2024年4月25日发(作者：仁鸿骞)

二次曲线中的万能弦长公式

王忠全

我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。

设直线方程为：y=kx+b（特殊情况要讨论k的存在性），二次曲线为f（x，y）=0，把直线

方程代入二次曲线方程，可化为ax

2

+by

2

+c=0，（或ay

2

+by+c=0），设直线和二次曲线的两交

点为A（x

1

，y

1

），B（x

2

，y

2

）

y=kx+b

B（x

2

，y

2

）

f（x，y）=0

A（x

1

，y

1

）

那么：x

1

，x

2

是方程ax

2

+by

2

+c=0的两个解，有

x

1

+x

2

=-

bc

，x

1

x

2

=，

aa

|AB|



x

1

x

2



2

(y

1

y

2

)

2



|a|





x

1

x

2



2

(kx

1

bkx

2

b)

2

(1k

2

)(x

1

x

2

)

2

1k

2

(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

1k

2

同理：若化为关于y的方程ay

2

+by+c=0，则|AB|=

1

1

.

2

k

|a|

例、已知过点M（-3，-3）的直线m被圆x

2

+y

2

+4y-21=0所截得的弦长为4

5

，求直线m

的方程。

解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),

即y=kx+3k-3,代入x

2

+y

2

+4y-21=0,得x

2

+k

2

x

2

+9k

2

+9+6k

2

x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0,

即(1+k

2

)x

2

+(6k

2

-2k)x+9k

2

-6k-24=0,那么

1k

即

2

36k

4

24k

3

4k

2

36k

4

24k

3

60k

2

24k96

45

2

|1k|

2

64k

2

24k96

1k

64k

2

24k968080k

2

，

16k

2

24k16160

，

2k

2

3k20

1

k

1

,k

2

2,所求直线方程为x2y90,或2xy30

2

45

，

两边平方

，

得

当k不存在时,直线m为x=-3,代入x

2

+y

2

+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6)

|AB|=

845

(不合题意)

综上所述:

所求直线方程为x2y90,或2xy30

.

x

2

y

2

1

所截得的弦长为2，求直线m的变式: 已知过点M（-3，-3）的直线m被椭圆

164

方程。

评析:用公式解决弦长问题,计算量大,容易出错,这正是高考考查学生计算能力的一个重要方

面,这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。

2024年4月25日发(作者：仁鸿骞)

二次曲线中的万能弦长公式

王忠全

我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。

设直线方程为：y=kx+b（特殊情况要讨论k的存在性），二次曲线为f（x，y）=0，把直线

方程代入二次曲线方程，可化为ax

2

+by

2

+c=0，（或ay

2

+by+c=0），设直线和二次曲线的两交

点为A（x

1

，y

1

），B（x

2

，y

2

）

y=kx+b

B（x

2

，y

2

）

f（x，y）=0

A（x

1

，y

1

）

那么：x

1

，x

2

是方程ax

2

+by

2

+c=0的两个解，有

x

1

+x

2

=-

bc

，x

1

x

2

=，

aa

|AB|



x

1

x

2



2

(y

1

y

2

)

2



|a|





x

1

x

2



2

(kx

1

bkx

2

b)

2

(1k

2

)(x

1

x

2

)

2

1k

2

(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

1k

2

同理：若化为关于y的方程ay

2

+by+c=0，则|AB|=

1

1

.

2

k

|a|

例、已知过点M（-3，-3）的直线m被圆x

2

+y

2

+4y-21=0所截得的弦长为4

5

，求直线m

的方程。

解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),

即y=kx+3k-3,代入x

2

+y

2

+4y-21=0,得x

2

+k

2

x

2

+9k

2

+9+6k

2

x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0,

即(1+k

2

)x

2

+(6k

2

-2k)x+9k

2

-6k-24=0,那么

1k

即

2

36k

4

24k

3

4k

2

36k

4

24k

3

60k

2

24k96

45

2

|1k|

2

64k

2

24k96

1k

64k

2

24k968080k

2

，

16k

2

24k16160

，

2k

2

3k20

1

k

1

,k

2

2,所求直线方程为x2y90,或2xy30

2

45

，

两边平方

，

得

当k不存在时,直线m为x=-3,代入x

2

+y

2

+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6)

|AB|=

845

(不合题意)

综上所述:

所求直线方程为x2y90,或2xy30

.

x

2

y

2

1

所截得的弦长为2，求直线m的变式: 已知过点M（-3，-3）的直线m被椭圆

164

方程。

评析:用公式解决弦长问题,计算量大,容易出错,这正是高考考查学生计算能力的一个重要方

面,这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。