2024年6月15日发(作者：燕晟睿)
第3讲 基本不等式及其应用
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是( )
1
x
2
＋
4
>lg x(x>0)
C.x
2
＋1≥2|x|(x∈R)
1
x＋
sin x
≥2(x≠kπ，k∈Z)
D.
1
＜1(x∈R)
x
2
＋1
1
11
解析 当x＞0时，x
2
＋
4
≥2·x·
2
＝x，所以lg
x
2
＋
4
≥lg x(x＞0)，故选项A
不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠k
π，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项
C正确；当x＝0时，有
答案 C
2.若2
x
＋2
y
＝1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0，2] B.[－2，0]
D.(－∞，－2]
1
＝1，故选项D不正确.
x
2
＋1
C.[－2，＋∞)
1
解析 22
x
＋
y
≤2
x
＋2
y
＝1，所以2
x
＋
y
≤
4
，即2
x
＋
y
≤2
－
2
，所以x＋y≤－2.
答案 D
b
4a
3.(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则
1＋
a
·
1＋
b
的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
b4a
a
·
b
＝9，当
b
4a
b4a
解析 ∵a，b都是正数，∴
1＋
a
1＋
b
＝5＋
a
＋
b
≥5＋2
且仅当b＝2a>0时取等号.故选C.
答案 C
4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
11
A.
ab
≤
4
≥2
11
B.
a
＋
b
≤1
D.a
2
＋b
2
≥8
1
解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，
ab
≥
111
a＋b
4
222
，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a＋b＝(a＋b)
4ababab
－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.
答案 D
12
5.(2015·湖南卷)若实数a，b满足
a
＋
b
＝ab，则ab的最小值为( )
A.2 B.2 C.22 D.4
12
解析 依题意知a＞0，b＞0，则
a
＋
b
≥2
2a时，“＝”成立.
22212
ab
＝
ab
，当且仅当
a
＝
b
，即b＝
1222
因为
a
＋
b
＝ab，所以ab≥，即ab≥22，
ab
所以ab的最小值为22，故选C.
答案 C
6.若正数x，y满足4x
2
＋9y
2
＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
4
A.
3
5
B.
3
C.2
5
D.
4
解析 由x＞0，y＞0，得4x
2
＋9y
2
＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时
等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案 C
1112
7.(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝
a
＋
b
，则
a
＋
b
的最小值为( )
A.4 B.22 C.8 D.16
11
a＋b
解析 由a>0，b>0，a＋b＝
a
＋
b
＝
ab
，得ab＝1，
12
则
a
＋
b
≥2
答案 B
a
8.(2017·福州六校联考)已知函数f(x)＝x＋
x
＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，
则a的值是( )
1
A.
2
3
B.
2
C.1 D.2
12122
·＝22.当且仅当＝，即a＝
abab2
，b＝2时等号成立.故选B.
a
解析 由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋
x
＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a
a
时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋
x
＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等
2－2a＝0，
号.所以
解得a＝1.
2a＋2＝4，
答案 C
二、填空题
9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，
解得ab≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
11
10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则
m
＋
n
的
最大值为________.
解析 ∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
nm
11
11
∴
m
＋
n
＝－(m＋n)
m
＋
n
＝－
2＋
m
＋
n
≤－2－2
111
＝n＝－
2
时，
m
＋
n
取得最大值－4.
答案 －4
x
11.若对于任意x＞0，
2
≤a恒成立，则a的取值范围是________.
x＋3x＋1
解析
x
＝
x
2
＋3x＋1
1
，
3＋x＋
x
1
nm
当且仅当m
m
·
n
＝－4，
1
因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
x
111
则≤＝
1
3＋2
5
，
3＋x＋
x
x11
即
2
的最大值为
5
，故a≥
5
.
x＋3x＋1
1
答案
5
，＋∞
12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂
和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂
和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和
仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________
万元.
解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y
1
万元，仓储费为y
2
万元，
k
2
则y
1
＝k
1
x(k
1
≠0)，y
2
＝
x
(k
2
≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
20
∴k
1
＝5，k
2
＝20，∴运费与仓储费之和为
5x＋
x
万元，
20
∵5x＋≥2
x
5x×
2020
＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之
xx
和最小，为20万元.
答案 2 20
31m
13.已知a>0，b>0，若不等式
a
＋
b
≥恒成立，则m的最大值为( )
a＋3b
A.9 B.12 C.18 D.24
31m
31
解析 因为a>0，b>0，不等式
a
＋
b
≥恒成立，所以m≤
（a＋3b）
a
＋
b
a＋3b
9ba
31
a
＋
b
＝6＋＋≥6＋2，因为(a＋3b)·
ab
min
取等号，所以m的最大值为12.
答案 B
14.(2017·石家庄调研)设等差数列{a
n
}的公差是d，其前n项和是S
n
，若a
1
＝d
＝1，则
9
A.
2
1
C.22＋
2
S
n
＋8
的最小值是( )
a
n
7
B.
2
1
D.22－
2
n（n＋1）
.
2
9ba
a
·
b
＝12，当且仅当a＝3b时
解析 易知a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝n，S
n
＝
n（n＋1）
＋8
2
S
n
＋8
16
1
n＋
n
＋1
∴
a
＝＝
n2
n
1
≥
2
2
16
9
n·
n
＋1
＝
2
，当且仅当n＝4时取等号，
S
n
＋8
9
因此
a
的最小值为
2
.
n
答案 A
15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)
2
＋(y
＋1)
2
＝8上，则ab的最大值为________.
解析 由题意知a>0，b>0，且(a＋1)
2
＋(b＋1)
2
＝8，化简得a
2
＋b
2
＋2(a＋b)＝
6，则6≥2ab＋4ab(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝ab(t>0)，则t
2
＋2t－3≤0，
解得0 答案 1 19 16.正数a，b满足 a ＋ b ＝1，若不等式a＋b≥－x 2 ＋4x＋18－m对任意实数x恒 成立，则实数m的取值范围是________. 19b9a 19 ＋ 解析 因为a＞0，b＞0， a ＋ b ＝1，所以a＋b＝(a＋b) ab ＝10＋ a ＋ b ≥10 ＋29＝16， 由题意，得16≥－x 2 ＋4x＋18－m，即x 2 －4x－2≥－m对任意实数x恒成立. 又x 2 －4x－2＝(x－2) 2 －6，所以x 2 －4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即 m≥6. 答案 [6，＋∞)
2024年6月15日发(作者：燕晟睿)
第3讲 基本不等式及其应用
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是( )
1
x
2
＋
4
>lg x(x>0)
C.x
2
＋1≥2|x|(x∈R)
1
x＋
sin x
≥2(x≠kπ，k∈Z)
D.
1
＜1(x∈R)
x
2
＋1
1
11
解析 当x＞0时，x
2
＋
4
≥2·x·
2
＝x，所以lg
x
2
＋
4
≥lg x(x＞0)，故选项A
不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠k
π，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项
C正确；当x＝0时，有
答案 C
2.若2
x
＋2
y
＝1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0，2] B.[－2，0]
D.(－∞，－2]
1
＝1，故选项D不正确.
x
2
＋1
C.[－2，＋∞)
1
解析 22
x
＋
y
≤2
x
＋2
y
＝1，所以2
x
＋
y
≤
4
，即2
x
＋
y
≤2
－
2
，所以x＋y≤－2.
答案 D
b
4a
3.(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则
1＋
a
·
1＋
b
的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
b4a
a
·
b
＝9，当
b
4a
b4a
解析 ∵a，b都是正数，∴
1＋
a
1＋
b
＝5＋
a
＋
b
≥5＋2
且仅当b＝2a>0时取等号.故选C.
答案 C
4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
11
A.
ab
≤
4
≥2
11
B.
a
＋
b
≤1
D.a
2
＋b
2
≥8
1
解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，
ab
≥
111
a＋b
4
222
，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a＋b＝(a＋b)
4ababab
－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.
答案 D
12
5.(2015·湖南卷)若实数a，b满足
a
＋
b
＝ab，则ab的最小值为( )
A.2 B.2 C.22 D.4
12
解析 依题意知a＞0，b＞0，则
a
＋
b
≥2
2a时，“＝”成立.
22212
ab
＝
ab
，当且仅当
a
＝
b
，即b＝
1222
因为
a
＋
b
＝ab，所以ab≥，即ab≥22，
ab
所以ab的最小值为22，故选C.
答案 C
6.若正数x，y满足4x
2
＋9y
2
＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
4
A.
3
5
B.
3
C.2
5
D.
4
解析 由x＞0，y＞0，得4x
2
＋9y
2
＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时
等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案 C
1112
7.(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝
a
＋
b
，则
a
＋
b
的最小值为( )
A.4 B.22 C.8 D.16
11
a＋b
解析 由a>0，b>0，a＋b＝
a
＋
b
＝
ab
，得ab＝1，
12
则
a
＋
b
≥2
答案 B
a
8.(2017·福州六校联考)已知函数f(x)＝x＋
x
＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，
则a的值是( )
1
A.
2
3
B.
2
C.1 D.2
12122
·＝22.当且仅当＝，即a＝
abab2
，b＝2时等号成立.故选B.
a
解析 由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋
x
＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a
a
时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋
x
＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等
2－2a＝0，
号.所以
解得a＝1.
2a＋2＝4，
答案 C
二、填空题
9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，
解得ab≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
11
10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则
m
＋
n
的
最大值为________.
解析 ∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
nm
11
11
∴
m
＋
n
＝－(m＋n)
m
＋
n
＝－
2＋
m
＋
n
≤－2－2
111
＝n＝－
2
时，
m
＋
n
取得最大值－4.
答案 －4
x
11.若对于任意x＞0，
2
≤a恒成立，则a的取值范围是________.
x＋3x＋1
解析
x
＝
x
2
＋3x＋1
1
，
3＋x＋
x
1
nm
当且仅当m
m
·
n
＝－4，
1
因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
x
111
则≤＝
1
3＋2
5
，
3＋x＋
x
x11
即
2
的最大值为
5
，故a≥
5
.
x＋3x＋1
1
答案
5
，＋∞
12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂
和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂
和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和
仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________
万元.
解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y
1
万元，仓储费为y
2
万元，
k
2
则y
1
＝k
1
x(k
1
≠0)，y
2
＝
x
(k
2
≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
20
∴k
1
＝5，k
2
＝20，∴运费与仓储费之和为
5x＋
x
万元，
20
∵5x＋≥2
x
5x×
2020
＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之
xx
和最小，为20万元.
答案 2 20
31m
13.已知a>0，b>0，若不等式
a
＋
b
≥恒成立，则m的最大值为( )
a＋3b
A.9 B.12 C.18 D.24
31m
31
解析 因为a>0，b>0，不等式
a
＋
b
≥恒成立，所以m≤
（a＋3b）
a
＋
b
a＋3b
9ba
31
a
＋
b
＝6＋＋≥6＋2，因为(a＋3b)·
ab
min
取等号，所以m的最大值为12.
答案 B
14.(2017·石家庄调研)设等差数列{a
n
}的公差是d，其前n项和是S
n
，若a
1
＝d
＝1，则
9
A.
2
1
C.22＋
2
S
n
＋8
的最小值是( )
a
n
7
B.
2
1
D.22－
2
n（n＋1）
.
2
9ba
a
·
b
＝12，当且仅当a＝3b时
解析 易知a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝n，S
n
＝
n（n＋1）
＋8
2
S
n
＋8
16
1
n＋
n
＋1
∴
a
＝＝
n2
n
1
≥
2
2
16
9
n·
n
＋1
＝
2
，当且仅当n＝4时取等号，
S
n
＋8
9
因此
a
的最小值为
2
.
n
答案 A
15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)
2
＋(y
＋1)
2
＝8上，则ab的最大值为________.
解析 由题意知a>0，b>0，且(a＋1)
2
＋(b＋1)
2
＝8，化简得a
2
＋b
2
＋2(a＋b)＝
6，则6≥2ab＋4ab(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝ab(t>0)，则t
2
＋2t－3≤0，
解得0 答案 1 19 16.正数a，b满足 a ＋ b ＝1，若不等式a＋b≥－x 2 ＋4x＋18－m对任意实数x恒 成立，则实数m的取值范围是________. 19b9a 19 ＋ 解析 因为a＞0，b＞0， a ＋ b ＝1，所以a＋b＝(a＋b) ab ＝10＋ a ＋ b ≥10 ＋29＝16， 由题意，得16≥－x 2 ＋4x＋18－m，即x 2 －4x－2≥－m对任意实数x恒成立. 又x 2 －4x－2＝(x－2) 2 －6，所以x 2 －4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即 m≥6. 答案 [6，＋∞)