2024年6月5日发(作者：法凯乐)

第2讲复数方程的根

知识精讲

1.复数的平方根：

在复数集C内，如果

abi,cdi(a,b,c,dR)

满足：

(

abi

)

2

cdi

则称

abi

是

cdi

的一个平方根.

2.复数的立方根：

如果复数

z

1

,z

2

满足

z

1

z

2

，则称

z

1

是z

2

的立方根；用待定系数法，依据复数相等条件求解。

3.-1的平方根为

i

1的立方根有

1,

3

1313



i

,

i

。

2222

记





13

1

i

，则：



,



2

,1

都是1的立方根；

1









2



0,



,1







；

22



实系数一元二次方程在复数集C中解的情况:

设一元二次方程

ax

2

bxc0(a、b、cR且a0)

,



b



b

2



4

ac

１、当

b4ac0

时，方程有两个不相等的实数根，

x



2

a

2

２、当

b4ac0

时，方程有两个不相等的实数根，

x



2

2

b

2

a

b

4

ac



b

2

3、当

b4ac0

时，方程有两个不等的虚数根，

x



i

2

a

2

a

说明：

1、实系数一元二次方程

axbxc0(a0)

在复数集中恒有解；

2、若实系数一元二次方

axbxc0(a0)

在复数集中有虚根，则虚根成对出现(互为共轭虚数)；

3、根与系数的关系依然适用，即不论



的正负，恒有

x

1

x

2



1

/

9

2

2

bc

,

x

1

x

2



；

aa

4、对于任意二次三项式都有

axbxca(xx

1

)(xx

2

)

，

(a0)

，其中

x

1

,x

2

是方程

axbxc0

的二根。

5、两个虚数共轭的充要条件是两个虚数的和、积都是实数.

2

2

注：复系数一元二次方程根与系数的关系依然适用，但不能根据判别式判断解的情况，且虚根通常也不是

成对出现（非共轭），通常利用复数相等的方法来求解。

例题解析

设

zC

，且

z



3



4i

，求

z

。

2

1.

2.求下列复数的平方根

(1)724i(2)4i

3.

利用1的立方根，求复数64的立方根

4.若





13

i

,则等于



4





2

1

(

22

)

2

/

9

A．

1

B．

0

C．

33i

D．

13i

5.若复数z满足方程

z20,则z

等于

A．

22i

C．

22

B．

22i

D．

22

23

（）

6.求的平方根。

7.已知

xx

1



0

，求

x

230

x

40

x

50

的值；

8.在复数范围内分解因式：

(1)x9;(2)xi;(3)x2x3;(4)xi

4223

3

/

9

9.计算：

10.在复数集上，解以下一元二次方程

(1)

x10

(3)

2

(2)

xx10

(4)

2x4x50

2

2

4x

2

90

3

(5)

x10

11.若关于

x

的一元二次方程

x2kxk0(kR)

有虚根，则实数

k

的取值范围是

2

.

12.已知方程

xaxb0(a,bR)

的一个根为

13i,

求

a,b

的值.

2

13.已知关于的实系数方程

xkxk3k0

有一模为1的虚根，求实数

k

.

22

4

/

9

14.已知方程

xpx10(pR)

的两根为

x

1

、x

2

，若

x

1

-x

2

1

，求实数p的值。

2

15.

关于x的方程2x

2

3axa

2

a0至少有一个模为1的根，试确定实数a的值。

16.设



、



是实系数方程

axbxc0(a0)

的两根，



是虚数且

2



2

是实数，求



的值。





.

17.（1）计算：

iiii

232005

（2）求和：

1















232012

18.已知

x

1

与

x

2

是方程:

axbxc0(a0)

在复数集中的两根，则下列等式成立的是（）

(A)

x

1

与

x

2

共轭

(C)

x

1



x

2



(B)

b4ac0

(D)

|x

1

x

2

|

=

(x

1

x

2

)4x

1

x

2

5

/

9

2

2

2

bc

,

x

1

x

2



,

aa

课后作业

1.判断下列命题的真假，并说明理由；

2

(1)在复数范围内，方程

axbxc0(a,b,cR

，且

a0)

总有两个根．（

(2)若

12i

是方程

xpxq0

的一个根，则这个方程的另一个根是

12i

．（

(3)若方程

xpxq0

有两个共轭虚根，则

p

、

q

均为实数．（

2

2

）

）

）

2.求方程

x2ix50

的解．

2

3.复数

9

的平方根是（）

A

．

3i

B

．

3iC

．

3i

D

．不存在

4.

34i

的平方根是、。

5.在复数范围内解方程

x



8i

2

6.求

1630i

的平方根；

7.设





13

i

，则集合A={

x|x





k







k

(k



Z)

}中元素的个数是

22

6

/

9

。

2024年6月5日发(作者：法凯乐)

第2讲复数方程的根

知识精讲

1.复数的平方根：

在复数集C内，如果

abi,cdi(a,b,c,dR)

满足：

(

abi

)

2

cdi

则称

abi

是

cdi

的一个平方根.

2.复数的立方根：

如果复数

z

1

,z

2

满足

z

1

z

2

，则称

z

1

是z

2

的立方根；用待定系数法，依据复数相等条件求解。

3.-1的平方根为

i

1的立方根有

1,

3

1313



i

,

i

。

2222

记





13

1

i

，则：



,



2

,1

都是1的立方根；

1









2



0,



,1







；

22



实系数一元二次方程在复数集C中解的情况:

设一元二次方程

ax

2

bxc0(a、b、cR且a0)

,



b



b

2



4

ac

１、当

b4ac0

时，方程有两个不相等的实数根，

x



2

a

2

２、当

b4ac0

时，方程有两个不相等的实数根，

x



2

2

b

2

a

b

4

ac



b

2

3、当

b4ac0

时，方程有两个不等的虚数根，

x



i

2

a

2

a

说明：

1、实系数一元二次方程

axbxc0(a0)

在复数集中恒有解；

2、若实系数一元二次方

axbxc0(a0)

在复数集中有虚根，则虚根成对出现(互为共轭虚数)；

3、根与系数的关系依然适用，即不论



的正负，恒有

x

1

x

2



1

/

9

2

2

bc

,

x

1

x

2



；

aa

4、对于任意二次三项式都有

axbxca(xx

1

)(xx

2

)

，

(a0)

，其中

x

1

,x

2

是方程

axbxc0

的二根。

5、两个虚数共轭的充要条件是两个虚数的和、积都是实数.

2

2

注：复系数一元二次方程根与系数的关系依然适用，但不能根据判别式判断解的情况，且虚根通常也不是

成对出现（非共轭），通常利用复数相等的方法来求解。

例题解析

设

zC

，且

z



3



4i

，求

z

。

2

1.

2.求下列复数的平方根

(1)724i(2)4i

3.

利用1的立方根，求复数64的立方根

4.若





13

i

,则等于



4





2

1

(

22

)

2

/

9

A．

1

B．

0

C．

33i

D．

13i

5.若复数z满足方程

z20,则z

等于

A．

22i

C．

22

B．

22i

D．

22

23

（）

6.求的平方根。

7.已知

xx

1



0

，求

x

230

x

40

x

50

的值；

8.在复数范围内分解因式：

(1)x9;(2)xi;(3)x2x3;(4)xi

4223

3

/

9

9.计算：

10.在复数集上，解以下一元二次方程

(1)

x10

(3)

2

(2)

xx10

(4)

2x4x50

2

2

4x

2

90

3

(5)

x10

11.若关于

x

的一元二次方程

x2kxk0(kR)

有虚根，则实数

k

的取值范围是

2

.

12.已知方程

xaxb0(a,bR)

的一个根为

13i,

求

a,b

的值.

2

13.已知关于的实系数方程

xkxk3k0

有一模为1的虚根，求实数

k

.

22

4

/

9

14.已知方程

xpx10(pR)

的两根为

x

1

、x

2

，若

x

1

-x

2

1

，求实数p的值。

2

15.

关于x的方程2x

2

3axa

2

a0至少有一个模为1的根，试确定实数a的值。

16.设



、



是实系数方程

axbxc0(a0)

的两根，



是虚数且

2



2

是实数，求



的值。





.

17.（1）计算：

iiii

232005

（2）求和：

1















232012

18.已知

x

1

与

x

2

是方程:

axbxc0(a0)

在复数集中的两根，则下列等式成立的是（）

(A)

x

1

与

x

2

共轭

(C)

x

1



x

2



(B)

b4ac0

(D)

|x

1

x

2

|

=

(x

1

x

2

)4x

1

x

2

5

/

9

2

2

2

bc

,

x

1

x

2



,

aa

课后作业

1.判断下列命题的真假，并说明理由；

2

(1)在复数范围内，方程

axbxc0(a,b,cR

，且

a0)

总有两个根．（

(2)若

12i

是方程

xpxq0

的一个根，则这个方程的另一个根是

12i

．（

(3)若方程

xpxq0

有两个共轭虚根，则

p

、

q

均为实数．（

2

2

）

）

）

2.求方程

x2ix50

的解．

2

3.复数

9

的平方根是（）

A

．

3i

B

．

3iC

．

3i

D

．不存在

4.

34i

的平方根是、。

5.在复数范围内解方程

x



8i

2

6.求

1630i

的平方根；

7.设





13

i

，则集合A={

x|x





k







k

(k



Z)

}中元素的个数是

22

6

/

9

。