2024年6月7日发(作者：丹乐心)
1.1.2 瞬时速度与导数 学案（含答案）
1.1.2瞬时速度与导数瞬时速度与导数学习目标
1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一
时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方
法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数知识点一瞬时速度与瞬时变
化率一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间思考1试求质点在1,1t这
段时间内的平均速度答案st831t28312t63t.思考2当t趋近于0时思考1中的平均速度
趋近于几怎样理解这一速度答案当t趋近于0时，st趋近于6，这时的平均速度即为t1
时的瞬时速度梳理瞬时速度与瞬时变化率1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的
关系是sft，当t趋近于0时，函数ft在t0到t0t之间的平均变化率ft0tft0t趋近于某个
常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yfx在x0及其附近有
定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yfx0xfx0，如果当x趋近
于0时，平均变化率yxfx0xfx0x趋近于一个常数l，则常数l称为函数fx在点x0处的瞬
时变化率记作当x0时，fx0xfx0xl.上述过程，通常也记作limx0fx0xfx0xl.知识点二
yfx在点x0处的导数1函数yfx在点x0处的导数定义式fx0limx0fx0xfx0x.2实质函
数yfx在点x0处的导数即函数yfx在点x0处的瞬时变化率知识点三
导函数对于函数fxx
22.思考1如何求f1，f0，f12，faaR答案fx0limx0x0x22x202xlimx02x0x2x0，
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f12，f00，f121，fa2a.思考2若a是一变量，则fa是常量吗答案fa2a，说明fa不是常
量，而是关于a的函数梳理导函数的概念1函数可导的定义如果fx在开区间a，b内每
一点x都是可导的，则称fx在区间a，b可导2导函数的定义条件fx在区间a，b可导
定义对开区间a，b内每个值x，都对应一个确定的导数fx，于是，在区间a，b内fx构
成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yfx的导函数导函数记法fx或y或yx1瞬时
变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量2函数yfx在xx0处的导数值
与x的正.负无关3函数在一点处的导数fx0是一个常数类型一求瞬时速度例1某物体的
运动路程s单位m与时间t单位s的关系可用函数stt2t1表示，求物体在t1s时的瞬时
速度解sts1ts1t1t21t11211t3t，limt0stlimt03t3，物体在t1s处的瞬时变化率为3，即
物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解
求物体的初速度，即求物体在t0s时的瞬时速度sts0ts0t0t20t11t1t，limt01t1，物体在
t0s时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在
哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又
stst0tst0t2t01t，limt0stlimt02t01t2t01，2t019，t04.即物体在4s时的瞬时速度为
9m/s.反思与感悟1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解题
的常见错误2求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量sst0tst0求平
均速度vst.求瞬时速度vlimt0st.跟踪训练1一质点M按运动方程stat21做直线运动位移
单位m，时间单位s，若质点M在t2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值解质点M
在t2s时的瞬时速度即为函数在t2s处的瞬时变化率质点M在t2s附近的平均变化率为
sts2ts2ta2t24at4aat，又limt0st4a8，a
2.类型二
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求函数在某一点处的导数例21设函数yfx在xx0处可导，且limx0fx03xfx0xa，则
fx0________.答案13a解析limx0fx03xfx0xlimx0fx03xfx03x33fx0a，fx013a.2利用导数
的定义求函数yfxx在x1处的导数解yf1xf11x1，yx1x1x11x1，f1limx0yxlimx011x11
2.反思与感悟1求函数yfx在点x0处的导数的三个步骤简称一差，二比，三极限2
瞬时变化率的变形形式
limx0fx0xfx0xlimx0fx0xfx0xlimx0fx0nxfx0nxlimx0fx0xfx0x2xfx0跟踪训练2已知
fx3x2，fx06，求x0.解fx0limx0fx0xfx0xlimx03x0x23x20xlimx06x03x6x0，又fx06，
6x06，即x01.1设函数fx在点x0附近有定义，且有fx0xfx0axbx2a，b为常数，则
AfxaBfxbCfx0aDfx0b答案C解析fx0limx0fx0xfx0xlimx0abxa.2物体运动方程为st3t2
位移单位m，时间单位s，若vlimt0s3ts3t18m/s，则下列说法中正确的是A18m/s是物
体从开始到3s这段时间内的平均速度B18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的速度
C18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的平
均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案C3函数yfx2x24x在x3处的导数为
________答案16解析f3limx0yxlimx023x243x23243x
16.4一物体的运动方程为stt23t2，则其在t______时的瞬时速度为
1.答案2解析设物体在tt0时的瞬时速度为1，因为
stst0tst0tt0t23t0t2t203t02t2t03t，所以limx02t03t2t031，解得t02.5已知物体运动
的速度与时间之间的关系是vtt22t2，则在时间间隔1,1t内的平均加速度是________，在
t1时的瞬时加速度是________答案4t4解析在1,1t内的平均加速度为vtv1tv1tt4，当t无
限趋近于0时，vt无限趋近于
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4.利用导数定义求导数三步曲1作差求函数的增量yfx0xfx02作比求平均变化率
yxfx0xfx0x.3取极限得导数fx0limx0yx.简记为一差，二比，三极限
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2024年6月7日发(作者：丹乐心)
1.1.2 瞬时速度与导数 学案（含答案）
1.1.2瞬时速度与导数瞬时速度与导数学习目标
1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一
时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方
法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数知识点一瞬时速度与瞬时变
化率一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间思考1试求质点在1,1t这
段时间内的平均速度答案st831t28312t63t.思考2当t趋近于0时思考1中的平均速度
趋近于几怎样理解这一速度答案当t趋近于0时，st趋近于6，这时的平均速度即为t1
时的瞬时速度梳理瞬时速度与瞬时变化率1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的
关系是sft，当t趋近于0时，函数ft在t0到t0t之间的平均变化率ft0tft0t趋近于某个
常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yfx在x0及其附近有
定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yfx0xfx0，如果当x趋近
于0时，平均变化率yxfx0xfx0x趋近于一个常数l，则常数l称为函数fx在点x0处的瞬
时变化率记作当x0时，fx0xfx0xl.上述过程，通常也记作limx0fx0xfx0xl.知识点二
yfx在点x0处的导数1函数yfx在点x0处的导数定义式fx0limx0fx0xfx0x.2实质函
数yfx在点x0处的导数即函数yfx在点x0处的瞬时变化率知识点三
导函数对于函数fxx
22.思考1如何求f1，f0，f12，faaR答案fx0limx0x0x22x202xlimx02x0x2x0，
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f12，f00，f121，fa2a.思考2若a是一变量，则fa是常量吗答案fa2a，说明fa不是常
量，而是关于a的函数梳理导函数的概念1函数可导的定义如果fx在开区间a，b内每
一点x都是可导的，则称fx在区间a，b可导2导函数的定义条件fx在区间a，b可导
定义对开区间a，b内每个值x，都对应一个确定的导数fx，于是，在区间a，b内fx构
成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yfx的导函数导函数记法fx或y或yx1瞬时
变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量2函数yfx在xx0处的导数值
与x的正.负无关3函数在一点处的导数fx0是一个常数类型一求瞬时速度例1某物体的
运动路程s单位m与时间t单位s的关系可用函数stt2t1表示，求物体在t1s时的瞬时
速度解sts1ts1t1t21t11211t3t，limt0stlimt03t3，物体在t1s处的瞬时变化率为3，即
物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解
求物体的初速度，即求物体在t0s时的瞬时速度sts0ts0t0t20t11t1t，limt01t1，物体在
t0s时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在
哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又
stst0tst0t2t01t，limt0stlimt02t01t2t01，2t019，t04.即物体在4s时的瞬时速度为
9m/s.反思与感悟1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解题
的常见错误2求运动物体瞬时速度的三个步骤求时间改变量t和位移改变量sst0tst0求平
均速度vst.求瞬时速度vlimt0st.跟踪训练1一质点M按运动方程stat21做直线运动位移
单位m，时间单位s，若质点M在t2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值解质点M
在t2s时的瞬时速度即为函数在t2s处的瞬时变化率质点M在t2s附近的平均变化率为
sts2ts2ta2t24at4aat，又limt0st4a8，a
2.类型二
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求函数在某一点处的导数例21设函数yfx在xx0处可导，且limx0fx03xfx0xa，则
fx0________.答案13a解析limx0fx03xfx0xlimx0fx03xfx03x33fx0a，fx013a.2利用导数
的定义求函数yfxx在x1处的导数解yf1xf11x1，yx1x1x11x1，f1limx0yxlimx011x11
2.反思与感悟1求函数yfx在点x0处的导数的三个步骤简称一差，二比，三极限2
瞬时变化率的变形形式
limx0fx0xfx0xlimx0fx0xfx0xlimx0fx0nxfx0nxlimx0fx0xfx0x2xfx0跟踪训练2已知
fx3x2，fx06，求x0.解fx0limx0fx0xfx0xlimx03x0x23x20xlimx06x03x6x0，又fx06，
6x06，即x01.1设函数fx在点x0附近有定义，且有fx0xfx0axbx2a，b为常数，则
AfxaBfxbCfx0aDfx0b答案C解析fx0limx0fx0xfx0xlimx0abxa.2物体运动方程为st3t2
位移单位m，时间单位s，若vlimt0s3ts3t18m/s，则下列说法中正确的是A18m/s是物
体从开始到3s这段时间内的平均速度B18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的速度
C18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D18m/s是物体从3s到3ts这段时间内的平
均速度考点导数的概念题点导数概念的理解答案C3函数yfx2x24x在x3处的导数为
________答案16解析f3limx0yxlimx023x243x23243x
16.4一物体的运动方程为stt23t2，则其在t______时的瞬时速度为
1.答案2解析设物体在tt0时的瞬时速度为1，因为
stst0tst0tt0t23t0t2t203t02t2t03t，所以limx02t03t2t031，解得t02.5已知物体运动
的速度与时间之间的关系是vtt22t2，则在时间间隔1,1t内的平均加速度是________，在
t1时的瞬时加速度是________答案4t4解析在1,1t内的平均加速度为vtv1tv1tt4，当t无
限趋近于0时，vt无限趋近于
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4.利用导数定义求导数三步曲1作差求函数的增量yfx0xfx02作比求平均变化率
yxfx0xfx0x.3取极限得导数fx0limx0yx.简记为一差，二比，三极限
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