2024年6月5日发(作者:睢和韵)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
【自主学习】
一.复数的有关概念
1.复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做 ,满足i
2
= .
2.复数集:全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.
3.复数的表示方法
复数通常用字母z表示,即 ,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
二.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
a+bi与c+di相等当且仅当 且 .
三.复数的分类
实数(b=0),
纯虚数a=0,
1.复数z=a+bi(a,b∈R)
虚数(b≠0)
非纯虚数a≠0W.
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( )(2)复数z
1
=3i,z
2
=2i,则z
1
>z
2
.( )
(3)若b为实数,则z= bi必为纯虚数.( )(4)实数集与复数集的交集是实数集.( )
2.若复数(a+1)+(a
2
-1)i(a∈R)是实数,则a=( )
A.-1 B.1 C.±1 D.不存在
【经典例题】
题型一 复数的概念
例1 写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数:
14
4, 2-3i,-
2
+
3
i, 5+2i, 6i.
【训练】1若a∈R,i为虚数单位,则“a=1”是“复数(a-1)(a+2)+(a+3)i为纯虚数”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
1
题型二 复数的分类
例2 实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数。
m
2
+m-6
2
【跟踪训练】2当实数m为何值时,复数z=+(m-2m)i:为实数?(2)为虚数?
m
(3)为纯虚数?
题型三 复数相等
例3 (1)若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y的值;
(2)已知a
2
+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立,求实数a的值。
a
【跟踪训练】3若关于x的方程3x
2
-
2
x-1=(10-x-2x
2
)i有实根,求实数a的值.
2
2024年6月5日发(作者:睢和韵)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
【自主学习】
一.复数的有关概念
1.复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做 ,满足i
2
= .
2.复数集:全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.
3.复数的表示方法
复数通常用字母z表示,即 ,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.
二.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:
a+bi与c+di相等当且仅当 且 .
三.复数的分类
实数(b=0),
纯虚数a=0,
1.复数z=a+bi(a,b∈R)
虚数(b≠0)
非纯虚数a≠0W.
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( )(2)复数z
1
=3i,z
2
=2i,则z
1
>z
2
.( )
(3)若b为实数,则z= bi必为纯虚数.( )(4)实数集与复数集的交集是实数集.( )
2.若复数(a+1)+(a
2
-1)i(a∈R)是实数,则a=( )
A.-1 B.1 C.±1 D.不存在
【经典例题】
题型一 复数的概念
例1 写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数:
14
4, 2-3i,-
2
+
3
i, 5+2i, 6i.
【训练】1若a∈R,i为虚数单位,则“a=1”是“复数(a-1)(a+2)+(a+3)i为纯虚数”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
1
题型二 复数的分类
例2 实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数。
m
2
+m-6
2
【跟踪训练】2当实数m为何值时,复数z=+(m-2m)i:为实数?(2)为虚数?
m
(3)为纯虚数?
题型三 复数相等
例3 (1)若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y的值;
(2)已知a
2
+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立,求实数a的值。
a
【跟踪训练】3若关于x的方程3x
2
-
2
x-1=(10-x-2x
2
)i有实根,求实数a的值.
2