2024年5月7日发(作者：桥英发)
2021-2022
学年北京八十中八年级第一学期期中数学试卷
注意事项：
1
．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2
．选择题每小题选出答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用
0.5
毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3
．作图可先使用
2B
铅笔画出，确定后必须用
0.5
毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共
10
小题）
.
1
．病毒最大的直径约
0.00022
毫米，
0.00022
用科学记数法表示（ ）
A
．
2.2
×
10
﹣
4
B
．
2.2
×
10
﹣
3
C
．
2.2
×
10
﹣
5
D
．
22
×
10
﹣
6
2
．若一个三角形的两边长分别为
3cm
、
6cm
，则它的第三边的长可能是（ ）
A
．
2cm
B
．
3cm
C
．
6cm
D
．
9cm
3
．下列各式计算正确的是（ ）
A
．
a
2
•
a
4
＝
a
8
C
．
a
6
÷
a
3
＝
a
2
4
．下列分式的变形正确的是（ ）
A
．＝
B
．＝
x+y
B
．（
2xy
）
3
＝
6x
3
y
3
D
．（﹣
a
3
）
2
＝
a
6
C
．＝
D
．＝（
a
≠
b
）
5
．分式
A
．
0
的值为
0
，则
x
的值为（ ）
B
．
3
C
．﹣
3
D
．
3
或﹣
3
6
．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A
．
2a
2
﹣
2a+1
＝
2a
（
a
﹣
1
）
+1
C
．
x
2
﹣
4xy+4y
2
＝（
x
﹣
2y
）
2
B
．（
x+y
）（
x
﹣
y
）＝
x
2
﹣
y
2
D
．
x
2
+1
＝
x
（
x+
）
7
．一个多边形的内角和是
720
°，这个多边形的边数是（ ）
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
8
．已知∠
1
＝∠
2
，
AC
＝
AD
，要使△
ABC
≌△
AED
，还需添加一个条件，那么在以下条件中
不能选择的是（ ）
A
．
AB
＝
AE
B
．
BC
＝
ED
C
．∠
C
＝∠
D
D
．∠
B
＝∠
E
9
．如果
x
2
+mx+16
是完全平方式，那么
m
的值是（ ）
A
．
8
B
．
4
C
．±
4
D
．±
8
10
．如图，直线
l
1
∥
l
2
，点
A
在直线
l
1
上，以点
A
为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直
线
l
1
，
l
2
于
B
，
C
两点，以点
C
为圆心，
CB
长为半径画弧，与前弧交于点
D
（不与点
B
重合），连接
AC
，
AD
，
BC
，
CD
，其中
AD
交
l
2
于点
E
．若∠
ECA
＝
40
°，则下列结论
错误的是（ ）
A
．∠
ABC
＝
70
°
B
．∠
BAD
＝
80
°
C
．
CE
＝
CD
D
．
CE
＝
AE
二、填空题（每空
2
分，共
18
分）
11
．使分式有意义的
x
的取值范围是
．
12
．计算：（）
3
＝
；（
9x
2
y
﹣
6xy
2
+3xy
）÷
3xy
＝
．
13
．分解因式：
x
3
y
﹣
4xy
3
＝
．
14
．已知
ab
＝
2
，
a+b
＝
5
，则
a
3
b+2a
2
b
2
+ab
3
的值是
．
15
．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据
DE
＝
DF
，
EH
＝
FH
，不用度量，
就知道∠
DEH
＝∠
DFH
，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别
方法是
（用字母表示）．
16
．如图，已知∠
C
＝
90
°，
AD
平分∠
BAC
，
BD
＝
2CD
，若点
D
到
AB
的距离等于
4cm
，
则
BC
的长为
cm
．
17
．如图，在△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，点
D
在
AB
边上，将△
CBD
沿
CD
折叠，使点
B
恰好落在
AC
边上的点
E
处，若∠
A
＝
26
°，则∠
CDA
＝
．
18
．如图，已知△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
24
厘米，∠
ABC
＝∠
ACB
，
BC
＝
16
厘米，点
D
为
AB
的中点．如果点
P
在线段
BC
上以
4
厘米
/
秒的速度由
B
点向
C
点运动，同时，点
Q
在线
段
CA
上由
C
点向
A
点运动．当点
Q
的运动速度为
厘米
/
秒时，能够在某一时刻
使△
BPD
与△
CQP
全等．
三、解答题（共
52
分，第
19-21
，
23-26
每题
5
分，第
22
题
10
分，第
27
题
7
分）
19
．计算：
+
（）
﹣
2
+|1
﹣
|+
（﹣
2021
）
0
．
20
．计算：
[
（
x+y
）
3
﹣（
x+y
）（
x
﹣
y
）
]
÷
2y
．
21
．先化简再求值：（
x
﹣
1
）
2
﹣（
x+2
）（
x
﹣
2
）
+
（
x
﹣
4
）（
x+5
），其中
x
2
﹣
x
﹣
5
＝
0
．
22
．计算：
（
1
）÷；
（
2
）÷﹣．
23
．已知△
ABC
中，∠
ABC
为钝角．请你按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）：
（
1
）过点
A
作
BC
的垂线
AD
；
（
2
）取
AB
中点
F
，连接
CF
；
（
3
）尺规作图：作△
ABC
中∠
B
的平分线
BE
．
24
．已知：如图，点
B
，
F
，
C
，
E
在一条直线上，
BF
＝
CE
，
AC
＝
DF
，且
AC
∥
DF
．
求证：∠
B
＝∠
E
．
25
．如图，在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
DE
⊥
AB
于点
E
，点
F
在
AC
上，
BE
＝
FC
，
BD
＝
DF
，
求证：
AD
平分∠
CAB
．
26
．阅读材料：把形如
ax
2
+bx+c
的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做
配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即
a
2
+2ab+b
2
＝（
a+b
）
2
．配方法在
代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：
①我们可以将代数式
a
2
+6a+10
进行变形，其过程如下：
a
2
+6a+10
＝（
a
2
+6a
）
+10
＝（
a
2
+6a+9
）
+10
﹣
9
＝（
a+3
）
2
+1
∵（
a+3
）
2
≥
0
，
∴（
a+3
）
2
+1
≥
1
，
因此，该式有最小值
1
．
材料二：我们定义：如果两个多项式
A
与
B
的差为常数，且这个常数为正数，则称
A
是
B
的
B
＝“雅常式”，这个常数称为
A
关于
B
的“雅常值”．如多项式
A
＝
x
2
+2x+1
，（
x+4
）
（
x
﹣
2
），
A
﹣
B
＝（
x
2
+2x+1
）﹣（
x+4
）（
x
﹣
2
）＝（
x
2
+2x+1
）﹣（
x
2
+2x
﹣
8
）＝
9
，则
A
是
B
的“雅常式”，
A
关于
B
的“雅常值”为
9
．
（
1
）已知多项式
C
＝
x
2
+x
﹣
1
，
D
＝（
x+2
）（
x
﹣
1
），判断
C
是否为
D
的“雅常式”，
若不是，请说明理由，若是，请证明并求出
C
关于
D
的“雅常值”；
（
2
）已知多项式
M
＝（
x
﹣
a
）
2
，
N
＝
x
2
﹣
2x+b
（
a
，
b
为常数），
M
是
N
的“雅常式”，
且当
x
为实数时，
N
的最小值为﹣
2
，求
M
关于
N
的“雅常值”．
27
．如图
1
，在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
在
y
轴上，点
B
是第一象限的点，且
AB
⊥
y
轴，且
AB
＝
OA
，点
C
是线段
OA
上任意一点，连接
BC
，作
BD
⊥
BC
，交
x
轴于点
D
．
（
1
）依题意补全图
1
；
（
2
）用等式表示线段
OA
，
AC
与
OD
之间的数量关系，并证明；
（
3
）连接
CD
，作∠
CBD
的平分线，交
CD
边于点
H
，连接
AH
，求∠
BAH
的度数．
参考答案
一、选择题（每题
3
分。共
30
分）
1
．病毒最大的直径约
0.00022
毫米，
0.00022
用科学记数法表示（ ）
A
．
2.2
×
10
﹣
4
B
．
2.2
×
10
﹣
3
C
．
2.2
×
10
﹣
5
D
．
22
×
10
﹣
6
﹣
【分析】绝对值小于
1
的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
a
×
10
n
，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数
字前面的
0
的个数所决定．
解：
0.000 22
＝
2.2
×
10
﹣
4
．
故选：
A
．
2
．若一个三角形的两边长分别为
3cm
、
6cm
，则它的第三边的长可能是（ ）
A
．
2cm
B
．
3cm
C
．
6cm
D
．
9cm
【分析】首先设第三边长为
xcm
，根据三角形的三边关系可得
6
﹣
3
＜
x
＜
6+3
，再解不等
式即可．
解：设第三边长为
xcm
，根据三角形的三边关系可得：
6
﹣
3
＜
x
＜
6+3
，
解得：
3
＜
x
＜
9
，
故选：
C
．
3
．下列各式计算正确的是（ ）
A
．
a
2
•
a
4
＝
a
8
C
．
a
6
÷
a
3
＝
a
2
B
．（
2xy
）
3
＝
6x
3
y
3
D
．（﹣
a
3
）
2
＝
a
6
【分析】利用同底数幂的乘法法则对
A
进行判断；利用积的乘方对
B
进行判断；利用同
底数幂的除法法则对
C
进行判断；利用幂的乘方对
D
进行判断．
解：
A
．原式＝
a
2+4
＝
a
6
，所以
A
选项不符合题意；
B
．原式＝
8x
3
y
3
，所以
B
选项不符合题意；
C
．原式＝
a
6
﹣
3
＝
a
3
，所以
C
选项不符合题意；
D
．原式＝
a
6
，所以
D
选项符合题意．
故选：
D
．
4
．下列分式的变形正确的是（ ）
A
．＝
B
．＝
x+y
C
．＝
D
．＝（
a
≠
b
）
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
解：
A
选项中不能分子分母都减
1
，故该选项不合题意；
B
选项中分子和分母没有公因式，故该选项不合题意；
C
选项中分子和分母都乘
5
，分式的值不变，故该选项符合题意；
D
选项中分子乘
a
，分母乘
b
，
a
≠
b
，故该选项不合题意；
故选：
C
．
5
．分式
A
．
0
的值为
0
，则
x
的值为（ ）
B
．
3
C
．﹣
3
D
．
3
或﹣
3
【分析】根据分式值为零的条件可得
x
﹣
3
≠
0
，
|x|
﹣
3
＝
0
，再解即可．
解：由题意得：
x
﹣
3
≠
0
，
|x|
﹣
3
＝
0
，
解得：
x
＝﹣
3
，
故选：
C
．
6
．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A
．
2a
2
﹣
2a+1
＝
2a
（
a
﹣
1
）
+1
C
．
x
2
﹣
4xy+4y
2
＝（
x
﹣
2y
）
2
B
．（
x+y
）（
x
﹣
y
）＝
x
2
﹣
y
2
D
．
x
2
+1
＝
x
（
x+
）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：
A
．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B
．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C
．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D
．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合
题意；
故选：
C
．
7
．一个多边形的内角和是
720
°，这个多边形的边数是（ ）
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
【分析】设这个多边形的边数为
n
，根据多边形的内角和定理得到（
n
﹣
2
）×
180
°＝
720
°，
然后解方程即可．
解：设这个多边形的边数为
n
，则
（
n
﹣
2
）×
180
°＝
720
°，
解得
n
＝
6
，
故这个多边形为六边形．
故选：
A
．
8
．已知∠
1
＝∠
2
，
AC
＝
AD
，要使△
ABC
≌△
AED
，还需添加一个条件，那么在以下条件中
不能选择的是（ ）
A
．
AB
＝
AE
B
．
BC
＝
ED
C
．∠
C
＝∠
D
D
．∠
B
＝∠
E
【分析】根据∠
1
＝∠
2
求出∠
BAC
＝∠
EAD
，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即
可．
解：∵∠
1
＝∠
2
，
∴∠
1+
∠
EAB
＝∠
2+
∠
EAB
，
即∠
BAC
＝∠
EAD
，
A
．
AB
＝
AE
，
AC
＝
AD
，∠
BAC
＝∠
EAD
，符合全等三角形的判定定理
SAS
，能推出△
ABC
≌△
AED
，故本选项不符合题意；
B
．
BC
＝
ED
，
AC
＝
AD
，∠
BAC
＝∠
EAD
，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△
ABC
≌△
AED
，故本选项符合题意；
C
．∠
C
＝∠
D
，
AC
＝
AD
，∠
BAC
＝∠
EAD
，符合全等三角形的判定定理
ASA
，能推出△
ABC
≌△
AED
，故本选项不符合题意；
D
．∠
B
＝∠
E
，∠
BAC
＝∠
EAD
，
AC
＝
AD
，符合全等三角形的判定定理
AAS
，能推出△
ABC
≌△
AED
，故本选项不符合题意；
故选：
B
．
9
．如果
x
2
+mx+16
是完全平方式，那么
m
的值是（ ）
A
．
8
B
．
4
C
．±
4
D
．±
8
【分析】先写出
x
2
±
8x+16
＝（
x
±
4
）
2
，进一步求出
m
的值．
解：∵
x
2
±
8x+16
＝（
x
±
4
）
2
，
x
2
+mx+16
是完全平方式，
∴
m
＝±
8
；
故选：
D
．
10
．如图，直线
l
1
∥
l
2
，点
A
在直线
l
1
上，以点
A
为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直
线
l
1
，
l
2
于
B
，
C
两点，以点
C
为圆心，
CB
长为半径画弧，与前弧交于点
D
（不与点
B
重合），连接
AC
，
AD
，
BC
，
CD
，其中
AD
交
l
2
于点
E
．若∠
ECA
＝
40
°，则下列结论
错误的是（ ）
A
．∠
ABC
＝
70
°
B
．∠
BAD
＝
80
°
C
．
CE
＝
CD
D
．
CE
＝
AE
【分析】根据平行线的性质得出∠
CAB
＝
40
°，进而利用圆的概念判断即可．
解：∵直线
l
1
∥
l
2
，
∴∠
ECA
＝∠
CAB
＝
40
°，
∵以点
A
为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线
l
1
，
l
2
于
B
，
C
两点，
∴
BA
＝
AC
＝
AD
，
∴∠
ABC
＝，故
A
正确；
∵以点
C
为圆心，
CB
长为半径画弧，与前弧交于点
D
（不与点
B
重合），
∴
CB
＝
CD
，
∴∠
CAB
＝∠
DAC
＝
40
°，
∴∠
BAD
＝
40
°
+40
°＝
80
°，故
B
正确；
∵∠
ECA
＝
40
°，∠
DAC
＝
40
°，
∴
CE
＝
AE
，故
D
正确；
故选：
C
．
二、填空题（每空
2
分，共
18
分）
11
．使分式有意义的
x
的取值范围是
x
≠
1
．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于
x
的不等式，求出
x
的取值范围即可．
解：∵分式有意义，
∴
x
﹣
1
≠
0
，解得
x
≠
1
．
故答案为：
x
≠
1
．
12
．计算：（）
3
＝ ﹣ ；（
9x
2
y
﹣
6xy
2
+3xy
）÷
3xy
＝
3x
﹣
2y+1
．
【分析】根据分式的乘除法和整式的除法计算即可．
解：（）
3
＝
＝
＝﹣
；
（
9x
2
y
﹣
6xy
2
+3xy
）÷
3xy
＝
9x
2
y
÷
3xy
﹣
6xy
2
÷
3xy+3xy
÷
3xy
＝
3x
﹣
2y+1
；
故答案为：﹣；
3x
﹣
2y+1
．
13
．分解因式：
x
3
y
﹣
4xy
3
＝
xy
（
x+2y
）（
x
﹣
2y
） ．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．
解：原式＝
xy
（
x
2
﹣
4y
2
）
＝
xy
（
x+2y
）（
x
﹣
2y
），
故答案为：
xy
（
x+2y
）（
x
﹣
2y
）．
14
．已知
ab
＝
2
，
a+b
＝
5
，则
a
3
b+2a
2
b
2
+ab
3
的值是
50
．
【分析】所求式子提取公因式
ab
后，利用完全平方公式变形，将
ab
与
a+b
的值代入计
算即可求出值．
2024年5月7日发(作者：桥英发)
2021-2022
学年北京八十中八年级第一学期期中数学试卷
注意事项：
1
．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2
．选择题每小题选出答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用
0.5
毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3
．作图可先使用
2B
铅笔画出，确定后必须用
0.5
毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共
10
小题）
.
1
．病毒最大的直径约
0.00022
毫米，
0.00022
用科学记数法表示（ ）
A
．
2.2
×
10
﹣
4
B
．
2.2
×
10
﹣
3
C
．
2.2
×
10
﹣
5
D
．
22
×
10
﹣
6
2
．若一个三角形的两边长分别为
3cm
、
6cm
，则它的第三边的长可能是（ ）
A
．
2cm
B
．
3cm
C
．
6cm
D
．
9cm
3
．下列各式计算正确的是（ ）
A
．
a
2
•
a
4
＝
a
8
C
．
a
6
÷
a
3
＝
a
2
4
．下列分式的变形正确的是（ ）
A
．＝
B
．＝
x+y
B
．（
2xy
）
3
＝
6x
3
y
3
D
．（﹣
a
3
）
2
＝
a
6
C
．＝
D
．＝（
a
≠
b
）
5
．分式
A
．
0
的值为
0
，则
x
的值为（ ）
B
．
3
C
．﹣
3
D
．
3
或﹣
3
6
．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A
．
2a
2
﹣
2a+1
＝
2a
（
a
﹣
1
）
+1
C
．
x
2
﹣
4xy+4y
2
＝（
x
﹣
2y
）
2
B
．（
x+y
）（
x
﹣
y
）＝
x
2
﹣
y
2
D
．
x
2
+1
＝
x
（
x+
）
7
．一个多边形的内角和是
720
°，这个多边形的边数是（ ）
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
8
．已知∠
1
＝∠
2
，
AC
＝
AD
，要使△
ABC
≌△
AED
，还需添加一个条件，那么在以下条件中
不能选择的是（ ）
A
．
AB
＝
AE
B
．
BC
＝
ED
C
．∠
C
＝∠
D
D
．∠
B
＝∠
E
9
．如果
x
2
+mx+16
是完全平方式，那么
m
的值是（ ）
A
．
8
B
．
4
C
．±
4
D
．±
8
10
．如图，直线
l
1
∥
l
2
，点
A
在直线
l
1
上，以点
A
为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直
线
l
1
，
l
2
于
B
，
C
两点，以点
C
为圆心，
CB
长为半径画弧，与前弧交于点
D
（不与点
B
重合），连接
AC
，
AD
，
BC
，
CD
，其中
AD
交
l
2
于点
E
．若∠
ECA
＝
40
°，则下列结论
错误的是（ ）
A
．∠
ABC
＝
70
°
B
．∠
BAD
＝
80
°
C
．
CE
＝
CD
D
．
CE
＝
AE
二、填空题（每空
2
分，共
18
分）
11
．使分式有意义的
x
的取值范围是
．
12
．计算：（）
3
＝
；（
9x
2
y
﹣
6xy
2
+3xy
）÷
3xy
＝
．
13
．分解因式：
x
3
y
﹣
4xy
3
＝
．
14
．已知
ab
＝
2
，
a+b
＝
5
，则
a
3
b+2a
2
b
2
+ab
3
的值是
．
15
．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据
DE
＝
DF
，
EH
＝
FH
，不用度量，
就知道∠
DEH
＝∠
DFH
，小明是通过全等三角形的识别得到的结论，请问小明用的识别
方法是
（用字母表示）．
16
．如图，已知∠
C
＝
90
°，
AD
平分∠
BAC
，
BD
＝
2CD
，若点
D
到
AB
的距离等于
4cm
，
则
BC
的长为
cm
．
17
．如图，在△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，点
D
在
AB
边上，将△
CBD
沿
CD
折叠，使点
B
恰好落在
AC
边上的点
E
处，若∠
A
＝
26
°，则∠
CDA
＝
．
18
．如图，已知△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
24
厘米，∠
ABC
＝∠
ACB
，
BC
＝
16
厘米，点
D
为
AB
的中点．如果点
P
在线段
BC
上以
4
厘米
/
秒的速度由
B
点向
C
点运动，同时，点
Q
在线
段
CA
上由
C
点向
A
点运动．当点
Q
的运动速度为
厘米
/
秒时，能够在某一时刻
使△
BPD
与△
CQP
全等．
三、解答题（共
52
分，第
19-21
，
23-26
每题
5
分，第
22
题
10
分，第
27
题
7
分）
19
．计算：
+
（）
﹣
2
+|1
﹣
|+
（﹣
2021
）
0
．
20
．计算：
[
（
x+y
）
3
﹣（
x+y
）（
x
﹣
y
）
]
÷
2y
．
21
．先化简再求值：（
x
﹣
1
）
2
﹣（
x+2
）（
x
﹣
2
）
+
（
x
﹣
4
）（
x+5
），其中
x
2
﹣
x
﹣
5
＝
0
．
22
．计算：
（
1
）÷；
（
2
）÷﹣．
23
．已知△
ABC
中，∠
ABC
为钝角．请你按要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）：
（
1
）过点
A
作
BC
的垂线
AD
；
（
2
）取
AB
中点
F
，连接
CF
；
（
3
）尺规作图：作△
ABC
中∠
B
的平分线
BE
．
24
．已知：如图，点
B
，
F
，
C
，
E
在一条直线上，
BF
＝
CE
，
AC
＝
DF
，且
AC
∥
DF
．
求证：∠
B
＝∠
E
．
25
．如图，在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
DE
⊥
AB
于点
E
，点
F
在
AC
上，
BE
＝
FC
，
BD
＝
DF
，
求证：
AD
平分∠
CAB
．
26
．阅读材料：把形如
ax
2
+bx+c
的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做
配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即
a
2
+2ab+b
2
＝（
a+b
）
2
．配方法在
代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：
①我们可以将代数式
a
2
+6a+10
进行变形，其过程如下：
a
2
+6a+10
＝（
a
2
+6a
）
+10
＝（
a
2
+6a+9
）
+10
﹣
9
＝（
a+3
）
2
+1
∵（
a+3
）
2
≥
0
，
∴（
a+3
）
2
+1
≥
1
，
因此，该式有最小值
1
．
材料二：我们定义：如果两个多项式
A
与
B
的差为常数，且这个常数为正数，则称
A
是
B
的
B
＝“雅常式”，这个常数称为
A
关于
B
的“雅常值”．如多项式
A
＝
x
2
+2x+1
，（
x+4
）
（
x
﹣
2
），
A
﹣
B
＝（
x
2
+2x+1
）﹣（
x+4
）（
x
﹣
2
）＝（
x
2
+2x+1
）﹣（
x
2
+2x
﹣
8
）＝
9
，则
A
是
B
的“雅常式”，
A
关于
B
的“雅常值”为
9
．
（
1
）已知多项式
C
＝
x
2
+x
﹣
1
，
D
＝（
x+2
）（
x
﹣
1
），判断
C
是否为
D
的“雅常式”，
若不是，请说明理由，若是，请证明并求出
C
关于
D
的“雅常值”；
（
2
）已知多项式
M
＝（
x
﹣
a
）
2
，
N
＝
x
2
﹣
2x+b
（
a
，
b
为常数），
M
是
N
的“雅常式”，
且当
x
为实数时，
N
的最小值为﹣
2
，求
M
关于
N
的“雅常值”．
27
．如图
1
，在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
在
y
轴上，点
B
是第一象限的点，且
AB
⊥
y
轴，且
AB
＝
OA
，点
C
是线段
OA
上任意一点，连接
BC
，作
BD
⊥
BC
，交
x
轴于点
D
．
（
1
）依题意补全图
1
；
（
2
）用等式表示线段
OA
，
AC
与
OD
之间的数量关系，并证明；
（
3
）连接
CD
，作∠
CBD
的平分线，交
CD
边于点
H
，连接
AH
，求∠
BAH
的度数．
参考答案
一、选择题（每题
3
分。共
30
分）
1
．病毒最大的直径约
0.00022
毫米，
0.00022
用科学记数法表示（ ）
A
．
2.2
×
10
﹣
4
B
．
2.2
×
10
﹣
3
C
．
2.2
×
10
﹣
5
D
．
22
×
10
﹣
6
﹣
【分析】绝对值小于
1
的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
a
×
10
n
，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数
字前面的
0
的个数所决定．
解：
0.000 22
＝
2.2
×
10
﹣
4
．
故选：
A
．
2
．若一个三角形的两边长分别为
3cm
、
6cm
，则它的第三边的长可能是（ ）
A
．
2cm
B
．
3cm
C
．
6cm
D
．
9cm
【分析】首先设第三边长为
xcm
，根据三角形的三边关系可得
6
﹣
3
＜
x
＜
6+3
，再解不等
式即可．
解：设第三边长为
xcm
，根据三角形的三边关系可得：
6
﹣
3
＜
x
＜
6+3
，
解得：
3
＜
x
＜
9
，
故选：
C
．
3
．下列各式计算正确的是（ ）
A
．
a
2
•
a
4
＝
a
8
C
．
a
6
÷
a
3
＝
a
2
B
．（
2xy
）
3
＝
6x
3
y
3
D
．（﹣
a
3
）
2
＝
a
6
【分析】利用同底数幂的乘法法则对
A
进行判断；利用积的乘方对
B
进行判断；利用同
底数幂的除法法则对
C
进行判断；利用幂的乘方对
D
进行判断．
解：
A
．原式＝
a
2+4
＝
a
6
，所以
A
选项不符合题意；
B
．原式＝
8x
3
y
3
，所以
B
选项不符合题意；
C
．原式＝
a
6
﹣
3
＝
a
3
，所以
C
选项不符合题意；
D
．原式＝
a
6
，所以
D
选项符合题意．
故选：
D
．
4
．下列分式的变形正确的是（ ）
A
．＝
B
．＝
x+y
C
．＝
D
．＝（
a
≠
b
）
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
解：
A
选项中不能分子分母都减
1
，故该选项不合题意；
B
选项中分子和分母没有公因式，故该选项不合题意；
C
选项中分子和分母都乘
5
，分式的值不变，故该选项符合题意；
D
选项中分子乘
a
，分母乘
b
，
a
≠
b
，故该选项不合题意；
故选：
C
．
5
．分式
A
．
0
的值为
0
，则
x
的值为（ ）
B
．
3
C
．﹣
3
D
．
3
或﹣
3
【分析】根据分式值为零的条件可得
x
﹣
3
≠
0
，
|x|
﹣
3
＝
0
，再解即可．
解：由题意得：
x
﹣
3
≠
0
，
|x|
﹣
3
＝
0
，
解得：
x
＝﹣
3
，
故选：
C
．
6
．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A
．
2a
2
﹣
2a+1
＝
2a
（
a
﹣
1
）
+1
C
．
x
2
﹣
4xy+4y
2
＝（
x
﹣
2y
）
2
B
．（
x+y
）（
x
﹣
y
）＝
x
2
﹣
y
2
D
．
x
2
+1
＝
x
（
x+
）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：
A
．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B
．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C
．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D
．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合
题意；
故选：
C
．
7
．一个多边形的内角和是
720
°，这个多边形的边数是（ ）
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
【分析】设这个多边形的边数为
n
，根据多边形的内角和定理得到（
n
﹣
2
）×
180
°＝
720
°，
然后解方程即可．
解：设这个多边形的边数为
n
，则
（
n
﹣
2
）×
180
°＝
720
°，
解得
n
＝
6
，
故这个多边形为六边形．
故选：
A
．
8
．已知∠
1
＝∠
2
，
AC
＝
AD
，要使△
ABC
≌△
AED
，还需添加一个条件，那么在以下条件中
不能选择的是（ ）
A
．
AB
＝
AE
B
．
BC
＝
ED
C
．∠
C
＝∠
D
D
．∠
B
＝∠
E
【分析】根据∠
1
＝∠
2
求出∠
BAC
＝∠
EAD
，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即
可．
解：∵∠
1
＝∠
2
，
∴∠
1+
∠
EAB
＝∠
2+
∠
EAB
，
即∠
BAC
＝∠
EAD
，
A
．
AB
＝
AE
，
AC
＝
AD
，∠
BAC
＝∠
EAD
，符合全等三角形的判定定理
SAS
，能推出△
ABC
≌△
AED
，故本选项不符合题意；
B
．
BC
＝
ED
，
AC
＝
AD
，∠
BAC
＝∠
EAD
，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△
ABC
≌△
AED
，故本选项符合题意；
C
．∠
C
＝∠
D
，
AC
＝
AD
，∠
BAC
＝∠
EAD
，符合全等三角形的判定定理
ASA
，能推出△
ABC
≌△
AED
，故本选项不符合题意；
D
．∠
B
＝∠
E
，∠
BAC
＝∠
EAD
，
AC
＝
AD
，符合全等三角形的判定定理
AAS
，能推出△
ABC
≌△
AED
，故本选项不符合题意；
故选：
B
．
9
．如果
x
2
+mx+16
是完全平方式，那么
m
的值是（ ）
A
．
8
B
．
4
C
．±
4
D
．±
8
【分析】先写出
x
2
±
8x+16
＝（
x
±
4
）
2
，进一步求出
m
的值．
解：∵
x
2
±
8x+16
＝（
x
±
4
）
2
，
x
2
+mx+16
是完全平方式，
∴
m
＝±
8
；
故选：
D
．
10
．如图，直线
l
1
∥
l
2
，点
A
在直线
l
1
上，以点
A
为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直
线
l
1
，
l
2
于
B
，
C
两点，以点
C
为圆心，
CB
长为半径画弧，与前弧交于点
D
（不与点
B
重合），连接
AC
，
AD
，
BC
，
CD
，其中
AD
交
l
2
于点
E
．若∠
ECA
＝
40
°，则下列结论
错误的是（ ）
A
．∠
ABC
＝
70
°
B
．∠
BAD
＝
80
°
C
．
CE
＝
CD
D
．
CE
＝
AE
【分析】根据平行线的性质得出∠
CAB
＝
40
°，进而利用圆的概念判断即可．
解：∵直线
l
1
∥
l
2
，
∴∠
ECA
＝∠
CAB
＝
40
°，
∵以点
A
为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线
l
1
，
l
2
于
B
，
C
两点，
∴
BA
＝
AC
＝
AD
，
∴∠
ABC
＝，故
A
正确；
∵以点
C
为圆心，
CB
长为半径画弧，与前弧交于点
D
（不与点
B
重合），
∴
CB
＝
CD
，
∴∠
CAB
＝∠
DAC
＝
40
°，
∴∠
BAD
＝
40
°
+40
°＝
80
°，故
B
正确；
∵∠
ECA
＝
40
°，∠
DAC
＝
40
°，
∴
CE
＝
AE
，故
D
正确；
故选：
C
．
二、填空题（每空
2
分，共
18
分）
11
．使分式有意义的
x
的取值范围是
x
≠
1
．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于
x
的不等式，求出
x
的取值范围即可．
解：∵分式有意义，
∴
x
﹣
1
≠
0
，解得
x
≠
1
．
故答案为：
x
≠
1
．
12
．计算：（）
3
＝ ﹣ ；（
9x
2
y
﹣
6xy
2
+3xy
）÷
3xy
＝
3x
﹣
2y+1
．
【分析】根据分式的乘除法和整式的除法计算即可．
解：（）
3
＝
＝
＝﹣
；
（
9x
2
y
﹣
6xy
2
+3xy
）÷
3xy
＝
9x
2
y
÷
3xy
﹣
6xy
2
÷
3xy+3xy
÷
3xy
＝
3x
﹣
2y+1
；
故答案为：﹣；
3x
﹣
2y+1
．
13
．分解因式：
x
3
y
﹣
4xy
3
＝
xy
（
x+2y
）（
x
﹣
2y
） ．
【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可．
解：原式＝
xy
（
x
2
﹣
4y
2
）
＝
xy
（
x+2y
）（
x
﹣
2y
），
故答案为：
xy
（
x+2y
）（
x
﹣
2y
）．
14
．已知
ab
＝
2
，
a+b
＝
5
，则
a
3
b+2a
2
b
2
+ab
3
的值是
50
．
【分析】所求式子提取公因式
ab
后，利用完全平方公式变形，将
ab
与
a+b
的值代入计
算即可求出值．