2024年5月6日发(作者：藏清宁)

2001年全国高中数学联赛试题

【第一试】

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ

２

－3ｘ－ａ

２

＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝

的子集的个数为（ ）．

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定

2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．

命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；

命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．

以上三个命题中正确的有（ ）．

Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个

3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、

ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数

是（ ）．

Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜

Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜

4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那

么ｋ的取值范围是（ ）．

Ａ． Ｂ．0＜ｋ≤12

Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或

5．若（1＋ｘ＋ｘ

2

）

1000

的展开式为ａ

０

＋ａ

１

ｘ＋ａ

２

ｘ

２

＋…＋ａ

2000

ｘ

2000

，则

ａ

０

＋ａ

3

＋ａ

6

＋ａ

9

＋…＋ａ

1998

的值为（ ）．

Ａ．3

333

Ｂ．3

666

Ｃ．3

999

Ｄ．3

2001

6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨

的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是

（ ）．

Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高

Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．

8．若复数ｚ

１

、ｚ

２

满足｜ｚ

１

｜＝2，｜ｚ

３

｜＝3，3ｚ

１

－2ｚ

２

＝（3／2）－ｉ，

则ｚ

１

·ｚ

２

＝______________．

9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ

１

Ｂ

１

Ｃ1

１

的棱长为1，则直线Ａ

１

Ｃ

１

与ＢＤ

１

的距离是

______________．

10．不等式｜（1／ｌｏｇ

1／2

ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．

11．函数 的值域为______________．

图3

12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种

同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有

______________种栽种方案．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．设｛ａ

ｎ

｝为等差数列，｛ｂ

ｎ

｝为等比数列，且ｂ

１

＝ａ

１

２

，ｂ

２

＝ａ

２

２

，ｂ

３

＝ａ

３

（ａ

１

＜ａ

２

＝．又

２

试求｛ａ

ｎ

｝的

首项与公差．

x

2

2

y1

2

14．设曲线

C

1

：

a

（

a

为正常数）与

C

2

：

y

2

=2（

x

+

m

） 在

x

轴上方仅有

一个公共点

P

．

⑴ 求实数

m

的取值范围（用

a

表示）；

1

⑵

O

为原点，若

C

1

与

x

轴的负半轴交于点

A

，当0<

a

<

2

时，试求Δ

OAP

的面

积的最大值（用

a

表示）．

15．用电阻值分别为

a

1

、

a

2

、

a

3

、

a

4

、

a

5

、

a

6

(

a

1

>

a

2

>

a

3

>

a

4

>

a

5

>

a

6

) 的电阻组装成一

个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你

的结论．

【第二试】

一．（本题满分50分）

如图，△

ABC

中，

O

为外心，三条高

AD

、

BE

、

CF

交于点

H

，直线

ED

和

AB

交于点

M

，

FD

和

AC

交于点

N

．

求证：(1)

OB

⊥

DF

，

OC

⊥

DE

；

(2)

OH

⊥

MN

．

A

O

F

H

D

E

C

N

B

M

二．（本题满分50分）

设

x

i

0

（

i

=1，2，…，

n

）且



x

i1

n

2

i

2

1kjn



n

k

x

k

x

j

1

x

i



j

，求

i1

的最大值与最小

值．

三．（本题满分50分）

将边长为正整数

m

，

n

的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形

的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．

C

n

A

m

B

D

参考答案

一．

选择题：

1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A

二．填空题：

23

3

7．



8．

6

6

3072

i

1313

9．

(0,1)(1,2)(4,)

2

7

[1,

3

)[2,)

2

10． 11． 12

． 732

三．解答题：

13．设所求公差为

d

，∵

a

1

＜

a

2

，∴

d

＞0．由此得

22422

a(a2d)(ad)2a4add0

11111

化简得：

解得：

d(22)a

1

……………………………………………………… 5分

而

220

，故

a

1

＜0

q

2

a

2

若

d(22)a

1

，则

若

d(22)a

1

，则

q

2

a

2

a

1

2

(21)

2

a

1

2

(21)

2

……………………………… 10分

n

但

能．

lim(b

1

b

2

b

n

)21

2

q(21)

存在，故|

q

|＜1，于是不可

a

1

2

2

1(21)

从而

21a

1

2

(222)(21)2

所以

a

1

2,d(22)a

1

222

……………………………… 20分



x

2

2



2

y1



a



y

2

2(xm)

2222

14．解：(1)由



消去

y

得：

x2ax2ama0

①

2222

f(x)x2ax2ama

设，问题(1)化为方程①在

x

∈(－

a

，

a

)上有唯

一解或等根．

只需讨论以下三种情况：

a

2

1

m

2

，此时

x

p

＝－

a

2

，当且仅当－

a

＜－

a

2

＜

a

，即0＜

a

1°△＝0得：

＜1时适合；

2°

f

(

a

)

f

(－

a

)＜0，当且仅当－

a

＜

m

＜

a

；

3°

f

(－

a

)＝0得

m

＝

a

，此时

x

p

＝

a

－2

a

2

，当且仅当－

a

＜

a

－2

a

2

＜

a

，即

0＜

a

＜1时适合．

f

(

a

)＝0得

m

＝－

a

，此时

x

p

＝－

a

－2

a

2

，由于－

a

－2

a

2

＜－

a

，从而

m

≠

－

a

．

a

2

1

m

2

或－

a

＜

m

≤

a

； 综上可知，当0＜

a

＜1时，

当

a

≥1时，－

a

＜

m

＜

a

．……………………………………………… 10分

1

ay

p

2

(2)△

OAP

的面积

S

1

22

∵0＜

a

＜

2

，故－

a

＜

m

≤

a

时，0＜

aaa12m

＜

a

，

由唯一性得

x

p

a

2

aa

2

12m

1

x

2

p

a

2

取值最大， 显然当

m

＝

a

时，

x

p

取值最小．由于

x

p

＞0，从而

y

p

＝

此时

y

p

2aa

2

2

Saaa

，∴．

1

a

2

1

2

Sa1a

m

2

2

时，

x

p

＝－

a

2

，

y

p

＝

1a

，此时

2

当．

1

a1a

2

2

下面比较

aaa

与

2

的大小：

aaa

2



11

a1a

2

a

2

3

，得 令

111

a1a

2

S

max

a1a

2

2

2

故当0＜

a

≤

3

时，

aaa

≤

2

，此时．

111

aaa

2

a1a

2

a

2

2

时， 当

3

，此时

S

max

aaa

2

．……… 20分

15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为

R

FG

，当

R

i

＝

a

i

，

i

＝3，4，

5，6，

R

1

、

R

2

是

a

1

、

a

2

的任意排列时，

R

FG

最

小 ……………………………………… 5分

证明如下：

111



1．设当两个电阻

R

1

、

R

2

并联时，所得组件阻值为

R

，则

RR

1

R

2

．故

交换二电阻的位置，不改变

R

值，且当

R

1

或

R

2

变小时，

R

也减小，因此不妨取

R

1

＞

R

2

．

2024年5月6日发(作者：藏清宁)

2001年全国高中数学联赛试题

【第一试】

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ

２

－3ｘ－ａ

２

＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝

的子集的个数为（ ）．

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定

2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．

命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；

命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．

以上三个命题中正确的有（ ）．

Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个

3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、

ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数

是（ ）．

Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜

Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜

4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那

么ｋ的取值范围是（ ）．

Ａ． Ｂ．0＜ｋ≤12

Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或

5．若（1＋ｘ＋ｘ

2

）

1000

的展开式为ａ

０

＋ａ

１

ｘ＋ａ

２

ｘ

２

＋…＋ａ

2000

ｘ

2000

，则

ａ

０

＋ａ

3

＋ａ

6

＋ａ

9

＋…＋ａ

1998

的值为（ ）．

Ａ．3

333

Ｂ．3

666

Ｃ．3

999

Ｄ．3

2001

6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨

的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是

（ ）．

Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高

Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．

8．若复数ｚ

１

、ｚ

２

满足｜ｚ

１

｜＝2，｜ｚ

３

｜＝3，3ｚ

１

－2ｚ

２

＝（3／2）－ｉ，

则ｚ

１

·ｚ

２

＝______________．

9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ

１

Ｂ

１

Ｃ1

１

的棱长为1，则直线Ａ

１

Ｃ

１

与ＢＤ

１

的距离是

______________．

10．不等式｜（1／ｌｏｇ

1／2

ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．

11．函数 的值域为______________．

图3

12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种

同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有

______________种栽种方案．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．设｛ａ

ｎ

｝为等差数列，｛ｂ

ｎ

｝为等比数列，且ｂ

１

＝ａ

１

２

，ｂ

２

＝ａ

２

２

，ｂ

３

＝ａ

３

（ａ

１

＜ａ

２

＝．又

２

试求｛ａ

ｎ

｝的

首项与公差．

x

2

2

y1

2

14．设曲线

C

1

：

a

（

a

为正常数）与

C

2

：

y

2

=2（

x

+

m

） 在

x

轴上方仅有

一个公共点

P

．

⑴ 求实数

m

的取值范围（用

a

表示）；

1

⑵

O

为原点，若

C

1

与

x

轴的负半轴交于点

A

，当0<

a

<

2

时，试求Δ

OAP

的面

积的最大值（用

a

表示）．

15．用电阻值分别为

a

1

、

a

2

、

a

3

、

a

4

、

a

5

、

a

6

(

a

1

>

a

2

>

a

3

>

a

4

>

a

5

>

a

6

) 的电阻组装成一

个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你

的结论．

【第二试】

一．（本题满分50分）

如图，△

ABC

中，

O

为外心，三条高

AD

、

BE

、

CF

交于点

H

，直线

ED

和

AB

交于点

M

，

FD

和

AC

交于点

N

．

求证：(1)

OB

⊥

DF

，

OC

⊥

DE

；

(2)

OH

⊥

MN

．

A

O

F

H

D

E

C

N

B

M

二．（本题满分50分）

设

x

i

0

（

i

=1，2，…，

n

）且



x

i1

n

2

i

2

1kjn



n

k

x

k

x

j

1

x

i



j

，求

i1

的最大值与最小

值．

三．（本题满分50分）

将边长为正整数

m

，

n

的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形

的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．

C

n

A

m

B

D

参考答案

一．

选择题：

1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A

二．填空题：

23

3

7．



8．

6

6

3072

i

1313

9．

(0,1)(1,2)(4,)

2

7

[1,

3

)[2,)

2

10． 11． 12

． 732

三．解答题：

13．设所求公差为

d

，∵

a

1

＜

a

2

，∴

d

＞0．由此得

22422

a(a2d)(ad)2a4add0

11111

化简得：

解得：

d(22)a

1

……………………………………………………… 5分

而

220

，故

a

1

＜0

q

2

a

2

若

d(22)a

1

，则

若

d(22)a

1

，则

q

2

a

2

a

1

2

(21)

2

a

1

2

(21)

2

……………………………… 10分

n

但

能．

lim(b

1

b

2

b

n

)21

2

q(21)

存在，故|

q

|＜1，于是不可

a

1

2

2

1(21)

从而

21a

1

2

(222)(21)2

所以

a

1

2,d(22)a

1

222

……………………………… 20分



x

2

2



2

y1



a



y

2

2(xm)

2222

14．解：(1)由



消去

y

得：

x2ax2ama0

①

2222

f(x)x2ax2ama

设，问题(1)化为方程①在

x

∈(－

a

，

a

)上有唯

一解或等根．

只需讨论以下三种情况：

a

2

1

m

2

，此时

x

p

＝－

a

2

，当且仅当－

a

＜－

a

2

＜

a

，即0＜

a

1°△＝0得：

＜1时适合；

2°

f

(

a

)

f

(－

a

)＜0，当且仅当－

a

＜

m

＜

a

；

3°

f

(－

a

)＝0得

m

＝

a

，此时

x

p

＝

a

－2

a

2

，当且仅当－

a

＜

a

－2

a

2

＜

a

，即

0＜

a

＜1时适合．

f

(

a

)＝0得

m

＝－

a

，此时

x

p

＝－

a

－2

a

2

，由于－

a

－2

a

2

＜－

a

，从而

m

≠

－

a

．

a

2

1

m

2

或－

a

＜

m

≤

a

； 综上可知，当0＜

a

＜1时，

当

a

≥1时，－

a

＜

m

＜

a

．……………………………………………… 10分

1

ay

p

2

(2)△

OAP

的面积

S

1

22

∵0＜

a

＜

2

，故－

a

＜

m

≤

a

时，0＜

aaa12m

＜

a

，

由唯一性得

x

p

a

2

aa

2

12m

1

x

2

p

a

2

取值最大， 显然当

m

＝

a

时，

x

p

取值最小．由于

x

p

＞0，从而

y

p

＝

此时

y

p

2aa

2

2

Saaa

，∴．

1

a

2

1

2

Sa1a

m

2

2

时，

x

p

＝－

a

2

，

y

p

＝

1a

，此时

2

当．

1

a1a

2

2

下面比较

aaa

与

2

的大小：

aaa

2



11

a1a

2

a

2

3

，得 令

111

a1a

2

S

max

a1a

2

2

2

故当0＜

a

≤

3

时，

aaa

≤

2

，此时．

111

aaa

2

a1a

2

a

2

2

时， 当

3

，此时

S

max

aaa

2

．……… 20分

15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为

R

FG

，当

R

i

＝

a

i

，

i

＝3，4，

5，6，

R

1

、

R

2

是

a

1

、

a

2

的任意排列时，

R

FG

最

小 ……………………………………… 5分

证明如下：

111



1．设当两个电阻

R

1

、

R

2

并联时，所得组件阻值为

R

，则

RR

1

R

2

．故

交换二电阻的位置，不改变

R

值，且当

R

1

或

R

2

变小时，

R

也减小，因此不妨取

R

1

＞

R

2

．