2024年5月11日发(作者：营英纵)

数轴上“点”的运动规律

在数轴上，A点表示的数是

a

，B点表示的数是

b

，显然这两个数里面

ba

，

A、B两点之间的距离我们可以用

ba

来表示。

b

－

a

（图1）

如果我们换个位置，B在左边，A在右边，就会变成下面这样：

a

－

b

（图2）

B

O

A

此时

ab

，A、B两点之间的距离，我们可以用

ab

来表示。

也就是说，在数轴上两点之间的距离，其实就是两个数的差，说具体一点，

就是用较大的数减去较小的数，就等于两个点之间的距离。

由于数轴上的点从左到右越来越大，所以较大的数在右边，较小的数在左边。

我们在计算数轴上两点之间的距离时，对于大部分初学者，可以先这样问问自己：

① 这两个点，哪个表示的是大数？哪个表示的是小数？

② 我要用哪个数减去哪个数？

（思考题）参考图1，若A点表示的数是

2ab

，B点表示的数是

2ba

，那么

A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）

参考图2，若A点表示的数是

2ab

，B点表示的数是

2ba

，那么

A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）

【例题1】A、B两地有一条长度是300km的公路，甲车从A地出发开往B地，速度为90km/h，

与此同时，乙车从B地出发开往A地，速度为60km/h。

（1）问：甲乙两车出发几小时后相遇？

（2）问：出发几小时后，两车相距50千米？

（变形1）

P

Q

A

O

B

如图所示，数轴上A、B两点分别表示

a

、

b

两个数，并且

(a4)

2

|8b|0

，

现有一点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒4个单位的速

度向左移动。

（1）

a_______,b______,A与B之间的距离是_______

个单位长度。

（2）问：几秒后，P、Q两个点重合？

（3）问：几秒后，P、Q两个点之间的距离是4个单位长度？

（4）P点出发时，在A、B之间有一个小球，以每秒10个单位的速度同时出发，

在A、B之间来回滚动，直到P、Q相遇时，小球才停止运动。问：这个过程中，

小球滚动的距离是多少个单位长度？

【方法总结】

① 数轴上位置已经确定的点，叫做定点；位置不断变化的点，叫做动点。

② 数轴上两个动点重合，就好比马路上两辆车相遇，可以转化成相遇问题。

③ 数轴上反方向运动的两个点，就好比马路上两辆车相对行驶，相遇之前距离越来越小，

相遇之后距离越来越大。

1

（思考与讨论）

由于数轴上的点，向右增大，向左减小。我们假设A点表示的数为

a

，B点表示的数为

b

，

保持A、B两点静止不动。我们添上两个能动的点P和Q：

P点从A出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动；与此同时，Q点从B出发，以每秒5个单

位长度的速度向左移动。设运动时间为t，那么t秒后，P点表示的数是___________，

Q点表示的数是____________。

由此可见，向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去速度乘时间

向右运动的点，表示的数就可以这样算：起点加上速度乘时间。

【例题2】甲车速度是60km/h，乙车速度是90km/h。某天上午，甲、乙两车在同一个地方，

走同一条路去往300km外的省城，甲车先走了1小时，然后乙车才出发。

（1）问：乙车能否在抵达省城之前，追上甲车？

（2）问：乙车出发多少小时，甲、乙两车相距30km？

（变式）如图，A、B两点分别对应数轴上

a,b

两数，O为原点，若

OB2OA

，且AB = 24。

有一点P从A点出发，以每秒6个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒2个单位的

速度向右移动，假设运动时间为 t 。

（1）

a_____,b______

（2）t秒以后，P点表示的数是__________，Q点表示的数是___________

（用含有t的代数式表示）

（3）若P、Q之间相距10个单位长度，求t的值。

【方法总结】

① 向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去经过的路程，

向右运动的点，表示的数可以这样算：起点加上经过的路程。

这里所说的路程，是指某一个动点的速度乘它的运动时间。

② 数轴上两个动点如果是同方向运动的，一定要比较它们的速度，然后再思考，有没有追上甚至超过的可能，

如果有这样的可能，一定要把这种情况写在答题过程中。

③ 同向运动的两个点如果能相遇，就好比追及问题里面，后面的快车追上了前面的慢车。追上所需的时间就用

它们出发前的距离除以速度差，就能算出答案。

三、中点公式

在数轴上有一点A表示的数为

a

，有一点B表示的数为

b

，并且

ab

如果P是AB的中点，那么P点表示的数可以记作：

1

2

(ab)

（下面我们就来研究这个公式是怎样得到的）

A

P

B

因为

ABba

，P是AB中点，那么AP就是AB的一半，

所以

AP

1

2

(ba)

P点可以看成是从A点出发，向右移动了

1

2

(ba)

得到的。

所以P表示的数就可以写成：

a

11

2

(ba)

，化简以后就是

2

(ab)

2

2024年5月11日发(作者：营英纵)

数轴上“点”的运动规律

在数轴上，A点表示的数是

a

，B点表示的数是

b

，显然这两个数里面

ba

，

A、B两点之间的距离我们可以用

ba

来表示。

b

－

a

（图1）

如果我们换个位置，B在左边，A在右边，就会变成下面这样：

a

－

b

（图2）

B

O

A

此时

ab

，A、B两点之间的距离，我们可以用

ab

来表示。

也就是说，在数轴上两点之间的距离，其实就是两个数的差，说具体一点，

就是用较大的数减去较小的数，就等于两个点之间的距离。

由于数轴上的点从左到右越来越大，所以较大的数在右边，较小的数在左边。

我们在计算数轴上两点之间的距离时，对于大部分初学者，可以先这样问问自己：

① 这两个点，哪个表示的是大数？哪个表示的是小数？

② 我要用哪个数减去哪个数？

（思考题）参考图1，若A点表示的数是

2ab

，B点表示的数是

2ba

，那么

A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）

参考图2，若A点表示的数是

2ab

，B点表示的数是

2ba

，那么

A、B之间的距离是___________（用含有a、b的代数式表示）

【例题1】A、B两地有一条长度是300km的公路，甲车从A地出发开往B地，速度为90km/h，

与此同时，乙车从B地出发开往A地，速度为60km/h。

（1）问：甲乙两车出发几小时后相遇？

（2）问：出发几小时后，两车相距50千米？

（变形1）

P

Q

A

O

B

如图所示，数轴上A、B两点分别表示

a

、

b

两个数，并且

(a4)

2

|8b|0

，

现有一点P从A出发，以每秒2个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒4个单位的速

度向左移动。

（1）

a_______,b______,A与B之间的距离是_______

个单位长度。

（2）问：几秒后，P、Q两个点重合？

（3）问：几秒后，P、Q两个点之间的距离是4个单位长度？

（4）P点出发时，在A、B之间有一个小球，以每秒10个单位的速度同时出发，

在A、B之间来回滚动，直到P、Q相遇时，小球才停止运动。问：这个过程中，

小球滚动的距离是多少个单位长度？

【方法总结】

① 数轴上位置已经确定的点，叫做定点；位置不断变化的点，叫做动点。

② 数轴上两个动点重合，就好比马路上两辆车相遇，可以转化成相遇问题。

③ 数轴上反方向运动的两个点，就好比马路上两辆车相对行驶，相遇之前距离越来越小，

相遇之后距离越来越大。

1

（思考与讨论）

由于数轴上的点，向右增大，向左减小。我们假设A点表示的数为

a

，B点表示的数为

b

，

保持A、B两点静止不动。我们添上两个能动的点P和Q：

P点从A出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动；与此同时，Q点从B出发，以每秒5个单

位长度的速度向左移动。设运动时间为t，那么t秒后，P点表示的数是___________，

Q点表示的数是____________。

由此可见，向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去速度乘时间

向右运动的点，表示的数就可以这样算：起点加上速度乘时间。

【例题2】甲车速度是60km/h，乙车速度是90km/h。某天上午，甲、乙两车在同一个地方，

走同一条路去往300km外的省城，甲车先走了1小时，然后乙车才出发。

（1）问：乙车能否在抵达省城之前，追上甲车？

（2）问：乙车出发多少小时，甲、乙两车相距30km？

（变式）如图，A、B两点分别对应数轴上

a,b

两数，O为原点，若

OB2OA

，且AB = 24。

有一点P从A点出发，以每秒6个单位的速度向右移动，与此同时，有一点Q从B出发，以每秒2个单位的

速度向右移动，假设运动时间为 t 。

（1）

a_____,b______

（2）t秒以后，P点表示的数是__________，Q点表示的数是___________

（用含有t的代数式表示）

（3）若P、Q之间相距10个单位长度，求t的值。

【方法总结】

① 向左运动的点，它表示的数可以这样算：起点减去经过的路程，

向右运动的点，表示的数可以这样算：起点加上经过的路程。

这里所说的路程，是指某一个动点的速度乘它的运动时间。

② 数轴上两个动点如果是同方向运动的，一定要比较它们的速度，然后再思考，有没有追上甚至超过的可能，

如果有这样的可能，一定要把这种情况写在答题过程中。

③ 同向运动的两个点如果能相遇，就好比追及问题里面，后面的快车追上了前面的慢车。追上所需的时间就用

它们出发前的距离除以速度差，就能算出答案。

三、中点公式

在数轴上有一点A表示的数为

a

，有一点B表示的数为

b

，并且

ab

如果P是AB的中点，那么P点表示的数可以记作：

1

2

(ab)

（下面我们就来研究这个公式是怎样得到的）

A

P

B

因为

ABba

，P是AB中点，那么AP就是AB的一半，

所以

AP

1

2

(ba)

P点可以看成是从A点出发，向右移动了

1

2

(ba)

得到的。

所以P表示的数就可以写成：

a

11

2

(ba)

，化简以后就是

2

(ab)

2