2024年4月12日发(作者：夔寰)

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导数及其应用综合检测综合测试题（有答案）

第一章 导数及其应用综合检测 时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2010•全国Ⅱ

文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，

则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，

b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [答案] A [解析] y′＝2x＋a，∴y′|x

＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1， 将(0，b)代入切线方程得b＝1. 2．一

物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为( ) A．v＝

2sint＋2tcost＋1 B．v＝2sint＋2tcost C．v＝2sint D．v＝2sint

＋2cost＋1 [答案] A [解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是

路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sint＋2tcost＋1，故选A.

3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( ) A．4 B．5

C．6 D．7 [答案] D [解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋

3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导

数，y′|x＝2＝7，故选D. 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( ) A．极

大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值

为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极

大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 [答案] B [解析]

y＝x|x(x－3)|＋1 ＝x3－3x2＋1 (x<0或x>3)－x3＋3x2＋1

(0≤x≤3) ∴y′＝3x2－6x (x<0或x>3)－3x2＋6x (0≤x≤3) x

变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3)

3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) �� 无极值 �� 极

大值5 �� 极小值1 �� ∴f(x)极大＝f(2)＝5，f(x)极小＝f(3)

＝1 故应选B. 5．(2009•安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)

＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方

程是( ) A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 [答

案] A [解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直

线方程的点斜式． ∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ∴f(2－x)＝

2f(x)－x2－4x＋4， ∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x， ∴曲线y＝f(x)

在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y

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＝2x－1. 6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取

得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] D [解析]

f′(x)＝3x2＋2ax＋3， ∵f(x)在x＝－3时取得极值， ∴x＝－3

是方程3x2＋2ax＋3＝0的根， ∴a＝5，故选D. 7．设f(x)，g(x)

分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋

f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，

＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) [答案] D [解析] 令F(x)＝

f(x)•g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋

f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又

F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知

f(0)＝0，∴F(0)＝0. 又由g(－3)＝0，知g(3)＝0 ∴F(－3)＝0，

进而F(3)＝0 于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示 ∴F(x)＝

f(x)•g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D. 8．下面四图

都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的

序号是( ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ [答案] B [解析]

③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正

确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.

9．(2010•湖南理，5)241xdx等于( ) A．－2ln2 B．2ln2 C．－

ln2 D．ln2 [答案] D [解析] 因为(lnx)′＝1x， 所以 241xdx

＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2. 10．已知三次函数f(x)＝13x3－(4m－

1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取

值范围是( ) A．m<2或m>4 B．－4

不正确 [答案] D [解析] f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，

由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－

1)2－4(15m2－2m－7) ＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28 ＝4(m2－6m

＋8)≤0， ∴2≤m≤4，故选D. 11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在

区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c( ) A．有最大值152 B．有

最大值－152 C．有最小值152 D．有最小值－152 [答案] B [解析]

由题意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成立． 所

以f′(－1)≤0f′(2)≤0 即2b－c－3≥04b＋c＋12≤0 令b＋c＝z，

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b＝－c＋z，如图 过A－6，－32得z最大， 最大值为b＋c＝－6－

32＝－152.故应选B. 12．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的

可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a

A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(b)>f(b)g(x)

D．f(x)g(x)>f(a)g(x) [答案] C [解析] 令F(x)＝f(x)g(x) 则

F′(x)＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)<0 f(x)、g(x)是定义域为R

恒大于零的实数 ∴F(x)在R上为递减函数， 当x∈(a，b)时，

f(x)g(x)>f(b)g(b) ∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．故应选C. 二、填空题(本

大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线

上) 13.－2－1dx(11＋5x)3＝________. [答案] 772 [解析] 取

F(x)＝－110(5x＋11)2， 从而F′(x)＝1(11＋5x)3 则－2－1dx(11

＋5x)3＝F(－1)－F(－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.

14．若函数f(x)＝ax2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的

取值范围是________． [答案] a≥0 [解析] f′(x)＝ax－1x′＝

a＋1x2， 由题意得，a＋1x2≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立， ∴a≥

－1x2，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0. 15．(2009•陕西理，16)设曲

线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，

令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________． [答案] －2 [解

析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质． k＝

y′|x＝1＝n＋1， ∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，x＝

nn＋1，∴an＝lgnn＋1， ∴原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100 ＝

lg12×23×…×99100＝lg1100＝－2. 16．如图阴影部分是由曲线y

＝1x，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________． [答

案] 23＋ln2 [解析] 由y2＝x，y＝1x，得交点A(1,1) 由x＝2y

＝1x得交点B2，12. 故所求面积S＝01xdx＋121xdx ＝23x3210＋

lnx21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010•

江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)当a＝1

时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为12，求

a的值． [解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)， f ′(x)＝1x－12

－x＋a， (1)当a＝1时，f ′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的

2024年4月12日发(作者：夔寰)

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导数及其应用综合检测综合测试题（有答案）

第一章 导数及其应用综合检测 时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2010•全国Ⅱ

文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，

则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，

b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [答案] A [解析] y′＝2x＋a，∴y′|x

＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1， 将(0，b)代入切线方程得b＝1. 2．一

物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为( ) A．v＝

2sint＋2tcost＋1 B．v＝2sint＋2tcost C．v＝2sint D．v＝2sint

＋2cost＋1 [答案] A [解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是

路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sint＋2tcost＋1，故选A.

3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( ) A．4 B．5

C．6 D．7 [答案] D [解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋

3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导

数，y′|x＝2＝7，故选D. 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( ) A．极

大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值

为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极

大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 [答案] B [解析]

y＝x|x(x－3)|＋1 ＝x3－3x2＋1 (x<0或x>3)－x3＋3x2＋1

(0≤x≤3) ∴y′＝3x2－6x (x<0或x>3)－3x2＋6x (0≤x≤3) x

变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3)

3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) �� 无极值 �� 极

大值5 �� 极小值1 �� ∴f(x)极大＝f(2)＝5，f(x)极小＝f(3)

＝1 故应选B. 5．(2009•安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)

＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方

程是( ) A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 [答

案] A [解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直

线方程的点斜式． ∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ∴f(2－x)＝

2f(x)－x2－4x＋4， ∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x， ∴曲线y＝f(x)

在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y

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＝2x－1. 6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取

得极值，则a等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] D [解析]

f′(x)＝3x2＋2ax＋3， ∵f(x)在x＝－3时取得极值， ∴x＝－3

是方程3x2＋2ax＋3＝0的根， ∴a＝5，故选D. 7．设f(x)，g(x)

分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋

f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，

＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) [答案] D [解析] 令F(x)＝

f(x)•g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋

f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又

F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知

f(0)＝0，∴F(0)＝0. 又由g(－3)＝0，知g(3)＝0 ∴F(－3)＝0，

进而F(3)＝0 于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示 ∴F(x)＝

f(x)•g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D. 8．下面四图

都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的

序号是( ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ [答案] B [解析]

③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正

确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.

9．(2010•湖南理，5)241xdx等于( ) A．－2ln2 B．2ln2 C．－

ln2 D．ln2 [答案] D [解析] 因为(lnx)′＝1x， 所以 241xdx

＝lnx|42＝ln4－ln2＝ln2. 10．已知三次函数f(x)＝13x3－(4m－

1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取

值范围是( ) A．m<2或m>4 B．－4

不正确 [答案] D [解析] f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，

由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－

1)2－4(15m2－2m－7) ＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28 ＝4(m2－6m

＋8)≤0， ∴2≤m≤4，故选D. 11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在

区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c( ) A．有最大值152 B．有

最大值－152 C．有最小值152 D．有最小值－152 [答案] B [解析]

由题意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在[－1,2]上，f′(x)≤0恒成立． 所

以f′(－1)≤0f′(2)≤0 即2b－c－3≥04b＋c＋12≤0 令b＋c＝z，

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b＝－c＋z，如图 过A－6，－32得z最大， 最大值为b＋c＝－6－

32＝－152.故应选B. 12．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的

可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a

A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(b)>f(b)g(x)

D．f(x)g(x)>f(a)g(x) [答案] C [解析] 令F(x)＝f(x)g(x) 则

F′(x)＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)<0 f(x)、g(x)是定义域为R

恒大于零的实数 ∴F(x)在R上为递减函数， 当x∈(a，b)时，

f(x)g(x)>f(b)g(b) ∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．故应选C. 二、填空题(本

大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线

上) 13.－2－1dx(11＋5x)3＝________. [答案] 772 [解析] 取

F(x)＝－110(5x＋11)2， 从而F′(x)＝1(11＋5x)3 则－2－1dx(11

＋5x)3＝F(－1)－F(－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.

14．若函数f(x)＝ax2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的

取值范围是________． [答案] a≥0 [解析] f′(x)＝ax－1x′＝

a＋1x2， 由题意得，a＋1x2≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立， ∴a≥

－1x2，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0. 15．(2009•陕西理，16)设曲

线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，

令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________． [答案] －2 [解

析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质． k＝

y′|x＝1＝n＋1， ∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，x＝

nn＋1，∴an＝lgnn＋1， ∴原式＝lg12＋lg23＋…＋lg99100 ＝

lg12×23×…×99100＝lg1100＝－2. 16．如图阴影部分是由曲线y

＝1x，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________． [答

案] 23＋ln2 [解析] 由y2＝x，y＝1x，得交点A(1,1) 由x＝2y

＝1x得交点B2，12. 故所求面积S＝01xdx＋121xdx ＝23x3210＋

lnx21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010•

江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)当a＝1

时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为12，求

a的值． [解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)， f ′(x)＝1x－12

－x＋a， (1)当a＝1时，f ′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的