）}，
H
19
={（1），（35）（124），（35）（142），（35），（124），（142）}，
H
20
={（1），（45）（123），（45）（132），（45），（123），（132）}。
由3阶元，和2×2循环置换构成一个共轭类，即：
H
21
={(1)，(12)(34)，(345),(354)，(12)(35)，(12)(45)}，
H
22
={(1)，(14)(23)，(235),(253)，(14)(25)，(14)(35)}，
H
23
={(1)，(15)(23)，(234),(243)，(15)(24)，(15)(34)}，
H
24
={(1)，(13)(24)，(245),(254)，(13)(25)，(13)(45)}，
H
25
={(1)，(12)(34)，(152),(125)，(15)(34)，(25)(34)}，
H
26
={(1)，(12)(45)，(123),(132)，(13)(45)，(23)(45)}，
H
27
={(1)，(12)(35)，(124),(142)，(14)(35)，(24)(35)}，
H
28
={(1)，(13)(25)，(134),(143)，(14)(25)，(25)(34)}，
H
29
={(1)，(13)(24)，(135),(153)，(15)(24)，(24)(35)}，
H
30
={(1)，(14)(23)，(145),(154)，(15)(23)，(23)(45)}。
所以S
5
的6阶子群共有30个。
S
5
的10阶子群：
若S
5
的10阶子群存在，则由Sylow定理，该10阶子群里必存在5阶子群，
且此5阶子群亦为S
5
的5阶子群，又因为S
5
的10阶子群里的元的阶只能为1
阶、2阶和5阶，所以经计算S
5
的10阶子群有6个，为一共轭类，即：
H
1
={(1),(12345),(13524),(14253),(15432),(12)(35),(13)(45),
10
(14)(23),(15)(24),(25)(34)},
H
2
={(1),(12354),(13425),(15243),(14532),(12)(34),(13)(45),
(15)(23),(14)(25),(24)(35)},
H
3
={(1),(12435),(14523),(13254),(15342),(12)(45),(14)(35),
(13)(24),(15)(23),(25)(34)},
H
4
={(1),(12453),(14325),(15234),(13542),(12)(34),(14)(35),
(15)(24),(13)(25),(23)(45)},
H
5
={(1),(12534),(15423),(13245),(14352),(12)(45),(15)(34),
(13)(25),(14)(23),(24)(35)},
H
6
={(1),(12543),(15324),(14235),(13452),(12)(35),(15)(34),
(14)(25),(13)(24),(23)(45)}。
S
5
的12阶子群：
由定理1，12阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和4阶，仿照S
4
的12
阶子群，经计算S
5
的12阶子群的一个共轭类：
H
1
={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243）,
（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，
H
2
={(1),(123),(125),(132),(135),(152),(153),(235)(253),(12)(35),
(13)(25),(15)(23)}，
H
3
={(1),(124),(125),(142),(145),(152),(154),(245),(254),(12)(45),
(14)(25),(15)(24)}，
H
4
={(1),(134),(135),(143),(145),(153),(154),(345),(354),(13)(45),
(14)(35),(15)(34)}，
H
5
={(1),(234),(235),(243),(245),(253),(254),(345),(354),(23)(45),
(24)(35),(25)(34)}，
另经计算，由2阶元、3阶元和2×3循环置换也可构成一共轭类子群：
H
6
={(1),(12)(345),(12)(354),(345),(354),(12)(34), (12)(35),
(12)(45),(12),(34),(35),(45)}，
H
7
={(1),(13)(245),(13)(254),(245),(254),(13)(24), (13)(25),
11
(13)(45),(13),(24),(25),(45)}，
H
8
={(1),(14)(235),(14)(253),(235),(253),(14)(23), (14)(25),
(14)(35),(14),(23),(25),(35)}，
H
9
={(1),(15)(234),(15)(243),(234),(243),(15)(23), (15)(24),
(15)(34),(15),(23),(24),(34)}，
H
10
={(1),(23)(145),(23)(154),(145),(154),(14)(23), (15)(23),
(23)(45),(23),(14),(15),(45)}，
H
11
={(1),(24)(135),(24)(153),(135),(153),(13)(24), (15)(24),
(24)(35),(24),(13),(15),(35)}，
H
12
={(1),(25)(134),(25)(134),(134),(143),(13)(25), (14)(25),
(25)(34),(25),(13),(14),(34)}，
H
13
={(1),(34)(125),(34)(152),(125),(152),(12)(34), (15)(34),
(25)(34),(12),(15),(25),(34)}，
H
14
={(1),(35)(124),(35)(142),(124),(142),(12)(35), (14)(35),
(24)(35),(12),(14),(24),(35)}，
H
15
={(1),(45)(123),(45)(132),(123),(132),(12)(45), (13)(45),
(23)(45),(12),(13),(23),(45)}。
S
5
的15阶子群：
由定理1，15阶子群里元的阶只能为1阶、3阶和5阶，若H为S
5
的15阶
子群，由Sylow定理，H必有3阶和5阶子群，此3阶子群和5阶子群必也是
S
5
的子群，因为任意3阶子群里的3阶元乘以5阶子群里的5阶元必会出现2
阶元，例如：3阶子群{(1),(123),(132)}与5阶子群{（1），（12345），（13524），
（14253），（15432）}中，（123）（13524）=（14）（25）为2阶元，此以H中不
含有2阶元矛盾，故S
5
不含有15阶子群。
S
5
的20阶子群：
由定理1，20阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、4阶和5阶，经计算，S
5
含有6
个20阶子群，为一共轭类：
12
H
1
={(1)，(12354)，(13425)，(15243)，(14532)，(1253)，(1324)，(1542)，
(1435)，(2345)，(15)(23)，(12)(34)，(14)(25)，(13)(45)，(24)(35)，(1352)，
(1423)，(1245)，(1534)，(2543)}，
H
2
={(1)，(12435)，(14523)，(13254)，(15342)， (1234)，(1425)，(1352)，
(1543)，(2453)，(13)(24)，(12)(45)，(15)(23)，(14)(35)，(25)(34)，(1432)，
(1524)，(1253)，(1345)，(2354)}，
H
3
={(1)，(12453)，(14325)，(15234)，(13542)， (1254)，(1423)，(1532)，
(1345)，(2435)，(15)(24)，(12)(34)，(13)(25)，(14)(35)，(23)(45)，(1452)，
(1324)，(1235)，(1543)，(2534)}，
H
4
={(1)，(12345)，(13524)，(14253)，(15432)， (1243)，(1325)，(1452)，
(1534)，(2354)，(14)(23)，(12)(35)，(15)(24)，(13)(45)，(25)(34)，(1342)，
(1523)，(1254)，(1435)，(2453)}，
H
5
={(1)，(12543)，(15324)，(14235)，(13452)， (1245)，(1523)，(1432)，
(1354)，(2534)，(14)(25)，(12)(35)，(13)(24)，(15)(34)，(23)(45)，(1542)，
(1325)，(1234)，(1453)，(2435)}，
H
6
={(12534)，(15423)，(13245)，(14352)，(1)，(1235)，(1524)，(1342)，
(1453)，(2543)，(13)(25)，(12)(45)，(14)(23)，(15)(34)，(24)(35)，(1532)，
(1425)，(1243)，(1354)，(2345)}。
S
5
的24阶子群：
由定理1，12阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和4阶，仿照S
4
的24
阶子群，S
5
有5个24阶子群，为一个共轭类：
H
1
={(1)，(12)，(13)，(14)，(23)，(24)，(34)，(12)(34)，(13)(24)，
(14)(23)，(123)，(132)，(124)，(142)，(134)，(143)，(234)，(243)，(1234)，
(1243)，(1432)，(1423)，(1324)，(1342)}，
H
2
={(1)，(12)，(13)，(15)，(23)，(25)，(35)，(12)(35)，(13)(25)，
(15)(23)，(123)，(132)，(125)，(152)，(135)，(153)，(235)，(253)，(1235)，
(1253)，(1532)，(1523)，(1325)，(1352)}，
H
3
={(1)，(12)，(14)，(15)，(24)，(25)，(45)，(12)(45)，(14)(25)，
13
(15)(24)，(124)，(142)，(125)，(152)，((145)，(154)，(245)，(254)，(1245)，
(1254)，(1542)，(1524)，(1425)，(1452)}，
H
4
={(1)，(13)，(14)，(15)，(34)，(35)，(45)，(13)(45)，(14)(35)，
(15)(34)，(134)，(143)，(135)，(153)，(145)，(154)，(345)，(354)，(1345)，
(1354)，(1543)，(1534)，(1435)，(1453)}，
H
5
={(1)，(23)，(24)，(25)，(34)，(35)，(45)，(23)(45)，(24)(35)，
(25)(34)，(234)，(243)，(235)，(253)，(245)，(254)，(345)，(354)，(2345)，
(2354)，(2543)，(2534)，(2435)，(2453)}。
S
5
的30阶子群：
由定理1，30阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和5阶，若H为S
5
的30阶子群，由Sylow定理，H必有2阶子群、3阶子群和5阶子群，此2阶
子群、3阶子群和5阶子群必也是S
5
的子群，因为任意2阶子群里的2阶元乘以
5阶子群里的5阶元必会出现4阶元，例如：2阶子群{（1），（12）}与5阶子群
{（1），（12345），（13524），（14253），（15432）}里，（12）（12345）=（1345）
为4阶元，此与H中不含有4阶元矛盾，故S
5
不含有30阶子群。
S
5
的40阶子群：
由定理1，40阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、4阶和5阶，若H为S
5
的40阶子群，由Sylow定理，H必有2阶子群、4阶子群和5阶子群，此2阶
子群、4阶子群和5阶子群必也是S
5
的子群，因为任意3阶子群里的3阶元乘以
任意5阶子群里的5阶元必会出现3阶元，例如：3阶子群{(1),(123),(132)}
与5阶子群{（1），（12345），（13524），（14253），（15432）}中，（123）（13524）
=（354）为3阶元，此与H中不含有3阶元矛盾，故S
5
不含有40阶子群。
S
5
的60阶子群：
由定理1，60阶子群里元的阶为1阶、2阶、3阶、4阶和5阶，经计算，S
5
含有
1个60阶子群，为一共轭类：
H
1
={（1），（123)， (124)，(125)，(132)， (134)，(135)，(142)，(143)，
14
(145)， (152)，(153)， (154)，(234)，(235)，(243)，(245)， (253)， (254)，
(345)，(354), (12345)，(12354)，(12435)，(12453)，(12534)，(12543)，(13245)，
(13254)，(13425), (13452) ,(13524)，(13542)， (14235)，(14253)，(14325)，
(14352)，(14523)，(14532)，(15234)，(15243)，(15324)，(15342)，(15423)，
(15432)，(12)(34)，(12)(35)，(12)(45)，(13)(24)，(13)(25)，(13)(45)，
(14)(23), (14)(25)，(14)(35)，(15)(23), (15)(24), (15)(34),(23)(45)，
(24)(35)，(25)(34)}。
由正规子群的定义及定理6知S
5
的1阶子群，60阶子群和120阶子群为正
规子群。
15
16
2024年5月29日发(作者：喻锦)
S
4
及其子群
S
4
的元
已知|S
4
|=24及S
4
的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（ab）（cd），
其中a，b，c，d∈{1,2,3,4}
1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）,所以1阶元有1个，即单位元（1）；
2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C
4
2
+
1
( C
4
2
•C
2
2
)=9个，即：
2
(12),(34),(13),(24)，（14），(23), (12)(34),(13)(24),(14)(23)；
3阶元：形式为（abc）,共有C
4
3
A
2
2
=8个，即 ：
(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243)；
4阶元：形式为（abcd）,共有C
4
4
A
3
3
= 6，即：
(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)；
S
4
的子群
因为|S
4
|=24，由定理1，知S
5
子群的阶可能为：1,2,3,4,6,8,12,24，又因为
|24|=2
3
×3，根据sylow定理，S
4
必存在2阶、3阶、4阶和8阶子群，另S
4
有
平凡子群1阶子群和24阶子群，可能有6阶和12阶子群。
1阶子群：N
1
={（1）}， 为一共轭类。
2阶子群：由S
4
的2阶元生成的循环群，因为S
4
的2阶元有9个，所以S
4
的2阶子群有9个，即：
N
2
=<(12)>={（1），（12）}，
N
3
=<(13)>={（1），（13）}，
N
4
=<(23)>={（1），（23）} ，
N
5
=<(24)>={（1），（24）} ，
N
6
=<(14)>={（1），（14）} ，
N
7
=<(34)>={（1），（34）} ，
N
8
=<(12)(34)>={（1），（12）（34）}，
N
9
=<(13)(24)>={（1），（13）（24）}，
N
10
=<(14)(23)>={（1），（14）（23）}，
1
其中N
2
至N
7
为一共轭类，N
8
至 N
10
为一共轭类。
3阶子群：由S
4
的3阶元生成的循环群，因为每两个互逆的3阶元同单位元
可以组成一个子群，而S
4
的3阶元有6个，所以S
4
的3阶子群有3个，且为一
共轭类，即：
N
11
=<(123)>={（1），（123），（132）} ，
N
12
=<(134)>={（1），（134），（143）} ，
N
13
=<(124)>={（1），（124），（142）} ，
N
14
=<(234)>={（1），（234），（243）} ，
4阶子群：（循环群和非循环群）
循环群：由S
4
的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶
元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S
4
的4阶元有三对互逆的元，故4
阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：
N
15
=<(1234)>={（1），（1234），（13）（24），（1432）}，
N
16
=<(1324)>={（1），（1324），（12）（34），（1423）}，
N
17
=<(1243)>={（1），（1243），（14）（23），（1342）}，
非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，
满足这一条件可构成的4阶非循环群只有4个，且为2个共轭类，即：
N
18
={（1），（12），（34），（12）（34）} ，
N
19
={（1），（13），（24），（13）（24）},
N
20
={（1），（14），（23），（14）（23）}，
和N
21
={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}
8阶子群：此群里的元的阶只能为1阶、2阶、4阶，且由sylow 定理，8
阶子群里必含有4阶子群，故可先确定8阶子群里的4个元素，其余4个元素可
由已确定的元来给出，经由此算法，由全部的4阶子群只找出3个8阶子群，故
8阶子群有3个，且为一共轭类，即：
N
22
={（1），（1234），（13）（24），（1432），（13），（12）（34），（24），
2
（14）（23）}，
N
23
={（1），（1324），（12）（34），（1423），（12），（13）（24），（34），
（14）（32）}，
N
24
={（1），（1243），（14）（23），（1342），（14），（12）（43），（23），
（13）（24）}，
24阶子群：即N
25
=S
4
以上为S
4
里必存在的子群，下面讨论S
4
里可能存在的子群：
6阶子群：因为S
4
包含着S
3
，故S
4
必有同构于S
3
的一类6阶子群，而同构
于S
3
的S
4
的6阶子群有4个，且其元为1阶、2阶和3阶，所以S
4
的6阶子群
有4个，且为一共轭类，即：
N
26
={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，
N
27
={（1），（12），（24），（14），（124），（142）}，
N
28
={（1），（34），（13），（14），（143），（134）}，
N
29
={（1），（34），（24），（23），（234），（243）}，
12阶子群：若S
4
有12阶子群，则由sylow定理，该子群里必存在2阶子群、
4阶子群和3阶子群，经计算，S
4
的12阶子群只有一个，即：
N
30
={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243），
（12）（34），（13）（24），（14）（23）}。
综上，S
4
共有30个子群，分为10个共轭类，其中，由正规子群定义及定理
6知S
4
的1阶子群，N
21
，12阶子群和24阶子群为正规子群。
§3.2 S
5
的元
3
已知|S
5
|=120及S
5
的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（abcde），
（ab）（cd），（ab）（cde）其中a，b，c，d，e∈{1,2,3,4,5}
1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）=(e),所以1阶元有1个，即单位元（1）；
2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C
5
2
+
1
( C
5
2
C
3
2
)=25个，即：
2
（12），(13),(14)，(15)，(23)，(24)，(25)，(34)，(35)，(45),(12)(34)，
(12)(35),(12)(45),(13)(24),(13)(25),(13)(45)(14)(23),(14)(25)(14)(35)
(15)(23),(15)(24),(15)(34),(23)(45)，(24)(35),(25)(34)；
3 阶元 ：形式为（abc）,共有C
5
3
A
2
2
=20个，即：
（123)， (124)，(125)，(132)， (134)，(135)，(142)，(143)，(145)， (152)，
(153)， (154)，(234)，(235)，(243)，(245)， (253)，(254)，(345)，(354)；
4阶元：形式为（abcd）,共有C
5
4
A
3
3
= 30，即：
(1234)，(1235)，(1243)，(1245)，(1253)，(1254)，(1324)，(1325)，(1342)，
(1345)，(1352)，(1354)，(1423)，(1425)，(1432)，(1435)，(1452)，(1453)，
(1523)，(1524)，(1532)，(1534)，(1542)，(1543)，(2345)，(2354)，(2435)，
(2453)，(2534)，(2543)；
5阶元：形式为（abcde）,共有C
5
A
4
= 24，即：
(12345)，(12354)，(12435)，(12453)，(12534)，(12543)， (13245)，(13254)，
(13425), (13452) ,(13524)，(13542)， (14235)，(14253)， (14325)，(14352)，
(14523)，(14532)，(15234)，(15243)，(15324)，(15342)， (15423)，(15432)；
6阶元: 形式为（ab）（cde）,共有C
5
2
C
3
3
A
2
2
=20，即：
(12)(345),(12)(354),(13)(245),(13)(254),(14)(235),(14)(253),
(15)(234)，(15)(243),(23)(145)，(23)(154) , (24)(135), (24)(153)，
(25)(134),(25)(143),(34)(125),(34)(152),(35)(124),(35)(142),
(45)(123)，(45)(132);
54
§3.3 S
5
的子群
4
因为|S
5
|=120，由定理1，知S
5
子群的阶可能为：1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,
24,30,40,60,120，又因为|120|=2
3
×3×5，根据sylow定理，S
5
必存在2阶、3
阶、4阶、5阶和8阶子群，另S
5
有平凡子群1阶子群和120阶子群，可能有6
阶、10阶、12阶、15阶、20阶、24阶、30阶、40阶和60阶子群。下述S
5
的
各个阶子群的情况：
1阶子群：
S
5
的一阶子群为平凡子群，只包含单位元（1），即
H
1
={(1)}。
2阶子群：
由S
5
的2阶元生成的循环群，由于2阶子群里只有两个元，其中一个为单位元，
由定理2，可知另一个元必为2阶元，因为S
5
共有25个二阶元，所以S
5
共有25个2
阶子群，其中分为两个共轭类，第一个共轭类为：
H
1
=<(12)>={(1)，(12)}，
H
2
=<(13)>={(1)，(13)}，
H
3
=<(14)>={(1)，(14)}，
H
4
=<(15)>={(1)，(15)}，
H
5
=<(23)>={(1)，(23)}，
H
6
=<(24)>={(1)，(24)}，
H
7
=<(25)>={(1)，(25)}，
H
8
=<(34)>={(1)，(34)}，
H
9
=<(35)>={(1)，(35)I，
H
10
=<(45)>={(1)，(45)}；
第二个共轭类为：
H
11
=<(12)(34)>={(1)，(12)(34)}，
H
12
=<(12)(35)>={(1)，(12)(35)}，
H
13
=<(12)(45)>={(1)，(12)(45)}，
H
14
=<(13)(24)>={(1)，(13)(24)}，
H
15
=<(13)(25)>={(1)，(13)(25)}，
5
H
16
=<(13)(45)>={(1)，(13)(45)}，
H
17
=<(14)(23)>={(1)，(14)(23)}，
H
18
=<(14)(25)>={(1)，(14)(25)}，
H
19
=<(14)(35)>={(1)，(14)(35)}，
H
20
=<(15)(23)>={(1)，(15)(23)}，
H
21
=<(15)(24)>={(1)，(15)(24)}，
H
22
=<(15)(34)>={(1)，(15)(34)}，
H
23
=<(23)(45)>={(1)，(23)(45)}，
H
24
=<(24)(35)>={(1)，(24)(35)}，
H
25
=<(25)(34)>={(1)，(25)(34)}。
3阶子群：
由S
4
的3阶元生成的循环群，由定理1，3阶子群里元的阶只可能为1阶和
3阶，S
5
里1阶的元为单位元，3阶元有20个，3阶元恰好有10组互为逆元，
经计算S
5
的3阶子群有10个，为一个共轭类，即：
H
1
=<(123)>={（1），（123），（132）}，
H
2
=<(124)>={（1），（124），（142）}，
H
3
=<(125)>={（1），（125），（152）}，
H
4
=<(134)>={（1），（134），（143）}，
H
5
=<(135)>={（1），（135），（153）}，
H
6
=<(145)>={（1），（145），（154）}，
H
7
=<(234)>={（1），（234），（243）}，
H
8
=<(235)>={（1），（235），（253）}，
H
9
=<(245)>={（1），（245），（254）}，
H
10
=<(345)>={（1），（345），（354）}。
4阶子群：（循环群和非循环群）
循环群：由S
5
的4阶元生成的循环群，根据生成的子群的元的情况，一个4阶
元生成的子群里包含有一对互逆的4阶元，而S
5
的4阶元有三对互逆的元，故4
6
阶循环子群有3个，且为一共轭类，即：
H
1
=<(1234)>={(1)，(1234)，(13)(24)，(1432)}，
H
2
=<(1243)>={(1)，(1243)，(14)(23)，(1342)}，
H
3
=<(1235)>={(1)，(1235)，(13)(25)，(1532)}，
H
4
=<(1253)>={(1)，(1253)，(15)(23)，(1352)}，
H
5
=<(1245)>={(1)，(1245)，(14)(25)，(1542)}，
H
6
=<(1254)>={(1)，(1254)，(15)(24)，(1452)}，
H
7
=<(1324)>={(1)，(1324)，(12)(34)，(1423)}，
H
8
=<(1325)>={(1)，(1325)，(12)(35)，(1523)}，
H
9
=<(1345)>={(1)，(1345)，(14)(35)，(1543)}，
H1
0
=<(1354)>={(1)，(1354)，(15)(34)，(1453)}，
H1
1
=<(1435)>={(1)，(1435)，(13)(45)，(1534)}，
H1
2
=<(1524)>={(1)，(1524)，(12)(45)，(1425)}，
H
13
=<(2345)>={(1)，(2345)，(24)(35)，(2543)}，
H
14
=<(2354)>={(1)，(2354)，(25)(34)，(2453)}，
H
15
=<(2435)>={(1)，(2435)，(23)(45)，(2534)}。
非循环群：其元都为2阶元，且两个互不相同的2阶元相乘可得另一个2阶元，
满足这一条件可构成的4阶非循环群有20个，且为2个共轭类，即：
H
16
={(1)，(12)，(34)，(12)(34)}，
H
17
={(1)，(12)，(35)，(12)(35)}，
H
18
={(1)，(12)，(45)，(12)(45)}，
H
19
={(1)，(13)，(24)，(13)(24)}，
H
20
={(1)，(13)，(25)，(13)(25)}，
H
21
={(1)，(13)，(45)，(13)(45)}，
H
22
={(1)，(14)，(23)，(14)(23)}，
H
23
={(1)，(14)，(25)，(14)(25)}，
H
24
={(1)，(14)，(35)，(14)(35)}，
H
25
={(1)，(15)，(23)，(15)(23)}，
H
26
={(1)，(15)，(24)，(15)(24)}，
7
H
27
={(1)，(15)，(24)，(15)(24)}，
H
28
={(1)，(23)，(45)，(23)(45)}，
H
29
={(1)，(24)，(35)，(24)(35)}，
H
30
={(1)，(25)，(34)，(25)(34)}，
H
31
={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}，
H
32
={(1)，(12)(35)，(13)(25)，(15)(23)}，
H
33
={(1)，(12)(45)，(14)(25)，(15)(24)}，
H
34
={(1)，(13)(45)，(14)(35)，(15)(34)}，
H
35
={(1)，(23)(45)，(24)(35)，(25)(34)}；
其中H
16
至H
30
为一共轭类，H
31
至H
35
为另一共轭类。
5阶子群：
由定理1，5阶子群里元的阶只能为1阶和5阶，故S
5
的5阶子群为由S
5
的5
阶元生成的循坏群，S
5
里1阶的元为单位元，5阶元有24个，经计算S
5
的5阶子
群有6个，为一个共轭类，即：
H
1
=<(12345)>={(1)，(12345),(13524),(14253),(15432)},
H
2
=<(12354)>={(1)，(12354),(13425),(15243),(14532)},
H
3
=<(12435)>={(1)，(12435),(14523),(13254),(15342)},
H
4
=<(12453)>={(1)，(12453),(14325),(15234),(13542)},
H
5
=<(12534)>={(1)，(12534),(15423),(13245),(14352)},
H
6
=<(12543)>={(1)，(12543),(15324),(14235),(13452)}。
S
5
的8阶子群：
由定理1，8阶子群里元的阶只能为1阶、2阶和4阶，仿照S
4
的8阶子群，
经计算，S
5
有15个8阶子群，一个共轭类，即：
H
1
={(1),(1234),(13)(24),(1432),(13),(12)(34),(24), (14)(23)},
H
1
={(1),(1324),(12)(34),(1423),(12),(13)(24),(34), (14)(32)},
H
1
={(1),(1243),(14)(23),(1342),(14),(12)(43),(23), (13)(24)},
H
1
={(1),(1235),(13)(25),(1532),(13),(12)(35),(25), (15)(23)},
8
H
1
={(1),(1245),(14)(25),(1542),(14),(12)(45),(25), (15)(24)},
H
1
={(1),(1253),(15)(23),(1352),(15),(12)(53),(23), (13)(25)},
H
1
={(1),(1254),(15)(24),(1452),(15),(12)(54),(24), (14)(25)},
H
1
={(1),(1325),(12)(35),(1523),(12),(13)(25),(35), (15)(32)},
H
1
={(1),(1345),(14)(35),(1543),(14),(13)(45),(35), (15)(34)},
H
1
={(1),(1354),(15)(34),(1453),(15),(13)(54),(34), (14)(35)},
H
1
={(1),(1425),(12)(45),(1524),(12),(14)(25),(45), (15)(42)},
H
1
={(1),(1435),(13)(45),(1534),(13),(14)(35),(45), (15)(43)},
H
1
={(1),(2345),(24)(35),(1543),(24),(23)(45),(35), (25)(34)},
H
1
={(1),(2354),(25)(34),(2453),(25),(23)(45),(34), (24)(35)},
H
1
={(1),(2435),(23)(45),(2534),(23),(24)(35),(45), (25)(34)}。
S
5
的120阶子群：
S
5
的120阶子群即为S
5
本身。
以上为S
5
里必存在的子群，下面讨论S
5
里可能存在的子群：
S
5
的6阶子群：
由定理1，6阶子群里元的阶只能为1阶、2阶和3阶，同构于S3的为一个
共轭类，即：
H
1
= {(1),(12),(13),(23),（123），（132）}，
H
2
= {(1),(12),(14),(24),（124），（142）}，
H
3
= {(1),(12),(15),(25),（125），（152）}，
H
4
= {(1),(13),(15),(35),（135），（153）}，
H
5
= {(1),(13),(14),(34),（143），（134）}，
H
6
= {(1),(14),(15),(45),（145），（154）}，
H
7
= {(1),(23),(25),(35),（235），（253）}，
H
8
= {(1),(24),(25),(45),（245），（254）}，
H
9
= {(1),(24),(23),(34),（234），（243）}，
H
10
= {(1),(34),(35),(45),（345），（354）}，
9
由2阶元，3阶元，和2×3循环置换构成一个共轭类，即：
H
11
={（1），（12）（345），（12）（354），（12），（345），（354）}，
H
12
={（1），（13）（245），（13）（254），（13），（245），（254）}，
H
13
={（1），（14）（235），（14）（253），（14），（235），（253）}，
H
14
={（1），（15）（234），（15）（243），（15），（234），（243）}，
H
15
={（1），（23）（145），（23）（154），（23），（145），（154）}，
H
16
={（1），（24）（135），（24）（153），（24），（135），（153）}，
H
17
={（1），（25）（134），（25）（143），（25），（134），（143）}，
H
18
={（1），（34）（125），（34）（152），（34），（125），（152）}，
H
19
={（1），（35）（124），（35）（142），（35），（124），（142）}，
H
20
={（1），（45）（123），（45）（132），（45），（123），（132）}。
由3阶元，和2×2循环置换构成一个共轭类，即：
H
21
={(1)，(12)(34)，(345),(354)，(12)(35)，(12)(45)}，
H
22
={(1)，(14)(23)，(235),(253)，(14)(25)，(14)(35)}，
H
23
={(1)，(15)(23)，(234),(243)，(15)(24)，(15)(34)}，
H
24
={(1)，(13)(24)，(245),(254)，(13)(25)，(13)(45)}，
H
25
={(1)，(12)(34)，(152),(125)，(15)(34)，(25)(34)}，
H
26
={(1)，(12)(45)，(123),(132)，(13)(45)，(23)(45)}，
H
27
={(1)，(12)(35)，(124),(142)，(14)(35)，(24)(35)}，
H
28
={(1)，(13)(25)，(134),(143)，(14)(25)，(25)(34)}，
H
29
={(1)，(13)(24)，(135),(153)，(15)(24)，(24)(35)}，
H
30
={(1)，(14)(23)，(145),(154)，(15)(23)，(23)(45)}。
所以S
5
的6阶子群共有30个。
S
5
的10阶子群：
若S
5
的10阶子群存在，则由Sylow定理，该10阶子群里必存在5阶子群，
且此5阶子群亦为S
5
的5阶子群，又因为S
5
的10阶子群里的元的阶只能为1
阶、2阶和5阶，所以经计算S
5
的10阶子群有6个，为一共轭类，即：
H
1
={(1),(12345),(13524),(14253),(15432),(12)(35),(13)(45),
10
(14)(23),(15)(24),(25)(34)},
H
2
={(1),(12354),(13425),(15243),(14532),(12)(34),(13)(45),
(15)(23),(14)(25),(24)(35)},
H
3
={(1),(12435),(14523),(13254),(15342),(12)(45),(14)(35),
(13)(24),(15)(23),(25)(34)},
H
4
={(1),(12453),(14325),(15234),(13542),(12)(34),(14)(35),
(15)(24),(13)(25),(23)(45)},
H
5
={(1),(12534),(15423),(13245),(14352),(12)(45),(15)(34),
(13)(25),(14)(23),(24)(35)},
H
6
={(1),(12543),(15324),(14235),(13452),(12)(35),(15)(34),
(14)(25),(13)(24),(23)(45)}。
S
5
的12阶子群：
由定理1，12阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和4阶，仿照S
4
的12
阶子群，经计算S
5
的12阶子群的一个共轭类：
H
1
={（1），（123），（132），（134），（143），（124），（142），（234），（243）,
（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，
H
2
={(1),(123),(125),(132),(135),(152),(153),(235)(253),(12)(35),
(13)(25),(15)(23)}，
H
3
={(1),(124),(125),(142),(145),(152),(154),(245),(254),(12)(45),
(14)(25),(15)(24)}，
H
4
={(1),(134),(135),(143),(145),(153),(154),(345),(354),(13)(45),
(14)(35),(15)(34)}，
H
5
={(1),(234),(235),(243),(245),(253),(254),(345),(354),(23)(45),
(24)(35),(25)(34)}，
另经计算，由2阶元、3阶元和2×3循环置换也可构成一共轭类子群：
H
6
={(1),(12)(345),(12)(354),(345),(354),(12)(34), (12)(35),
(12)(45),(12),(34),(35),(45)}，
H
7
={(1),(13)(245),(13)(254),(245),(254),(13)(24), (13)(25),
11
(13)(45),(13),(24),(25),(45)}，
H
8
={(1),(14)(235),(14)(253),(235),(253),(14)(23), (14)(25),
(14)(35),(14),(23),(25),(35)}，
H
9
={(1),(15)(234),(15)(243),(234),(243),(15)(23), (15)(24),
(15)(34),(15),(23),(24),(34)}，
H
10
={(1),(23)(145),(23)(154),(145),(154),(14)(23), (15)(23),
(23)(45),(23),(14),(15),(45)}，
H
11
={(1),(24)(135),(24)(153),(135),(153),(13)(24), (15)(24),
(24)(35),(24),(13),(15),(35)}，
H
12
={(1),(25)(134),(25)(134),(134),(143),(13)(25), (14)(25),
(25)(34),(25),(13),(14),(34)}，
H
13
={(1),(34)(125),(34)(152),(125),(152),(12)(34), (15)(34),
(25)(34),(12),(15),(25),(34)}，
H
14
={(1),(35)(124),(35)(142),(124),(142),(12)(35), (14)(35),
(24)(35),(12),(14),(24),(35)}，
H
15
={(1),(45)(123),(45)(132),(123),(132),(12)(45), (13)(45),
(23)(45),(12),(13),(23),(45)}。
S
5
的15阶子群：
由定理1，15阶子群里元的阶只能为1阶、3阶和5阶，若H为S
5
的15阶
子群，由Sylow定理，H必有3阶和5阶子群，此3阶子群和5阶子群必也是
S
5
的子群，因为任意3阶子群里的3阶元乘以5阶子群里的5阶元必会出现2
阶元，例如：3阶子群{(1),(123),(132)}与5阶子群{（1），（12345），（13524），
（14253），（15432）}中，（123）（13524）=（14）（25）为2阶元，此以H中不
含有2阶元矛盾，故S
5
不含有15阶子群。
S
5
的20阶子群：
由定理1，20阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、4阶和5阶，经计算，S
5
含有6
个20阶子群，为一共轭类：
12
H
1
={(1)，(12354)，(13425)，(15243)，(14532)，(1253)，(1324)，(1542)，
(1435)，(2345)，(15)(23)，(12)(34)，(14)(25)，(13)(45)，(24)(35)，(1352)，
(1423)，(1245)，(1534)，(2543)}，
H
2
={(1)，(12435)，(14523)，(13254)，(15342)， (1234)，(1425)，(1352)，
(1543)，(2453)，(13)(24)，(12)(45)，(15)(23)，(14)(35)，(25)(34)，(1432)，
(1524)，(1253)，(1345)，(2354)}，
H
3
={(1)，(12453)，(14325)，(15234)，(13542)， (1254)，(1423)，(1532)，
(1345)，(2435)，(15)(24)，(12)(34)，(13)(25)，(14)(35)，(23)(45)，(1452)，
(1324)，(1235)，(1543)，(2534)}，
H
4
={(1)，(12345)，(13524)，(14253)，(15432)， (1243)，(1325)，(1452)，
(1534)，(2354)，(14)(23)，(12)(35)，(15)(24)，(13)(45)，(25)(34)，(1342)，
(1523)，(1254)，(1435)，(2453)}，
H
5
={(1)，(12543)，(15324)，(14235)，(13452)， (1245)，(1523)，(1432)，
(1354)，(2534)，(14)(25)，(12)(35)，(13)(24)，(15)(34)，(23)(45)，(1542)，
(1325)，(1234)，(1453)，(2435)}，
H
6
={(12534)，(15423)，(13245)，(14352)，(1)，(1235)，(1524)，(1342)，
(1453)，(2543)，(13)(25)，(12)(45)，(14)(23)，(15)(34)，(24)(35)，(1532)，
(1425)，(1243)，(1354)，(2345)}。
S
5
的24阶子群：
由定理1，12阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和4阶，仿照S
4
的24
阶子群，S
5
有5个24阶子群，为一个共轭类：
H
1
={(1)，(12)，(13)，(14)，(23)，(24)，(34)，(12)(34)，(13)(24)，
(14)(23)，(123)，(132)，(124)，(142)，(134)，(143)，(234)，(243)，(1234)，
(1243)，(1432)，(1423)，(1324)，(1342)}，
H
2
={(1)，(12)，(13)，(15)，(23)，(25)，(35)，(12)(35)，(13)(25)，
(15)(23)，(123)，(132)，(125)，(152)，(135)，(153)，(235)，(253)，(1235)，
(1253)，(1532)，(1523)，(1325)，(1352)}，
H
3
={(1)，(12)，(14)，(15)，(24)，(25)，(45)，(12)(45)，(14)(25)，
13
(15)(24)，(124)，(142)，(125)，(152)，((145)，(154)，(245)，(254)，(1245)，
(1254)，(1542)，(1524)，(1425)，(1452)}，
H
4
={(1)，(13)，(14)，(15)，(34)，(35)，(45)，(13)(45)，(14)(35)，
(15)(34)，(134)，(143)，(135)，(153)，(145)，(154)，(345)，(354)，(1345)，
(1354)，(1543)，(1534)，(1435)，(1453)}，
H
5
={(1)，(23)，(24)，(25)，(34)，(35)，(45)，(23)(45)，(24)(35)，
(25)(34)，(234)，(243)，(235)，(253)，(245)，(254)，(345)，(354)，(2345)，
(2354)，(2543)，(2534)，(2435)，(2453)}。
S
5
的30阶子群：
由定理1，30阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、3阶和5阶，若H为S
5
的30阶子群，由Sylow定理，H必有2阶子群、3阶子群和5阶子群，此2阶
子群、3阶子群和5阶子群必也是S
5
的子群，因为任意2阶子群里的2阶元乘以
5阶子群里的5阶元必会出现4阶元，例如：2阶子群{（1），（12）}与5阶子群
{（1），（12345），（13524），（14253），（15432）}里，（12）（12345）=（1345）
为4阶元，此与H中不含有4阶元矛盾，故S
5
不含有30阶子群。
S
5
的40阶子群：
由定理1，40阶子群里元的阶只能为1阶、2阶、4阶和5阶，若H为S
5
的40阶子群，由Sylow定理，H必有2阶子群、4阶子群和5阶子群，此2阶
子群、4阶子群和5阶子群必也是S
5
的子群，因为任意3阶子群里的3阶元乘以
任意5阶子群里的5阶元必会出现3阶元，例如：3阶子群{(1),(123),(132)}
与5阶子群{（1），（12345），（13524），（14253），（15432）}中，（123）（13524）
=（354）为3阶元，此与H中不含有3阶元矛盾，故S
5
不含有40阶子群。
S
5
的60阶子群：
由定理1，60阶子群里元的阶为1阶、2阶、3阶、4阶和5阶，经计算，S
5
含有
1个60阶子群，为一共轭类：
H
1
={（1），（123)， (124)，(125)，(132)， (134)，(135)，(142)，(143)，
14
(145)， (152)，(153)， (154)，(234)，(235)，(243)，(245)， (253)， (254)，
(345)，(354), (12345)，(12354)，(12435)，(12453)，(12534)，(12543)，(13245)，
(13254)，(13425), (13452) ,(13524)，(13542)， (14235)，(14253)，(14325)，
(14352)，(14523)，(14532)，(15234)，(15243)，(15324)，(15342)，(15423)，
(15432)，(12)(34)，(12)(35)，(12)(45)，(13)(24)，(13)(25)，(13)(45)，
(14)(23), (14)(25)，(14)(35)，(15)(23), (15)(24), (15)(34),(23)(45)，
(24)(35)，(25)(34)}。
由正规子群的定义及定理6知S
5
的1阶子群，60阶子群和120阶子群为正
规子群。
15
16