2024年4月10日发(作者：莱元枫)

22

中学数学

　　　　　　　　　　　　2006年第6期

lnx

函数

y

=的图像性质及其应用

x

325000　浙江省温州市第二十一中学　许光军

1　

引例

这是2005年高考全国卷(Ⅲ)文理第6

3

,c=

ln5

,则(　　).题:若a=

ln

2

2

,b=

ln

35

(A)a

(C)c

2

=ln2

1

ln3

=

2

,b=解　∵　a=

ln

23

11111

ln3

3

,c=

ln

5

5

=ln5

5

,只需比较2

2

,3

3

,5

5

的大小,

∵　(2

2

)

6

=2

3

<3

2

=(3

3

)

6

,

(5

5

)

10

=5

2

<2

5

=(2

2

)

10

,

　5

5

<2

2

<3

3

,

5

<

ln2

<

ln3

,∴　

ln

523

即　c

这道题目形式小而精炼,系统考察学生

对指数、对数运算性质以及对数函数单调性

的掌握,作为文理科考生共同的题目是比较

2

=公正的.如果换一种思路:因为a=

ln

2

ln4

,题目实质上是比较b=

ln3

,a=

ln4

,c

434

5

的大小,可以构造函数f(x)=

lnx

,=

ln

5x

x

需要研究函数f(x)=

ln

x

的图像性质.

2　

函数y=

∴

111

11

11

∴　f(x)在x∈(e,+∞)上是减函数;

x

当x=e时,函数f(x)=

ln

x

有最大值

1

;

e

当x→+∞时,f(x)→0;

当x→0时,f(x)→-∞.

x

的图像如图1:所以,函数f(x)=

ln

x

定义域:　(0,+∞);

值域:　(-∞,

1

e

];

单调性:f(x)在(0,e)上

是增函数,在(e,+∞)上

是减函数;函数的图像分

别以x、y轴为渐进线.

图1

x

的单调性,再看引根据函数f(x)=

ln

x

例:

∵　f(x)在x∈(e,+∞)上是减函数,

且e<3<4<5,

5ln4ln3

∴　

ln

5

<

4

<

3

,

即c

由于高三数学文科教材选修Ⅰ,没有函

数lnx的导数,以及对

u

v

求导的内容,所以这

道题作为理科的考题更合适,作为文科的考

题在解法上稍显单一.

3　

性质的应用

回顾高考历史,发现有一些题目直接应

x

的图像性质来解答非常便用函数y=

ln

x

利.

例1　(1983年高考理科卷)

(1)已知a,b为实数,且e

是自然对数的底,证明a

b

>b

a

;

(2)如果正实数a,b满足a

b

=b

a

,且a<

1,证明a=b.

lnx

的图像性质

x

x

求导:对函数f(x)=

ln

x

x

.f′(x)=

1-

x

ln

2

当0

∴　f′(x)>0,

∴　f(x)在x∈(0,e)上是增函数;

当x>e时,lnx>1,

∴　f′(x)<0,

2006年第6期　　　　　　　　　　　　

中学数学

证明　(1)当e

b

>b

a

,

alnb

只需证　blna>alnb,即证　

ln

a

>

b

.

x

　(x>0).构造函数f(x)=

ln

x

∵　f(x)在x∈(e,+∞)上是减函数,

且e

a

>

lnb

,∴　f(a)>f(b),即　

ln

ab

∴　a

b

>b

a

.

(2)因为a,b是正实数,且满足a

b

=b

a

,

a

=

lnb

.所以　blna=alnb,即　

ln

ba

x

　(x>0).构造函数f(x)=

ln

x

∵　00,

∴　0

b

<1,

则0

a

=a

b

<1.

∵　a>0,　∴　0

又　a,b∈(0,1),假设a≠b,

∵　f(x)在(0,1)上是增函数,

∴　f(a)≠f(b),

a

≠

lnb

,得　a

b

≠b

a

,即　

ln

ab

这与题目的条件a

b

=b

a

相矛盾,所以

a=b.

例2　(2001年高考上海卷第16题)用计

算器演算函数y=

lg

x

x

　(x>1)的若干个

值,可以猜想下列命题的真命题只能是

(　　).

(A)y=

lg

x

x

在(1,+∞)上是单调减函数

(B)y=

lg

x

x

在x∈(1,+∞)上的值域

　为[0,

lg

3

3

]

(C)y=

lg

x

x

在x∈(1,+∞)上有最小值

lgn

=0,　n∈N

*

.(D)y=lim

n→∞

n

lnx

,根据函

2024年4月10日发(作者：莱元枫)

22

中学数学

　　　　　　　　　　　　2006年第6期

lnx

函数

y

=的图像性质及其应用

x

325000　浙江省温州市第二十一中学　许光军

1　

引例

这是2005年高考全国卷(Ⅲ)文理第6

3

,c=

ln5

,则(　　).题:若a=

ln

2

2

,b=

ln

35

(A)a

(C)c

2

=ln2

1

ln3

=

2

,b=解　∵　a=

ln

23

11111

ln3

3

,c=

ln

5

5

=ln5

5

,只需比较2

2

,3

3

,5

5

的大小,

∵　(2

2

)

6

=2

3

<3

2

=(3

3

)

6

,

(5

5

)

10

=5

2

<2

5

=(2

2

)

10

,

　5

5

<2

2

<3

3

,

5

<

ln2

<

ln3

,∴　

ln

523

即　c

这道题目形式小而精炼,系统考察学生

对指数、对数运算性质以及对数函数单调性

的掌握,作为文理科考生共同的题目是比较

2

=公正的.如果换一种思路:因为a=

ln

2

ln4

,题目实质上是比较b=

ln3

,a=

ln4

,c

434

5

的大小,可以构造函数f(x)=

lnx

,=

ln

5x

x

需要研究函数f(x)=

ln

x

的图像性质.

2　

函数y=

∴

111

11

11

∴　f(x)在x∈(e,+∞)上是减函数;

x

当x=e时,函数f(x)=

ln

x

有最大值

1

;

e

当x→+∞时,f(x)→0;

当x→0时,f(x)→-∞.

x

的图像如图1:所以,函数f(x)=

ln

x

定义域:　(0,+∞);

值域:　(-∞,

1

e

];

单调性:f(x)在(0,e)上

是增函数,在(e,+∞)上

是减函数;函数的图像分

别以x、y轴为渐进线.

图1

x

的单调性,再看引根据函数f(x)=

ln

x

例:

∵　f(x)在x∈(e,+∞)上是减函数,

且e<3<4<5,

5ln4ln3

∴　

ln

5

<

4

<

3

,

即c

由于高三数学文科教材选修Ⅰ,没有函

数lnx的导数,以及对

u

v

求导的内容,所以这

道题作为理科的考题更合适,作为文科的考

题在解法上稍显单一.

3　

性质的应用

回顾高考历史,发现有一些题目直接应

x

的图像性质来解答非常便用函数y=

ln

x

利.

例1　(1983年高考理科卷)

(1)已知a,b为实数,且e

是自然对数的底,证明a

b

>b

a

;

(2)如果正实数a,b满足a

b

=b

a

,且a<

1,证明a=b.

lnx

的图像性质

x

x

求导:对函数f(x)=

ln

x

x

.f′(x)=

1-

x

ln

2

当0

∴　f′(x)>0,

∴　f(x)在x∈(0,e)上是增函数;

当x>e时,lnx>1,

∴　f′(x)<0,

2006年第6期　　　　　　　　　　　　

中学数学

证明　(1)当e

b

>b

a

,

alnb

只需证　blna>alnb,即证　

ln

a

>

b

.

x

　(x>0).构造函数f(x)=

ln

x

∵　f(x)在x∈(e,+∞)上是减函数,

且e

a

>

lnb

,∴　f(a)>f(b),即　

ln

ab

∴　a

b

>b

a

.

(2)因为a,b是正实数,且满足a

b

=b

a

,

a

=

lnb

.所以　blna=alnb,即　

ln

ba

x

　(x>0).构造函数f(x)=

ln

x

∵　00,

∴　0

b

<1,

则0

a

=a

b

<1.

∵　a>0,　∴　0

又　a,b∈(0,1),假设a≠b,

∵　f(x)在(0,1)上是增函数,

∴　f(a)≠f(b),

a

≠

lnb

,得　a

b

≠b

a

,即　

ln

ab

这与题目的条件a

b

=b

a

相矛盾,所以

a=b.

例2　(2001年高考上海卷第16题)用计

算器演算函数y=

lg

x

x

　(x>1)的若干个

值,可以猜想下列命题的真命题只能是

(　　).

(A)y=

lg

x

x

在(1,+∞)上是单调减函数

(B)y=

lg

x

x

在x∈(1,+∞)上的值域

　为[0,

lg

3

3

]

(C)y=

lg

x

x

在x∈(1,+∞)上有最小值

lgn

=0,　n∈N

*

.(D)y=lim

n→∞

n

lnx

,根据函