2024年5月7日发(作者：乙楚)
Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用
摘 要
：
Virial定理及Hellmann-Feynman定理在原子分子物理，粒子物理以及
处理分子结构中得到广泛的应用。本文首先着重论述了Virial定理及
Hellamnn-Feynman定理的基本内容，并分别对其进行了证明，进而通过两定理
的推导过程分析两定理之间的内在联系。最后介绍了Virial定理及
Hellmann-Feynman定理的推广及应用。研究得知Virial定理及
Hellmann-Feynman定理用于量子体系中某些力学量平均值和能量本征值的讨
论，而无需涉及研究体系能量本征函数的具体表示形式；同时Hellmann-Feynman
也能够用于其它定理的证明，并且采用力学量算符对易方法，能够推导出新的
能量计算公式。
关键词
：
Virial定理；Hellmann-Feynman定理；推广；应用
The applications of Virial and Hellmann-Feynman theorem
Abstract:
The Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were widely
applied in the atomic and molecular physics, the particle physics and the structure of
molecules. In this paper, the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were
introduced and proved. Furthermore, some examples were recited. In addition, the
generalization of the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem was also given.
From our study, we realize that the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem
were used in dealing with energy average values and the certification of other
theorems. By the operator commutation method, we are able to obtain the new
energy calculation formulas.
Key words
:
Virial theorem; Hellman-Feynman theorem; Generalization;
Applications
·1·
引言
当今，量子力学在科学各研究领域得到了广泛的应用，它打破了我们对相
当一部分自然规律的一贯认识。正如Feynman所说的那样，“要理解这个世
界上我们所见到的几乎所有现象的背后，自然界真正如何运行，我们非违
背常识不可”。其中，包括许多量子力学的基本定理，它们的应用极大地简
化了计算，减少了运算量。本论文着重论述了Virial定理及
Hellamnn-Feynman定理的基本内容，进而通过两定理的推导过程分析两定
理之间的内在联系。当然，文章以实例列举了它们在计算力学量平均值以
及分析体系的能级结构中的重要作用，并进一步探究两定理的推广形式，
讨论它们的应用。
1.定理的证明
量子力学中的体系存在一种特殊的状态——定态。在该态下，体系的一切力学
量的平均值和概率分布都将不随时间而改变。而在定态条件下，平均值随时间
的变化遵循一个特殊的定理，即Virial定理。
1.1 Virial定理
1.1.1广义的Virial定理
我们设粒子处于势场
V(r)
中，其Hamilton量可表示为
ˆ
2
p
V(r)
（1）
H
2
力学量
rp
的平均值随时间的变化将遵循Ehrenfest关系，即
d
ˆˆˆ
p
ˆ
,H]
（2）
rp[r
dt
我们对（2）式右边进行如下求解
i
ˆ
]
[
xp
ˆ
]
[
yp
ˆ
]
[
zp
ˆ
]
ˆ
p
ˆ
,
H
ˆ
x
,
H
ˆ
y
,
H
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z
,
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,
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]
i
p
ˆ
]
i
V
，其余项类似，于是
ˆ
x
，
[
p
ˆ
x
,
H
不难求出
[
x
,
H
x
Vi
2
Vi
2
V
2
ˆ
]
i
p
ˆ
p
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,
H
ˆ
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y
iy
ˆ
z
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[
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2024年5月7日发(作者：乙楚)
Virial定理及Hellmann-Feynman定理的应用
摘 要
：
Virial定理及Hellmann-Feynman定理在原子分子物理，粒子物理以及
处理分子结构中得到广泛的应用。本文首先着重论述了Virial定理及
Hellamnn-Feynman定理的基本内容，并分别对其进行了证明，进而通过两定理
的推导过程分析两定理之间的内在联系。最后介绍了Virial定理及
Hellmann-Feynman定理的推广及应用。研究得知Virial定理及
Hellmann-Feynman定理用于量子体系中某些力学量平均值和能量本征值的讨
论，而无需涉及研究体系能量本征函数的具体表示形式；同时Hellmann-Feynman
也能够用于其它定理的证明，并且采用力学量算符对易方法，能够推导出新的
能量计算公式。
关键词
：
Virial定理；Hellmann-Feynman定理；推广；应用
The applications of Virial and Hellmann-Feynman theorem
Abstract:
The Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were widely
applied in the atomic and molecular physics, the particle physics and the structure of
molecules. In this paper, the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem were
introduced and proved. Furthermore, some examples were recited. In addition, the
generalization of the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem was also given.
From our study, we realize that the Virial theorem and Hellmann-Feynman theorem
were used in dealing with energy average values and the certification of other
theorems. By the operator commutation method, we are able to obtain the new
energy calculation formulas.
Key words
:
Virial theorem; Hellman-Feynman theorem; Generalization;
Applications
·1·
引言
当今，量子力学在科学各研究领域得到了广泛的应用，它打破了我们对相
当一部分自然规律的一贯认识。正如Feynman所说的那样，“要理解这个世
界上我们所见到的几乎所有现象的背后，自然界真正如何运行，我们非违
背常识不可”。其中，包括许多量子力学的基本定理，它们的应用极大地简
化了计算，减少了运算量。本论文着重论述了Virial定理及
Hellamnn-Feynman定理的基本内容，进而通过两定理的推导过程分析两定
理之间的内在联系。当然，文章以实例列举了它们在计算力学量平均值以
及分析体系的能级结构中的重要作用，并进一步探究两定理的推广形式，
讨论它们的应用。
1.定理的证明
量子力学中的体系存在一种特殊的状态——定态。在该态下，体系的一切力学
量的平均值和概率分布都将不随时间而改变。而在定态条件下，平均值随时间
的变化遵循一个特殊的定理，即Virial定理。
1.1 Virial定理
1.1.1广义的Virial定理
我们设粒子处于势场
V(r)
中，其Hamilton量可表示为
ˆ
2
p
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（1）
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