2024年5月25日发(作者：镜安民)

第六讲 绝对值与一元一次方程

一、含绝对值的一次方程

1．含绝对值的一次方程的解法

（1）形如

axbc(a0)

型的绝对值方程的解法：

①当

c0

时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；

b

②当

c0

时，原方程变为

axb0

，即

axb0

，解得

x

a

；

cb

③当

c0

时，原方程变为

axbc

或

axbc

，解得

x

a

或

x

cb

a

．

（2）形如

axbcxd(ac0)

型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的非负性可知

cxd0

，求出

x

的取值范围；

②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程

axbcxd

和

axb(cxd)

；

③分别解方程

axbcxd

和

axb(cxd)

；

④将求得的解代入

cxd0

检验，舍去不合条件的解．

（3）形如

axbcxd(ac0)

型的绝对值方程的解法：

1

①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程

axbcxd

或

axb(cxd)

；

②分别解方程

axbcxd

和

axb(cxd)

．

（4）形如

xaxbc(ab)

型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的几何意义可知

xaxbab

；

②当

cab

时，此时方程无解；当

cab

时，此时方程的解为

axb

；当

c

；②当

xb

时，原方程的解为

x

ab

时，

． 分两种情况：①当

xa

时，原方程的解为

x

abc

2

abc

2

（5）形如

axbcxdexf(ac0)

型的绝对值方程的解法：

①找绝对值零点：令

axb0

，得

xx

1

，令

cxd0

得

xx

2

；

②零点分段讨论：不妨设

x

1

x

2

，将数轴分为三个区段，即①

xx

1

；②

x

1

xx

2

；③

xx

2

；

③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段

内的解．

（6）形如

axbcxdexf(a0)

型的绝对值方程的解法：

解法一：由内而外去绝对值符号：

按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符

2

合条件的解．

解法二：由外而内去绝对值符号：

①根据绝对值的非负性可知

exf0

，求出

x

的取值范围；

②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程

axbexf(cxd)

和

axb(exf)(cxd)

；

③解②中的两个绝对值方程．

二.例题讲解：

【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)

思路点拨 设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.

解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.

【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).

A.5 B.4 C.3 D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的

解题途径.

3

解:选B 提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表

示-7到1之间的偶数.

【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)

思路点拨 从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.

53

解:x=-

4

或x=

2

提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4

【例4】解下列方程:

(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)

(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨

论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意

义迅速求解.

解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;

当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;

当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.

4

综上知原方程的解为x=-5,-1,3.

(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出

数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.

【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行

讨论.

思路点拨 方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系

决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探

求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.

解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得

方程解的情况是:

5a

(1)当a>1时,原方程解为x=

2

;

(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;

(3)当a<1时,原方程无解.

习题训练

一、基础夯实

5

|x|

1.方程3(│x│-1)=

5

+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.

2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.

3.已知│x│=x+2,那么19x

99

+3x+27的值为________.

4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=

│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.

5.方程││x-2│-1│=2的解是________.

6.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.

7.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.

8.若0

9.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).

A.m-2001 B.-m-2001 C.m+2001 D.-m+2001

10.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有

两个解,则m、n、k的大小关系是( ).

A.m>n>k B.n>k>m C.k>m>n D.m>k>n

6

11.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.

A.0 B.1 C.2 D.大于2的自然数

12.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

13.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).

2

A.-2 B.0 C.

3

D.不存在

14.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).

A.不确定 B.无数个 C.2个 D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)

1

15.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-

2

|-1=0,则m的值是( ).

22

A.10或

5

B.10或-

5

22

C.-10或

5

D.-10或-

5

(2000年山东省竞赛题)

16.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).

7

A.20或-21 B.-20或21

C.-19或21 D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)

17.解下列方程:

(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;

(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.

18.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.

19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.

(“华杯赛”邀请赛试题)

20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?

21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.

(第15届江苏省竞赛题)

22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;

(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?

(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整

8

数x;如果不存在,说明理由.

9

2024年5月25日发(作者：镜安民)

第六讲 绝对值与一元一次方程

一、含绝对值的一次方程

1．含绝对值的一次方程的解法

（1）形如

axbc(a0)

型的绝对值方程的解法：

①当

c0

时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；

b

②当

c0

时，原方程变为

axb0

，即

axb0

，解得

x

a

；

cb

③当

c0

时，原方程变为

axbc

或

axbc

，解得

x

a

或

x

cb

a

．

（2）形如

axbcxd(ac0)

型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的非负性可知

cxd0

，求出

x

的取值范围；

②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程

axbcxd

和

axb(cxd)

；

③分别解方程

axbcxd

和

axb(cxd)

；

④将求得的解代入

cxd0

检验，舍去不合条件的解．

（3）形如

axbcxd(ac0)

型的绝对值方程的解法：

1

①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程

axbcxd

或

axb(cxd)

；

②分别解方程

axbcxd

和

axb(cxd)

．

（4）形如

xaxbc(ab)

型的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的几何意义可知

xaxbab

；

②当

cab

时，此时方程无解；当

cab

时，此时方程的解为

axb

；当

c

；②当

xb

时，原方程的解为

x

ab

时，

． 分两种情况：①当

xa

时，原方程的解为

x

abc

2

abc

2

（5）形如

axbcxdexf(ac0)

型的绝对值方程的解法：

①找绝对值零点：令

axb0

，得

xx

1

，令

cxd0

得

xx

2

；

②零点分段讨论：不妨设

x

1

x

2

，将数轴分为三个区段，即①

xx

1

；②

x

1

xx

2

；③

xx

2

；

③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段

内的解．

（6）形如

axbcxdexf(a0)

型的绝对值方程的解法：

解法一：由内而外去绝对值符号：

按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符

2

合条件的解．

解法二：由外而内去绝对值符号：

①根据绝对值的非负性可知

exf0

，求出

x

的取值范围；

②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程

axbexf(cxd)

和

axb(exf)(cxd)

；

③解②中的两个绝对值方程．

二.例题讲解：

【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)

思路点拨 设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.

解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.

【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).

A.5 B.4 C.3 D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的

解题途径.

3

解:选B 提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表

示-7到1之间的偶数.

【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)

思路点拨 从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.

53

解:x=-

4

或x=

2

提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4

【例4】解下列方程:

(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)

(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨

论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意

义迅速求解.

解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;

当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;

当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.

4

综上知原方程的解为x=-5,-1,3.

(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出

数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.

【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行

讨论.

思路点拨 方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系

决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探

求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.

解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得

方程解的情况是:

5a

(1)当a>1时,原方程解为x=

2

;

(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;

(3)当a<1时,原方程无解.

习题训练

一、基础夯实

5

|x|

1.方程3(│x│-1)=

5

+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.

2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.

3.已知│x│=x+2,那么19x

99

+3x+27的值为________.

4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=

│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.

5.方程││x-2│-1│=2的解是________.

6.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.

7.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.

8.若0

9.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).

A.m-2001 B.-m-2001 C.m+2001 D.-m+2001

10.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有

两个解,则m、n、k的大小关系是( ).

A.m>n>k B.n>k>m C.k>m>n D.m>k>n

6

11.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.

A.0 B.1 C.2 D.大于2的自然数

12.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).

A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个

13.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).

2

A.-2 B.0 C.

3

D.不存在

14.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).

A.不确定 B.无数个 C.2个 D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)

1

15.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-

2

|-1=0,则m的值是( ).

22

A.10或

5

B.10或-

5

22

C.-10或

5

D.-10或-

5

(2000年山东省竞赛题)

16.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).

7

A.20或-21 B.-20或21

C.-19或21 D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)

17.解下列方程:

(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;

(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.

18.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.

19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.

(“华杯赛”邀请赛试题)

20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?

21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.

(第15届江苏省竞赛题)

22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;

(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?

(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整

8

数x;如果不存在,说明理由.

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