2024年6月1日发(作者：少盼晴)

求二次函数解析式的常用方法

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

一、二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：y=ax

2

+bx+c (a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－h)

2

+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：y=a(x－x

1

)(x－x

2

) (a≠0)，其中x

1

,x

2

是抛物线与x轴的

交点的横坐标。

二、求二次函数解析式的方法.

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当

的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设

交点式。

三、探究问题，典例指津：

例1、已知二次函数的图象经过点

(1,5),(0,4)

和

(1,1)

．求这个二次函数

的解析式．

分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c (a

≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c (a≠0)

2

2

点(h,k)为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)

2

－1 (a≠0)

又抛物线与

y

轴交于点

(0,3)

。∴a(0－4)

2

－1=3 ∴a=

∴这个二次函数的解析式为y=

1

4

11

(x－4)

2

－1，即y=x

2

－2x+3。

44

例3 已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求

二次函数的解析式．

分析：由A、B两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x轴的交点．

解 设二次函数的解析式为

ya(xx

1

)(xx

2

),

把x

1

2,x

2

1代入,得ya(x2)(x1).

3

解得a.

2

再把点C（1，-3）的坐标代入，得－3＝a（1－2）（1＋1），

3

故所求解析式为y(x2)(x1).

2

点评：上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．

练习1：

1、已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的

2

故所求函数解析式为y2x3x4.

解析式．



abc5



a2



依题意得：



c4

解这个方程组得：



b3



c4



abc1





∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4。

例2、已知抛物线

yaxbxc

的顶点坐标为

(4,1)

，与

y

轴交于点

2

2、已知抛物线经过三点A (2,-6),B (3,-8),C (6,10),求它的解析式。

2

y= 2x－12x +10

3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的

解析式。） y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2。

4、 已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函

2

故所求二次函数的解析式为y2(x2)3.

数的解析式．

5、已知抛物线的顶点坐标为A( 2, 8 ),且经过点B( 5 ,—1 ),求抛物线的

2

解析式。 y=—x + 4x + 4

6、已知二次函数的图象与X轴交于A(－3,0), B(1,0),且经过点C(2,5),求

2

抛物线的解析式. y=x ＋2x＋2

7、已知抛物线的顶点坐标为

(2,1)

，与

y

轴交于点

(0,5)

，求这条抛物线的

2

2

(0,3)

，求这条抛物线的解析式。

2

分析：此题给出抛物线

yaxbxc

的顶点坐标为

(4,1)

，最好抛开题

2

目给出的

yaxbxc

，重新设顶点式y=a(x－h)+k (a≠0)，其中

2

解析式。 y=(x－2)+1，即y=x－4x+5。

1

22

四、发散思维，提升能力

例4 已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直

线x＝3．求这个二次函数的解析式．

思路启迪一

已知对称轴是直线x＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．

规范解法1 设二次函数的解析式为ya(x-3)

2

h.

把A（3，－2），b（1，0）两点的坐标代入，得

例x轴的两

个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．

思路启迪

已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，不知道它的对称轴，情况就

比上述问题要复杂得多．利用A、B两点的坐标可以确定两个方程，即

5

c和abc6.

2

根据待定系数法的要求，必须设法找到第三个方程，

5



A



0,



5 已知二次函数的图象经过



2



和

B(1,6)

两点，且图象与

1



2





a(33)h2,



a,

解得



2



1

2

2



a(13)h0.

故所求解析式为y(x3)2.







h2.

2

思路启迪二

由对称轴是直线x＝3，且点A的横坐标是3，知点A（3，—2）是抛物

线的顶点，可设解析式为顶点式．

才能利用二次函数的一般式求得a、b、c的值．

规范解法1 因为抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程

ax

2

bxc0

的两个根

x

1

,x

2

.

方程的求根公式为

x

1,2



bb

2

4ac

,

2a

。

可列方程|x

1

x

2

|4.

即

2

bb

2

4acbb

2

4ac

4.

化简得

2a2a

b

2

4ac

4.

a

思路启迪三

b

3.

2a

由对称轴是直线x＝3，可得关于a、b的一个方程又知图象经过



规范解法2 设二次函数的解析式为ya(x-3)

2

2

1

把点B(1,0)的坐标代入,得a(13)

2

20,解得a

2

1

故所求解析式为y(x3)

2

2.

2

b4ac

16.

2

b

2

4ac16a

2

.

两边平方，得

a

5

把这个方程与程c和abc0联立,得方程组即可求解.

2

规范解法

b

x

1

x

2

,x

1

x

2

16,

a

2 根据一元二次方程根与系数的关系，

两定点，可设解析式为一般式。

思路启迪四

由点B（1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x轴的交点，若能求出

抛物线与x轴的另一个交点，即点B关于对称轴x＝3的对称点．则可设

解析式为交点式．

思路启迪五

同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式

为一般式．

点评：例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A（3，—2）是所求抛物

线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题

多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口．

注 本题还可直接把A、B、B′三点坐标代入所设一般式，求a、b、c的值．

bc

把x

1

x

2

,x

1

x

2

代入并整理,得b

2

4ac16a

2

.

aa

点评：以上变形方法应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x轴的两个交

点间的距离，求二次函数解析式”的问题大有益处．

练习2：

1、已知抛物线经过两点A(—1,—3) , B (1, 5) , 且对称轴是直线x =2,

2

求抛物线的解析式. y=—x + 4x +2

已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最

大值为2，求二次函数的解析式。

2

二次函数y=ax+4ax+c的最大值为4，且图象经过点（-3，0），求二次函数

的解析式。

2、已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距

15

yx

2

3x.

22

离为4．求二次函数的解析式．

把|x

1

x

2

|4,两边平方,得(x

1

x

2

)

2

16,

即(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

16.

2

例6：如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A

在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC． 求抛物线的解析式.

例8、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正

半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，

所以可设交点式y=a(x－x

1

)(x－x

2

) (a≠

0)，其中x

1

,x

2

是抛物线与x轴的交点的横坐

标。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为

y=a(x+8)(x－2)

又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推

论易得：

OC

2

=AC·BC=8×2 ∴OC=4

即C(0,4)。

∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=



∴这个二次函数的解析式为y=



1

4

3

11

(x+8)(x－2)，即y=



x

2

－x+4。

2

44

例7：直线y=-x-1与抛物线y=ax+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物

线交y轴于C点，且CD∥x轴，求抛物线解析式

2

2

例9、 如图,二次函数y =ax +bx +c的图象与x轴交与A、B两点,与y轴

交与C点,且AC=20, BC=15,∠ACB=90°,求这个二次函数的解析式.

AC

2

BC

2

=

20

2

15

2

=25

11

∵S

△ABC

= AC×BC = AB×OC ,

22

ACBC2015

∴OC== =12

AB25

解：在Rt△ABC中 AB=

∵AC =AC×AB

2

2

解：如图，∵直线y=-x-1交于x轴上A点，∴A（-1，0），∵抛物线y=ax+4ax+b

2

交于x轴上A点，∴a-4a+b=0，∴b=3a，由抛物线y=ax+4ax+b可知C（0，

b），∵CD∥x轴，∴D的纵坐标为b，∵点D在直线y=-x-1上，∴x=-b-1，

2

∴D（-b-1，b），∵直线y=-x-1与抛物线y=ax+4ax+b交于点D,∴b=a（-b-1）

22

+4a（-b-1）+b，∴a（-3a-1）+4a（-3a-1）=0，

即：a（-3a+3a）（-3a-1）=0，解得：a=0（舍去）或a=1或a=-1/3 ，

22

∴抛物线解析式为y=x+4x+3或y=- 1/3x- 3/4x-1．

3

AC

2

20

2

∴OA = ==16

25

AB

∴OB=AB—OA= 9 从而得A(—16, 0 ), B (9,0), C ( 0,12),

于是可得函数解析式为 y =—

1

2

7

x —x＋12

1212

2024年6月1日发(作者：少盼晴)

求二次函数解析式的常用方法

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

一、二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：y=ax

2

+bx+c (a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－h)

2

+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：y=a(x－x

1

)(x－x

2

) (a≠0)，其中x

1

,x

2

是抛物线与x轴的

交点的横坐标。

二、求二次函数解析式的方法.

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当

的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设

交点式。

三、探究问题，典例指津：

例1、已知二次函数的图象经过点

(1,5),(0,4)

和

(1,1)

．求这个二次函数

的解析式．

分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c (a

≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c (a≠0)

2

2

点(h,k)为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)

2

－1 (a≠0)

又抛物线与

y

轴交于点

(0,3)

。∴a(0－4)

2

－1=3 ∴a=

∴这个二次函数的解析式为y=

1

4

11

(x－4)

2

－1，即y=x

2

－2x+3。

44

例3 已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求

二次函数的解析式．

分析：由A、B两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x轴的交点．

解 设二次函数的解析式为

ya(xx

1

)(xx

2

),

把x

1

2,x

2

1代入,得ya(x2)(x1).

3

解得a.

2

再把点C（1，-3）的坐标代入，得－3＝a（1－2）（1＋1），

3

故所求解析式为y(x2)(x1).

2

点评：上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．

练习1：

1、已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的

2

故所求函数解析式为y2x3x4.

解析式．



abc5



a2



依题意得：



c4

解这个方程组得：



b3



c4



abc1





∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4。

例2、已知抛物线

yaxbxc

的顶点坐标为

(4,1)

，与

y

轴交于点

2

2、已知抛物线经过三点A (2,-6),B (3,-8),C (6,10),求它的解析式。

2

y= 2x－12x +10

3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的

解析式。） y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2。

4、 已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函

2

故所求二次函数的解析式为y2(x2)3.

数的解析式．

5、已知抛物线的顶点坐标为A( 2, 8 ),且经过点B( 5 ,—1 ),求抛物线的

2

解析式。 y=—x + 4x + 4

6、已知二次函数的图象与X轴交于A(－3,0), B(1,0),且经过点C(2,5),求

2

抛物线的解析式. y=x ＋2x＋2

7、已知抛物线的顶点坐标为

(2,1)

，与

y

轴交于点

(0,5)

，求这条抛物线的

2

2

(0,3)

，求这条抛物线的解析式。

2

分析：此题给出抛物线

yaxbxc

的顶点坐标为

(4,1)

，最好抛开题

2

目给出的

yaxbxc

，重新设顶点式y=a(x－h)+k (a≠0)，其中

2

解析式。 y=(x－2)+1，即y=x－4x+5。

1

22

四、发散思维，提升能力

例4 已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直

线x＝3．求这个二次函数的解析式．

思路启迪一

已知对称轴是直线x＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．

规范解法1 设二次函数的解析式为ya(x-3)

2

h.

把A（3，－2），b（1，0）两点的坐标代入，得

例x轴的两

个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．

思路启迪

已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，不知道它的对称轴，情况就

比上述问题要复杂得多．利用A、B两点的坐标可以确定两个方程，即

5

c和abc6.

2

根据待定系数法的要求，必须设法找到第三个方程，

5



A



0,



5 已知二次函数的图象经过



2



和

B(1,6)

两点，且图象与

1



2





a(33)h2,



a,

解得



2



1

2

2



a(13)h0.

故所求解析式为y(x3)2.







h2.

2

思路启迪二

由对称轴是直线x＝3，且点A的横坐标是3，知点A（3，—2）是抛物

线的顶点，可设解析式为顶点式．

才能利用二次函数的一般式求得a、b、c的值．

规范解法1 因为抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程

ax

2

bxc0

的两个根

x

1

,x

2

.

方程的求根公式为

x

1,2



bb

2

4ac

,

2a

。

可列方程|x

1

x

2

|4.

即

2

bb

2

4acbb

2

4ac

4.

化简得

2a2a

b

2

4ac

4.

a

思路启迪三

b

3.

2a

由对称轴是直线x＝3，可得关于a、b的一个方程又知图象经过



规范解法2 设二次函数的解析式为ya(x-3)

2

2

1

把点B(1,0)的坐标代入,得a(13)

2

20,解得a

2

1

故所求解析式为y(x3)

2

2.

2

b4ac

16.

2

b

2

4ac16a

2

.

两边平方，得

a

5

把这个方程与程c和abc0联立,得方程组即可求解.

2

规范解法

b

x

1

x

2

,x

1

x

2

16,

a

2 根据一元二次方程根与系数的关系，

两定点，可设解析式为一般式。

思路启迪四

由点B（1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x轴的交点，若能求出

抛物线与x轴的另一个交点，即点B关于对称轴x＝3的对称点．则可设

解析式为交点式．

思路启迪五

同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式

为一般式．

点评：例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A（3，—2）是所求抛物

线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题

多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口．

注 本题还可直接把A、B、B′三点坐标代入所设一般式，求a、b、c的值．

bc

把x

1

x

2

,x

1

x

2

代入并整理,得b

2

4ac16a

2

.

aa

点评：以上变形方法应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x轴的两个交

点间的距离，求二次函数解析式”的问题大有益处．

练习2：

1、已知抛物线经过两点A(—1,—3) , B (1, 5) , 且对称轴是直线x =2,

2

求抛物线的解析式. y=—x + 4x +2

已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最

大值为2，求二次函数的解析式。

2

二次函数y=ax+4ax+c的最大值为4，且图象经过点（-3，0），求二次函数

的解析式。

2、已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距

15

yx

2

3x.

22

离为4．求二次函数的解析式．

把|x

1

x

2

|4,两边平方,得(x

1

x

2

)

2

16,

即(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

16.

2

例6：如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A

在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC． 求抛物线的解析式.

例8、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正

半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，

所以可设交点式y=a(x－x

1

)(x－x

2

) (a≠

0)，其中x

1

,x

2

是抛物线与x轴的交点的横坐

标。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为

y=a(x+8)(x－2)

又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推

论易得：

OC

2

=AC·BC=8×2 ∴OC=4

即C(0,4)。

∴a(0+8)(0－2)=4 ∴a=



∴这个二次函数的解析式为y=



1

4

3

11

(x+8)(x－2)，即y=



x

2

－x+4。

2

44

例7：直线y=-x-1与抛物线y=ax+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物

线交y轴于C点，且CD∥x轴，求抛物线解析式

2

2

例9、 如图,二次函数y =ax +bx +c的图象与x轴交与A、B两点,与y轴

交与C点,且AC=20, BC=15,∠ACB=90°,求这个二次函数的解析式.

AC

2

BC

2

=

20

2

15

2

=25

11

∵S

△ABC

= AC×BC = AB×OC ,

22

ACBC2015

∴OC== =12

AB25

解：在Rt△ABC中 AB=

∵AC =AC×AB

2

2

解：如图，∵直线y=-x-1交于x轴上A点，∴A（-1，0），∵抛物线y=ax+4ax+b

2

交于x轴上A点，∴a-4a+b=0，∴b=3a，由抛物线y=ax+4ax+b可知C（0，

b），∵CD∥x轴，∴D的纵坐标为b，∵点D在直线y=-x-1上，∴x=-b-1，

2

∴D（-b-1，b），∵直线y=-x-1与抛物线y=ax+4ax+b交于点D,∴b=a（-b-1）

22

+4a（-b-1）+b，∴a（-3a-1）+4a（-3a-1）=0，

即：a（-3a+3a）（-3a-1）=0，解得：a=0（舍去）或a=1或a=-1/3 ，

22

∴抛物线解析式为y=x+4x+3或y=- 1/3x- 3/4x-1．

3

AC

2

20

2

∴OA = ==16

25

AB

∴OB=AB—OA= 9 从而得A(—16, 0 ), B (9,0), C ( 0,12),

于是可得函数解析式为 y =—

1

2

7

x —x＋12

1212