2024年6月3日发(作者：佼震轩)

安徽省A10联盟2024学年高三年级质量检查（Ⅲ）数学试题（文史类）试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。



log

1

x,x0





3

x

1．已知函数

f(x)



，若关于

x

的方程

f[f(x)]0

有且只有一个实数根，则实数

a

的取值范围是（

）

1





a



,x0





3





A

．

(,0)

C

．

(,0)

2324

(0,1)

B

．

(,0)(1,)

D

．

(0,1)(1,)

2

2．已知等式

(1xx)(12x)a

0

a

1

xa

2

x

A

．

0 B

．

5 C

．

7

a

14

x

14

成立，则

a

2

a

4



D

．

13

a

14



（

）

3．己知四棱锥

S-ABCD

中，四边形

ABCD

为等腰梯形，

AD//BC

，

BAD120



，

ΔSAD

是等边三角形，且

SAAB23

；若点

P

在四棱锥

S-ABCD

的外接球面上运动，记点

P

到平面

ABCD

的距离为

d

，若平面

SAD

平面

ABCD

，则

d

的最大值为（

）

A

．

131

C

．

151

4．已知向量

a(m,1),

A

．充分不必要条件

C

．既不充分也不必要条件

5．已知

aln

3

3

，

be

1

，

c

A

．

abc

B

．

132

D

．

152

b(3,m2)

，则

m3

是

a//b

的（

）

B

．必要不充分条件

D

．充要条件

3ln2

，则

a

，

b

，

c

的大小关系为（

）

8

C

．

bca

的最大值为（ ）

C

．

3 D

．

4

D

．

bac

B

．

acb

则

B

．

2

6．设实数

A

．

1

满足条件

7．已知数列



a

n



的首项

a

1

a(a0)

，且

a

n+1

ka

n

t

，其中

k

，

tR

，

nN

*

，下列叙述正确的是（

）

A

．若



a

n



是等差数列，则一定有

k1

B

．若



a

n



是等比数列，则一定有

t0

D

．若



a

n



不是等比数列，则一定有

t0

C

．若



a

n



不是等差数列，则一定有

k1

8．设集合

Axxx20

，

Bxlog

2

x2

，则集合

(C

R

A)

A

．

x1x2



2





B



B

．

x0x2



C

．

x0x4



D

．

x1x4



9．

“

纹样

”

是中国艺术宝库的瑰宝，

“

火纹

”

是常见的一种传统纹样

.

为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，

作一个边长为

3

的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷

200

个点，己知恰有

80

个点落在阴影部分据此可估

计阴影部分的面积是（

）

A

．

16

5

B

．

32

5

C

．

10 D

．

18

5

x

10．已知

f(x)

是定义在



2,2



上的奇函数，当

x



0,2



时，

f(x)21

，则

f



2



f



0





（

）

A

．

3

B

．

2 C

．

3 D

．

2

11．如图，在三棱锥

DABC

中，

DC

平面

ABC

，

ACBC

，

ACBCCD2

，

E

，

F

，

G

分别是棱

AB

，

AC

，

AD

的中点，则异面直线

BG

与

EF

所成角的余弦值为

A

．

0 B

．

6

3

C

．

3

3

D

．

1

12．下列函数中，既是奇函数，又在

(0,1)

上是增函数的是（

）．

A

．

f(x)xlnx

C

．

f(x)sin2x

B

．

f(x)e

x

e

x

D

．

f(x)x

3

x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。



xy3



y

13．已知实数

x

，

y

满足约束条件



y3x1

，则

z

的最小值为

______.

x



x2



14．记实数

x

1

,x

2

,,x

n

中的最大数为

max



x

1

,x

2

,,x

n



，最小数为

min



x

1

,x

2

,,x

n



.

已知实数

1xy

且三数能构

成三角形的三边长，若

tmax



,



1x



1x



,y



min



,,y



，则

t

的取值范围是

.



xy



xy



2

22

15．已知

M

是抛物线

y2x

上一点，

N

是圆

x(y2)1

关于直线

xy0

对称的曲线

C

上任意一点，则

MN

的最小值为

________

．

16．已知

(2

x

-1)

7

=

a

o

+

a

1

x

+

a

2

x

2

+…+

a

7

x

7

，则

a

2

=____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为

“

阳马

”

，将四

个面都为直角三角形的四面体称之为

“

鳖臑

”.

在如图所示的阳马

PABCD

中，底面

ABCD

是矩形

.

PA

平面

ABCD

，

，交

PC

于

N

（异于

PAAD2

，

AB2

，以

AC

的中点

O

为球心，

AC

为直径的球面交

PD

于

M

（异于点

D

）

点

C

）

.

（

1

）证明：

AM

平面

PCD

，并判断四面体

MCDA

是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若

不是，请说明理由；

（

2

）求直线

ON

与平面

ACM

所成角的正弦值

.

18．（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过

1%

，则该养殖场考核为合格，该养殖场在

2019

年

1

月到

8

月养殖

生猪的相关数据如下表所示：

月份

月养殖量

/

千只

3

月利润

/

十万元

生猪死亡数

/

只

1

月

3

3.6

29

2

月

4

4.1

37

3

月

5

4.4

49

4

月

6

5.2

53

5

月

7

6.2

77

6

月

9

7.5

98

7

月

10

7.9

126

8

月

12

9.1

145

（

1

）从该养殖场

2019

年

2

月到

6

月这

5

个月中任意选取

3

个月，求恰好有

2

个月考核获得合格的概率；

（

2

）根据

1

月到

8

月的数据，求出月利润

y

（十万元）关于月养殖量

x

（千只）的线性回归方程（精确到

0.001

）

.

（

3

）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（

2

）中的关系，若

9

月份的养殖量为

1.5

万只，试估计：该

月利润约为多少万元？

ˆ



ˆ

中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：

b

ˆ

a

ˆ

bx

附：线性回归方程

y



xy

i

i1

n

n

i

nx y

ˆ

ˆ

ybx

，

a



x

i1

2

i

nx

2

参考数据：



x

i1

8

2

i

460,



x

i

y

i

379.5

.

i1

8

19．（12分）如图，点

T

为圆

O

：

xy1

上一动点，过点

T

分别作

x

轴，

y

轴的垂线，垂足分别为

A

，

B

，连接

22

BA

延长至点

P

，使得

BAAP

，点

P

的轨迹记为曲线

C

.

（

1

）求曲线

C

的方程；

（

2

）若点

A

，

B

分别位于

x

轴与

y

轴的正半轴上，直线

AB

与曲线

C

相交于

M

，

N

两点，且

AB1

，试问在曲线

C

上是否存在点

Q

，使得四边形

OMQN

为平行四边形，若存在，求出直线

l

方程；若不存在，说明理由

.

20．（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵A＝



A的逆矩阵A



ak



k



(k≠0)的一个特征向量为α＝



1



，

01



对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．

2

－

1

21．（12分）已知函数

f(x)xx1

，且

m,nR

．

（

1

）若

m2n2

，求

f(m)2f(n)

的最小值，并求此时

m,n

的值；

（

2

）若

|mn|1

，求证

:

|f(m)f(n)|2(|m|1)

．

22．（10分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近

9

年来的纸质广告收入如下表所

示：

根据这

9

年的数据，对

t

和

y

作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为

0.243

；

根据后

5

年的数据，对

t

和

y

作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为

0.984.

（

1

）如果要用线性回归方程预测该杂志社

2019

年的纸质广告收入，现在有两个方案，

方案一：选取这

9

年数据进行预测，方案二：选取后

5

年数据进行预测．

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

（

2

）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为

50%

，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为

10%

，现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了

3

位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

B

【解题分析】

利用换元法设

tf



x



，则等价为

f



t



0

有且只有一个实数根，分

a0,a0,a0

三种情况进行讨论，结合函

数的图象，求出

a

的取值范围

.

【题目详解】

解：设

tf



x



，则

f



t



0

有且只有一个实数根

.



1



log

1

t0

，解得当

a0

时，当

x0

时，

f



x



a



0

，由

f



t



0

即

t1

，

3



3



x

结合图象可知，此时当

t1

时，得

f



x



1

，则

x

x

1

是唯一解，满足题意；

3



1



当

a0

时，此时当

x0

时，

f



x



a



0

，此时函数有无数个零点，不符合题意；



3





1



当

a0

时，当

x0

时，

f



x



a







a,



，此时

f



x



最小值为

a

，



3



x

结合图象可知，要使得关于

x

的方程

f[f(x)]0

有且只有一个实数根，此时

a1

.

综上所述：

a0

或

a1

.

故选

:A.

【题目点拨】

本题考查了函数方程根的个数的应用

.

利用换元法，数形结合是解决本题的关键

.

2、

D

【解题分析】

根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可

.

【题目详解】

由

(1xx)(12x)a

0

a

1

xa

2

x

23242

a

14

x

14

可知：

令

x0

，得

1a

0

a

0

1

；

令

x1

，得

1a

0

a

1

a

2

a

14

a

0

a

1

a

2

a

14

1(1)

；

a

14

27(2)

，

令

x1

，得

27a

0

a

1

a

2

(a

3

)a

14

a

0

a

1

a

2

(a

3

)

(2)(1)

得，

2(a

0

a

2

a

4



a

2

a

4



故选：

D

【题目点拨】

a

14

)28a

0

a

2

a

4

a

14

14

，而

a

0

1

，所以

a

14

13

.

本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力

.

3、

A

【解题分析】

根据平面

SAD

平面

ABCD

，四边形

ABCD

为等腰梯形，则球心在过

BC

的中点

E

的面的垂线上，又

ΔSAD

是等

边三角形，所以球心也在过

SAD

的外心

F

面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可

.

【题目详解】

依题意如图所示：

取

BC

的中点

E

，则

E

是等腰梯形

ABCD

外接圆的圆心，

取

F

是

SAD

的外心，作

OE

平面

ABCD,OF

平面

SAB

，

则

O

是四棱锥

SABCD

的外接球球心，且

OF3,SF2

，

设四棱锥

SABCD

的外接球半径为

R

，则

R

2

SF

2

OF

2

13

，而

OE1

，

所以

d

max

ROE131

，

故选：

A.

【题目点拨】

本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题

.

4、

A

【解题分析】

向量

a

，

b

，

a//b

，则

3m

，即

m

2

2m30

，

m3

或者

-1

，判断出即可．

（m2）

（m，1）（3，m2）

【题目详解】

解：向量

a

，

b

，

（3,m2）

（m，1）

，即

m

2

2m30

，

（m2）

a//b

，则

3m

m3

或者

-1

，

所以

m3

是

m3

或者

m1

的充分不必要条件，

故选：

A

．

【题目点拨】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题

.

5、

D

【解题分析】

构造函数

f



x





【题目详解】

依题意，得

aln

3

3

lnx

，利用导数求得

f



x



的单调区间，由此判断出

a,b,c

的大小关系

.

x

1lnx

ln3lne3ln2ln8

lnx

1



.

令

f(x)

.

所以函数

f(x)

，

be

，

c

，所以

f'(x)

2

3e88

x

x

1

b

，且

f(3)f(8)

，即

ac

，所以

bac

.

e

在

(0,e)

上单调递增，在

(e,)

上单调递减

.

所以

[f(x)]

max

f(e)

故选：

D.

【题目点拨】

本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题

.

6、

C

【解题分析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案

.

【题目详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

，即，表示直线在轴的截距加上1，

根据图像知，当

故选：.

时，且时，有最大值为.

【题目点拨】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键

.

7、

C

【解题分析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可

.

【题目详解】

A

：当

k0,ta

时，

a

n+1

a

，显然符合



a

n



是等差数列，但是此时

k1

不成立，故本说法不正确；

B

：当

k0,ta

时，

a

n+1

a

，显然符合



a

n



是等比数列，但是此时

t0

不成立，故本说法不正确；

C

：当

k1

时，因此有

a

n+1

a

n

ka

n

ta

n

t

常数，因此



a

n



是等差数列，因此当



a

n



不是等差数列时，一定

有

k1

，故本说法正确；

D

：当

ta0

时，若

k0

时，显然数列



a

n



是等比数列，故本说法不正确

.

故选：

C

【题目点拨】

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题

.

8、

B

【解题分析】

先求出集合

A

和它的补集，然后求得集合

B

的解集，最后取它们的交集得出结果

.

【题目详解】

log

2

x2log

2

4

，对于集合

A

，解得

x1

或

x2

，故

C

R

A1,2

.

对于集合

B

，解得

0x4

.



x2



x1



0

，

故



C

R

A



B



0,2

.

故选

B.

【题目点拨】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算

.

对于有两个根的一元

二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为

0

，然后通过因式分解，求得对应的一元二

次方程的两个根，再利用

“

大于在两边，小于在中间

”

来求得一元二次不等式的解集

.

9、

D

【解题分析】

直接根据几何概型公式计算得到答案

.

【题目详解】

根据几何概型：

p

故选：

D

.

【题目点拨】

本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力

.

10、

A

【解题分析】

由奇函数定义求出

f(0)

和

f(2)

．

【题目详解】





S8018



.

，故

S

92005

2



上的奇函数，

f(0)0

.

又当

x



0,2

时，因为

f(x)

是定义在



2,

f(x)2

x

1,f



2



f



2







2

2

1



3

，

f



2



f



0



3

.

故选：

A

．

【题目点拨】

本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．

11、

B

【解题分析】

根据题意可得

BC⊥

平面

ACD

，

EF∥BC

，则

CBG

即异面直线

BG

与

EF

所成的角，连接

CG

，在

Rt△CBG

中，



2024年6月3日发(作者：佼震轩)

安徽省A10联盟2024学年高三年级质量检查（Ⅲ）数学试题（文史类）试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。



log

1

x,x0





3

x

1．已知函数

f(x)



，若关于

x

的方程

f[f(x)]0

有且只有一个实数根，则实数

a

的取值范围是（

）

1





a



,x0





3





A

．

(,0)

C

．

(,0)

2324

(0,1)

B

．

(,0)(1,)

D

．

(0,1)(1,)

2

2．已知等式

(1xx)(12x)a

0

a

1

xa

2

x

A

．

0 B

．

5 C

．

7

a

14

x

14

成立，则

a

2

a

4



D

．

13

a

14



（

）

3．己知四棱锥

S-ABCD

中，四边形

ABCD

为等腰梯形，

AD//BC

，

BAD120



，

ΔSAD

是等边三角形，且

SAAB23

；若点

P

在四棱锥

S-ABCD

的外接球面上运动，记点

P

到平面

ABCD

的距离为

d

，若平面

SAD

平面

ABCD

，则

d

的最大值为（

）

A

．

131

C

．

151

4．已知向量

a(m,1),

A

．充分不必要条件

C

．既不充分也不必要条件

5．已知

aln

3

3

，

be

1

，

c

A

．

abc

B

．

132

D

．

152

b(3,m2)

，则

m3

是

a//b

的（

）

B

．必要不充分条件

D

．充要条件

3ln2

，则

a

，

b

，

c

的大小关系为（

）

8

C

．

bca

的最大值为（ ）

C

．

3 D

．

4

D

．

bac

B

．

acb

则

B

．

2

6．设实数

A

．

1

满足条件

7．已知数列



a

n



的首项

a

1

a(a0)

，且

a

n+1

ka

n

t

，其中

k

，

tR

，

nN

*

，下列叙述正确的是（

）

A

．若



a

n



是等差数列，则一定有

k1

B

．若



a

n



是等比数列，则一定有

t0

D

．若



a

n



不是等比数列，则一定有

t0

C

．若



a

n



不是等差数列，则一定有

k1

8．设集合

Axxx20

，

Bxlog

2

x2

，则集合

(C

R

A)

A

．

x1x2



2





B



B

．

x0x2



C

．

x0x4



D

．

x1x4



9．

“

纹样

”

是中国艺术宝库的瑰宝，

“

火纹

”

是常见的一种传统纹样

.

为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，

作一个边长为

3

的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷

200

个点，己知恰有

80

个点落在阴影部分据此可估

计阴影部分的面积是（

）

A

．

16

5

B

．

32

5

C

．

10 D

．

18

5

x

10．已知

f(x)

是定义在



2,2



上的奇函数，当

x



0,2



时，

f(x)21

，则

f



2



f



0





（

）

A

．

3

B

．

2 C

．

3 D

．

2

11．如图，在三棱锥

DABC

中，

DC

平面

ABC

，

ACBC

，

ACBCCD2

，

E

，

F

，

G

分别是棱

AB

，

AC

，

AD

的中点，则异面直线

BG

与

EF

所成角的余弦值为

A

．

0 B

．

6

3

C

．

3

3

D

．

1

12．下列函数中，既是奇函数，又在

(0,1)

上是增函数的是（

）．

A

．

f(x)xlnx

C

．

f(x)sin2x

B

．

f(x)e

x

e

x

D

．

f(x)x

3

x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。



xy3



y

13．已知实数

x

，

y

满足约束条件



y3x1

，则

z

的最小值为

______.

x



x2



14．记实数

x

1

,x

2

,,x

n

中的最大数为

max



x

1

,x

2

,,x

n



，最小数为

min



x

1

,x

2

,,x

n



.

已知实数

1xy

且三数能构

成三角形的三边长，若

tmax



,



1x



1x



,y



min



,,y



，则

t

的取值范围是

.



xy



xy



2

22

15．已知

M

是抛物线

y2x

上一点，

N

是圆

x(y2)1

关于直线

xy0

对称的曲线

C

上任意一点，则

MN

的最小值为

________

．

16．已知

(2

x

-1)

7

=

a

o

+

a

1

x

+

a

2

x

2

+…+

a

7

x

7

，则

a

2

=____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为

“

阳马

”

，将四

个面都为直角三角形的四面体称之为

“

鳖臑

”.

在如图所示的阳马

PABCD

中，底面

ABCD

是矩形

.

PA

平面

ABCD

，

，交

PC

于

N

（异于

PAAD2

，

AB2

，以

AC

的中点

O

为球心，

AC

为直径的球面交

PD

于

M

（异于点

D

）

点

C

）

.

（

1

）证明：

AM

平面

PCD

，并判断四面体

MCDA

是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若

不是，请说明理由；

（

2

）求直线

ON

与平面

ACM

所成角的正弦值

.

18．（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过

1%

，则该养殖场考核为合格，该养殖场在

2019

年

1

月到

8

月养殖

生猪的相关数据如下表所示：

月份

月养殖量

/

千只

3

月利润

/

十万元

生猪死亡数

/

只

1

月

3

3.6

29

2

月

4

4.1

37

3

月

5

4.4

49

4

月

6

5.2

53

5

月

7

6.2

77

6

月

9

7.5

98

7

月

10

7.9

126

8

月

12

9.1

145

（

1

）从该养殖场

2019

年

2

月到

6

月这

5

个月中任意选取

3

个月，求恰好有

2

个月考核获得合格的概率；

（

2

）根据

1

月到

8

月的数据，求出月利润

y

（十万元）关于月养殖量

x

（千只）的线性回归方程（精确到

0.001

）

.

（

3

）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（

2

）中的关系，若

9

月份的养殖量为

1.5

万只，试估计：该

月利润约为多少万元？

ˆ



ˆ

中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：

b

ˆ

a

ˆ

bx

附：线性回归方程

y



xy

i

i1

n

n

i

nx y

ˆ

ˆ

ybx

，

a



x

i1

2

i

nx

2

参考数据：



x

i1

8

2

i

460,



x

i

y

i

379.5

.

i1

8

19．（12分）如图，点

T

为圆

O

：

xy1

上一动点，过点

T

分别作

x

轴，

y

轴的垂线，垂足分别为

A

，

B

，连接

22

BA

延长至点

P

，使得

BAAP

，点

P

的轨迹记为曲线

C

.

（

1

）求曲线

C

的方程；

（

2

）若点

A

，

B

分别位于

x

轴与

y

轴的正半轴上，直线

AB

与曲线

C

相交于

M

，

N

两点，且

AB1

，试问在曲线

C

上是否存在点

Q

，使得四边形

OMQN

为平行四边形，若存在，求出直线

l

方程；若不存在，说明理由

.

20．（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵A＝



A的逆矩阵A



ak



k



(k≠0)的一个特征向量为α＝



1



，

01



对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．

2

－

1

21．（12分）已知函数

f(x)xx1

，且

m,nR

．

（

1

）若

m2n2

，求

f(m)2f(n)

的最小值，并求此时

m,n

的值；

（

2

）若

|mn|1

，求证

:

|f(m)f(n)|2(|m|1)

．

22．（10分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近

9

年来的纸质广告收入如下表所

示：

根据这

9

年的数据，对

t

和

y

作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为

0.243

；

根据后

5

年的数据，对

t

和

y

作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为

0.984.

（

1

）如果要用线性回归方程预测该杂志社

2019

年的纸质广告收入，现在有两个方案，

方案一：选取这

9

年数据进行预测，方案二：选取后

5

年数据进行预测．

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

（

2

）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电

子书的读者比例为

50%

，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为

10%

，现用此统计结果作为概率，若从上述读者

中随机调查了

3

位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

B

【解题分析】

利用换元法设

tf



x



，则等价为

f



t



0

有且只有一个实数根，分

a0,a0,a0

三种情况进行讨论，结合函

数的图象，求出

a

的取值范围

.

【题目详解】

解：设

tf



x



，则

f



t



0

有且只有一个实数根

.



1



log

1

t0

，解得当

a0

时，当

x0

时，

f



x



a



0

，由

f



t



0

即

t1

，

3



3



x

结合图象可知，此时当

t1

时，得

f



x



1

，则

x

x

1

是唯一解，满足题意；

3



1



当

a0

时，此时当

x0

时，

f



x



a



0

，此时函数有无数个零点，不符合题意；



3





1



当

a0

时，当

x0

时，

f



x



a







a,



，此时

f



x



最小值为

a

，



3



x

结合图象可知，要使得关于

x

的方程

f[f(x)]0

有且只有一个实数根，此时

a1

.

综上所述：

a0

或

a1

.

故选

:A.

【题目点拨】

本题考查了函数方程根的个数的应用

.

利用换元法，数形结合是解决本题的关键

.

2、

D

【解题分析】

根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可

.

【题目详解】

由

(1xx)(12x)a

0

a

1

xa

2

x

23242

a

14

x

14

可知：

令

x0

，得

1a

0

a

0

1

；

令

x1

，得

1a

0

a

1

a

2

a

14

a

0

a

1

a

2

a

14

1(1)

；

a

14

27(2)

，

令

x1

，得

27a

0

a

1

a

2

(a

3

)a

14

a

0

a

1

a

2

(a

3

)

(2)(1)

得，

2(a

0

a

2

a

4



a

2

a

4



故选：

D

【题目点拨】

a

14

)28a

0

a

2

a

4

a

14

14

，而

a

0

1

，所以

a

14

13

.

本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力

.

3、

A

【解题分析】

根据平面

SAD

平面

ABCD

，四边形

ABCD

为等腰梯形，则球心在过

BC

的中点

E

的面的垂线上，又

ΔSAD

是等

边三角形，所以球心也在过

SAD

的外心

F

面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可

.

【题目详解】

依题意如图所示：

取

BC

的中点

E

，则

E

是等腰梯形

ABCD

外接圆的圆心，

取

F

是

SAD

的外心，作

OE

平面

ABCD,OF

平面

SAB

，

则

O

是四棱锥

SABCD

的外接球球心，且

OF3,SF2

，

设四棱锥

SABCD

的外接球半径为

R

，则

R

2

SF

2

OF

2

13

，而

OE1

，

所以

d

max

ROE131

，

故选：

A.

【题目点拨】

本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题

.

4、

A

【解题分析】

向量

a

，

b

，

a//b

，则

3m

，即

m

2

2m30

，

m3

或者

-1

，判断出即可．

（m2）

（m，1）（3，m2）

【题目详解】

解：向量

a

，

b

，

（3,m2）

（m，1）

，即

m

2

2m30

，

（m2）

a//b

，则

3m

m3

或者

-1

，

所以

m3

是

m3

或者

m1

的充分不必要条件，

故选：

A

．

【题目点拨】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题

.

5、

D

【解题分析】

构造函数

f



x





【题目详解】

依题意，得

aln

3

3

lnx

，利用导数求得

f



x



的单调区间，由此判断出

a,b,c

的大小关系

.

x

1lnx

ln3lne3ln2ln8

lnx

1



.

令

f(x)

.

所以函数

f(x)

，

be

，

c

，所以

f'(x)

2

3e88

x

x

1

b

，且

f(3)f(8)

，即

ac

，所以

bac

.

e

在

(0,e)

上单调递增，在

(e,)

上单调递减

.

所以

[f(x)]

max

f(e)

故选：

D.

【题目点拨】

本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题

.

6、

C

【解题分析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案

.

【题目详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

，即，表示直线在轴的截距加上1，

根据图像知，当

故选：.

时，且时，有最大值为.

【题目点拨】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键

.

7、

C

【解题分析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可

.

【题目详解】

A

：当

k0,ta

时，

a

n+1

a

，显然符合



a

n



是等差数列，但是此时

k1

不成立，故本说法不正确；

B

：当

k0,ta

时，

a

n+1

a

，显然符合



a

n



是等比数列，但是此时

t0

不成立，故本说法不正确；

C

：当

k1

时，因此有

a

n+1

a

n

ka

n

ta

n

t

常数，因此



a

n



是等差数列，因此当



a

n



不是等差数列时，一定

有

k1

，故本说法正确；

D

：当

ta0

时，若

k0

时，显然数列



a

n



是等比数列，故本说法不正确

.

故选：

C

【题目点拨】

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题

.

8、

B

【解题分析】

先求出集合

A

和它的补集，然后求得集合

B

的解集，最后取它们的交集得出结果

.

【题目详解】

log

2

x2log

2

4

，对于集合

A

，解得

x1

或

x2

，故

C

R

A1,2

.

对于集合

B

，解得

0x4

.



x2



x1



0

，

故



C

R

A



B



0,2

.

故选

B.

【题目点拨】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算

.

对于有两个根的一元

二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为

0

，然后通过因式分解，求得对应的一元二

次方程的两个根，再利用

“

大于在两边，小于在中间

”

来求得一元二次不等式的解集

.

9、

D

【解题分析】

直接根据几何概型公式计算得到答案

.

【题目详解】

根据几何概型：

p

故选：

D

.

【题目点拨】

本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力

.

10、

A

【解题分析】

由奇函数定义求出

f(0)

和

f(2)

．

【题目详解】





S8018



.

，故

S

92005

2



上的奇函数，

f(0)0

.

又当

x



0,2

时，因为

f(x)

是定义在



2,

f(x)2

x

1,f



2



f



2







2

2

1



3

，

f



2



f



0



3

.

故选：

A

．

【题目点拨】

本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．

11、

B

【解题分析】

根据题意可得

BC⊥

平面

ACD

，

EF∥BC

，则

CBG

即异面直线

BG

与

EF

所成的角，连接

CG

，在

Rt△CBG

中，

