2024年4月21日发(作者：陆翰墨)
摘要：随着信息时代的发展，我们大学生接受知识的途径多种多样，报纸、杂志、图书一直
赢得大学生不同程度的青睐，而且出现了电子图书这个时代的产物，对于这个实际意义较大
的问题就应有简单易懂的模型，让人看起来比较容易接受。优化问题是工程技术、经济管理
和科学研究等领域重做常见的一类问题，在解决极值问题中起着重要作用。零一规划也是常
用的数学工具，能够有效的表示事物的有效性。本文是以一极具有实际意义的问题，而考虑
到建立销售点，使它供书的人数达到最大，那就要在条件约束下建立优化模型，而选择两地
之间是否有销售的关系为他们的决策变量，那样就使人易懂，易于理解。通过建立线性规划
模型，并应用Linggo软件得到最优解，2和5之间建立代售关系即在2（5）建立代售点并向
5(2)售书，4和7之间建立代售关系即在4（7）建立代售点并向7(4)售书，可是大学生的人数
最大，为177千人。最优解可以有多种选择方法，这就有选择的灵活性。
本模型适用于只考虑人数最大的地址的选择，具有较强的实用性和普遍性。
关键字： 售书问题 优化模型 零一规划 Linggo
一．问题叙述
一家出版社准备在某地向七个区大学生供应图书，每个区的大学生数量如图所示（单位：千
人），出版社准备在该市设立两个图书代理销售点，每个代理点只能想该地区和一个相邻的
地区售书，出版社知道售书覆盖的人群越大，所获得的利润也就大，所以出版社要选择两个
恰当的代理销售点使覆盖的人群最大。现在所要解决的是选在合适的代理销售点。
二．问题分析
书是人们进步的阶梯，售书问题普遍受到人们的关注。近年来随着科学技术的发展，电
子图书、网上书城等的出现，人们阅读的方式越来越多，而书的销售问题也越来越受销售商
的关注。如何选择待销售点才能使卖出的书最多，销售商获得的利益最大，成为问题的关键
所在。
在许多候选地区中选择最优的地区，制定最优的规划方案，显然必须建立优化模型，每个地
区都选与不选的可能性，这就必须用到0—1规划模型，立两个销售代理点, 在满足以下的条
件的情况下，要想得到一个最优计划，出版社就需要设计一个合理有效的投资方案：
1.只能建立两个销售代理点。
2.每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书
在上述要求中，将每两个相邻地区之间连线表示该地区建立售代关系，这种售代关系据有建
立与不建立两种选择，显然每个地区只能选择一个销售或者代理，最优方案就是选择权值最
大与次大的连线，将上述方案限制转化为约束条件，并使目标函数，约束条件决策标量转化
为数学符号，利用LINGGO 软件来求最优解。将大学生数量为34，29，42，21，56,18，71
的区分别标号为1、2、3、4、5、6、7区，划出区与区之间的如下相邻关系图：
3符号的说明
符号表示 符号说明
1、 34千人的地区
2、 29千人的地区
3、 42千人的地区
4、 21千人的地区
5 、56千人的地区
6、18千人的地区
7、71千人的地区
x1 1~2两地区之间建立代售关系
x2 1~3两地区之间建立代售关系
x3 2~5两地区之间建立代售关系
x4 2~4两地区之间建立代售关系
x5 3~4两地区之间建立代售关系
x6 4~7两地区之间建立代售关系
x7 4~6两地区之间建立代售关系
x8 4~5两地区之间建立代售关系
x9 5~6两地区之间建立代售关系
x10 6~7两地区之间建立代售关系
X11 2~3两地区之间建立代售关系
Q 所能供应的大学生的数量
四．问题假设
选择代理销售点时，只考虑该地区总人数以及相邻地区，对人员的迁入迁出，人员的消费能
力，人们的需求不予考虑；
1、 只有两个销售代理点，且每个销售代理点只能向该区和他临近的去售书。
2、 7个销售区中没有人员的流动
3、 书的供应量远远满足学生的需求
4、 销售代理点向两个地区的学生销售书的价格相同。
5、 不考虑邻区因学生买书的路费问题而减少书的购买。
6、 售书多少与人数多少成正比。
7、 人人的消费能力是相等的。
五．模型的建立
决策变量：设在1234567中的某两地之间代售关系Xi（i=1，2，3…10）.
Xi=1表示在其建立代售关系。Xi=0表示没有建立代售关系
目标函数：所能供应的大学生的数量Q千人；则
Q=63*x1+76*x2+85*x3+50*x4+63*x5+92*x6+39*x7+77*x8+74*x9+89*x10+71*x11;
约束条件
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=2;
x1+x2<=1;
x2+x5+x11<=1;
x1+x3+x4+x11<=1;
x4+x5+x6+x7+x8<=1;
x3+x8+x9<=1;
x7+x9+x10<=1;
x6+x10<=1;
综上所述：
Max Q=63*x1+76*x2+85*x3+50*x4+63*x5+92*x6+39*x7+77*x8+74*x9+89*x10;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=2;
x1+x2<=1;
x2+x5+x11<=1;
x1+x3+x4+x11<=1;
x4+x5+x6+x7+x8<=1;
x3+x8+x9<=1;
x7+x9+x10<=1;
x6+x10<=1;
六．模型的求解
在lingo中输入以下代码，见附录1.通过运行LINDO教学软件，我们可以得到该售书问题的
最优解，即建立代售关系的最优方案，其截图为：
Objective value: 177.0000
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 22.00000
X2 0.000000 9.000000
X3 1.000000 0.000000
X4 0.000000 38.00000
X5 0.000000 25.00000
X6 1.000000 0.000000
X7 0.000000 49.00000
X8 0.000000 11.00000
X9 0.000000 11.00000
X10 0.000000 0.000000
X11 0.000000 0.000000
从中可以看到在2和5之间建立代售关系即在2（5）建立代售点并向5(2)售书，4和7之间建立
代售关系即在4（7）建立代售点并向7(4)售书，可是大学生的人数最大，为177千人。（详细
结果见附录2）
但考虑到地区中人数的问题，以及现实中去买书的路费问题，所以销售代理点应建立在人数
较多的地区，在2、5地区中5区人较多为56千人，在4、7地区中7区中人数较多为71千人,所
以最好把两个销售代理点建在5区和7区。
七．模型的评价和推广
通过查看该区图可以粗略知道应选择人数最大地区为代售点，在题中假设的前提下，选
择人数最大的地区为代售点，覆盖了大部分人口，此模型的建立，很好的应用数学知识将选
择销售代理点的问题抽象化，使选择我们的选择不再主观、盲目，而是更全面、深入、条理。
选择最少的变量考虑问题简化了模型建立的分析。这也是模型最大的弊端数据的真实性受到
了很大的限制对实际应用很不利。虽然假设的变量比较多，但人们可以较容易理解。
题中假设的太多假设，有些脱离实际，考虑现实当中的销售点间的运输路程、交通便利程度、
学生在校期间的对书的消费情况，不同人群之间的消费能了等情况，
附录：
附录1：
max=63*x1+76*x2+85*x3+50*x4+63*x5+92*x6+39*x7+77*x8+74*x9+89*x10;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=2;
x x1+x2<=1;
x2+x5+x11<=1;
x1+x3+x4+x11<=1;
x4+x5+x6+x7+x8<=1;
x3+x8+x9<=1;
x7+x9+x10<=1;
x6+x10<=1;
附录2：
Global optimal solution found.
Objective value: 177.0000
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 22.00000
X2 0.000000 9.000000
X3 1.000000 0.000000
X4 0.000000 38.00000
X5 0.000000 25.00000
X6 1.000000 0.000000
X7 0.000000 49.00000
X8 0.000000 11.00000
X9 0.000000 11.00000
X10 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 177.0000 1.000000
2 0.000000 85.00000
3 1.000000 0.000000
4 1.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 3.000000
7 0.000000 0.000000
8 1.000000 0.000000
9 0.000000 4.000000
10 0.000000 4.000000
参考文献：
【1】姜启源 谢金星 叶俊 数学建模（第三版）高等教育出版社 2003
【2】/lanke_ic/blog/item/
【3】
【4】/sxmx/ziliao
2024年4月21日发(作者：陆翰墨)
摘要：随着信息时代的发展，我们大学生接受知识的途径多种多样，报纸、杂志、图书一直
赢得大学生不同程度的青睐，而且出现了电子图书这个时代的产物，对于这个实际意义较大
的问题就应有简单易懂的模型，让人看起来比较容易接受。优化问题是工程技术、经济管理
和科学研究等领域重做常见的一类问题，在解决极值问题中起着重要作用。零一规划也是常
用的数学工具，能够有效的表示事物的有效性。本文是以一极具有实际意义的问题，而考虑
到建立销售点，使它供书的人数达到最大，那就要在条件约束下建立优化模型，而选择两地
之间是否有销售的关系为他们的决策变量，那样就使人易懂，易于理解。通过建立线性规划
模型，并应用Linggo软件得到最优解，2和5之间建立代售关系即在2（5）建立代售点并向
5(2)售书，4和7之间建立代售关系即在4（7）建立代售点并向7(4)售书，可是大学生的人数
最大，为177千人。最优解可以有多种选择方法，这就有选择的灵活性。
本模型适用于只考虑人数最大的地址的选择，具有较强的实用性和普遍性。
关键字： 售书问题 优化模型 零一规划 Linggo
一．问题叙述
一家出版社准备在某地向七个区大学生供应图书，每个区的大学生数量如图所示（单位：千
人），出版社准备在该市设立两个图书代理销售点，每个代理点只能想该地区和一个相邻的
地区售书，出版社知道售书覆盖的人群越大，所获得的利润也就大，所以出版社要选择两个
恰当的代理销售点使覆盖的人群最大。现在所要解决的是选在合适的代理销售点。
二．问题分析
书是人们进步的阶梯，售书问题普遍受到人们的关注。近年来随着科学技术的发展，电
子图书、网上书城等的出现，人们阅读的方式越来越多，而书的销售问题也越来越受销售商
的关注。如何选择待销售点才能使卖出的书最多，销售商获得的利益最大，成为问题的关键
所在。
在许多候选地区中选择最优的地区，制定最优的规划方案，显然必须建立优化模型，每个地
区都选与不选的可能性，这就必须用到0—1规划模型，立两个销售代理点, 在满足以下的条
件的情况下，要想得到一个最优计划，出版社就需要设计一个合理有效的投资方案：
1.只能建立两个销售代理点。
2.每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书
在上述要求中，将每两个相邻地区之间连线表示该地区建立售代关系，这种售代关系据有建
立与不建立两种选择，显然每个地区只能选择一个销售或者代理，最优方案就是选择权值最
大与次大的连线，将上述方案限制转化为约束条件，并使目标函数，约束条件决策标量转化
为数学符号，利用LINGGO 软件来求最优解。将大学生数量为34，29，42，21，56,18，71
的区分别标号为1、2、3、4、5、6、7区，划出区与区之间的如下相邻关系图：
3符号的说明
符号表示 符号说明
1、 34千人的地区
2、 29千人的地区
3、 42千人的地区
4、 21千人的地区
5 、56千人的地区
6、18千人的地区
7、71千人的地区
x1 1~2两地区之间建立代售关系
x2 1~3两地区之间建立代售关系
x3 2~5两地区之间建立代售关系
x4 2~4两地区之间建立代售关系
x5 3~4两地区之间建立代售关系
x6 4~7两地区之间建立代售关系
x7 4~6两地区之间建立代售关系
x8 4~5两地区之间建立代售关系
x9 5~6两地区之间建立代售关系
x10 6~7两地区之间建立代售关系
X11 2~3两地区之间建立代售关系
Q 所能供应的大学生的数量
四．问题假设
选择代理销售点时，只考虑该地区总人数以及相邻地区，对人员的迁入迁出，人员的消费能
力，人们的需求不予考虑；
1、 只有两个销售代理点，且每个销售代理点只能向该区和他临近的去售书。
2、 7个销售区中没有人员的流动
3、 书的供应量远远满足学生的需求
4、 销售代理点向两个地区的学生销售书的价格相同。
5、 不考虑邻区因学生买书的路费问题而减少书的购买。
6、 售书多少与人数多少成正比。
7、 人人的消费能力是相等的。
五．模型的建立
决策变量：设在1234567中的某两地之间代售关系Xi（i=1，2，3…10）.
Xi=1表示在其建立代售关系。Xi=0表示没有建立代售关系
目标函数：所能供应的大学生的数量Q千人；则
Q=63*x1+76*x2+85*x3+50*x4+63*x5+92*x6+39*x7+77*x8+74*x9+89*x10+71*x11;
约束条件
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=2;
x1+x2<=1;
x2+x5+x11<=1;
x1+x3+x4+x11<=1;
x4+x5+x6+x7+x8<=1;
x3+x8+x9<=1;
x7+x9+x10<=1;
x6+x10<=1;
综上所述：
Max Q=63*x1+76*x2+85*x3+50*x4+63*x5+92*x6+39*x7+77*x8+74*x9+89*x10;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=2;
x1+x2<=1;
x2+x5+x11<=1;
x1+x3+x4+x11<=1;
x4+x5+x6+x7+x8<=1;
x3+x8+x9<=1;
x7+x9+x10<=1;
x6+x10<=1;
六．模型的求解
在lingo中输入以下代码，见附录1.通过运行LINDO教学软件，我们可以得到该售书问题的
最优解，即建立代售关系的最优方案，其截图为：
Objective value: 177.0000
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 22.00000
X2 0.000000 9.000000
X3 1.000000 0.000000
X4 0.000000 38.00000
X5 0.000000 25.00000
X6 1.000000 0.000000
X7 0.000000 49.00000
X8 0.000000 11.00000
X9 0.000000 11.00000
X10 0.000000 0.000000
X11 0.000000 0.000000
从中可以看到在2和5之间建立代售关系即在2（5）建立代售点并向5(2)售书，4和7之间建立
代售关系即在4（7）建立代售点并向7(4)售书，可是大学生的人数最大，为177千人。（详细
结果见附录2）
但考虑到地区中人数的问题，以及现实中去买书的路费问题，所以销售代理点应建立在人数
较多的地区，在2、5地区中5区人较多为56千人，在4、7地区中7区中人数较多为71千人,所
以最好把两个销售代理点建在5区和7区。
七．模型的评价和推广
通过查看该区图可以粗略知道应选择人数最大地区为代售点，在题中假设的前提下，选
择人数最大的地区为代售点，覆盖了大部分人口，此模型的建立，很好的应用数学知识将选
择销售代理点的问题抽象化，使选择我们的选择不再主观、盲目，而是更全面、深入、条理。
选择最少的变量考虑问题简化了模型建立的分析。这也是模型最大的弊端数据的真实性受到
了很大的限制对实际应用很不利。虽然假设的变量比较多，但人们可以较容易理解。
题中假设的太多假设，有些脱离实际，考虑现实当中的销售点间的运输路程、交通便利程度、
学生在校期间的对书的消费情况，不同人群之间的消费能了等情况，
附录：
附录1：
max=63*x1+76*x2+85*x3+50*x4+63*x5+92*x6+39*x7+77*x8+74*x9+89*x10;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10=2;
x x1+x2<=1;
x2+x5+x11<=1;
x1+x3+x4+x11<=1;
x4+x5+x6+x7+x8<=1;
x3+x8+x9<=1;
x7+x9+x10<=1;
x6+x10<=1;
附录2：
Global optimal solution found.
Objective value: 177.0000
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 0.000000 22.00000
X2 0.000000 9.000000
X3 1.000000 0.000000
X4 0.000000 38.00000
X5 0.000000 25.00000
X6 1.000000 0.000000
X7 0.000000 49.00000
X8 0.000000 11.00000
X9 0.000000 11.00000
X10 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 177.0000 1.000000
2 0.000000 85.00000
3 1.000000 0.000000
4 1.000000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 3.000000
7 0.000000 0.000000
8 1.000000 0.000000
9 0.000000 4.000000
10 0.000000 4.000000
参考文献：
【1】姜启源 谢金星 叶俊 数学建模（第三版）高等教育出版社 2003
【2】/lanke_ic/blog/item/
【3】
【4】/sxmx/ziliao