2024年5月6日发(作者：蹇语柳)
把一个单位分数裂分成两个单位分数和的问题
璞石
【期刊名称】《小学教学》
【年(卷),期】2012(000)020
【总页数】2页(P46-47)
【作 者】璞石
【作者单位】
【正文语种】中 文
【中图分类】教科文艺
把 一 个单 位 分 数裂 分 成 两 个单 位 分 数和 的 问题 ◇ 璞石如何把一个单位分数
裂分成两个单位分数的和 ， 这 是一个十分古老的 问题 。 从埃及 出土 的草纸 中知道 ，
早 在3000多年前就有这一 问题 ， 可至今并未得到彻底解决 ， 甚至没有人 能 回答给
定一个单位分数后 ， 它究竟能裂分成 多少组 ， 比如 ， 币磊未 丽万能裂分成多少组单
位分数的和 呢？ 本文拟 回答如下两个问题 ：
1 ． 给定一个单位分数土 （ n 是大于 l 的 自然数 ） 后 ，如何判断它可 以 裂分成
多少组单位分数的和？
2 ． 如何求 出这些单位分数的和？第 一 个 问 题 比 较 简单 ， 如 前 面 提 到 的单
位 分 数 l174636000 共能裂分成 5198 组单位分数的和 。 一般地 ，当给定单位分数土
时 ，先要把分母 n 写成质因数积的形式 ， 如 凡= 硝 ‘ ． I17'22 ． IT23 ’… …戎
‘ （ 这里 m ．、m ：、m ，… …m 。均为质数 ） 时 ， 则！ 能裂分成两分数 和 的组
数为{[(2p． +1) (2p2+1)(2p3+1) … … (2p‘ +1)+1].当 n 较小时 ，如 n=6 时 ， 由
6=2x3 ，故 有 pi=P2=1，算得 其 组 数 为 { ×[(2×1+1) ×(2 ×l+1)+1]-5 ； 当 n=
174636000时 ， 由 t7,=25x34x53x72xl1 ． 得 其裂 分成 的单位分数组数 为
{×[(2x5+1) ×(2ד1)×(2x3+1) ×(2x2+1) × (2xl+l)+l]=5198 。下 面我们着重探讨第
二 个问 题 。 为此 ，我们先看看 传统的方法——扩分法 。 即先求 出分母 凡 的约数 ，
然后 把单位分数上的分子 、 分母 同时扩大两约数和 的倍数 ，从而使其裂分成两个单位
分数之和 。 1lx(1+3)1+3_ 311I6 -6x(1+3 -24=24+24=8 +24; 1 lx(1+6) _1+6_6 III6-
6x(1+6) 424242=7+42;1 lx(2+3)_2+3_3 2116-6x(2+3) 3030321015 。当扩 大 (2+6)
倍 时 ， 与 扩 大 (1+3) 倍求 得 的 结 果 相 同 ；当扩大 (3+6) 倍时 ，与扩大 (1+2) 倍
求得的结果相 同。如果再加上 1=lx(l+l)=1+1_ 去+ 去 ， 这样 ，就得到 5 组解 。 对 只
有 5 组解 的单位分数 ， 须将分子和分母扩大 7次 ， 并要判 断 出其 中有 两组求得 的
分数为无效分数 。 对稍 复杂一 些 的 ， 如 磊 石，要 裂分 时 ， 由于 360 有 约 数 24
个 [因 360=23x32x5 ，故 约 数有 (3+1) ×(2+1) ×(1+1)=24（ 个 ） ]，所组成 的 约数
对 数 即 为 C24=276 （ 对 ） ，如果再加上数对 (1， 1) ，就有 277 对 ，而最后求得
的有效数对为 53对 ， 其中有 224 对均 为无效数对 。 试想 ， 即使对主 石这样简单的
单位分数 ，要求出它 的 53 组解 尚且如此 困难 ，而要求 出T 面 未 丽而的 5198 组解
2024年5月6日发(作者：蹇语柳)
把一个单位分数裂分成两个单位分数和的问题
璞石
【期刊名称】《小学教学》
【年(卷),期】2012(000)020
【总页数】2页(P46-47)
【作 者】璞石
【作者单位】
【正文语种】中 文
【中图分类】教科文艺
把 一 个单 位 分 数裂 分 成 两 个单 位 分 数和 的 问题 ◇ 璞石如何把一个单位分数
裂分成两个单位分数的和 ， 这 是一个十分古老的 问题 。 从埃及 出土 的草纸 中知道 ，
早 在3000多年前就有这一 问题 ， 可至今并未得到彻底解决 ， 甚至没有人 能 回答给
定一个单位分数后 ， 它究竟能裂分成 多少组 ， 比如 ， 币磊未 丽万能裂分成多少组单
位分数的和 呢？ 本文拟 回答如下两个问题 ：
1 ． 给定一个单位分数土 （ n 是大于 l 的 自然数 ） 后 ，如何判断它可 以 裂分成
多少组单位分数的和？
2 ． 如何求 出这些单位分数的和？第 一 个 问 题 比 较 简单 ， 如 前 面 提 到 的单
位 分 数 l174636000 共能裂分成 5198 组单位分数的和 。 一般地 ，当给定单位分数土
时 ，先要把分母 n 写成质因数积的形式 ， 如 凡= 硝 ‘ ． I17'22 ． IT23 ’… …戎
‘ （ 这里 m ．、m ：、m ，… …m 。均为质数 ） 时 ， 则！ 能裂分成两分数 和 的组
数为{[(2p． +1) (2p2+1)(2p3+1) … … (2p‘ +1)+1].当 n 较小时 ，如 n=6 时 ， 由
6=2x3 ，故 有 pi=P2=1，算得 其 组 数 为 { ×[(2×1+1) ×(2 ×l+1)+1]-5 ； 当 n=
174636000时 ， 由 t7,=25x34x53x72xl1 ． 得 其裂 分成 的单位分数组数 为
{×[(2x5+1) ×(2ד1)×(2x3+1) ×(2x2+1) × (2xl+l)+l]=5198 。下 面我们着重探讨第
二 个问 题 。 为此 ，我们先看看 传统的方法——扩分法 。 即先求 出分母 凡 的约数 ，
然后 把单位分数上的分子 、 分母 同时扩大两约数和 的倍数 ，从而使其裂分成两个单位
分数之和 。 1lx(1+3)1+3_ 311I6 -6x(1+3 -24=24+24=8 +24; 1 lx(1+6) _1+6_6 III6-
6x(1+6) 424242=7+42;1 lx(2+3)_2+3_3 2116-6x(2+3) 3030321015 。当扩 大 (2+6)
倍 时 ， 与 扩 大 (1+3) 倍求 得 的 结 果 相 同 ；当扩大 (3+6) 倍时 ，与扩大 (1+2) 倍
求得的结果相 同。如果再加上 1=lx(l+l)=1+1_ 去+ 去 ， 这样 ，就得到 5 组解 。 对 只
有 5 组解 的单位分数 ， 须将分子和分母扩大 7次 ， 并要判 断 出其 中有 两组求得 的
分数为无效分数 。 对稍 复杂一 些 的 ， 如 磊 石，要 裂分 时 ， 由于 360 有 约 数 24
个 [因 360=23x32x5 ，故 约 数有 (3+1) ×(2+1) ×(1+1)=24（ 个 ） ]，所组成 的 约数
对 数 即 为 C24=276 （ 对 ） ，如果再加上数对 (1， 1) ，就有 277 对 ，而最后求得
的有效数对为 53对 ， 其中有 224 对均 为无效数对 。 试想 ， 即使对主 石这样简单的
单位分数 ，要求出它 的 53 组解 尚且如此 困难 ，而要求 出T 面 未 丽而的 5198 组解