2024年5月26日发(作者：米高澹)
第二章曲面论
§
1
曲面的概念
1.
求正螺面
7 ={ u
cosv
,u sinv, bv }
的坐标曲线
.
解
u-
曲线为
r={u
cosv
o
,u
sin v
o
,bv
o
}=
{
0,0
,
bv
°
} +
u {
cosv
o
,
sin v
°
,0}
，为曲线的直母线；
v-
曲
线为
?={
u
o
cosv
,
U
o
sinv,bv }
为圆柱螺线.
2
.证明双曲抛物面
r
={
a
(
u+v
)
, b
(
u-v
)
,2uv
}的坐标曲线就是它的直母线。
证
u-
曲线为
r={ a
(
u+
v
o
)
, b
(
u-
v
o
)
,2u
v
o
}={ a
v
°
, b
v
°
,0}+ u{a,b,2
v
o
}
表示过点
{ a
v
°
, b
v
°
,0}
以
{a,b,2
v
o
}
为方向向量的直线
；
v-
曲线为
r =
{
a (
u
o
+v
)
, b ( u
o
-v
)
,2 u
o
v
}
= {a
u
°
, bu
o
,0
}
+v{a,-b,2 u
o
}
表示过点
(a
u
o
, bu
o
,0)
以
｛a,-b,2 u
o
｝
为方向向量的直线
3.
求球面
r=
｛acos；：sin , a cos' sin , asi n；：｝上任意点的切平面和法线方程。
:
解 r、={—asin、：cos ；—asin ；sin「，acos ：} , r .：={—acos ； sin
:
, acos
L
cos ,0}
y
-a cos；：
z - a s in 9
x「a cos、： cos ‘
:
sin ‘
任意点的切平面方程为 -a sincos
a cos^ = 0
:
:
-asin 二 sin
-a cos二 sin
0
即
xcos : cos + ycos : sin + zsin
二
-a = 0
法线方程为
x - a cos、： cos
:
_ y - a cos：： sin
:
_ z - a sin
二
cos、： cos
：
cos、： sin ' sin
二
2 2
4
.求椭圆柱面 务•岭
=1
在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面
a b
2 2
解 椭圆柱面
2
xy
2
=1的参数方程为
x = cos
二，
y = asin
二，
z =
q - { -a sin、：, bcos、： ,0}
t ,
r
t
工｛0,0,1｝。所以切平面方程为:
y—bsi n9 z—t
x -
acos、：
bcos9 0 =0 ,即卩
x bcos 9 + y asin 9
—
a b = 0
-
0 1
asin、：
此方程与
t
无关，对于二的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 二的每一数值对应一条直母线，说明沿 每
一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
3
5
•证明曲面r =｛u,v,—｝的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数
UV
3 3
证 r
u
二{1,0,-刖 ，r
v
二｛0,1,-毛｝。切平面方程
u v 为:
与三坐标轴的交点分别为
(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,
3
3a
)
于是，四面体的体积为:
uv
2
V
4
3|u|3|v|
^
9a
3
是常数。
§2
曲面的第一基本形式
1.
求双曲抛物面
r
={
a
(
u+v
)
, b
(
u-v
)
,2uv
}的第一基本形式 解 r
u
={a,b,2v}, g 二{a,-b,2u}, E =
打=a
2
b
2
4v
2
,
F = r
u
r
v
= a
- b
4uv, G = r
v
二 a
b
4u
,
1 =
(a
b
4v)du
2
(a
-b
4uv)dudv (a
b
4u)dv。
2
.求正螺面
r ={ u
cosv
,u sinv, bv }
的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直
2222222222
222222
2 '
■
解 r
u
={cosv,sin v,0}, r
v
二{—usin v, u cosv, b}， E =1， F
=
du
2
"2 2 2
r
v
=0， G=r
v
=u b ，二
I
(u
2
b
2
)dv
2
，：F=0，.
・.坐标曲线互相垂直。
3
.在第一基本形式为
I =
du
■ sinh
udv的曲面上，求方程为
u = v
的曲线的弧长。
222
2024年5月26日发(作者：米高澹)
第二章曲面论
§
1
曲面的概念
1.
求正螺面
7 ={ u
cosv
,u sinv, bv }
的坐标曲线
.
解
u-
曲线为
r={u
cosv
o
,u
sin v
o
,bv
o
}=
{
0,0
,
bv
°
} +
u {
cosv
o
,
sin v
°
,0}
，为曲线的直母线；
v-
曲
线为
?={
u
o
cosv
,
U
o
sinv,bv }
为圆柱螺线.
2
.证明双曲抛物面
r
={
a
(
u+v
)
, b
(
u-v
)
,2uv
}的坐标曲线就是它的直母线。
证
u-
曲线为
r={ a
(
u+
v
o
)
, b
(
u-
v
o
)
,2u
v
o
}={ a
v
°
, b
v
°
,0}+ u{a,b,2
v
o
}
表示过点
{ a
v
°
, b
v
°
,0}
以
{a,b,2
v
o
}
为方向向量的直线
；
v-
曲线为
r =
{
a (
u
o
+v
)
, b ( u
o
-v
)
,2 u
o
v
}
= {a
u
°
, bu
o
,0
}
+v{a,-b,2 u
o
}
表示过点
(a
u
o
, bu
o
,0)
以
｛a,-b,2 u
o
｝
为方向向量的直线
3.
求球面
r=
｛acos；：sin , a cos' sin , asi n；：｝上任意点的切平面和法线方程。
:
解 r、={—asin、：cos ；—asin ；sin「，acos ：} , r .：={—acos ； sin
:
, acos
L
cos ,0}
y
-a cos；：
z - a s in 9
x「a cos、： cos ‘
:
sin ‘
任意点的切平面方程为 -a sincos
a cos^ = 0
:
:
-asin 二 sin
-a cos二 sin
0
即
xcos : cos + ycos : sin + zsin
二
-a = 0
法线方程为
x - a cos、： cos
:
_ y - a cos：： sin
:
_ z - a sin
二
cos、： cos
：
cos、： sin ' sin
二
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4
.求椭圆柱面 务•岭
=1
在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面
a b
2 2
解 椭圆柱面
2
xy
2
=1的参数方程为
x = cos
二，
y = asin
二，
z =
q - { -a sin、：, bcos、： ,0}
t ,
r
t
工｛0,0,1｝。所以切平面方程为:
y—bsi n9 z—t
x -
acos、：
bcos9 0 =0 ,即卩
x bcos 9 + y asin 9
—
a b = 0
-
0 1
asin、：
此方程与
t
无关，对于二的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而 二的每一数值对应一条直母线，说明沿 每
一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
3
5
•证明曲面r =｛u,v,—｝的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数
UV
3 3
证 r
u
二{1,0,-刖 ，r
v
二｛0,1,-毛｝。切平面方程
u v 为:
与三坐标轴的交点分别为
(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,
3
3a
)
于是，四面体的体积为:
uv
2
V
4
3|u|3|v|
^
9a
3
是常数。
§2
曲面的第一基本形式
1.
求双曲抛物面
r
={
a
(
u+v
)
, b
(
u-v
)
,2uv
}的第一基本形式 解 r
u
={a,b,2v}, g 二{a,-b,2u}, E =
打=a
2
b
2
4v
2
,
F = r
u
r
v
= a
- b
4uv, G = r
v
二 a
b
4u
,
1 =
(a
b
4v)du
2
(a
-b
4uv)dudv (a
b
4u)dv。
2
.求正螺面
r ={ u
cosv
,u sinv, bv }
的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直
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222222
2 '
■
解 r
u
={cosv,sin v,0}, r
v
二{—usin v, u cosv, b}， E =1， F
=
du
2
"2 2 2
r
v
=0， G=r
v
=u b ，二
I
(u
2
b
2
)dv
2
，：F=0，.
・.坐标曲线互相垂直。
3
.在第一基本形式为
I =
du
■ sinh
udv的曲面上，求方程为
u = v
的曲线的弧长。
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