2024年4月15日发(作者：通妞妞)

2022-2023学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期期末测试

（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合

A．

{3,2}

C．

{0,1,2}

【答案】A

【分析】根据集合的运算法则计算．

【详解】由题意

故选：A．

x

2．已知命题

p:



xN,2x1

，则命题

p

的否定为（

）

xx

A．



xN,2x1

B．



xN,2x1

x

C．



xN,2x1

x

D．



xN,2x1

A



xx1



B



3,2,1,0,1,2



AB

，，则



R



（

）

B．

{3,2,1}

D．

{1,0,1,2}



R

A{x|x1}

，所以

(

R

A)B{3,2}

．

【答案】D

【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.

【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：

xx

命题

p:



xN,2x1

的否定为：



xN,2x1

.

故选：D

16

a



()



0.2

ccosπ

e5

，则（

）3．设，

blg2

，

A．

acb

C．

b

【答案】D

B．

c

D．

cba

【分析】由指数函数的性质求得

a1

，由对数函数的性质求得

b(0,1)

，由三角函数的诱导公式，

可得

c0

，即可得到答案.

11

a



()



0.2



()

0



1

ee

【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，

由对数函数的性质，可得

blg2lg101

且

b0

，即

b(0,1)

，

由三角函数的诱导公式，可得

所以

cba

.

故选：D.

4．若

c



cos

6





cos(





)



cos



0

555

，







0,





，

tan





1



6

tan



，则

sin



cos





（

）



23

3

C．



2

D．

3

23

A．

3

23

3

B．

【答案】A

【分析】利用切化弦化简技巧结合

tan





2

1

1



6

sin



cos





tan



6

，再由







0,





可得出可得出

12sin



cos



sin



0

，

cos



0

，再由



sin



cos





可计算出

sin



cos



的值.

1

1sin



cos



sin

2





cos

2



sin



cos





tan





6

6

，

tan



cos



sin



sin



cos



【详解】因为，所以









0,





，则

sin



0

，

cos



0

，

sin



cos



0

.

2

所以



sin





cos







1



2sin



cos





4

23

sin





cos





3

，所以

3

，

故选：A.

【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用



sin



cos





2

12sin



cos



计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

5．已知角



的终边上一点

P(x

0

,2x

0

)

2

A．

5

(x

0

0)

，则

sin



cos





（

）

2

B．

5



D．以上答案都不对

2

C．

5



【答案】C

【分析】可由题意，利用坐标分别表示出

sin



和cos



，然后再计算

sin



cos



即可得到答案.

sin





【详解】因为角



的终边上一点

P(x

0

,2x

0

)

，所以



2x

0

(x

0

)

2



(



2x

0

)

2





2x

0

5x

0

2

，

cos





x

0

(x

0

)



(



2x

0

)

22



x

0

5x

0

2

sin



cos





，所以



2x

0

5x

0

2



x

0

5x

0

2



2x

0

2

2



5x

0

2

5

.

故选：C.

x

2

+



a2



x5a0



2,4



x

6．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数

a

的取值范围是

（

）

A．



6,2



B．



6,4





13







,



2





C．



3



13







,



4





D．



3

【答案】D

【分析】根据二次函数零点的分布列不等式组求解.

【详解】令

f(x)x

2

+



a2



x5a

，要满足在



2,4



上有两个不相等的实根，则



f



2





a



5



0



f



4





3a



13



0







2



a





2,4





2



13





a



,



4



2





Δ



a



16



0





3



，解得

故选：D

7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释

放出的能量

E

（单位：焦耳）与地震里氏震级

M

之间的关系为

lgE4.81.5M

.

2011

年

3

月

11

日，日

本东北部海域发生里氏

9.0

级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山

县发生7.0级地震级地震的（

）倍.

A．

10

3

B．

3

C．

lg3

D．

10



3

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.

【详解】令日本东北部海域发生里氏

9.0

级地震释放出来的能量为

E

1

，芦山县发生7.0级地震释放

出来的能量为

E

2

，

lg

则有

E

1

E

1



lgE

1



lgE

2



(4.8



1.5



9)



(4.8



1.5



7)



3



10

3

E

2

，即

E

2

，

3

所以所求结果为

10

倍.

故选：A

f



x



log

2

19

xx



log

2

fxfx



xx

x

12

2

．

28

，若（其中

1

），则

1

x

2

的最小值为8．已知函数

（

）．

3

A．

4

【答案】B

3

B．

2

C．2D．4

【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得

x

1

x

2

16

，利用均值不等式求最值即可.

xx

f



x



log

2

log

2

(log

2

x1)(log

2

x3)log

2

2

x4log

2

x3

28

【详解】,

由

f



x

1



f



x

2



，

log

2

x

1

log

2

x

2

4

，

即

x

1

x

2

16

，

19933



2



2



x

1

x

2

x

1

x

2

42



19

4



x

1

,x

2

12

3

，当且仅当

x

1

x

2

，即时等号成立，

故选：B

二、多选题

9．已知函数

f(x)



x



1

|x|

x

，

g(x)2

，则下列选项中正确的有（

）

B．

g(x)

为偶函数

D．

g(x)

有最小值0

A．

f(x)

为奇函数

C．

f(x)

的值域为

[2,)

【答案】AB

【分析】由奇偶性定义可判断AB；利用单调性可判断CD；

【详解】因为

x0

，

当

x0

时，

f(



x)



x



11







x







f



x



f



x



xx



，所以为奇函数，故A正确；

f(x)



x



1

1



2

x



x

x

即

x1

时等号成立；，当且仅当

1



1

f(x)







x





x







2



x





x

即

x=



1

时等号成立；故C错误；当

x0

时，，当且仅当

gx2

|x|

g



x



因为

x



R

，所以



，所以

g(x)

为偶函数，故B正确；

|x|xx

当

x0

时，

g(x)22

是单调递增函数，所以

g(x)21

；

当

x0

时，

故选：AB.

g(x)



2



x

x



1



1







g(x)







1

2



2





是单调递减函数，，故D错误；

x

10．以下四个命题，其中是真命题的有（

）．

A．命题“

xR,sinx1

”的否定是“

xR,sinx1

”

11



b

B．若

ab0

，则

a



C．函数

f(x)log

a

(x1)1(a0

且

a1)

的图象过定点

(2,1)

2

D．若某扇形的周长为6cm，面积为2

cm

，圆心角为



(0



π)

，则



1

【答案】ACD

【分析】对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由不等式的性质可判断；对于C，由对数

函数的性质可判断；对于D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.

【详解】对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；

对于B，若

ab0

，则

ab0

，根据

对于C，当

x2

时，

y



1



1



1

x

的单调性，可知

ab

，故B不正确；

f(2)log

a

(21)11

，故其过定点

(2,1)

，故C正确；



2r



l



6



r



2







1





l



r



2



l



2



2



对于D，设扇形的半径为

r

，弧长为

l

，则有，

11

S



r

2





2

2

2



1

22

又，故D正确.

故选：ACD

11．已知函数

A．函数

B．函数

f



x





log

a



x

1



(

a

1)

，下列说法正确的是（

）．

f



x



f



x



的图象恒过定点



0,0



在区间



0,





上单调递减



1





,1



f



x



C．函数在区间



2



上的最小值为0

D．若对任意

x



1,2



,f



x



1

恒成立，则实数

a

的取值范围是



1,2



【答案】ACD

【分析】代入验证可判断A，由复合函数的单调性判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断

C，由函数单调性建立不等式求解可判断D.

【详解】

当



0,0



代入函数解析式

f



x





log

a



x

1



(

a

1)

，成立，故A正确；



0,





时，

x1(1,)

，又

a1

，所以

f



x





log

a



x

1





log

a



x

1



，由复合函数单调性可

x



0,



时，知，

f



x





log

a



x

1





log

a



x

1



单调递增，故B错误；



1



1

x







,1



x1[,2]



2



时，

2

，所以

f



x





log

a



x

1





log

a

1



0

，故C正确；当

当

f



x





log

a



x

1





log

a

(

x

1)



1

x



1,2



时，恒成立，所以由函数为增函数知

log

a

2



1

即可，解

得

1a2

，故D正确.

故选：ACD





lgx,0



x



2,

f



x











f



4



x



,2



x



4.

若方程

f



x



m

有四个不等实根

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

12．已知函数



x

1

x

2

x

3

x

4



.下列说法正确的是（

）

xx1

A．

12

【答案】ABD

【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到

B．

0mlg2

C．

x

3

x

4

6

m

x104

3

D．

lgx

1

lgx

2

，化简得到A正确，根据图

像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.

【详解】当

2x4

时，

04x2

，

画出函数图像，如图所示：

f



x



f



4x



lg



4x



，

根据图像知：

lgx

1

lgx

2

，即

lg



x

1

x

2



0

，

x

1

x

2

1

，A正确；

0mlg2

，B正确；

x

3





2,3



，

x

4





3,4



，

lg



4x

3



lg



4x

4



，即

lg







4x

3



4x

4







0

2

，



x



x



x

3

x

4



4



x

3



x

4





15





34





4x

3



4x

4



1

，展开得到



2



，即

xx

4

，等号不成立，故C错误；解得

x

3

x

4

6

，由于

3

lg



4x

3



m

故选：ABD

m

m

x104

，D正确.

4x10

3

3

，故，

三、填空题

13．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3

km

(含3

km

)，3

km

到10

km

(含10

km

)每

走1

km

加价1.5元，10

km

后每走1

km

加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20

km

，他应交费

________元.

【答案】26.5

【分析】根据题意求出收费钱数y关于行车路程x的解析式，即可求解.

【详解】设x为行车路程，y为收费钱数，则

∴当x=20时，

y18.50.8(2010)26.5

.

故答案为：26.5.

14．计算

4sin80



cos10





sin10



______



8,0



x



3



y





8



1.5(x



3),3



x



10



18.5



0.8(x



10),x



10



，

【答案】

3

2sin20





cos10





sin10



【分析】由二倍角的正弦公式可得：原式，由两角和差的正弦公式可得

2sin20





cos10



2sin(30





10



)



cos10





sin10



sin10



，再化简求值即可.

cos10



4sin80



sin10





cos10



4sin10



cos10





cos10



4sin80





sin10



sin10sin10

【详解】解：

2sin20





cos10



2sin(30





10



)



cos10



2sin30



cos10





2cos30



sin10





cos10











sin10sin10

sin10



2cos30



sin10





3

sin10



，

故答案为：

3

.

【点睛】本题考查了三角恒等变换及两角和差的正弦公式，属基础题.

15．已知

sin



53











1

3

，且

270



90

，则

sin



37







______.

22

3

【答案】

【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，

再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.

【详解】

sin



37





sin



90(53



)



cos(53



)

，

又

270



90

，

所以

14353



323

，

又

sin



53









1



0

3

，

所以

14353



180

，

所以

cos(53



)

为负值，

22



1



cos(53





)



1



sin

2

(53





)



1







3

.



3



所以

22

3

.故答案为：



x





4



1,x



1



1



f(x)





M





x

∣

f

2

(x)





2t





f(x)



t



0



2









，若集合

M

中有3个



log

2

x



3,x



1

集合16．已知函数

2

元素，则实数

t

的取值范围为________．

1

t}

2

【答案】

{t|t0

或

1

m

2

(2t)mt0

2

【分析】令

f(x)m

，记的两根为

m

1

,m

2

，由题知

f(x)

的图象与直线

ym

1

,ym

2

共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.

1

g(m)m

2

(2t)mt

2

【详解】令

f(x)m

，记的零点为

m

1

,m

2

，

因为集合

M

中有3个元素，所以

f(x)

的图象与直线

ym

1

,ym

2

共有三个交点，



m

1



0



m

1



1



m

1



0



0



m



10



m



10



m

2



1

22

则，



或



或



当

当

m

1

0

时，得

t0

，

m

2



1

2

，满足题意；

m

1

1

时，得

t

1

1

m

2



2

，满足题意；

2

，



g(0)



t



0





m

1



0



1

1



g(1)



1



2t



t



0

t



0



m

2



1

2

2

.当



时，



，解得

1

t}

2

.综上，t的取值范围为

{t|t0

或

1

t}

2

故答案为：

{t|t0

或

2024年4月15日发(作者：通妞妞)

2022-2023学年福建省龙岩市上杭县第一中学高一上学期期末测试

（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合

A．

{3,2}

C．

{0,1,2}

【答案】A

【分析】根据集合的运算法则计算．

【详解】由题意

故选：A．

x

2．已知命题

p:



xN,2x1

，则命题

p

的否定为（

）

xx

A．



xN,2x1

B．



xN,2x1

x

C．



xN,2x1

x

D．



xN,2x1

A



xx1



B



3,2,1,0,1,2



AB

，，则



R



（

）

B．

{3,2,1}

D．

{1,0,1,2}



R

A{x|x1}

，所以

(

R

A)B{3,2}

．

【答案】D

【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.

【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：

xx

命题

p:



xN,2x1

的否定为：



xN,2x1

.

故选：D

16

a



()



0.2

ccosπ

e5

，则（

）3．设，

blg2

，

A．

acb

C．

b

【答案】D

B．

c

D．

cba

【分析】由指数函数的性质求得

a1

，由对数函数的性质求得

b(0,1)

，由三角函数的诱导公式，

可得

c0

，即可得到答案.

11

a



()



0.2



()

0



1

ee

【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，

由对数函数的性质，可得

blg2lg101

且

b0

，即

b(0,1)

，

由三角函数的诱导公式，可得

所以

cba

.

故选：D.

4．若

c



cos

6





cos(





)



cos



0

555

，







0,





，

tan





1



6

tan



，则

sin



cos





（

）



23

3

C．



2

D．

3

23

A．

3

23

3

B．

【答案】A

【分析】利用切化弦化简技巧结合

tan





2

1

1



6

sin



cos





tan



6

，再由







0,





可得出可得出

12sin



cos



sin



0

，

cos



0

，再由



sin



cos





可计算出

sin



cos



的值.

1

1sin



cos



sin

2





cos

2



sin



cos





tan





6

6

，

tan



cos



sin



sin



cos



【详解】因为，所以









0,





，则

sin



0

，

cos



0

，

sin



cos



0

.

2

所以



sin





cos







1



2sin



cos





4

23

sin





cos





3

，所以

3

，

故选：A.

【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用



sin



cos





2

12sin



cos



计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

5．已知角



的终边上一点

P(x

0

,2x

0

)

2

A．

5

(x

0

0)

，则

sin



cos





（

）

2

B．

5



D．以上答案都不对

2

C．

5



【答案】C

【分析】可由题意，利用坐标分别表示出

sin



和cos



，然后再计算

sin



cos



即可得到答案.

sin





【详解】因为角



的终边上一点

P(x

0

,2x

0

)

，所以



2x

0

(x

0

)

2



(



2x

0

)

2





2x

0

5x

0

2

，

cos





x

0

(x

0

)



(



2x

0

)

22



x

0

5x

0

2

sin



cos





，所以



2x

0

5x

0

2



x

0

5x

0

2



2x

0

2

2



5x

0

2

5

.

故选：C.

x

2

+



a2



x5a0



2,4



x

6．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数

a

的取值范围是

（

）

A．



6,2



B．



6,4





13







,



2





C．



3



13







,



4





D．



3

【答案】D

【分析】根据二次函数零点的分布列不等式组求解.

【详解】令

f(x)x

2

+



a2



x5a

，要满足在



2,4



上有两个不相等的实根，则



f



2





a



5



0



f



4





3a



13



0







2



a





2,4





2



13





a



,



4



2





Δ



a



16



0





3



，解得

故选：D

7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释

放出的能量

E

（单位：焦耳）与地震里氏震级

M

之间的关系为

lgE4.81.5M

.

2011

年

3

月

11

日，日

本东北部海域发生里氏

9.0

级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山

县发生7.0级地震级地震的（

）倍.

A．

10

3

B．

3

C．

lg3

D．

10



3

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.

【详解】令日本东北部海域发生里氏

9.0

级地震释放出来的能量为

E

1

，芦山县发生7.0级地震释放

出来的能量为

E

2

，

lg

则有

E

1

E

1



lgE

1



lgE

2



(4.8



1.5



9)



(4.8



1.5



7)



3



10

3

E

2

，即

E

2

，

3

所以所求结果为

10

倍.

故选：A

f



x



log

2

19

xx



log

2

fxfx



xx

x

12

2

．

28

，若（其中

1

），则

1

x

2

的最小值为8．已知函数

（

）．

3

A．

4

【答案】B

3

B．

2

C．2D．4

【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得

x

1

x

2

16

，利用均值不等式求最值即可.

xx

f



x



log

2

log

2

(log

2

x1)(log

2

x3)log

2

2

x4log

2

x3

28

【详解】,

由

f



x

1



f



x

2



，

log

2

x

1

log

2

x

2

4

，

即

x

1

x

2

16

，

19933



2



2



x

1

x

2

x

1

x

2

42



19

4



x

1

,x

2

12

3

，当且仅当

x

1

x

2

，即时等号成立，

故选：B

二、多选题

9．已知函数

f(x)



x



1

|x|

x

，

g(x)2

，则下列选项中正确的有（

）

B．

g(x)

为偶函数

D．

g(x)

有最小值0

A．

f(x)

为奇函数

C．

f(x)

的值域为

[2,)

【答案】AB

【分析】由奇偶性定义可判断AB；利用单调性可判断CD；

【详解】因为

x0

，

当

x0

时，

f(



x)



x



11







x







f



x



f



x



xx



，所以为奇函数，故A正确；

f(x)



x



1

1



2

x



x

x

即

x1

时等号成立；，当且仅当

1



1

f(x)







x





x







2



x





x

即

x=



1

时等号成立；故C错误；当

x0

时，，当且仅当

gx2

|x|

g



x



因为

x



R

，所以



，所以

g(x)

为偶函数，故B正确；

|x|xx

当

x0

时，

g(x)22

是单调递增函数，所以

g(x)21

；

当

x0

时，

故选：AB.

g(x)



2



x

x



1



1







g(x)







1

2



2





是单调递减函数，，故D错误；

x

10．以下四个命题，其中是真命题的有（

）．

A．命题“

xR,sinx1

”的否定是“

xR,sinx1

”

11



b

B．若

ab0

，则

a



C．函数

f(x)log

a

(x1)1(a0

且

a1)

的图象过定点

(2,1)

2

D．若某扇形的周长为6cm，面积为2

cm

，圆心角为



(0



π)

，则



1

【答案】ACD

【分析】对于A，根据全称命题的否定可判断；对于B，由不等式的性质可判断；对于C，由对数

函数的性质可判断；对于D，由扇形的周长、面积公式计算可判断.

【详解】对于A，由全称命题的否定，可知选项A正确；

对于B，若

ab0

，则

ab0

，根据

对于C，当

x2

时，

y



1



1



1

x

的单调性，可知

ab

，故B不正确；

f(2)log

a

(21)11

，故其过定点

(2,1)

，故C正确；



2r



l



6



r



2







1





l



r



2



l



2



2



对于D，设扇形的半径为

r

，弧长为

l

，则有，

11

S



r

2





2

2

2



1

22

又，故D正确.

故选：ACD

11．已知函数

A．函数

B．函数

f



x





log

a



x

1



(

a

1)

，下列说法正确的是（

）．

f



x



f



x



的图象恒过定点



0,0



在区间



0,





上单调递减



1





,1



f



x



C．函数在区间



2



上的最小值为0

D．若对任意

x



1,2



,f



x



1

恒成立，则实数

a

的取值范围是



1,2



【答案】ACD

【分析】代入验证可判断A，由复合函数的单调性判断B，根据绝对值的意义及对数的运算可判断

C，由函数单调性建立不等式求解可判断D.

【详解】

当



0,0



代入函数解析式

f



x





log

a



x

1



(

a

1)

，成立，故A正确；



0,





时，

x1(1,)

，又

a1

，所以

f



x





log

a



x

1





log

a



x

1



，由复合函数单调性可

x



0,



时，知，

f



x





log

a



x

1





log

a



x

1



单调递增，故B错误；



1



1

x







,1



x1[,2]



2



时，

2

，所以

f



x





log

a



x

1





log

a

1



0

，故C正确；当

当

f



x





log

a



x

1





log

a

(

x

1)



1

x



1,2



时，恒成立，所以由函数为增函数知

log

a

2



1

即可，解

得

1a2

，故D正确.

故选：ACD





lgx,0



x



2,

f



x











f



4



x



,2



x



4.

若方程

f



x



m

有四个不等实根

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

12．已知函数



x

1

x

2

x

3

x

4



.下列说法正确的是（

）

xx1

A．

12

【答案】ABD

【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到

B．

0mlg2

C．

x

3

x

4

6

m

x104

3

D．

lgx

1

lgx

2

，化简得到A正确，根据图

像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.

【详解】当

2x4

时，

04x2

，

画出函数图像，如图所示：

f



x



f



4x



lg



4x



，

根据图像知：

lgx

1

lgx

2

，即

lg



x

1

x

2



0

，

x

1

x

2

1

，A正确；

0mlg2

，B正确；

x

3





2,3



，

x

4





3,4



，

lg



4x

3



lg



4x

4



，即

lg







4x

3



4x

4







0

2

，



x



x



x

3

x

4



4



x

3



x

4





15





34





4x

3



4x

4



1

，展开得到



2



，即

xx

4

，等号不成立，故C错误；解得

x

3

x

4

6

，由于

3

lg



4x

3



m

故选：ABD

m

m

x104

，D正确.

4x10

3

3

，故，

三、填空题

13．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3

km

(含3

km

)，3

km

到10

km

(含10

km

)每

走1

km

加价1.5元，10

km

后每走1

km

加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20

km

，他应交费

________元.

【答案】26.5

【分析】根据题意求出收费钱数y关于行车路程x的解析式，即可求解.

【详解】设x为行车路程，y为收费钱数，则

∴当x=20时，

y18.50.8(2010)26.5

.

故答案为：26.5.

14．计算

4sin80



cos10





sin10



______



8,0



x



3



y





8



1.5(x



3),3



x



10



18.5



0.8(x



10),x



10



，

【答案】

3

2sin20





cos10





sin10



【分析】由二倍角的正弦公式可得：原式，由两角和差的正弦公式可得

2sin20





cos10



2sin(30





10



)



cos10





sin10



sin10



，再化简求值即可.

cos10



4sin80



sin10





cos10



4sin10



cos10





cos10



4sin80





sin10



sin10sin10

【详解】解：

2sin20





cos10



2sin(30





10



)



cos10



2sin30



cos10





2cos30



sin10





cos10











sin10sin10

sin10



2cos30



sin10





3

sin10



，

故答案为：

3

.

【点睛】本题考查了三角恒等变换及两角和差的正弦公式，属基础题.

15．已知

sin



53











1

3

，且

270



90

，则

sin



37







______.

22

3

【答案】

【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，

再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.

【详解】

sin



37





sin



90(53



)



cos(53



)

，

又

270



90

，

所以

14353



323

，

又

sin



53









1



0

3

，

所以

14353



180

，

所以

cos(53



)

为负值，

22



1



cos(53





)



1



sin

2

(53





)



1







3

.



3



所以

22

3

.故答案为：



x





4



1,x



1



1



f(x)





M





x

∣

f

2

(x)





2t





f(x)



t



0



2









，若集合

M

中有3个



log

2

x



3,x



1

集合16．已知函数

2

元素，则实数

t

的取值范围为________．

1

t}

2

【答案】

{t|t0

或

1

m

2

(2t)mt0

2

【分析】令

f(x)m

，记的两根为

m

1

,m

2

，由题知

f(x)

的图象与直线

ym

1

,ym

2

共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.

1

g(m)m

2

(2t)mt

2

【详解】令

f(x)m

，记的零点为

m

1

,m

2

，

因为集合

M

中有3个元素，所以

f(x)

的图象与直线

ym

1

,ym

2

共有三个交点，



m

1



0



m

1



1



m

1



0



0



m



10



m



10



m

2



1

22

则，



或



或



当

当

m

1

0

时，得

t0

，

m

2



1

2

，满足题意；

m

1

1

时，得

t

1

1

m

2



2

，满足题意；

2

，



g(0)



t



0





m

1



0



1

1



g(1)



1



2t



t



0

t



0



m

2



1

2

2

.当



时，



，解得

1

t}

2

.综上，t的取值范围为

{t|t0

或

1

t}

2

故答案为：

{t|t0

或