2024年5月8日发(作者：行叶春)
这个可以用参数积分来做。建立空间直角坐标系，原点O在圆柱底面圆心，螺线圈下
端起点在x轴正半轴上，假设落选方向从上往下看位逆时针方向。
则我们可以得到这个螺线圈上每一点的坐标：x(t)=0.25cost，y(t)=0.25sint，z(t)=kt
(k>0且k∈R)
我们要做的就是确定k的取值，使每一圈螺线的间距为0.2
也就是说，z(t+2π)-z(t)=0.2，带入z(t)=kt中算得k=1/(10π)
所以，螺线的轨迹方程为x(t)=0.25cost，y(t)=0.25sint，z(t)=t/(10π)
因为高为3，所以当z=3时算的t=30π
螺线圈的长度就是螺线圈轨迹积分，从0→30π
L=∫√{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt
=∫√[1/16+1/(100π^2)]dt
=√[1/16+1/(100π^2)]*30π
=(3/2)√(25π^2+4)
故，螺线圈的长度为(3/2)√(25π^2+4)米
(t≥0)
公式：
曲线长度的计算式子:
∫√[x'[t]^2 + y'[t]^2 + z'[t]^2] dt
你的所谓锥形螺旋线的参数方程:
x[t] = k t Cos[t];
y[t] = k t Sin[t];
z[t] = l t;
t为角度, k t为半径,l为螺距当然我认为的螺距是指沿高线方向的长度.对于柱形就是螺
纹距了.
上边对于的积分结果是:
(k t √[l^2 + k^2 (1 + t^2)] + (k^2 + l^2) ln[k (k t + √[l^2 + k^2 (1 + t^2)])])/(2
k),其中√是根号的意思.
旋转一圈转过2π弧度, 半径变大了5, 所以k = 5/(2 π) ,
开始时k t1 = a = 15 mm, 说明t1 = a/k = 6 π,
结束时k t2 = b = 20 mm, 说明t2 = b/k = 8 π,
旋转一圈转过2π弧度, 上升了10mm, l = 10/(2 π) = 5/π,
代入数值得:
-(5 (6 π √[5 + 36 π^2] - 8 π √[5 + 64 π^2] + 5 ln[6 π + √[5 + 36 π^2]] - 5 ln[8
π + √[5 + 64 π^2]]))/(4 π)
积分：
设曲线 r = a*θ+r0
设曲线的长度为L,在转过一个很小的角度Δθ时,螺线其实比一个半径为r的正圆长ΔL,
即有ΔL = ∫(Δθ*r),上标为（r+Δr)，下标为(r)
首先由 r1 = a*θ+r0 = 40/2
r2 = a*θ'+r0 = 30/2
θ-θ' = 2π
求得 a = 5/(2π)
r = 5/(2π)*θ+r0
Δr = 5/(2π)*Δθ
代入积分式，积分得
ΔL = (a*Δθ^3)/2 + a*(Δθ^2)*r
因此有L = L2+ΔL = 2π*r2 + (a^2*8π^3)/2 + a*(4π^2)*r2 = 40π*r2+25π =
625π ≈ 1962.5 (mm)
2024年5月8日发(作者：行叶春)
这个可以用参数积分来做。建立空间直角坐标系，原点O在圆柱底面圆心，螺线圈下
端起点在x轴正半轴上，假设落选方向从上往下看位逆时针方向。
则我们可以得到这个螺线圈上每一点的坐标：x(t)=0.25cost，y(t)=0.25sint，z(t)=kt
(k>0且k∈R)
我们要做的就是确定k的取值，使每一圈螺线的间距为0.2
也就是说，z(t+2π)-z(t)=0.2，带入z(t)=kt中算得k=1/(10π)
所以，螺线的轨迹方程为x(t)=0.25cost，y(t)=0.25sint，z(t)=t/(10π)
因为高为3，所以当z=3时算的t=30π
螺线圈的长度就是螺线圈轨迹积分，从0→30π
L=∫√{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2}dt
=∫√[1/16+1/(100π^2)]dt
=√[1/16+1/(100π^2)]*30π
=(3/2)√(25π^2+4)
故，螺线圈的长度为(3/2)√(25π^2+4)米
(t≥0)
公式：
曲线长度的计算式子:
∫√[x'[t]^2 + y'[t]^2 + z'[t]^2] dt
你的所谓锥形螺旋线的参数方程:
x[t] = k t Cos[t];
y[t] = k t Sin[t];
z[t] = l t;
t为角度, k t为半径,l为螺距当然我认为的螺距是指沿高线方向的长度.对于柱形就是螺
纹距了.
上边对于的积分结果是:
(k t √[l^2 + k^2 (1 + t^2)] + (k^2 + l^2) ln[k (k t + √[l^2 + k^2 (1 + t^2)])])/(2
k),其中√是根号的意思.
旋转一圈转过2π弧度, 半径变大了5, 所以k = 5/(2 π) ,
开始时k t1 = a = 15 mm, 说明t1 = a/k = 6 π,
结束时k t2 = b = 20 mm, 说明t2 = b/k = 8 π,
旋转一圈转过2π弧度, 上升了10mm, l = 10/(2 π) = 5/π,
代入数值得:
-(5 (6 π √[5 + 36 π^2] - 8 π √[5 + 64 π^2] + 5 ln[6 π + √[5 + 36 π^2]] - 5 ln[8
π + √[5 + 64 π^2]]))/(4 π)
积分：
设曲线 r = a*θ+r0
设曲线的长度为L,在转过一个很小的角度Δθ时,螺线其实比一个半径为r的正圆长ΔL,
即有ΔL = ∫(Δθ*r),上标为（r+Δr)，下标为(r)
首先由 r1 = a*θ+r0 = 40/2
r2 = a*θ'+r0 = 30/2
θ-θ' = 2π
求得 a = 5/(2π)
r = 5/(2π)*θ+r0
Δr = 5/(2π)*Δθ
代入积分式，积分得
ΔL = (a*Δθ^3)/2 + a*(Δθ^2)*r
因此有L = L2+ΔL = 2π*r2 + (a^2*8π^3)/2 + a*(4π^2)*r2 = 40π*r2+25π =
625π ≈ 1962.5 (mm)