2024年4月23日发(作者：学梧桐)

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第２７卷第４期　

２００６年ｌ２月　

力　学　季　刊　

ＣＨＩＮＥＳＥ　ＱＵＡＲＴＥＲＬＹ　ＯＦ　ＭＥＣＨＡＮＩＣＳ　

Ｖｏ１．２７　Ｎｏ．４　

Ｄｅｃ．２００６　

用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的　

非平稳随机地震响应　

汪梦甫　

（湖南大学土木丁程学院，湖南长沙４１００８２）　

摘要：应用复振型分解方法，将非比例阻尼线性体系在地震作用下的动力方程求解问题转化为若干个广义复振　

子的求解与叠加问题。通过假定地震地面运动为一零均值的非平稳随机激励，应用虚拟激励法原理，推导得到　

了广义复振子动力坐标计算的一般公式，进而得到了非比例阻尼线性体系非平稳随机地震响应计算的一般解　

答。由于可以选择少量共轭复振型的影响进行计算，对于大型复杂非比例阻尼结构，其随机地震响应计算工作　

量可以大幅度减小。算例证实丫这种方法的可靠性及可行性。　

关键词：非比例阻尼线性体系；复振型分解法；　

ｒ‘义复振子；非平稳随机地震响应；虚拟激励法　

中图分类号：ＴＵ３１１　３　文献标识码：Ａ　

文章编号：０２５４．００５３（２００６）０４－５９８－８　

Ｕｓｅ　Ｐｓｅｕｄｏ－－Ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　Ｓｏｌｖｅ　Ｎｏｎ－－Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　

Ｒａｎｄｏｍ　Ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｏｆ　ＮＯｎ－ＰｒＯｐＯｒｔｉＯｎａＩ　Ｄａｍｐｅｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　

ＷＡＮＧ　Ｍｅｎｇ一

．　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１００８２，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｍｏｄｅ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｍｏｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　

ｄｅｇｒｅｅｓ　ｏｆ　ｆｒｅｅｄｏｍ（ＭＤＯＦ）ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｎｙ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ＯＳ—　

ｃｉｌｌａｔｏｒｓ．Ａｓｓｕｍｉｎｇ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ　ｇｒｏｕｎｄ　ｍｏｔｉｏｎ　ｉｓ　ａ　ｚｅｒｏ　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅｄ　ｎｏｎ—ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｒａｎｄｏｍ　ｅｘｃｉ—　

ｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｈｉｇｈｅｒ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ　ｗｅｒｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ　ｉｎ　ｖｉｒｔｕｅ　ｏｆ　

ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｐｓｅｕｄｏ—ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ａ　ｄｅｌｉｃａｔｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｎｏｎ－ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ　ｄａｍｐｅｄ　ＭＤＯＦ　

ｓｙｓｔｅｍｓ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ａｎ　ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ　ｇｒｏｕｎｄ　ｍｏｔｉｏｎ，ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ　ｉｎ　ｒｅａｌ　ｖａｌｕｅ　ｆｏｒｍ，ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｎｕｍｅｒ—　

ｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ－ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ　ｄａｍｐｅｄ　ｓｙｓｔｅｍｓ；ｃｏｍｐｌｅｘ　ｍｏｄｅ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｃｏｍｐｌｅｘ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；　

ｎｏｎ—ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｒａｎｄｏｍ　ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ；ｐｓｅｕｄｏ—ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　

在土木工程结构的抗震设计中，以反应谱理论为基础的确定性汁算方法得到广泛应用，世界各国的抗　

震主管部门及机构普遍将其写入结构抗震设计规范。由于地震地面运动实际上是一种随机激励，结构的　

抗震设计以结构的随机地震响应为基础较以反应谱理论为基础更为科学、合理。１９９５年，欧洲结构抗震　

设计规范（Ｅｕｒｏｃｏｄｅ　８）正式接受功率谱方法作为结构抗震设计计算的工具。我国即将出台的公路桥梁抗　

震设计规范也建议将功率谱法作为结构抗震设计计算的方法之一。然而，由于计算效率低，常规的结构随　

机地震响应计　算方法难以广泛应用于土木工程结构的设计与分析。因此发展与改进现有结构随机地震响　

应计算方法成为当务之急。　

收稿日期：２００５．１１．１４　

基金项目：湖南省自然科学基金项目（０２ＪＪＹ２０８５），北京市重点实验室开放基金项目（ＥＥＳＲ２００４．４）　

作者简介；汪梦甫（１９６５一），湖北通城人，教授，博士乍导师研究方向：地震工程与结构工程　

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第４期　汪梦甫：用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的非平稳随机地震响应　

近年来，林家浩教授提出的虚拟激励法使结构线性随机地震响应计算得到了很大简化，显著提高了计　

算效率，但所需计算量仍然是相当大的。尤其是非比例阻尼线性体系随机地震响应计算，仍需要应用直接　

积分方法（如精细积分方法）来完成，当结构自由度数目较大时，计算机耗时和计算机内存占用过大，令人　

仍然难以接受。为了进一步提高计算效率，探讨与发展非比例阻尼线性体系随机地震响应计算的虚拟激　

励法仍然十分迫切与重要。　

本文应用复振型分解方法，将非比例阻尼线性体系在地震作用下的动力方程求解问题转化为若干个　

广义复振子的求解与叠加问题。通过假定地震地面运动为一零均值的非平稳随机激励，应用虚拟激励法　

原理，推导得到了广义复振子动力坐标计算的一般公式，进而得到了非比例阻尼线性体系随机地震响应计　

算的虚拟激励法的一般公式。由于可以选择少量共轭复振型的影响进行计算，对于大型复杂非比例阻尼　

结构，其随机地震响应计算工作量可以大幅度减小。　

１　地震作用下非比例阻尼线性体系动力方程的复振型解耦变换　

众所周，地震作用Ｆ一般结构体系的动力方程为　

［Ｍ］｛　｝＋［Ｇ］｛　｝＋ＥＫ］｛　｝＝一ＥＭ－］｛　｝　（ｔ）　（１）　

为简化推导，将式（１）改写为如下一阶线性微分方程组　

［Ｒ］｛　｝＋［Ｓ］｛Ｙ｝＝｛Ｆ（ｔ）｝　（２）　

式中　

：

［　］，　＝［一　］，　一　ｔ，　㈦　

ｙ，＝［　；］，　，：［　；］，　Ｆ。，＝［　；；　，］　ｃ４，　

设已求得如下结构自由振动方程　

［Ｒ］｛　｝＋［Ｓ］｛ｙ｝＝｛０｝　（５）　

的特征值，即系统的复频率为　

＝一ｄ　＋　卢　＝一　叫　＋　叫　～／ｒ＝—　（６）　

相应的特征向量，１／Ｉ］系统的复振型为　

㈩　

令　

㈩＝［　：　…）｝ｑ　㈣　

将式（８）代入式（２），并在式（２）两边左乘向量｛　）　，利用复振型的正交性，式（２）可以解耦，得到２Ｎ个　

独立的一阶微分方程，即２Ｎ个广义复振子方程为　

｛　…｝　［Ｒ］｛　）　＋｛　｝　［Ｓ３｛　｝ｑ　：一｛　”｝　｛Ｆ。｝　（ｔ）　（９）　

令　

Ｒ　＝｛　’｝　［Ｒ］｛　‘　｝＝２ｆｆ　｛　｝　［Ｍ］｛　｝＋｛　｝　［ｃ］｛　‘…　｝　（１０ａ）　

Ｓ　＝｛　‘　｝　Ｉ－Ｓ］｛　‘…　｝＝一　｛　‘　｝　ＥＭ］｛　｝十｛　‘　｝　［Ｋ］｛　’｝　（１Ｏｂ）　

Ｆ　＝｛　…　｛Ｆ（ｔ）｝：一｛　‘　｝　ＥＭｉｌ｛　｝　（ｔ）＝一Ｆ　、　（ｔ）　（１Ｏｃ）　

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６ＯＯ　力　学季刊　第２７卷　

则式（９）可缩写为　

Ｒ　ｑ‘　＋Ｓ　ｑ　＝一Ｆ　。　（ｔ）　

（１１）　

根据复频率的计算过程可知　

Ｒ　＋Ｓ　＝０　

（１２）　

并令　

Ｆｍ

ｏ　

∞：—

—

（１３）　

Ｒ　

故式（１１）广义复振子方程可进一步简化为　

ｑ　一　ｑ　一Ｐ　ｇ（ｔ）　

（１４）　

２地震作用下广义复振子动力方程求解方法　

为了得到广义复振子动力方程（１４）的实数解答，将向量｛　”｝及变量ｑ　的实部及虚部分开，即　

｛　｝＝｛　｝＋ｉ｛　｝　

（１５）　

ｑ　ｑ　Ｒ＋ｚｑ　』　

（１６）　

将式（１５）代入式（１０ａ），并整理后可得　

Ｒ　＝ａ　＋　

（１７）　

其中　

ａ　：一２ａ　（｛　’｝　［Ｍ］｛９，（　￣Ｔｔ　｝一｛　：　｝　［Ｍ］｛　｝）一４Ｐ　｛９（．．ｏ“｝　［Ｍ］｛　；　｝＋　

｛　｝　［ｃ］｛　｝一｛　｝　［ｃ］｛　’｝　

（１８）　

ｂ　＝２ｆｌ　（｛　’｝　［Ｍ］｛　｝一｛　：　｝　［Ｍ］｛　｝）一４ａ　｛　｝　［Ｍｌ｛　：　｝＋　

２｛　｝　［ｃ］｛　｝　

（１９）　

将式（１Ｏｃ）、（１７）代入式（１３）可得　

ｐ＂ｌ　ｐ＂，ｌ＋ｚｐｍ２　

（２０）　

其中　

＝　

盟　等　

（２１）　

＝　

将式（２０）代入式（１４）可得　

一　ｑ　＝一Ｐ　（ｔ）：一（Ｐ　＋　ｐ　）　ｇ（ｔ）　

（２２）　

经数学推导及整理可得到广义坐标ｑ　为　

ｑ　：Ｐ　（　＋（ａ　＋　）ｑ　０）＝ｑ　Ｒ＋　ｑ　。　

（２３）　

其中　

ｑ　Ｒ＝Ｐ　ｌ　＋（Ｐ　ａ　一Ｐ　２　）ｑ　０　

（２４ａ）　

ｑ　Ｊ＝Ｐ　２　∞＋（Ｐ　２　＋Ｐ　１　）ｑ　０　（２４ｂ）　

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第４期　

形　阵　矩　写　．川　而　ｑ　删　

汪梦甫：用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的非平稳随机地震响应　６０１　

式　

为　应　

为　

Ｆ　

（２５）　

述　

方　

程　

的　

（２６）　

九　ｑ　ｑ　一　答　解　

３　非比例阻尼线性体系地震反应的一般解答　

］Ｊ眦　计　其　

＋　

根据上节广义复振子动力反应计算结果，由式（８）可得非比例阻尼线性体系动力方程的解答为　

ｐ　ｐ　公｛　讼　

式　

…　，　一＋　。’　

…　，，　

：　

ｐ　ｐ　｝　㈣

考　＋　

磅　　

文　∞　

『ｌ－　一口”　｛　”）｛　一　”，｛　）　一　ｍ｛　”）＋ａ　ｍ｛　：　］『ｑ”　（￡’］＋　

　一＋　～　

。　

ｑ　

ｐ　ｐ　椰　

＝　

　一

）　｛　）　Ｉ　ｌ‰（ｔ）Ｊ。　

（２７）　

］Ｊ

２Ｎ　

ｍ　ｍ　

。　

ｌ，　

］　

舢　舢　

由结构动力学知识可知，式（５）有成对共轭的２Ｎ个复频率，它们分别为　

应１；　２，　２；　…；　Ｎ，　Ｎ　

相应的有成对共轭的２Ｎ个复振型，它们分别为　

｛≠ｕ　），　｛　¨　）；　｛　‘　），　｛　）；　…；　ｆ≠‘　），　｛　｝　

可以证明，式（２７）中的广义坐标有成对共轭的２Ｎ个，它们分别为　

ｑＩ（ｔ），　１（ｔ）；ｑ　（ｔ），　２（ｔ）；…；ｑＮ（ｔ），　Ｎ（ｔ）　

将共轭复振型合并在一起，经整理后可得非比例阻尼线性体系动力方程的一般解答为　

ｙｃ　ｔ，　＝［：　；；］＝２ｊ　［一ａ　Ｊ‘　‘　一卢Ｊ‘　‘　］［‘ｑｊ￣（…ｔ）ｌ　

将式（２５）代入上式可得　

＝

（２８）　

［　

（２９）　

其中　

｛Ａ『）＝一２（Ｐ　Ｊｌ口』＋Ｐ　』）｛　）＋２（Ｐｊ２　ａｊ—Ｐ』ｌ　Ｊ）｛　：　’）　

｛ＢＪ）＝一２ｐ　（ａ；＋卢；）｛　）＋２ｐｉ　（　；＋　；）｛　：　）　

｛Ｄ』）＝２ｐ』　｛　）一２ｐ　｛　）　

｛Ｅ』｝＝２（Ｐｊ１口Ｊ—Ｐｊｚ　ｐｊ）｛　０　｝一２（Ｐ

ｉ２口ｊ＋Ｐｊ１　ｐｊ）｛　【Ｊ』　｝　

，

而体系的加速度反应向量由式（２９）可得为　

｛　（ｔ））＝｛Ａ　Ｊ）　Ｊ。（ｔ）＋｛ＢＪ）　Ｊ。（ｔ）　

（３０）　

或将速度反应向量｛　（ｔ））、位移反应向量｛　（ｔ））代入式（１）而得到。　

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６０２　力　学季　刊　第２７卷　

４　非比例阻尼线性体系随机地震响应计算的虚拟激励法　

由于地震地面运动十分复杂，为简单起见，设其为一非平稳随机过程，且可用下式描述为　

（ｔ）＝ｇ（ｔ）　（ｔ）　

（３１）　

式中ｇ（ｔ）是描述强度非平稳的调制函数，一般可取为　

ｆ　（ｔ／ｔ１）　ｔ≤ｔ１　

ｇ（ｔ）＝　１　ｔｌ≤ｔ≤ｔ　

（３２）　

【ｅｘｐ（一ｃ（ｔ　ｔ　２））ｔ　≤ｚ≤Ｔ　

其自谱Ｓ　（０　）一般假设为过滤白噪声过程，取为　

ｓ　＝　ｓ　

为了应用虚拟激励法计算上述非平稳随机激励　非比例阻尼的随机地震响应，按照虚拟激励法的思路，设　

（　）　ｇ（ｔ　８　（３４）　

则标准单自由度体系典型方程（式（２６））成为　

Ｊ　＋２２Ｊ∞Ｊｑ　７　＋ｃｕ２　ｆ　

Ｊ。＝＝——ｇ（ｔ）、／　８ｉ　（３５）　

对于地震激励下，式（３５）的解答极易推导得到为　

）一　ｊ。ｇ（ｒ）√５　ｅｉ￣，￣ｅｘｐＥ一　ｚ　］ｓｉｎ　（　］ｄｒ　‘３６　

一　

ｅＸｐ卜￣？ｏｊ（ｔ－　

（３７）　

Ｊ

∞ＪｓｉｎＥ￣ｏ　（ｔ　ｒ）］＋ｍｊｄＣＯＳ￣ｏ）』ｆｆ（ｔ—ｒ）］｝ｄｒ　

其中６０　＝∞　。　

将式（３６）、（３７）代入式（２９）即可得到结构的位移反应向量｛　（　，ｔ）｝、速度反应向量　（　，ｔ）｝、加　

速度反应向量｛　（　，ｔ）｝，以及相应的共轭反应向量｛　（　，ｔ）｝　、｛　（　，ｔ）｝　、｛　（　，ｔ）｝　。　

按照虚拟激励法的一般原理，由下式可确定地震地面运动产生的结构响应谱矩阵函数为　

［Ｓ　．（　，ｔ）］＝｛　（　，ｔ）｝　｛　（　，ｔ）｝　（３８ａ）　

［Ｓ赫（　，ｔ）］＝｛奎（口　，ｔ）｝　｛　（　，ｔ）｝　（３８ｂ）　

［Ｓ　（　，ｔ）］＝｛　｝（　，ｔ））　｛　（　，ｔ）　

在算出任一响应量的时变功率谱后，其对应的时变方差不难由积分完成。如位移时变功率谱Ｓ…　

（　，ｔ）若为已知，可按下式计算其时变方差　

：．（ｔ）＝２　Ｉ　Ｓ　（０　，ｔ）ｄＯ　（３９）　

５算例分析　

５．１　五层剪切型结构确定性地震响应分析（ＥＬ．Ｇｅｎｔｒｏ地震记录输入）　

图１所示为一五层剪切型结构，其计算参数如下　

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第４期　汪梦甫；用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的非乎稳随机地震响应　６０３　

结构各层质量：Ⅲｌ＝　２　２＝　３＝川　＝　５＝８００／３ｔ・Ｓ　／ｍ　

Ｅｌ＝　ｍｔ　

结构各层抗剪刚度：ｋｌ＝１．２　ｘ　１０　ｔ／ｍ，　ｋ　２＝ｋ　３＝．ｆｆ　ｄ＝』ｆ　５＝１．０　ｘ　ｌＯ　ｔ／ｍ　

正５　

结构阻层矩阵为　Ｃ］＝［Ｃ　］＋［Ｃ　］　

Ｅｌ＝一　ｍ４　

［Ｃ　］＝０．３ＥＭ］＋０．００２［Ｋ］，　Ｃ　（１，１）＝２０＊Ｃ　（１，１）　

Ｅｌ＝∞　ｍ３　

七４　

Ｃ　（ｉ，

，　

）＝０　（其他情况）　

表１给出了在美国加州１９４０年５月１８日ＥＬ．Ｃｅｎｔｒｏ地震记录输入下用对　

２　５　８　０　１　

文中非比例阻尼线性体系地震反应的一般解答得到的结构各层相对位移绝对值　

鲋　矾　

的最大值，同时也给出了精细积分方法（ＰＩＭ）、威尔逊方法（ＷＭ）及纽马克方法　

（ＮＭ）的计算结果。　

图ｌ五层剪切型结构　

从算例结果来看，应用本文的…般实数解答与精细积分方法（ＰＩＭ）、威尔逊　

２　

Ｆｉｇ．１　

５　８

Ａ　５－Ｄ０Ｆ　ｓｙｓｔｅｍ　

　０　ｌ　

方法（ＷＭ）及纽马克方法（ＮＭ）的汁算结果十分接近，说明本文的一般解答的计　

町　矾　∞　

算公式与程序是正确的、可靠的。从表ｌ可以发现，就本文算例而言，即使只考虑第一振型的影响，结构的　

位移反应与结构的精确解答也相差无已。这表明，即使是非比例阻尼结构，也同样能用考虑少量振型影响　

２　６　８　Ｏ　１　

来完成大型复杂结构的动力计算。　

础　叭　∞　∞　船　

表１五层剪切型结构在地震荷载作用下各楼层的位移反应最大值（单位：ｃｍ）　

Ｔａｂ．１　Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｍａｘｉｍａ　ｏｆ　ｔｈｅ　５－Ｄ０Ｆ　ｓｙｓｔｅｍ（ｕｎｉ

２　

ｔ：ｃｍ）

６　

８　０　１　

锚　叭　∞　融　

２　６　８　０　ｌ　

２．６５　

∞　吡　船　

５．７５　

２　６　８　¨　

８．４４　

钉　

１０　４２　

２　５　８　０　ｌ　

１１　４５　

町　“　

５．２五层剪切型结构随机地震响应分析　

本算例采用的结构计算参数与５．１的示例完全相同。但地震地面运动假定为一非平稳随机过程，强　

度非平稳的调制函数（式（３２））及过滤白噪声（式（３３））中相关参数取为　

ｔ１＝２．３　ｔ　２＝１６．２　Ｔ＝２０　ｃ＝０．９８　

（Ｕ９＝１５．４６　＝０．５２　Ｓ０＝０．００６ｍ　／ｓ。　

应用本文建议的方法对该算例进行了分析，图２、图３分别为所研究框架在考虑不同数量共轭振型　

（Ｎ）影响时非平稳随机地震荷载作用下顶层速度与位移响应的均方差反应。　

表２列出了应用本文方法计算得到的不同共轭振型影响时，所研究框架顶层速度均方差反应（ＲＲＶ）　

与顶层位移响应的均方差反应（ＲＲＤ）的部分结果，同样列出了以精细积分法为基础的虚拟激励法所得研　

究框架顶层速度与位移响应的均方差反应的部分计算结果。　

从表２可以发现，当考虑全部共轭振型影响时，本文建议的方法和以精细积分法为基础的虚拟激励法　

所得研究框架顶层速度与位移响应的均方差反应接近相同。本文所研究的框架结构的响应均方差主要以　

第一共轭振型的贡献为主，而只考虑第一共轭振型影响的结构分析计算时间为考虑全部共轭振型影响的　

结构分析计算时间的１／５左右。事实上，对于超高层建筑结构及大跨度桥梁结构，一般只需要计及少量振　

型的影响。　

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力　学　季　刊　第２７卷　

何　

移　

速　

方　

差　

度　

方　

营　

著　

目　

时间（秒）　

图２结构顶层位移时变方差　

图３　结构顶层速度时变方差　

Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ｒｏｏｆ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　

Ｆｉｇ．３　Ｔｈｅ　ｒｏｏｆ　ｖｅｒｌｏｃｉｔｙ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　

ｏｆ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎ　Ｆｉｇ．１　ｏｆ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎ　Ｆｉｇ．１　

表２五层剪切型结构在非平稳随机地震荷载作用下的顶层速度与位移响应的均方差　

Ｔａｂ．２　Ｒｏｏｆ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　５－ＤＯＦ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｓｅｉｓｍｉｃ　ｍｏｔｉｏｎ　

６　结论　

（１）本文以复振型及复频率为基础，但在具体计算时只需套用本文的以实数形式表达的计算公式就　

能得到结构动力方程的解答。由于没有复数运算，便于在工程计算中推广应用。算例证实了这些公式正　

确无误。　

（２）本文的虚拟激励法给出了非平稳随机地震激励下非比例阻尼线性结构随机响应计算的公式与过　

程。由于可以考虑部分振型影响完成大型结构的随机响应计算，由于没有矩阵求逆运算，过程简单、易懂，　

可以大幅度减少计算时间，是替代精细积分方法等直接积分方法进行大型结构随机响应计算的有效方法。　

算例分析显示了本文的虚拟激励法的可行性与可靠性。　

（３）由于结构的地震响应与结构自身的动力特性及地震荷载的特性密切相关，在工程计算中到底应　

计及哪些振型的影响，仍需进行专门的研究。　

参考文献：　

Ｅ１］Ｚｈｏｕ　Ｘｉｙｕａｎ．Ｃｏｍｐｌｅｘ　ｍｏｄｅ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｓｅｉｓｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｏｆ　ｎｏｎ．ｃｌａｓｓｉｃａｌｌｙ　ｄａｍｐｅｄ　ｌｉｎｅａｒ　ＭＤＯＦ　ｓｙｓｔｅｍＥＪ￣．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　

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第４期　汪梦甫：用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的非平稳随机地震响应　６０５　

Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００４，８（４）：５９７—６４１．　

［２］　林家浩．随机地震响应的确定性算法ＥＪＩ．地震上程与工程振动，１９８５，５（１）　８９—９４．　

［３１］　

Ｌｉｎ　Ｊ　Ｈ．Ａ　ｆａｓｔ　ＣＱＣ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　ＰＳＤ　ｍａｔｒｉｃｅｓ　ｆｏｒ　ｓｅｉｓｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓＥＪ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　１９９２．４４（３）１６８３—６８７．　

Ｅ４１］　

Ｌｉｎ　Ｊ　Ｈ，Ｚｈａｏ　Ｙ，Ｚｈａｎｇ　Ｙ　Ｈ．Ａｃｃｕｒａｔｅ　ａｎｄ　ｈｉｇｈｌｙ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ／ｎｏｎ．ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｒａｎｄｏｍ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓＦＪ｝　

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｉｎ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　２００１，１９１（１—２）：１０３一ＩＩ．　

［５］　

钟万勰．结构动力方程的精细时程积分ＥＪ］．大连理工大学学报，１９９４，３４（４）：１３１—１３６．　

［６］　

Ｍｅｎｇｆｕ　Ｗａｎｇ・Ａｕ　Ｆ　Ｔ　Ｋ．Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｏｆ　ｐｒｅｃｉｓｅ　ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ［２Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．２００６　

８４（１２）：７７９—７８６．　

［７１］　

汪梦甫．岛层建筑结构动力分析的Ｌａｎｃｚｏｓ向量叠加法及其应用［Ｊ］．计算力学学报，１９９９，１６（１）：１１５—１１９．　

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２００６年ｌ２月　

力　学　季　刊　

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Ｖｏ１．２７　Ｎｏ．４　

Ｄｅｃ．２００６　

用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的　

非平稳随机地震响应　

汪梦甫　

（湖南大学土木丁程学院，湖南长沙４１００８２）　

摘要：应用复振型分解方法，将非比例阻尼线性体系在地震作用下的动力方程求解问题转化为若干个广义复振　

子的求解与叠加问题。通过假定地震地面运动为一零均值的非平稳随机激励，应用虚拟激励法原理，推导得到　

了广义复振子动力坐标计算的一般公式，进而得到了非比例阻尼线性体系非平稳随机地震响应计算的一般解　

答。由于可以选择少量共轭复振型的影响进行计算，对于大型复杂非比例阻尼结构，其随机地震响应计算工作　

量可以大幅度减小。算例证实丫这种方法的可靠性及可行性。　

关键词：非比例阻尼线性体系；复振型分解法；　

ｒ‘义复振子；非平稳随机地震响应；虚拟激励法　

中图分类号：ＴＵ３１１　３　文献标识码：Ａ　

文章编号：０２５４．００５３（２００６）０４－５９８－８　

Ｕｓｅ　Ｐｓｅｕｄｏ－－Ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　Ｓｏｌｖｅ　Ｎｏｎ－－Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　

Ｒａｎｄｏｍ　Ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｏｆ　ＮＯｎ－ＰｒＯｐＯｒｔｉＯｎａＩ　Ｄａｍｐｅｄ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　

ＷＡＮＧ　Ｍｅｎｇ一

．　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ　４１００８２，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｍｏｄｅ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｍｏｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　

ｄｅｇｒｅｅｓ　ｏｆ　ｆｒｅｅｄｏｍ（ＭＤＯＦ）ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｔｒａｎｓｆｅｒｒｅｄ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｎｙ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ＯＳ—　

ｃｉｌｌａｔｏｒｓ．Ａｓｓｕｍｉｎｇ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ　ｇｒｏｕｎｄ　ｍｏｔｉｏｎ　ｉｓ　ａ　ｚｅｒｏ　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅｄ　ｎｏｎ—ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｒａｎｄｏｍ　ｅｘｃｉ—　

ｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｈｉｇｈｅｒ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ　ｗｅｒｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ　ｉｎ　ｖｉｒｔｕｅ　ｏｆ　

ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｐｓｅｕｄｏ—ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ａ　ｄｅｌｉｃａｔｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｎｏｎ－ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ　ｄａｍｐｅｄ　ＭＤＯＦ　

ｓｙｓｔｅｍｓ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ａｎ　ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ　ｇｒｏｕｎｄ　ｍｏｔｉｏｎ，ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ　ｉｎ　ｒｅａｌ　ｖａｌｕｅ　ｆｏｒｍ，ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｎｕｍｅｒ—　

ｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ－ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ　ｄａｍｐｅｄ　ｓｙｓｔｅｍｓ；ｃｏｍｐｌｅｘ　ｍｏｄｅ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｃｏｍｐｌｅｘ　ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；　

ｎｏｎ—ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｒａｎｄｏｍ　ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ；ｐｓｅｕｄｏ—ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　

在土木工程结构的抗震设计中，以反应谱理论为基础的确定性汁算方法得到广泛应用，世界各国的抗　

震主管部门及机构普遍将其写入结构抗震设计规范。由于地震地面运动实际上是一种随机激励，结构的　

抗震设计以结构的随机地震响应为基础较以反应谱理论为基础更为科学、合理。１９９５年，欧洲结构抗震　

设计规范（Ｅｕｒｏｃｏｄｅ　８）正式接受功率谱方法作为结构抗震设计计算的工具。我国即将出台的公路桥梁抗　

震设计规范也建议将功率谱法作为结构抗震设计计算的方法之一。然而，由于计算效率低，常规的结构随　

机地震响应计　算方法难以广泛应用于土木工程结构的设计与分析。因此发展与改进现有结构随机地震响　

应计算方法成为当务之急。　

收稿日期：２００５．１１．１４　

基金项目：湖南省自然科学基金项目（０２ＪＪＹ２０８５），北京市重点实验室开放基金项目（ＥＥＳＲ２００４．４）　

作者简介；汪梦甫（１９６５一），湖北通城人，教授，博士乍导师研究方向：地震工程与结构工程　

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第４期　汪梦甫：用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的非平稳随机地震响应　

近年来，林家浩教授提出的虚拟激励法使结构线性随机地震响应计算得到了很大简化，显著提高了计　

算效率，但所需计算量仍然是相当大的。尤其是非比例阻尼线性体系随机地震响应计算，仍需要应用直接　

积分方法（如精细积分方法）来完成，当结构自由度数目较大时，计算机耗时和计算机内存占用过大，令人　

仍然难以接受。为了进一步提高计算效率，探讨与发展非比例阻尼线性体系随机地震响应计算的虚拟激　

励法仍然十分迫切与重要。　

本文应用复振型分解方法，将非比例阻尼线性体系在地震作用下的动力方程求解问题转化为若干个　

广义复振子的求解与叠加问题。通过假定地震地面运动为一零均值的非平稳随机激励，应用虚拟激励法　

原理，推导得到了广义复振子动力坐标计算的一般公式，进而得到了非比例阻尼线性体系随机地震响应计　

算的虚拟激励法的一般公式。由于可以选择少量共轭复振型的影响进行计算，对于大型复杂非比例阻尼　

结构，其随机地震响应计算工作量可以大幅度减小。　

１　地震作用下非比例阻尼线性体系动力方程的复振型解耦变换　

众所周，地震作用Ｆ一般结构体系的动力方程为　

［Ｍ］｛　｝＋［Ｇ］｛　｝＋ＥＫ］｛　｝＝一ＥＭ－］｛　｝　（ｔ）　（１）　

为简化推导，将式（１）改写为如下一阶线性微分方程组　

［Ｒ］｛　｝＋［Ｓ］｛Ｙ｝＝｛Ｆ（ｔ）｝　（２）　

式中　

：

［　］，　＝［一　］，　一　ｔ，　㈦　

ｙ，＝［　；］，　，：［　；］，　Ｆ。，＝［　；；　，］　ｃ４，　

设已求得如下结构自由振动方程　

［Ｒ］｛　｝＋［Ｓ］｛ｙ｝＝｛０｝　（５）　

的特征值，即系统的复频率为　

＝一ｄ　＋　卢　＝一　叫　＋　叫　～／ｒ＝—　（６）　

相应的特征向量，１／Ｉ］系统的复振型为　

㈩　

令　

㈩＝［　：　…）｝ｑ　㈣　

将式（８）代入式（２），并在式（２）两边左乘向量｛　）　，利用复振型的正交性，式（２）可以解耦，得到２Ｎ个　

独立的一阶微分方程，即２Ｎ个广义复振子方程为　

｛　…｝　［Ｒ］｛　）　＋｛　｝　［Ｓ３｛　｝ｑ　：一｛　”｝　｛Ｆ。｝　（ｔ）　（９）　

令　

Ｒ　＝｛　’｝　［Ｒ］｛　‘　｝＝２ｆｆ　｛　｝　［Ｍ］｛　｝＋｛　｝　［ｃ］｛　‘…　｝　（１０ａ）　

Ｓ　＝｛　‘　｝　Ｉ－Ｓ］｛　‘…　｝＝一　｛　‘　｝　ＥＭ］｛　｝十｛　‘　｝　［Ｋ］｛　’｝　（１Ｏｂ）　

Ｆ　＝｛　…　｛Ｆ（ｔ）｝：一｛　‘　｝　ＥＭｉｌ｛　｝　（ｔ）＝一Ｆ　、　（ｔ）　（１Ｏｃ）　

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６ＯＯ　力　学季刊　第２７卷　

则式（９）可缩写为　

Ｒ　ｑ‘　＋Ｓ　ｑ　＝一Ｆ　。　（ｔ）　

（１１）　

根据复频率的计算过程可知　

Ｒ　＋Ｓ　＝０　

（１２）　

并令　

Ｆｍ

ｏ　

∞：—

—

（１３）　

Ｒ　

故式（１１）广义复振子方程可进一步简化为　

ｑ　一　ｑ　一Ｐ　ｇ（ｔ）　

（１４）　

２地震作用下广义复振子动力方程求解方法　

为了得到广义复振子动力方程（１４）的实数解答，将向量｛　”｝及变量ｑ　的实部及虚部分开，即　

｛　｝＝｛　｝＋ｉ｛　｝　

（１５）　

ｑ　ｑ　Ｒ＋ｚｑ　』　

（１６）　

将式（１５）代入式（１０ａ），并整理后可得　

Ｒ　＝ａ　＋　

（１７）　

其中　

ａ　：一２ａ　（｛　’｝　［Ｍ］｛９，（　￣Ｔｔ　｝一｛　：　｝　［Ｍ］｛　｝）一４Ｐ　｛９（．．ｏ“｝　［Ｍ］｛　；　｝＋　

｛　｝　［ｃ］｛　｝一｛　｝　［ｃ］｛　’｝　

（１８）　

ｂ　＝２ｆｌ　（｛　’｝　［Ｍ］｛　｝一｛　：　｝　［Ｍ］｛　｝）一４ａ　｛　｝　［Ｍｌ｛　：　｝＋　

２｛　｝　［ｃ］｛　｝　

（１９）　

将式（１Ｏｃ）、（１７）代入式（１３）可得　

ｐ＂ｌ　ｐ＂，ｌ＋ｚｐｍ２　

（２０）　

其中　

＝　

盟　等　

（２１）　

＝　

将式（２０）代入式（１４）可得　

一　ｑ　＝一Ｐ　（ｔ）：一（Ｐ　＋　ｐ　）　ｇ（ｔ）　

（２２）　

经数学推导及整理可得到广义坐标ｑ　为　

ｑ　：Ｐ　（　＋（ａ　＋　）ｑ　０）＝ｑ　Ｒ＋　ｑ　。　

（２３）　

其中　

ｑ　Ｒ＝Ｐ　ｌ　＋（Ｐ　ａ　一Ｐ　２　）ｑ　０　

（２４ａ）　

ｑ　Ｊ＝Ｐ　２　∞＋（Ｐ　２　＋Ｐ　１　）ｑ　０　（２４ｂ）　

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第４期　

形　阵　矩　写　．川　而　ｑ　删　

汪梦甫：用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的非平稳随机地震响应　６０１　

式　

为　应　

为　

Ｆ　

（２５）　

述　

方　

程　

的　

（２６）　

九　ｑ　ｑ　一　答　解　

３　非比例阻尼线性体系地震反应的一般解答　

］Ｊ眦　计　其　

＋　

根据上节广义复振子动力反应计算结果，由式（８）可得非比例阻尼线性体系动力方程的解答为　

ｐ　ｐ　公｛　讼　

式　

…　，　一＋　。’　

…　，，　

：　

ｐ　ｐ　｝　㈣

考　＋　

磅　　

文　∞　

『ｌ－　一口”　｛　”）｛　一　”，｛　）　一　ｍ｛　”）＋ａ　ｍ｛　：　］『ｑ”　（￡’］＋　

　一＋　～　

。　

ｑ　

ｐ　ｐ　椰　

＝　

　一

）　｛　）　Ｉ　ｌ‰（ｔ）Ｊ。　

（２７）　

］Ｊ

２Ｎ　

ｍ　ｍ　

。　

ｌ，　

］　

舢　舢　

由结构动力学知识可知，式（５）有成对共轭的２Ｎ个复频率，它们分别为　

应１；　２，　２；　…；　Ｎ，　Ｎ　

相应的有成对共轭的２Ｎ个复振型，它们分别为　

｛≠ｕ　），　｛　¨　）；　｛　‘　），　｛　）；　…；　ｆ≠‘　），　｛　｝　

可以证明，式（２７）中的广义坐标有成对共轭的２Ｎ个，它们分别为　

ｑＩ（ｔ），　１（ｔ）；ｑ　（ｔ），　２（ｔ）；…；ｑＮ（ｔ），　Ｎ（ｔ）　

将共轭复振型合并在一起，经整理后可得非比例阻尼线性体系动力方程的一般解答为　

ｙｃ　ｔ，　＝［：　；；］＝２ｊ　［一ａ　Ｊ‘　‘　一卢Ｊ‘　‘　］［‘ｑｊ￣（…ｔ）ｌ　

将式（２５）代入上式可得　

＝

（２８）　

［　

（２９）　

其中　

｛Ａ『）＝一２（Ｐ　Ｊｌ口』＋Ｐ　』）｛　）＋２（Ｐｊ２　ａｊ—Ｐ』ｌ　Ｊ）｛　：　’）　

｛ＢＪ）＝一２ｐ　（ａ；＋卢；）｛　）＋２ｐｉ　（　；＋　；）｛　：　）　

｛Ｄ』）＝２ｐ』　｛　）一２ｐ　｛　）　

｛Ｅ』｝＝２（Ｐｊ１口Ｊ—Ｐｊｚ　ｐｊ）｛　０　｝一２（Ｐ

ｉ２口ｊ＋Ｐｊ１　ｐｊ）｛　【Ｊ』　｝　

，

而体系的加速度反应向量由式（２９）可得为　

｛　（ｔ））＝｛Ａ　Ｊ）　Ｊ。（ｔ）＋｛ＢＪ）　Ｊ。（ｔ）　

（３０）　

或将速度反应向量｛　（ｔ））、位移反应向量｛　（ｔ））代入式（１）而得到。　

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６０２　力　学季　刊　第２７卷　

４　非比例阻尼线性体系随机地震响应计算的虚拟激励法　

由于地震地面运动十分复杂，为简单起见，设其为一非平稳随机过程，且可用下式描述为　

（ｔ）＝ｇ（ｔ）　（ｔ）　

（３１）　

式中ｇ（ｔ）是描述强度非平稳的调制函数，一般可取为　

ｆ　（ｔ／ｔ１）　ｔ≤ｔ１　

ｇ（ｔ）＝　１　ｔｌ≤ｔ≤ｔ　

（３２）　

【ｅｘｐ（一ｃ（ｔ　ｔ　２））ｔ　≤ｚ≤Ｔ　

其自谱Ｓ　（０　）一般假设为过滤白噪声过程，取为　

ｓ　＝　ｓ　

为了应用虚拟激励法计算上述非平稳随机激励　非比例阻尼的随机地震响应，按照虚拟激励法的思路，设　

（　）　ｇ（ｔ　８　（３４）　

则标准单自由度体系典型方程（式（２６））成为　

Ｊ　＋２２Ｊ∞Ｊｑ　７　＋ｃｕ２　ｆ　

Ｊ。＝＝——ｇ（ｔ）、／　８ｉ　（３５）　

对于地震激励下，式（３５）的解答极易推导得到为　

）一　ｊ。ｇ（ｒ）√５　ｅｉ￣，￣ｅｘｐＥ一　ｚ　］ｓｉｎ　（　］ｄｒ　‘３６　

一　

ｅＸｐ卜￣？ｏｊ（ｔ－　

（３７）　

Ｊ

∞ＪｓｉｎＥ￣ｏ　（ｔ　ｒ）］＋ｍｊｄＣＯＳ￣ｏ）』ｆｆ（ｔ—ｒ）］｝ｄｒ　

其中６０　＝∞　。　

将式（３６）、（３７）代入式（２９）即可得到结构的位移反应向量｛　（　，ｔ）｝、速度反应向量　（　，ｔ）｝、加　

速度反应向量｛　（　，ｔ）｝，以及相应的共轭反应向量｛　（　，ｔ）｝　、｛　（　，ｔ）｝　、｛　（　，ｔ）｝　。　

按照虚拟激励法的一般原理，由下式可确定地震地面运动产生的结构响应谱矩阵函数为　

［Ｓ　．（　，ｔ）］＝｛　（　，ｔ）｝　｛　（　，ｔ）｝　（３８ａ）　

［Ｓ赫（　，ｔ）］＝｛奎（口　，ｔ）｝　｛　（　，ｔ）｝　（３８ｂ）　

［Ｓ　（　，ｔ）］＝｛　｝（　，ｔ））　｛　（　，ｔ）　

在算出任一响应量的时变功率谱后，其对应的时变方差不难由积分完成。如位移时变功率谱Ｓ…　

（　，ｔ）若为已知，可按下式计算其时变方差　

：．（ｔ）＝２　Ｉ　Ｓ　（０　，ｔ）ｄＯ　（３９）　

５算例分析　

５．１　五层剪切型结构确定性地震响应分析（ＥＬ．Ｇｅｎｔｒｏ地震记录输入）　

图１所示为一五层剪切型结构，其计算参数如下　

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第４期　汪梦甫；用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的非乎稳随机地震响应　６０３　

结构各层质量：Ⅲｌ＝　２　２＝　３＝川　＝　５＝８００／３ｔ・Ｓ　／ｍ　

Ｅｌ＝　ｍｔ　

结构各层抗剪刚度：ｋｌ＝１．２　ｘ　１０　ｔ／ｍ，　ｋ　２＝ｋ　３＝．ｆｆ　ｄ＝』ｆ　５＝１．０　ｘ　ｌＯ　ｔ／ｍ　

正５　

结构阻层矩阵为　Ｃ］＝［Ｃ　］＋［Ｃ　］　

Ｅｌ＝一　ｍ４　

［Ｃ　］＝０．３ＥＭ］＋０．００２［Ｋ］，　Ｃ　（１，１）＝２０＊Ｃ　（１，１）　

Ｅｌ＝∞　ｍ３　

七４　

Ｃ　（ｉ，

，　

）＝０　（其他情况）　

表１给出了在美国加州１９４０年５月１８日ＥＬ．Ｃｅｎｔｒｏ地震记录输入下用对　

２　５　８　０　１　

文中非比例阻尼线性体系地震反应的一般解答得到的结构各层相对位移绝对值　

鲋　矾　

的最大值，同时也给出了精细积分方法（ＰＩＭ）、威尔逊方法（ＷＭ）及纽马克方法　

（ＮＭ）的计算结果。　

图ｌ五层剪切型结构　

从算例结果来看，应用本文的…般实数解答与精细积分方法（ＰＩＭ）、威尔逊　

２　

Ｆｉｇ．１　

５　８

Ａ　５－Ｄ０Ｆ　ｓｙｓｔｅｍ　

　０　ｌ　

方法（ＷＭ）及纽马克方法（ＮＭ）的汁算结果十分接近，说明本文的一般解答的计　

町　矾　∞　

算公式与程序是正确的、可靠的。从表ｌ可以发现，就本文算例而言，即使只考虑第一振型的影响，结构的　

位移反应与结构的精确解答也相差无已。这表明，即使是非比例阻尼结构，也同样能用考虑少量振型影响　

２　６　８　Ｏ　１　

来完成大型复杂结构的动力计算。　

础　叭　∞　∞　船　

表１五层剪切型结构在地震荷载作用下各楼层的位移反应最大值（单位：ｃｍ）　

Ｔａｂ．１　Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｍａｘｉｍａ　ｏｆ　ｔｈｅ　５－Ｄ０Ｆ　ｓｙｓｔｅｍ（ｕｎｉ

２　

ｔ：ｃｍ）

６　

８　０　１　

锚　叭　∞　融　

２　６　８　０　ｌ　

２．６５　

∞　吡　船　

５．７５　

２　６　８　¨　

８．４４　

钉　

１０　４２　

２　５　８　０　ｌ　

１１　４５　

町　“　

５．２五层剪切型结构随机地震响应分析　

本算例采用的结构计算参数与５．１的示例完全相同。但地震地面运动假定为一非平稳随机过程，强　

度非平稳的调制函数（式（３２））及过滤白噪声（式（３３））中相关参数取为　

ｔ１＝２．３　ｔ　２＝１６．２　Ｔ＝２０　ｃ＝０．９８　

（Ｕ９＝１５．４６　＝０．５２　Ｓ０＝０．００６ｍ　／ｓ。　

应用本文建议的方法对该算例进行了分析，图２、图３分别为所研究框架在考虑不同数量共轭振型　

（Ｎ）影响时非平稳随机地震荷载作用下顶层速度与位移响应的均方差反应。　

表２列出了应用本文方法计算得到的不同共轭振型影响时，所研究框架顶层速度均方差反应（ＲＲＶ）　

与顶层位移响应的均方差反应（ＲＲＤ）的部分结果，同样列出了以精细积分法为基础的虚拟激励法所得研　

究框架顶层速度与位移响应的均方差反应的部分计算结果。　

从表２可以发现，当考虑全部共轭振型影响时，本文建议的方法和以精细积分法为基础的虚拟激励法　

所得研究框架顶层速度与位移响应的均方差反应接近相同。本文所研究的框架结构的响应均方差主要以　

第一共轭振型的贡献为主，而只考虑第一共轭振型影响的结构分析计算时间为考虑全部共轭振型影响的　

结构分析计算时间的１／５左右。事实上，对于超高层建筑结构及大跨度桥梁结构，一般只需要计及少量振　

型的影响。　

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力　学　季　刊　第２７卷　

何　

移　

速　

方　

差　

度　

方　

营　

著　

目　

时间（秒）　

图２结构顶层位移时变方差　

图３　结构顶层速度时变方差　

Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ｒｏｏｆ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　

Ｆｉｇ．３　Ｔｈｅ　ｒｏｏｆ　ｖｅｒｌｏｃｉｔｙ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　

ｏｆ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎ　Ｆｉｇ．１　ｏｆ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎ　Ｆｉｇ．１　

表２五层剪切型结构在非平稳随机地震荷载作用下的顶层速度与位移响应的均方差　

Ｔａｂ．２　Ｒｏｏｆ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　５－ＤＯＦ　ｓｙｓｔｅｍ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｓｅｉｓｍｉｃ　ｍｏｔｉｏｎ　

６　结论　

（１）本文以复振型及复频率为基础，但在具体计算时只需套用本文的以实数形式表达的计算公式就　

能得到结构动力方程的解答。由于没有复数运算，便于在工程计算中推广应用。算例证实了这些公式正　

确无误。　

（２）本文的虚拟激励法给出了非平稳随机地震激励下非比例阻尼线性结构随机响应计算的公式与过　

程。由于可以考虑部分振型影响完成大型结构的随机响应计算，由于没有矩阵求逆运算，过程简单、易懂，　

可以大幅度减少计算时间，是替代精细积分方法等直接积分方法进行大型结构随机响应计算的有效方法。　

算例分析显示了本文的虚拟激励法的可行性与可靠性。　

（３）由于结构的地震响应与结构自身的动力特性及地震荷载的特性密切相关，在工程计算中到底应　

计及哪些振型的影响，仍需进行专门的研究。　

参考文献：　

Ｅ１］Ｚｈｏｕ　Ｘｉｙｕａｎ．Ｃｏｍｐｌｅｘ　ｍｏｄｅ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｓｅｉｓｍｉｃ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ　ｏｆ　ｎｏｎ．ｃｌａｓｓｉｃａｌｌｙ　ｄａｍｐｅｄ　ｌｉｎｅａｒ　ＭＤＯＦ　ｓｙｓｔｅｍＥＪ￣．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　

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第４期　汪梦甫：用虚拟激励法求解非比例阻尼线性体系的非平稳随机地震响应　６０５　

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Ｅ４１］　

Ｌｉｎ　Ｊ　Ｈ，Ｚｈａｏ　Ｙ，Ｚｈａｎｇ　Ｙ　Ｈ．Ａｃｃｕｒａｔｅ　ａｎｄ　ｈｉｇｈｌｙ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ／ｎｏｎ．ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｒａｎｄｏｍ　ｒｅｓｐｏｎｓｅｓＦＪ｝　

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