2024年4月12日发(作者：简燕婉)

基于动态啮合力的齿轮磨损量计算方法

张周立;郑长松;陈建文;娄伟鹏;李慧珠;杜秋

【摘 要】针对直齿轮磨损问题,考虑到齿轮动态特性对磨损的影响,联合Archard

公式和齿轮动力学方程建立了基于动态啮合力的齿轮磨损定量计算模型.基于动力

学方程求出动态啮合力,将动态啮合力及滑动系数代入Archard公式计算磨损量;将

磨损量视为齿形误差重构齿廓,并重新计算动态啮合力及滑动系数;反复迭代则可得

到动态啮合力和磨损量的变化规律.进行齿轮磨损试验,采用光谱仪分析油液中Fe

元素浓度变化,得到齿轮磨损量的变化规律及磨损系数K,通过仿真结果与试验结果

的对比验证了模型的准确性.最后对齿轮的磨损状态进行仿真预测,结果表明,当主动

轮运转5. 578×107次后,总磨损量达到2. 085 g,动态啮合力峰值超过理论值的4

倍,有过载风险;以此作为阈值则可得到齿轮的磨损寿命.仿真模型对于齿轮的磨损寿

命预测和抗磨损设计具有重要的工程意义.%A wear prediction model under

dynamic conditions for involute spur gears was proposed based on

Archard’s wear equation and a dynamic model of gear system. The

dynamic model was used to calculate the dynamic meshing force, which

would be put into Archard’s wear equation with sliding coefficient to

calculate the surface wear. And then,the dynamic meshing force and

sliding coefficient would be updated according to the wear of gears

surface. With iterative computations, the trends of dynamic meshing force

and wear amount can be obtained. After that, the gear wear experiment

was carried out by using spectrometer to test the density of Fe in the oil,

by which the actual wear amount and the dimensionless wear coefficient

were obtained. Compared the test values of the wear amount with the

simulation values, the accuracy of the simulation model was proved. Finally,

more simulation are done to predict the future wear of gears. The

simulation results show it has the risk of overload when the driving gear

run after 55. 78 million cycles, the wear amount reaches 2. 085 g, and the

peak of dynamic meshing force is more than 4 times of the unweared. The

proposed model could be used for the the prediction of gears wear life

and design of gears, which has a important engineering significance.

【期刊名称】《广西大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2018(043)003

【总页数】11页(P880-890)

【关键词】齿轮;磨损;Archard模型;动力学模型;齿廓重构

【作 者】张周立;郑长松;陈建文;娄伟鹏;李慧珠;杜秋

【作者单位】北京理工大学 机械与车辆学院,北京 100081;北京理工大学 机械与车

辆学院,北京 100081;北京电动车辆协同创新中心,北京 100081;江麓机电集团有限

公司,湖南 湘谭 411100;北京理工大学 机械与车辆学院,北京 100081;北京理工大

学 机械与车辆学院,北京 100081;北京理工大学 机械与车辆学院,北京 100081

【正文语种】中 文

【中图分类】TH117.1

0 引 言

磨损是影响齿轮使用性能及寿命的重要因素之一，而采用实验方法研究齿轮磨损寿

命不仅成本高，周期长，且实验结果缺乏普适性[1]，故对齿轮磨损进行数值仿真

[2]是一条行之有效的新途径。

Flodin等[3]利用Winker弹性方程计算接触压力，再结合Archard公式，建立了

齿轮轻微磨损的仿真模型。Bajpai等[4]在此基础之上考虑了齿廓修形与齿形误差

对齿轮磨损的影响。Ding等[5]则研究了齿轮动力学特性与齿面磨损之间的耦合关

系。何荣国等[6]考虑了温度对磨损率的影响，建立了斜齿轮的磨损仿真模型；章

易程[7]提出了基于摩擦功原理的齿轮磨损计算模型。此外，还有许多学者对齿轮

磨损问题进行了数值仿真研究[1,8-9]。目前，国内的研究还是以准静态条件下的

啮合力(简称静态啮合力)或接触应力作为磨损量的计算依据而建立准静态条件下的

磨损仿真模型，没有考虑齿轮接触过程中的动力学特性[10]。而事实上，齿轮在啮

合过程中往往表现出复杂的非线性动力学特性[11]，其实际啮合力，即动态啮合力，

会随着齿轮转速与磨损情况的不同而显著变化，而静态啮合力却不随转速改变，故

准静态条件下的磨损模型并不十分准确。

因此，针对准静态条件下的磨损模型不能反映齿轮动态特性对磨损量的影响这一问

题，本文提出联合Archard公式和齿轮非线性动力学方程求解磨损量的方法，将

计算的磨损量视为齿形误差重构齿廓，并重新计算啮合力及滑动系数，循环迭代，

建立基于动态啮合力的齿轮磨损定量计算模型。考虑齿轮动态特性对磨损量的影响，

研究齿轮磨损过程中的动态啮合力与磨损量的变化规律与耦合关系，以便进行磨损

寿命预测。

图1 齿轮啮合磨损示意图Fig.1 Gear wear schematic diagram

1 齿轮磨损仿真模型

Archard模型的计算公式[8]为：

(1)

式中，dV为体积磨损量；ds为相对滑动距离；K为无量纲磨损系数；F为法向载

荷；H为齿面硬度。

图1为齿轮磨损示意图。设在时间dt内，主动轮上的接触点从Pj运动到Pj+1，

运动距离为接触点法向磨损深度为磨损体积为从动轮上的接触点从Gj运动到

Gj+1，运动距离为接触点法向磨损深度为磨损体积为设主、从动轮齿宽为B，以

主动轮为例，则有：

(2)

(3)

将式(2)～(3)代入式(1)，整理可得：

(4)

根据滑动系数的定义，有故式(4)可化为：

(5)

为了便于数值计算，首先对齿廓进行离散化处理，将一个啮合周期内(一对齿从进

入到退出啮合的整个过程)参与啮合的齿廓部分按主动轮中心转角等间隔离散为

1 000个点。其次，考虑到系统的时变性，对时间进行离散化处理。但考虑到计算

效率，不需要齿轮每啮合磨损一次就对齿廓进行重构，故这里假设每个时间步长内

各啮合点的状态参数不变，直到主、从动轮上任一点的磨损量达到阈值而使啮合力

显著改变为止，阈值取1 μm[10]。将磨损量视为齿形误差，重构齿廓，循环迭代

求解。设主、从动轮各点每个时间步长内的磨损量分别为则经过N个时间步长后

总的磨损量分别为：

(6)

(7)

式中，Fj,n为法向载荷；分别为主、从动轮滑动系数；ipg为传动比；mn为主动

轮在第n个时间步长内的运转次数；下标j和n分别表示第n个时间步长和第j个

点；上标p代表主动轮，g代表从动轮。

2 齿轮动力学模型

图2 齿轮系统动力学模型Fig.2 Dynamic model of gear system

以一对直齿轮为研究对象，假设齿轮轴均为刚性轴，则可将系统等效为图2所示

的弹簧转子动力学模型。其中，Tp、Tg分别为输入、输出力矩；mp、mg和Ip、

Ig分别为主、从动轮的质量和转动惯量；θp、θg分别为主、从动轮角位移；Rp、

Rg分别主、从动轮基圆半径；np、ng分别为主、从动轮转速；e(t)为齿形误差，

它是由齿廓修形、加工误差以及磨损等引起的齿形偏差；f(δ)为齿轮系统间隙函

数； b′为齿侧间隙；k(t)和c(t)分别为系统的等效啮合刚度和阻尼。考虑摩擦转矩，

系统的动力学方程为[12]：

(8)

式中，nz为同时参与啮合的最多轮齿对数，文中只研究重合度小于2的齿轮副，

故nz=2；Fi为动态啮合力；ρpi和ρgi分别为主、从动轮在啮合点处的摩擦力臂；

μi为摩擦系数；Λi为符号函数，用来表征摩擦转矩的作用方向；下标i表示同时

参与啮合的第i对齿。

对于任意啮合齿对，根据动力学模型，啮合力Fi为啮合齿对间的弹性力与阻尼力

之和，其表达式为：

(9)

摩擦力矩方向系数与主、从动轮在啮合点的相对滑动方向有关，而主、从动轮相对

滑动方向的分界点为节点，故Λi的表达式可写为[12]：

(10)

式中，v1、v2分别为主、从动轮在啮合点处沿齿面的切向速度。

主、从动轮在啮合点处的摩擦力臂即为啮合点处主、从动轮的曲率半径，根据几何

关系可得：

(11)

(12)

式中，a′为实际中心距；α′为节圆压力角；Rag为从动轮齿顶圆半径。

当有两对齿同时啮合时， 2个啮合点在啮合线上相距1个基圆齿距，而啮合刚度、

齿形误差、摩擦力臂等参数都是啮合位置的函数，故只要知道其中一对齿的啮合位

置，则可根据几何关系求得另一对齿的啮合位置，然后据此求出该对齿的状态参数。

2.1 时变啮合刚度及阻尼

啮合刚度与啮合位置及参与啮合的齿对数目有关，呈周期性变化。根据材料力学法，

单对齿在任意点J处啮合的刚度包括主、从动轮轮齿弯曲和剪切刚度kBj1、kBj2，

基体变形刚度kMj1、kMj2，接触变形刚度khj，各部分刚度计算公式分别为[13-

14]：

(13)

(14)

(15)

则单对齿啮合的综合刚度由以上三部分刚度组成，其表达式为：

(16)

依次求出各个离散点的刚度，将其结合起来则可得到单对齿在一个啮合周期内的刚

度函数ki(t)。当有多对轮齿同时参与啮合时，总的啮合刚度为各对轮齿啮合刚度

之和。

求出啮合刚度后，啮合阻尼的计算公式为[15]：

(17)

式中，ξ为阻尼比，根据经验可取ξ≈0.06。

2.2 齿轮系统间隙函数

以某对齿刚进入啮合时为计时起点，即θp(0)=0，θg(0)=0，则齿轮系统间隙函数

为[15]：

(18)

式中，δ(t)=Rpθp(t)-Rgθg(t)-e(t)，为齿轮系统沿啮合线方向的动态传递误差；

齿侧间隙b′的表达式为b′=2a0cosα·(invα′-invα)+b0。其中，a0为理论中心距，

α为分度圆压力角，b0为齿厚变化引起的齿侧间隙，取b0=0。

当f(δ)>0，表示齿面处于正常啮合状态，其值即为啮合点处的变形量；当f(δ)=0，

表示脱齿状态，即由于齿侧间隙的存在，在传动过程中，主、从动轮轮齿之间产生

短暂脱离的状态，但随后两齿轮的轮齿会再次接触，并产生齿面冲击；当f(δ)<0，

表示齿背接触及其相应的变形量。

3 齿廓重构及滑动系数

3.1 齿廓重构

建立如图3所示的坐标系。其中，xpOpyp与主动轮固联，yp轴为圆心Op和主

动轮基圆与渐开线交点连线；xgOgyg与从动轮固联，yg轴为圆心Og和从动轮

基圆与渐开线交点连线；xOpy为固定坐标系[8]。根据几何关系，点的坐标可以在

三个坐标系中任意转换。分别在坐标系xpOpyp、xgOgyg中进行齿廓重构，以

主动轮为例，如图4所示，齿轮上某点Pj,0磨损至Pj,n，法向磨损深度为则根据

几何关系，点Pj,n的坐标可由点Pj,0和累积磨损深度求得，即：

(19)

式中，为点Pj,0的坐标；即为∠ypOpN1，是齿廓离散化时各离散点对应的主动轮

中心转角，其与压力角之间的关系为故一对齿整个啮合周期内对应的角范围与有关，

其初始值并不为0。分别计算各个离散点磨损后的新坐标，由此便可得到磨损后新

的齿廓。

图3 坐标系建立示意图Fig.3 Coordinate systems diagram

图4 齿廓重构示意图Fig.4 Reconstruction of tooth profile

图5 接触点重构示意图Fig.5 Illustration of the reconstruction

of contact points

3.2 磨损后滑动系数

滑动系数用以表示齿面间相对滑动的程度，它与齿轮的啮合位置有关。随着齿廓的

磨损，主、从动轮上原本相啮合的点不再接触，需要重新确定从动轮上与主动轮上

各离散点相接触的点，以此计算滑动系数。

如图5所示，未磨损时主、从动轮齿廓如图中虚线所示，此时主动轮上第j点恰好

与从动轮上第j点在啮合线上接触；当齿轮磨损后，其齿廓如图中实线所示，主动

轮上第j点磨损至点Pj,n，从动轮上第j点磨损至Gj,n，两点不再接触。设Pj,n与

从动轮上点接触，从图5中可初步判断点在点Gj,n和Gj-1,n之间，则点可近似处

理为线段与以主动轮中心O为圆心，以为半径的圆的交点。求得的点的坐标需要

从坐标系xOpy变换到坐标系xgOgyg中，用以求两个离散点之间的距离。

依次确定从动轮上与主动轮上各离散点对应的新啮合点，然后求出主、从动轮上两

相邻离散点间的距离，则主、从动轮上各点磨损后的滑动系数为：

(20)

(21)

式中，为主动轮上第j点到第j+1点的距离；为从动轮上第j点到第j+1点的距离。

3.3 干涉分析

图6 干涉分析示意图Fig.6 Illustration of interference analysis

计算出滑动系数后，还需要进一步分析是否存在干涉。如图6所示，计算出点

Pj,n转动到点的附加转角φj,n，然后让主动轮旋转角φj,n。若除了点Pj,n之外，

主、从动轮还有其他地方接触或交叠，则说明产生干涉。

考虑到轮齿变形，设置一个判断条件，若主、从动轮重叠量小于该值，则认为轮齿

变形后，点Pj,n仍可和点接触；若主、从动轮重叠量大于该值，则说明点Pj,n不

可能与点接触，将其滑动系数置0。根据齿轮动力学系统，齿轮啮合时的变形量即

为齿轮系统间隙函数f(δ)。将齿轮系统变形考虑进去，如图6所示，当主动轮旋转

附加转角后，主动轮明显有部分齿廓进入干涉边界以内，故认为干涉成立，该对点

不能接触，滑动系数为0。

4 磨损仿真计算

齿轮系统各参数如表1所示，计算流程如图7所示。其中的磨损系数K取定值，

由试验获得。保持齿轮运转工况恒定，初始时刻，取主、从动轮齿形误差为0，采

用四阶龙格库塔法解动力学方程(8)，求出各离散点的动态啮合力，然后将动态啮

合力及滑动系数代入磨损模型(6)、(7)中，求出一个步长内主、从动轮各啮合点处

的磨损量；将主、从动轮累积磨损量作为齿形误差，即令重新代入动力学方程式(8)

中计算各点的啮合力，并重构齿廓，计算滑动系数，然后重新计算磨损量；反复迭

代，则可得出任意循环次数下齿轮各点的磨损情况，以及磨损后各点的动态啮合力

的变化规律。

表1 齿轮系统参数Tab.1 Parameters of the gear system参数 主动轮从动轮

齿数1683模数m/mm2.52.5压力角α/(°)2020齿宽B/mm1616实际中心距

a'/mm124124质量/kg1.13916.8017转动惯量/(kg·mm2)136.0521833弹性模

量E/MPa2泊松比λ0.30.3动摩擦因数μ0.040.04无量纲磨损系数

K1.265×10-71.265×10-7齿面硬度H/HBS278278扭矩/(N·m)20.5102转速

/(r·min-1)2900559

图7 计算流程图Fig.7 Calculation flow chart

图8为动态啮合力的变化规律图，其横坐标啮合位置即为齿廓离散化时所取的

1 000个离散点。随着齿轮的不断磨损，动态啮合力的分布由连续、平缓、近似对

称的波状分布，逐渐变成间断起伏的不规则分布；其间有0值出现，这说明齿轮

运转过程中有脱齿现象发生，其运行状态有所恶化。此外，动态啮合力的振幅及峰

值也有些许提升。

图9为主动轮磨损深度的变化规律图。由图9可得，在不同时间步长内，其磨损

深度近似呈V形分布，在节点处形成谷底，并沿齿顶和齿根两个方向逐渐平缓增

长，最后在靠近两端时又略微下降。磨损最为严重的地方为齿根部，齿顶次之，节

点处最小，这与实际相符,且如图9(a)所示，刚开始磨损时齿面上形成一个个平滑

的凸峰，而由于干涉现象的存在，凸峰又逐渐被磨平，磨损后的齿形比较光滑。节

点处一开始几乎不磨损，后来其磨损量也开始显著增加。磨损导致齿形误差及其导

数变化，从而影响啮合力及动力学方程的耦合求解，而动态啮合力的改变则会影响

下一步长磨损量的分布，同时，滑动系数的求解也与齿形息息相关，这些因素相互

耦合，故磨损后的齿形是多个因素相互耦合作用的结果。

图8 不同步长的动态啮合力Fig.8

Dynamic meshing force of the gear pair running after different time steps

(a) 初期磨损

(b) 稳定磨损

图9 不同啮合次数下主动轮总的高度磨损量Fig.9

Total wear depth of driving gear running after different cycles

5 试验验证

试验装置如图10所示，采用Y132S-2三相异步电机为动力源，利用液压泵进行

加载，并在齿轮箱两侧装上转速转矩仪，用以控制工况条件，使之保持不变。待测

齿轮箱为单级传动齿轮，其参数如表1所示，试验工况亦按照表1进行加载。待

测齿轮箱中初始时刻有润滑油1.5 L，在试验过程中，每隔3 h从齿轮箱中取油

100 mL，采用MOA光谱仪对油样进行分析，检测油液中Fe元素浓度的变化规

律。由于齿轮箱中油量有限，在提取油样后需要立即补充新油，由此造成元素浓度

下降，故需要进行补油修正，即先由原始测试结果得到的箱体油液中的Fe元素总

质量，在此基础之上加上每次取油和补油而损失的Fe元素的质量，然后除以油液

体积得到修正后的Fe元素浓度。图11为实验原始数据及补油修正后的结果。

1.电机；2,4.转矩转速仪；3.齿轮箱；5.加载泵图10 齿轮磨损试验台Fig.10

Gear wear test device

图11 Fe浓度变化规律Fig.11 Trend of the density of Fe

根据油液中Fe元素浓度的变化规律和齿轮箱中的油量，可以计算出油箱中磨屑含

Fe的质量，再由齿轮材料中Fe的质量分数，则可得到齿轮磨损量的变化规律。仿

真模型中磨损系数K是由试验得到的，其具体过程：先根据经验取磨损系数K，

然后进行仿真计算，将某一固定运行时间的磨损总量的仿真值与试验值进行对比，

按比例不断修正磨损系数并重新进行仿真计算，直到仿真值与试验值之间的误差小

于阈值。这里以38 h的试验数据修正磨损系数。需要指出的是，为了尽量缩短试

验时间，并使磨损效果显著，试验齿轮仅仅进行了表面氧化处理，并没有经过表面

热处理，故其磨损系数相对于经验值大很多。

将主、从动轮的总磨损量进行对比，间接验证仿真模型。如图12所示，总磨损量

的变化规律仿真值与试验值比较接近，当主动轮运行1.66×106次时，试验测得

总磨损量为1.052 9 g，仿真值为0.910 1 g，相对误差为13.55%，两者比较接

近。由于实际磨损过程中磨损系数K值不易得知，这里只是采用试验结果求得一

个平均意义上的固定的K值，因而试验结果与仿真结果存在差异。此外，将齿轮

系统简化成二自由度动力学模型本身存在误差，严格意义上轴并不是完全刚性，两

齿轮轴中心线也并非理想状态下处于相互平行且间距不变的状态。

利用该模型对齿轮未来状态进行预测，当计算到5 033个步长时，主动轮运行

5.578×107次，总的磨损量达到2.085 g，其动态啮合力峰值超过理论值

(Tp/Rp=1 090.8 N)的4倍。啮合力峰值的变化规律如图13所示，起初峰值缓慢

上升并基本保持稳定，而后短暂下降后迅速上升，达到理论值的4倍以上。随着

齿面的磨损，齿侧间隙逐渐增大，机构振动加剧，主、从动轮在运转过程中的角加

速度和惯性力矩的峰值及振幅随之增大，结合动力学方程(7)可发现，啮合力的峰

值及振幅必随之增大。只是前期齿轮磨损量较小时，啮合力峰值变化不明显，当磨

损量达到一定的程度后，啮合力峰值开始显著增加。第5 033个步长的啮合力分

布如图14所示，此时啮合力的分布已经呈现为一个个不连续的凸峰，且在刚进入

啮合时产生极大的瞬间冲击力，有过载风险。整个过程中总磨损量及磨损率的变化

规律如图15所示。可以看到，磨损率拟合曲线近似呈浴盆曲线分布，分别对应磨

损的3个阶段。当主动轮运行5×107次时，啮合力峰值开始迅速上升，此时磨损

率也开始增长；当主动轮运行5.578×107次时，啮合力峰值已经超过理论值的4

倍，磨损率相较稳定期也有明显的增大，以此作为齿轮磨损寿命的判断阈值，则可

得到齿轮磨损寿命为5.578×107次。

图12 主、从动轮总磨损量的变化规律Fig.12

Total wear mass of driving and drivien gear

图13 啮合力峰值变化图Fig.13 Trend of the peak of meshing force

图14 第5 033步长的啮合力Fig.14

Dynamic meshing force at the 5033th time step

图15 总磨损量及磨损率变化规律Fig.15

Trends of total wear mass and wear rate

6 结 论

通过将Archard公式与齿轮非线性动力学方程联合，并建立三坐标系系统以完成

齿廓重构和滑动系数更新，得到了动态条件下的齿轮磨损定量计算模型。相比于准

静态条件下的齿轮磨损模型，该模型考虑了齿轮动态特性对磨损的影响，并揭示了

齿轮磨损后期轮齿可能冲击折断的原因。通过试验和仿真相结合的方法，可得出以

下结论：

① 随着磨损的进行，动态啮合力的分布由连续、平缓、近似对称的波状分布逐渐

变成间断起伏的不规则分布，其间有0值出现，这表明有脱齿现象发生；其峰值

先缓慢波动上升，后维持稳定，最后在经历短暂的下降趋势后开始迅速上升，并超

过理论值的4倍；此时，在进入啮合时产生强烈的瞬间冲击力，可能导致轮齿过

载损坏。

② 齿轮早期磨损后的磨损深度呈V形分布，齿根处磨损量最大，齿顶次之，节点

最小；其磨损率近似呈浴盆曲线分布。

③ 基于动态啮合力的磨损量计算方法能对齿轮磨损后期啮合力峰值及磨损率的变

化拐点进行预测，并能以啮合力峰值是否超过理论值的4倍作为阈值的判断标准，

由此预测齿轮的磨损寿命。这对于齿轮的磨损寿命预测和抗磨损设计具有重要的工

程意义。

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2024年4月12日发(作者：简燕婉)

基于动态啮合力的齿轮磨损量计算方法

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【摘 要】针对直齿轮磨损问题,考虑到齿轮动态特性对磨损的影响,联合Archard

公式和齿轮动力学方程建立了基于动态啮合力的齿轮磨损定量计算模型.基于动力

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磨损量视为齿形误差重构齿廓,并重新计算动态啮合力及滑动系数;反复迭代则可得

到动态啮合力和磨损量的变化规律.进行齿轮磨损试验,采用光谱仪分析油液中Fe

元素浓度变化,得到齿轮磨损量的变化规律及磨损系数K,通过仿真结果与试验结果

的对比验证了模型的准确性.最后对齿轮的磨损状态进行仿真预测,结果表明,当主动

轮运转5. 578×107次后,总磨损量达到2. 085 g,动态啮合力峰值超过理论值的4

倍,有过载风险;以此作为阈值则可得到齿轮的磨损寿命.仿真模型对于齿轮的磨损寿

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Archard’s wear equation and a dynamic model of gear system. The

dynamic model was used to calculate the dynamic meshing force, which

would be put into Archard’s wear equation with sliding coefficient to

calculate the surface wear. And then,the dynamic meshing force and

sliding coefficient would be updated according to the wear of gears

surface. With iterative computations, the trends of dynamic meshing force

and wear amount can be obtained. After that, the gear wear experiment

was carried out by using spectrometer to test the density of Fe in the oil,

by which the actual wear amount and the dimensionless wear coefficient

were obtained. Compared the test values of the wear amount with the

simulation values, the accuracy of the simulation model was proved. Finally,

more simulation are done to predict the future wear of gears. The

simulation results show it has the risk of overload when the driving gear

run after 55. 78 million cycles, the wear amount reaches 2. 085 g, and the

peak of dynamic meshing force is more than 4 times of the unweared. The

proposed model could be used for the the prediction of gears wear life

and design of gears, which has a important engineering significance.

【期刊名称】《广西大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2018(043)003

【总页数】11页(P880-890)

【关键词】齿轮;磨损;Archard模型;动力学模型;齿廓重构

【作 者】张周立;郑长松;陈建文;娄伟鹏;李慧珠;杜秋

【作者单位】北京理工大学 机械与车辆学院,北京 100081;北京理工大学 机械与车

辆学院,北京 100081;北京电动车辆协同创新中心,北京 100081;江麓机电集团有限

公司,湖南 湘谭 411100;北京理工大学 机械与车辆学院,北京 100081;北京理工大

学 机械与车辆学院,北京 100081;北京理工大学 机械与车辆学院,北京 100081

【正文语种】中 文

【中图分类】TH117.1

0 引 言

磨损是影响齿轮使用性能及寿命的重要因素之一，而采用实验方法研究齿轮磨损寿

命不仅成本高，周期长，且实验结果缺乏普适性[1]，故对齿轮磨损进行数值仿真

[2]是一条行之有效的新途径。

Flodin等[3]利用Winker弹性方程计算接触压力，再结合Archard公式，建立了

齿轮轻微磨损的仿真模型。Bajpai等[4]在此基础之上考虑了齿廓修形与齿形误差

对齿轮磨损的影响。Ding等[5]则研究了齿轮动力学特性与齿面磨损之间的耦合关

系。何荣国等[6]考虑了温度对磨损率的影响，建立了斜齿轮的磨损仿真模型；章

易程[7]提出了基于摩擦功原理的齿轮磨损计算模型。此外，还有许多学者对齿轮

磨损问题进行了数值仿真研究[1,8-9]。目前，国内的研究还是以准静态条件下的

啮合力(简称静态啮合力)或接触应力作为磨损量的计算依据而建立准静态条件下的

磨损仿真模型，没有考虑齿轮接触过程中的动力学特性[10]。而事实上，齿轮在啮

合过程中往往表现出复杂的非线性动力学特性[11]，其实际啮合力，即动态啮合力，

会随着齿轮转速与磨损情况的不同而显著变化，而静态啮合力却不随转速改变，故

准静态条件下的磨损模型并不十分准确。

因此，针对准静态条件下的磨损模型不能反映齿轮动态特性对磨损量的影响这一问

题，本文提出联合Archard公式和齿轮非线性动力学方程求解磨损量的方法，将

计算的磨损量视为齿形误差重构齿廓，并重新计算啮合力及滑动系数，循环迭代，

建立基于动态啮合力的齿轮磨损定量计算模型。考虑齿轮动态特性对磨损量的影响，

研究齿轮磨损过程中的动态啮合力与磨损量的变化规律与耦合关系，以便进行磨损

寿命预测。

图1 齿轮啮合磨损示意图Fig.1 Gear wear schematic diagram

1 齿轮磨损仿真模型

Archard模型的计算公式[8]为：

(1)

式中，dV为体积磨损量；ds为相对滑动距离；K为无量纲磨损系数；F为法向载

荷；H为齿面硬度。

图1为齿轮磨损示意图。设在时间dt内，主动轮上的接触点从Pj运动到Pj+1，

运动距离为接触点法向磨损深度为磨损体积为从动轮上的接触点从Gj运动到

Gj+1，运动距离为接触点法向磨损深度为磨损体积为设主、从动轮齿宽为B，以

主动轮为例，则有：

(2)

(3)

将式(2)～(3)代入式(1)，整理可得：

(4)

根据滑动系数的定义，有故式(4)可化为：

(5)

为了便于数值计算，首先对齿廓进行离散化处理，将一个啮合周期内(一对齿从进

入到退出啮合的整个过程)参与啮合的齿廓部分按主动轮中心转角等间隔离散为

1 000个点。其次，考虑到系统的时变性，对时间进行离散化处理。但考虑到计算

效率，不需要齿轮每啮合磨损一次就对齿廓进行重构，故这里假设每个时间步长内

各啮合点的状态参数不变，直到主、从动轮上任一点的磨损量达到阈值而使啮合力

显著改变为止，阈值取1 μm[10]。将磨损量视为齿形误差，重构齿廓，循环迭代

求解。设主、从动轮各点每个时间步长内的磨损量分别为则经过N个时间步长后

总的磨损量分别为：

(6)

(7)

式中，Fj,n为法向载荷；分别为主、从动轮滑动系数；ipg为传动比；mn为主动

轮在第n个时间步长内的运转次数；下标j和n分别表示第n个时间步长和第j个

点；上标p代表主动轮，g代表从动轮。

2 齿轮动力学模型

图2 齿轮系统动力学模型Fig.2 Dynamic model of gear system

以一对直齿轮为研究对象，假设齿轮轴均为刚性轴，则可将系统等效为图2所示

的弹簧转子动力学模型。其中，Tp、Tg分别为输入、输出力矩；mp、mg和Ip、

Ig分别为主、从动轮的质量和转动惯量；θp、θg分别为主、从动轮角位移；Rp、

Rg分别主、从动轮基圆半径；np、ng分别为主、从动轮转速；e(t)为齿形误差，

它是由齿廓修形、加工误差以及磨损等引起的齿形偏差；f(δ)为齿轮系统间隙函

数； b′为齿侧间隙；k(t)和c(t)分别为系统的等效啮合刚度和阻尼。考虑摩擦转矩，

系统的动力学方程为[12]：

(8)

式中，nz为同时参与啮合的最多轮齿对数，文中只研究重合度小于2的齿轮副，

故nz=2；Fi为动态啮合力；ρpi和ρgi分别为主、从动轮在啮合点处的摩擦力臂；

μi为摩擦系数；Λi为符号函数，用来表征摩擦转矩的作用方向；下标i表示同时

参与啮合的第i对齿。

对于任意啮合齿对，根据动力学模型，啮合力Fi为啮合齿对间的弹性力与阻尼力

之和，其表达式为：

(9)

摩擦力矩方向系数与主、从动轮在啮合点的相对滑动方向有关，而主、从动轮相对

滑动方向的分界点为节点，故Λi的表达式可写为[12]：

(10)

式中，v1、v2分别为主、从动轮在啮合点处沿齿面的切向速度。

主、从动轮在啮合点处的摩擦力臂即为啮合点处主、从动轮的曲率半径，根据几何

关系可得：

(11)

(12)

式中，a′为实际中心距；α′为节圆压力角；Rag为从动轮齿顶圆半径。

当有两对齿同时啮合时， 2个啮合点在啮合线上相距1个基圆齿距，而啮合刚度、

齿形误差、摩擦力臂等参数都是啮合位置的函数，故只要知道其中一对齿的啮合位

置，则可根据几何关系求得另一对齿的啮合位置，然后据此求出该对齿的状态参数。

2.1 时变啮合刚度及阻尼

啮合刚度与啮合位置及参与啮合的齿对数目有关，呈周期性变化。根据材料力学法，

单对齿在任意点J处啮合的刚度包括主、从动轮轮齿弯曲和剪切刚度kBj1、kBj2，

基体变形刚度kMj1、kMj2，接触变形刚度khj，各部分刚度计算公式分别为[13-

14]：

(13)

(14)

(15)

则单对齿啮合的综合刚度由以上三部分刚度组成，其表达式为：

(16)

依次求出各个离散点的刚度，将其结合起来则可得到单对齿在一个啮合周期内的刚

度函数ki(t)。当有多对轮齿同时参与啮合时，总的啮合刚度为各对轮齿啮合刚度

之和。

求出啮合刚度后，啮合阻尼的计算公式为[15]：

(17)

式中，ξ为阻尼比，根据经验可取ξ≈0.06。

2.2 齿轮系统间隙函数

以某对齿刚进入啮合时为计时起点，即θp(0)=0，θg(0)=0，则齿轮系统间隙函数

为[15]：

(18)

式中，δ(t)=Rpθp(t)-Rgθg(t)-e(t)，为齿轮系统沿啮合线方向的动态传递误差；

齿侧间隙b′的表达式为b′=2a0cosα·(invα′-invα)+b0。其中，a0为理论中心距，

α为分度圆压力角，b0为齿厚变化引起的齿侧间隙，取b0=0。

当f(δ)>0，表示齿面处于正常啮合状态，其值即为啮合点处的变形量；当f(δ)=0，

表示脱齿状态，即由于齿侧间隙的存在，在传动过程中，主、从动轮轮齿之间产生

短暂脱离的状态，但随后两齿轮的轮齿会再次接触，并产生齿面冲击；当f(δ)<0，

表示齿背接触及其相应的变形量。

3 齿廓重构及滑动系数

3.1 齿廓重构

建立如图3所示的坐标系。其中，xpOpyp与主动轮固联，yp轴为圆心Op和主

动轮基圆与渐开线交点连线；xgOgyg与从动轮固联，yg轴为圆心Og和从动轮

基圆与渐开线交点连线；xOpy为固定坐标系[8]。根据几何关系，点的坐标可以在

三个坐标系中任意转换。分别在坐标系xpOpyp、xgOgyg中进行齿廓重构，以

主动轮为例，如图4所示，齿轮上某点Pj,0磨损至Pj,n，法向磨损深度为则根据

几何关系，点Pj,n的坐标可由点Pj,0和累积磨损深度求得，即：

(19)

式中，为点Pj,0的坐标；即为∠ypOpN1，是齿廓离散化时各离散点对应的主动轮

中心转角，其与压力角之间的关系为故一对齿整个啮合周期内对应的角范围与有关，

其初始值并不为0。分别计算各个离散点磨损后的新坐标，由此便可得到磨损后新

的齿廓。

图3 坐标系建立示意图Fig.3 Coordinate systems diagram

图4 齿廓重构示意图Fig.4 Reconstruction of tooth profile

图5 接触点重构示意图Fig.5 Illustration of the reconstruction

of contact points

3.2 磨损后滑动系数

滑动系数用以表示齿面间相对滑动的程度，它与齿轮的啮合位置有关。随着齿廓的

磨损，主、从动轮上原本相啮合的点不再接触，需要重新确定从动轮上与主动轮上

各离散点相接触的点，以此计算滑动系数。

如图5所示，未磨损时主、从动轮齿廓如图中虚线所示，此时主动轮上第j点恰好

与从动轮上第j点在啮合线上接触；当齿轮磨损后，其齿廓如图中实线所示，主动

轮上第j点磨损至点Pj,n，从动轮上第j点磨损至Gj,n，两点不再接触。设Pj,n与

从动轮上点接触，从图5中可初步判断点在点Gj,n和Gj-1,n之间，则点可近似处

理为线段与以主动轮中心O为圆心，以为半径的圆的交点。求得的点的坐标需要

从坐标系xOpy变换到坐标系xgOgyg中，用以求两个离散点之间的距离。

依次确定从动轮上与主动轮上各离散点对应的新啮合点，然后求出主、从动轮上两

相邻离散点间的距离，则主、从动轮上各点磨损后的滑动系数为：

(20)

(21)

式中，为主动轮上第j点到第j+1点的距离；为从动轮上第j点到第j+1点的距离。

3.3 干涉分析

图6 干涉分析示意图Fig.6 Illustration of interference analysis

计算出滑动系数后，还需要进一步分析是否存在干涉。如图6所示，计算出点

Pj,n转动到点的附加转角φj,n，然后让主动轮旋转角φj,n。若除了点Pj,n之外，

主、从动轮还有其他地方接触或交叠，则说明产生干涉。

考虑到轮齿变形，设置一个判断条件，若主、从动轮重叠量小于该值，则认为轮齿

变形后，点Pj,n仍可和点接触；若主、从动轮重叠量大于该值，则说明点Pj,n不

可能与点接触，将其滑动系数置0。根据齿轮动力学系统，齿轮啮合时的变形量即

为齿轮系统间隙函数f(δ)。将齿轮系统变形考虑进去，如图6所示，当主动轮旋转

附加转角后，主动轮明显有部分齿廓进入干涉边界以内，故认为干涉成立，该对点

不能接触，滑动系数为0。

4 磨损仿真计算

齿轮系统各参数如表1所示，计算流程如图7所示。其中的磨损系数K取定值，

由试验获得。保持齿轮运转工况恒定，初始时刻，取主、从动轮齿形误差为0，采

用四阶龙格库塔法解动力学方程(8)，求出各离散点的动态啮合力，然后将动态啮

合力及滑动系数代入磨损模型(6)、(7)中，求出一个步长内主、从动轮各啮合点处

的磨损量；将主、从动轮累积磨损量作为齿形误差，即令重新代入动力学方程式(8)

中计算各点的啮合力，并重构齿廓，计算滑动系数，然后重新计算磨损量；反复迭

代，则可得出任意循环次数下齿轮各点的磨损情况，以及磨损后各点的动态啮合力

的变化规律。

表1 齿轮系统参数Tab.1 Parameters of the gear system参数 主动轮从动轮

齿数1683模数m/mm2.52.5压力角α/(°)2020齿宽B/mm1616实际中心距

a'/mm124124质量/kg1.13916.8017转动惯量/(kg·mm2)136.0521833弹性模

量E/MPa2泊松比λ0.30.3动摩擦因数μ0.040.04无量纲磨损系数

K1.265×10-71.265×10-7齿面硬度H/HBS278278扭矩/(N·m)20.5102转速

/(r·min-1)2900559

图7 计算流程图Fig.7 Calculation flow chart

图8为动态啮合力的变化规律图，其横坐标啮合位置即为齿廓离散化时所取的

1 000个离散点。随着齿轮的不断磨损，动态啮合力的分布由连续、平缓、近似对

称的波状分布，逐渐变成间断起伏的不规则分布；其间有0值出现，这说明齿轮

运转过程中有脱齿现象发生，其运行状态有所恶化。此外，动态啮合力的振幅及峰

值也有些许提升。

图9为主动轮磨损深度的变化规律图。由图9可得，在不同时间步长内，其磨损

深度近似呈V形分布，在节点处形成谷底，并沿齿顶和齿根两个方向逐渐平缓增

长，最后在靠近两端时又略微下降。磨损最为严重的地方为齿根部，齿顶次之，节

点处最小，这与实际相符,且如图9(a)所示，刚开始磨损时齿面上形成一个个平滑

的凸峰，而由于干涉现象的存在，凸峰又逐渐被磨平，磨损后的齿形比较光滑。节

点处一开始几乎不磨损，后来其磨损量也开始显著增加。磨损导致齿形误差及其导

数变化，从而影响啮合力及动力学方程的耦合求解，而动态啮合力的改变则会影响

下一步长磨损量的分布，同时，滑动系数的求解也与齿形息息相关，这些因素相互

耦合，故磨损后的齿形是多个因素相互耦合作用的结果。

图8 不同步长的动态啮合力Fig.8

Dynamic meshing force of the gear pair running after different time steps

(a) 初期磨损

(b) 稳定磨损

图9 不同啮合次数下主动轮总的高度磨损量Fig.9

Total wear depth of driving gear running after different cycles

5 试验验证

试验装置如图10所示，采用Y132S-2三相异步电机为动力源，利用液压泵进行

加载，并在齿轮箱两侧装上转速转矩仪，用以控制工况条件，使之保持不变。待测

齿轮箱为单级传动齿轮，其参数如表1所示，试验工况亦按照表1进行加载。待

测齿轮箱中初始时刻有润滑油1.5 L，在试验过程中，每隔3 h从齿轮箱中取油

100 mL，采用MOA光谱仪对油样进行分析，检测油液中Fe元素浓度的变化规

律。由于齿轮箱中油量有限，在提取油样后需要立即补充新油，由此造成元素浓度

下降，故需要进行补油修正，即先由原始测试结果得到的箱体油液中的Fe元素总

质量，在此基础之上加上每次取油和补油而损失的Fe元素的质量，然后除以油液

体积得到修正后的Fe元素浓度。图11为实验原始数据及补油修正后的结果。

1.电机；2,4.转矩转速仪；3.齿轮箱；5.加载泵图10 齿轮磨损试验台Fig.10

Gear wear test device

图11 Fe浓度变化规律Fig.11 Trend of the density of Fe

根据油液中Fe元素浓度的变化规律和齿轮箱中的油量，可以计算出油箱中磨屑含

Fe的质量，再由齿轮材料中Fe的质量分数，则可得到齿轮磨损量的变化规律。仿

真模型中磨损系数K是由试验得到的，其具体过程：先根据经验取磨损系数K，

然后进行仿真计算，将某一固定运行时间的磨损总量的仿真值与试验值进行对比，

按比例不断修正磨损系数并重新进行仿真计算，直到仿真值与试验值之间的误差小

于阈值。这里以38 h的试验数据修正磨损系数。需要指出的是，为了尽量缩短试

验时间，并使磨损效果显著，试验齿轮仅仅进行了表面氧化处理，并没有经过表面

热处理，故其磨损系数相对于经验值大很多。

将主、从动轮的总磨损量进行对比，间接验证仿真模型。如图12所示，总磨损量

的变化规律仿真值与试验值比较接近，当主动轮运行1.66×106次时，试验测得

总磨损量为1.052 9 g，仿真值为0.910 1 g，相对误差为13.55%，两者比较接

近。由于实际磨损过程中磨损系数K值不易得知，这里只是采用试验结果求得一

个平均意义上的固定的K值，因而试验结果与仿真结果存在差异。此外，将齿轮

系统简化成二自由度动力学模型本身存在误差，严格意义上轴并不是完全刚性，两

齿轮轴中心线也并非理想状态下处于相互平行且间距不变的状态。

利用该模型对齿轮未来状态进行预测，当计算到5 033个步长时，主动轮运行

5.578×107次，总的磨损量达到2.085 g，其动态啮合力峰值超过理论值

(Tp/Rp=1 090.8 N)的4倍。啮合力峰值的变化规律如图13所示，起初峰值缓慢

上升并基本保持稳定，而后短暂下降后迅速上升，达到理论值的4倍以上。随着

齿面的磨损，齿侧间隙逐渐增大，机构振动加剧，主、从动轮在运转过程中的角加

速度和惯性力矩的峰值及振幅随之增大，结合动力学方程(7)可发现，啮合力的峰

值及振幅必随之增大。只是前期齿轮磨损量较小时，啮合力峰值变化不明显，当磨

损量达到一定的程度后，啮合力峰值开始显著增加。第5 033个步长的啮合力分

布如图14所示，此时啮合力的分布已经呈现为一个个不连续的凸峰，且在刚进入

啮合时产生极大的瞬间冲击力，有过载风险。整个过程中总磨损量及磨损率的变化

规律如图15所示。可以看到，磨损率拟合曲线近似呈浴盆曲线分布，分别对应磨

损的3个阶段。当主动轮运行5×107次时，啮合力峰值开始迅速上升，此时磨损

率也开始增长；当主动轮运行5.578×107次时，啮合力峰值已经超过理论值的4

倍，磨损率相较稳定期也有明显的增大，以此作为齿轮磨损寿命的判断阈值，则可

得到齿轮磨损寿命为5.578×107次。

图12 主、从动轮总磨损量的变化规律Fig.12

Total wear mass of driving and drivien gear

图13 啮合力峰值变化图Fig.13 Trend of the peak of meshing force

图14 第5 033步长的啮合力Fig.14

Dynamic meshing force at the 5033th time step

图15 总磨损量及磨损率变化规律Fig.15

Trends of total wear mass and wear rate

6 结 论

通过将Archard公式与齿轮非线性动力学方程联合，并建立三坐标系系统以完成

齿廓重构和滑动系数更新，得到了动态条件下的齿轮磨损定量计算模型。相比于准

静态条件下的齿轮磨损模型，该模型考虑了齿轮动态特性对磨损的影响，并揭示了

齿轮磨损后期轮齿可能冲击折断的原因。通过试验和仿真相结合的方法，可得出以

下结论：

① 随着磨损的进行，动态啮合力的分布由连续、平缓、近似对称的波状分布逐渐

变成间断起伏的不规则分布，其间有0值出现，这表明有脱齿现象发生；其峰值

先缓慢波动上升，后维持稳定，最后在经历短暂的下降趋势后开始迅速上升，并超

过理论值的4倍；此时，在进入啮合时产生强烈的瞬间冲击力，可能导致轮齿过

载损坏。

② 齿轮早期磨损后的磨损深度呈V形分布，齿根处磨损量最大，齿顶次之，节点

最小；其磨损率近似呈浴盆曲线分布。

③ 基于动态啮合力的磨损量计算方法能对齿轮磨损后期啮合力峰值及磨损率的变

化拐点进行预测，并能以啮合力峰值是否超过理论值的4倍作为阈值的判断标准，

由此预测齿轮的磨损寿命。这对于齿轮的磨损寿命预测和抗磨损设计具有重要的工

程意义。

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