2024年5月15日发(作者：析妙芙)

常微分方程习题 2.1

1.

dy

dx

 2xy

,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.

解：对原式进行变量分离得

2

1

2

x

dy

 2 xdx , 两边同时积分得： ln y



x

 c ,即 y  c

e

把 x  0, y  1代入得

y

c  1, 故它的特解为

y 

e

x

。

2

2.

y

dx  (x  1)dy  0,

并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.

解：对原式进行变量分离得：

2



1 1

1

1

dy,当y  0时，两边同时积分得；ln x  1   c,即y 

dx 

2

y

x  1

c  ln x  1

y

1

。

1  ln1  x

当y  0时显然也是原方程的解。当x  0, y  1时，代入式子得c  1,故特解是

y 

3

解：原式可化为：

dy 

1 

y



dx

xy 

x

3

y

2

2 2

1 1

2 22

两边积分得 ln1 

y

 ln x  ln1 

x

 ln c (c  0),即(1 

y

)(1 

x

)  c

x

2 2

1 

y

dy

1 

y

1 y 1

 • 显然 0,故分离变量得dy  dx

3

2

3

dx y

y

x



x 

1 

y

x

x

2 2

故原方程的解为（1 

y

）(1 

x

)  c

x

2

2

2

4：(1  x) ydx  (1  y)xdy  0

解：由y  0或x  0是方程的解，当xy  0时，变量分离

两边积分ln x  x  ln y  y  c,即ln xy  x  y  c,

故原方程的解为ln xy

 x  y  c; y  0; x  0.

1  x

x

dx 

1  y

y

dy  0

5 : ( y  x)dy  ( y 

y

x)dx  0

dy y  x

 , dy du

,  

 ,



解： 令 u y ux u x

dx dx

dx y  x x

du u  1 u  1 1

则u  x  , 变量分离，得： du  dx

2

dx u  1

x

 1

两边积分得：arctgu  ln(1  )   ln x  c。

u

2

1

2

u

2

dy

2

6：x  y 



x

y

dx

y dy du

解：令  u, y  ux,  u  x , 则原方程化为：

x dx dx

du

dx



x

2 2

1 1

(1 

u

)

, 分离变量得： du  sgn x • dx

x

x

2

1 

u



两边积分得：arcsin u  sgn x • ln x  c



y

代回原来变量，得arcsin  sgn x • ln x 



c

x

另外，

y



x

也是方程的解。

2

2

7：tgydx  ctgxdy  0

解：变量分离，得：ctgydy  tgxdx

两边积分得：ln sin y   ln cos x  c.

dy

8 :

 

e

dx

y

y 1

dy  

解：变量分离，得

y

3x

2

3x

 c

e

y

2

3

e

9 : x(ln x  ln y)dy  ydx  0

y y

解：方程可变为： ln • dy  dx  0

x x

y ln u

1

令u  , 则有： dx   d ln u

x x 1  ln u

y

代回原变量得：cy  1  ln 。

x

10 dy

x  y

： 

e

dx

解：变量分离

e

dy 

e

dx

两边积分

e



e

 c

y x

y x

2024年5月15日发(作者：析妙芙)

常微分方程习题 2.1

1.

dy

dx

 2xy

,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.

解：对原式进行变量分离得

2

1

2

x

dy

 2 xdx , 两边同时积分得： ln y



x

 c ,即 y  c

e

把 x  0, y  1代入得

y

c  1, 故它的特解为

y 

e

x

。

2

2.

y

dx  (x  1)dy  0,

并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.

解：对原式进行变量分离得：

2



1 1

1

1

dy,当y  0时，两边同时积分得；ln x  1   c,即y 

dx 

2

y

x  1

c  ln x  1

y

1

。

1  ln1  x

当y  0时显然也是原方程的解。当x  0, y  1时，代入式子得c  1,故特解是

y 

3

解：原式可化为：

dy 

1 

y



dx

xy 

x

3

y

2

2 2

1 1

2 22

两边积分得 ln1 

y

 ln x  ln1 

x

 ln c (c  0),即(1 

y

)(1 

x

)  c

x

2 2

1 

y

dy

1 

y

1 y 1

 • 显然 0,故分离变量得dy  dx

3

2

3

dx y

y

x



x 

1 

y

x

x

2 2

故原方程的解为（1 

y

）(1 

x

)  c

x

2

2

2

4：(1  x) ydx  (1  y)xdy  0

解：由y  0或x  0是方程的解，当xy  0时，变量分离

两边积分ln x  x  ln y  y  c,即ln xy  x  y  c,

故原方程的解为ln xy

 x  y  c; y  0; x  0.

1  x

x

dx 

1  y

y

dy  0

5 : ( y  x)dy  ( y 

y

x)dx  0

dy y  x

 , dy du

,  

 ,



解： 令 u y ux u x

dx dx

dx y  x x

du u  1 u  1 1

则u  x  , 变量分离，得： du  dx

2

dx u  1

x

 1

两边积分得：arctgu  ln(1  )   ln x  c。

u

2

1

2

u

2

dy

2

6：x  y 



x

y

dx

y dy du

解：令  u, y  ux,  u  x , 则原方程化为：

x dx dx

du

dx



x

2 2

1 1

(1 

u

)

, 分离变量得： du  sgn x • dx

x

x

2

1 

u



两边积分得：arcsin u  sgn x • ln x  c



y

代回原来变量，得arcsin  sgn x • ln x 



c

x

另外，

y



x

也是方程的解。

2

2

7：tgydx  ctgxdy  0

解：变量分离，得：ctgydy  tgxdx

两边积分得：ln sin y   ln cos x  c.

dy

8 :

 

e

dx

y

y 1

dy  

解：变量分离，得

y

3x

2

3x

 c

e

y

2

3

e

9 : x(ln x  ln y)dy  ydx  0

y y

解：方程可变为： ln • dy  dx  0

x x

y ln u

1

令u  , 则有： dx   d ln u

x x 1  ln u

y

代回原变量得：cy  1  ln 。

x

10 dy

x  y

： 

e

dx

解：变量分离

e

dy 

e

dx

两边积分

e



e

 c

y x

y x