2024年5月11日发(作者：桂雨筠)

最小二乘复频域法（PolyMax）

SX1201069 虞刚

PolyMax模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘复频域法

( Polyreference least squares complex frequency domain method)， 是最小二乘复频域法(LSCF)

的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整体估计的多自由度法,一般首先通过实验建立稳

态图，以判定真实的模态频率、阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正

则方程缩减最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通过求解最小二乘问题得到。该方

法集合了多参考点法和LSCF方法的优点,可以得出非常清晰的稳态图,并且密集空间可以被分离出来,

尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者FRF数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰

的稳态图，识别出高度密集的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是国际

最新发展并流行的基于传递函数的模态分析方法。其基本思想如下：

（1）建立频率响应函数模型

多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSCF或PolyMAX）要以频响函数矩阵作为识别的初始数据，

其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。在频域中，系统输出

o

（

o1,2,N

0

， 其中

N

0

为输出

点数）和全部输入的关系可用右矩阵分式模型（RMFD）来描述，右矩阵分式模型的表达式为

H

o

式中：

H

o







C

U

o







C

lN

i







U

o







D







1

（1）

—理论频响函数的第

o

行，

N

i

是输入点数，即激励数；

—分子多项式行向量；

lN

i

D

o







C

N

i

N

i

—分母多项式矩阵。

且

U

o







和

D

o







可以表示成如下形式：

U

o













Z







B



（

o1,2,N

ror

r0

N

rr

N

0

） （2）

D

o









式中：

N

—多项式阶次





Z







A



（3）

r0

其中分母系数矩阵

A

r

R

为一个矩阵。

N

i

N

i

和分子系数行向量

B

or

R

lN

i

是待估计的参数。所有这些系数合并





其中





T

1



T



N



T



（4）

T



B

o0





A

0





B





A





o1



1





N1



N

i

N



N1



N

i



o





， （5）

R







R

i

o















A

N







B

oN





式（2）和式（3）中出现的多项式基函数

Z

r







，一般地，有以下两种选择：

ⅰ.对于连续时域模型，可取为



（6）

Z

r











i









s



式中：



s



j



1





N

2

i

—缩放因子，用来提高方程的数值状况。

ⅱ.对于离散时域模型，可取为

Z

r







e

式中：

T

s

—采样周期。

通常采用离散时域模型。

（2）参数的线性化

通过试验测量出的频率响应函数矩阵

H



j



Tr

s



（7）

~







C

f

N

o

N

i

，用

H

o

~







C

f

1N

i

表示实测频响矩

阵的第

o

行，

o1,2,,N

o

,f1,2,,N

f

，那么关于参数矩阵



的非线性最小二乘（NLS）目

标函数可表示为



nls









H





tr



o

NLS





f

,





o1f1

N

o

N

f















,









（8）

H

NLS

of

式中：



－矩阵的复共扼转置；

tr







－矩阵的迹，即矩阵的主对角元素之和。

通过对式（8）求极小值，便可以得到频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系数的估计值，即



矩

阵的估计值。

式（8）中的加权非线性最小二乘误差函数被定义：



o

NLS





f

,





W

o





f



H

o





f

,





H

o





f



W

o





f



U

o





f

,



o



D

1





f

,





H

o





f



（9）



~



~



2024年5月11日发(作者：桂雨筠)

最小二乘复频域法（PolyMax）

SX1201069 虞刚

PolyMax模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘复频域法

( Polyreference least squares complex frequency domain method)， 是最小二乘复频域法(LSCF)

的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整体估计的多自由度法,一般首先通过实验建立稳

态图，以判定真实的模态频率、阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正

则方程缩减最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通过求解最小二乘问题得到。该方

法集合了多参考点法和LSCF方法的优点,可以得出非常清晰的稳态图,并且密集空间可以被分离出来,

尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者FRF数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰

的稳态图，识别出高度密集的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是国际

最新发展并流行的基于传递函数的模态分析方法。其基本思想如下：

（1）建立频率响应函数模型

多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSCF或PolyMAX）要以频响函数矩阵作为识别的初始数据，

其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。在频域中，系统输出

o

（

o1,2,N

0

， 其中

N

0

为输出

点数）和全部输入的关系可用右矩阵分式模型（RMFD）来描述，右矩阵分式模型的表达式为

H

o

式中：

H

o







C

U

o







C

lN

i







U

o







D







1

（1）

—理论频响函数的第

o

行，

N

i

是输入点数，即激励数；

—分子多项式行向量；

lN

i

D

o







C

N

i

N

i

—分母多项式矩阵。

且

U

o







和

D

o







可以表示成如下形式：

U

o













Z







B



（

o1,2,N

ror

r0

N

rr

N

0

） （2）

D

o









式中：

N

—多项式阶次





Z







A



（3）

r0

其中分母系数矩阵

A

r

R

为一个矩阵。

N

i

N

i

和分子系数行向量

B

or

R

lN

i

是待估计的参数。所有这些系数合并





其中





T

1



T



N



T



（4）

T



B

o0





A

0





B





A





o1



1





N1



N

i

N



N1



N

i



o





， （5）

R







R

i

o















A

N







B

oN





式（2）和式（3）中出现的多项式基函数

Z

r







，一般地，有以下两种选择：

ⅰ.对于连续时域模型，可取为



（6）

Z

r











i









s



式中：



s



j



1





N

2

i

—缩放因子，用来提高方程的数值状况。

ⅱ.对于离散时域模型，可取为

Z

r







e

式中：

T

s

—采样周期。

通常采用离散时域模型。

（2）参数的线性化

通过试验测量出的频率响应函数矩阵

H



j



Tr

s



（7）

~







C

f

N

o

N

i

，用

H

o

~







C

f

1N

i

表示实测频响矩

阵的第

o

行，

o1,2,,N

o

,f1,2,,N

f

，那么关于参数矩阵



的非线性最小二乘（NLS）目

标函数可表示为



nls









H





tr



o

NLS





f

,





o1f1

N

o

N

f















,









（8）

H

NLS

of

式中：



－矩阵的复共扼转置；

tr







－矩阵的迹，即矩阵的主对角元素之和。

通过对式（8）求极小值，便可以得到频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系数的估计值，即



矩

阵的估计值。

式（8）中的加权非线性最小二乘误差函数被定义：



o

NLS





f

,





W

o





f



H

o





f

,





H

o





f



W

o





f



U

o





f

,



o



D

1





f

,





H

o





f



（9）



~



~

