2024年5月15日发(作者：沙尔冬)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）
（2023•乙卷）|2+i
2
+2i
3
|=（ ）
A．1B．2C．
√
5
D．5
【答案】C
【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．（江南博哥）
【解答】解：由于|2+i
2
+2i
3
|=|1-2i|=
故选：C．
√
22
1+(−2)
=
√
5
．
（2023•乙卷）设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则M∪∁
U
N=（ ）
A．{0，2，4，6，8}
【答案】A
B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8}D．U
【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
【解答】解：由于∁
U
N={2，4，8}，
所以M∪∁
U
N={0，2，4，6，8}．
故选：A．
（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的
边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A．24
【答案】D
B．26C．28D．30
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．
如图所示：
故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4=30．
故选：D．
2023•乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=
π
5
，则∠B=（ ）
A．
π
10
B．
π
C．
3π
D．
2π
5105
【答案】C
【分析】利用正弦定理以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．
【解答】解：由acosB-bcosA=c得sinAcosB-sinBcosA=sinC，
得sin（A-B）=sinC=sin（A+B），
即sinAcosB-sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA，
即2sinBcosA=0，得sinBcosA=0，
在△ABC中，sinB≠0，
∴cosA=0，即A=
π
2
，
则B=π-A-C=π−
ππ
3π
2
−
5
=
10
．
故选：C．
2023•乙卷）已知f（x）=
xe
x
a=（ ）
e
ax
是偶函数，则
−1
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质，运算即可得解．
x）=
xe
x
【解答】解：∵f（的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，
e
ax
−1
∴f（-x）=f（x），
（
（
∴
∴
−xe
e
−x
−ax
=
e
xe
ax
x
，
，
xe
e
−1
ax−x
ax
=
−1
e
xe
ax
−1
x
−1
∴ax-x=x,∴a=2．
故选：D．
→→
（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则
EC
•
ED
=（ ）
A．
√
5
【答案】B
B．3C．2
√
5
D．5
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，
→→→→→→→→
EBEAEBADEABCBC
所以•=-1，⊥，⊥，•
AD
=2×2=4，
→→→→→→→→→→→→→→
则
EC
•
ED
=（
EB
+
BC
）•（
EA
+
AD
）=
EB
•
EA
+
EB
•
AD
+
EA
•
BC
+
BC
•
AD
=-1+0+0+4=3．
故选：B．
（2023•乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x,y）|1≤x
2
+y
2
≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线
π
OA的倾斜角不大于
的概率为（ ）
4
A．
1
8
【答案】C
【分析】作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，
根据题意可得构成A的区域为圆环，
π
而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，
4
21
∴所求概率为
=
．
84
故选：C．
B．
1
6
1
4
D．
1
2
C．
（2023•乙卷）函数f（x）=x
3
+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）
【答案】B
B．（-∞，-3）C．（-4，-1）D．（-3，0）
【分析】求函数的导数，f（x）存在3个零点，等价为f′（x）=0有两个不同的根，且极大值大于0极小
值小于0，求函数的极值，建立不等式关系即可．
【解答】解：f′（x）=3x
2
+a,
若函数f（x）=x
3
+ax+2存在3个零点，
则f′（x）=3x
2
+a=0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，
即判别式Δ=0-12a＞0，得a＜0，
aa
−
或x＜-
−
，此时f（x）单调递增，
33
由f′（x）＜0得-
−
a
＜x＜
−
a
，此时f（x）单调递减，
33
即当x=-
−
a
时，函数f（x）取得极大值，当x=
−
a
时，f（x）取得极小值，
33
则f（-
−
a
）＞0，f（
−
a
）＜0，
33
aa
即-
−
a
（-
+a）+2＞0，且
−
a
（-
+a）+2＜0，
3
3
3
3
2a2a
即-
−
a
×+2＞0，①，且
−
a
×+2＜0，②，
3
3
3
3
则①恒成立，
2a2a
由
−
a
×+2＜0，2＜-
−
a
×
，
3
3
3
3
由f′（x）＞0得x＞
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
平方得4＜-
a
4a
×
，即a
3
＜-27，
3
9
2
√
则a＜-3，综上a＜-3，
即实数a的取值范围是（-∞，-3）．
故选：B．
（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两
位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
5
6
【答案】A
【分析】利用古典概型、排列组合等知识直接求解．
【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n=6×6=36，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m=
A
=30，
2
6
A．
B．
2
3
C．
1
2
D．
1
3
m
305
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P=
==
．
n
366
故选：A．
π
2π
π
2π
（2023•乙卷）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x=和x=为函数y=f（x）的
6363
5π
图像的两条对称轴，则f（-）=（ ）
12
A．-
√
2
3
B．-
1
2
C．
1
2
D．
√
2
3
【答案】D
【分析】先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．
T
2π
ππ
【解答】解：根据题意可知
=−
=
，
2362
2π
∴T=π，取ω＞0，∴ω=
=2，
T
ππ
又根据“五点法“可得2×
+φ=−+2kπ，k∈Z，
62
5π
∴φ=−
+2kπ，k∈Z，
6
5π5π
∴f（x）=sin（2x−
+2kπ）=sin（2x-
），
66
3
5π5π5π5π
π
∴f（-）=sin（
−
-
）=sin（-）=sin
=
√
．
1266332
故选：D．
（2023•乙卷）已知实数x,y满足x
2
+y
2
-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（ ）
3
√
2
A．1+
2
B．4C．1+3
√
2
D．7
【答案】C
【分析】根据题意，设z=x-y,分析x
2
+y
2
-4x-2y-4=0和x-y-z=0，结合直线与圆的位置关系可得有
|2−1−z|
√
1+1
≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x
2
+y
2
-4x-2y-4=0，即（x-2）
2
+（y-1）
2
=9，其几何意义是以（2，1）为圆
心，半径为3的圆，
设z=x-y,变形可得x-y-z=0，其几何意义为直线x-y-z=0，
直线y=x-z与圆（x-2）
2
+（y-1）
2
=9有公共点，则有
故x-y的最大值为1+3
2
．
√
故选：C．
|2−1−z|
√
1+1
≤3，解可得1-3
√
2
≤z≤1+3
√
2
，
2
2
y
（2023•乙卷）设A，B为双曲线x
-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
9
A．（1，1）
【答案】D
B．（-1，2）C．（1，3）D．（-1，-4）
【分析】设AB中点为（x
0
，y
0
），利用点差法求得中点弦斜率，列不等式组求解即可．
【解答】解：设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），AB中点为（x
0
，y
0
），
V
2
y
2
Y
Y
x
1
−
1
=1①
Y
Y
Y
9
Y
，
W
2
2
y
2
Y
Y
−=1②
x
Y
2
Y
X
Y
Y
9
①-②得k
AB
=
即-3＜9×
即
y
0
x
0
x
0
y
2−
y
1
x
2
−x
1
=9×
x
1
+x
2
y
1
+y
2
=9×
x
0
y
0
，
1
x
0
1
＜3⇒−
<<
，
y
0
3
y
0
3
y
0
x
0
>3或<−3，
故A、B、C错误，D正确．
故选：D．
（2023•乙卷）已知点A（1，
√
5
）在抛物线C：y
2
=2px上，则A到C的准线的距离为
9
【答案】．
4
【分析】根据已知条件，先求出p,再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：点A（1，
√
5
）在抛物线C：y
2
=2px上，
5
则5=2p,解得p=，
2
p
59
由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为
x
A
+=1+=
．
244
9
故答案为：．
4
9
4
．
π
1
10
（2023•乙卷）若θ∈（0，），tanθ=，则sinθ-cosθ=-
√
23
5
【答案】-
√
．
5
10
．
【分析】根据三角函数的坐标定义，利用坐标法进行求解即可．
π
1
y
【解答】解：∵θ∈（0，），tanθ=
=
，
23
x
∴令x=3，y=1，设θ终边上一点的坐标P（3，1），
22
3+1
=
√
10
，
132
10
则sinθ-cosθ=
−
=-=-
√
．
5
√
10
√
10
√
10
则r=|OP|=
√
故答案为：-
√
．
5
10
V
x−3y≤−1
Y
Y
Y
（2023•乙卷）若x,y满足约束条件
W
x+2y≤9
，则z=2x-y的最大值为
8
Y
X
Y
Y
3x+y≥7
【答案】8．
．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x,由截距的几何意义可得．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所
示：
由z=2x-y可得y=2x-z,
则-z表示直线y=2x-z在y轴上的截距，截距越小，z越
大，
结合图形可知，当y=2x-z经过点A时，Z最大，
V
x−3y=−1
由
W
可得y=2，x=5，即A（5，2），
X
x+2y=9
此时z取得最大值8．
故答案为：8．
（2023•乙卷）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，
则SA=2．
【答案】2．
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．
【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为O
1
，半径为r,
3
AB
则2r=
=
3
=2
3
，解得r=
3
，
√√
sin∠ACB
√
2
设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OA，OO
1
，
1
则OA=2，OO
1
=SA，
2
2222
1
∵OA
=OO
1
+O
1
A
，∴4=3+
SA
，解得SA=2．
4
故答案为：2．
（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选
用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品
的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x
i
，y
i
（i=1，2，…10）．试验结果如下：
试验序
号i
伸缩率
x
i
伸缩率
y
i
5455335541568596548
536527543530576536
记z
i
=x
i
-y
i
（i=1，2，⋯，10），记z
1
，z
2
，⋯，z
10
的样本平均数为
z
，样本方差为s
2
．
（1）求
z
，s
2
；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果
z
≥2
√
10
有显著提高）
2
s
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为
【答案】（1）
z
=11，s
2
=61．
（2）
z
≥2
√
10
2
s
，有显著提高．
【分析】（1）根据表中数据，计算z
i
=x
i
-y
i
（i=1，2，…，10），求平均数
z
和方差s
2
．
（2）根据
z
和2
√
10
2
s
，比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）根据表中数据，计算z
i
=x
i
-y
i
（i=1，2，…，10），填表如下：
2024年5月15日发(作者：沙尔冬)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）
（2023•乙卷）|2+i
2
+2i
3
|=（ ）
A．1B．2C．
√
5
D．5
【答案】C
【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．（江南博哥）
【解答】解：由于|2+i
2
+2i
3
|=|1-2i|=
故选：C．
√
22
1+(−2)
=
√
5
．
（2023•乙卷）设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则M∪∁
U
N=（ ）
A．{0，2，4，6，8}
【答案】A
B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8}D．U
【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
【解答】解：由于∁
U
N={2，4，8}，
所以M∪∁
U
N={0，2，4，6，8}．
故选：A．
（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的
边长为1，则该零件的表面积为（ ）
A．24
【答案】D
B．26C．28D．30
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．
如图所示：
故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4=30．
故选：D．
2023•乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=
π
5
，则∠B=（ ）
A．
π
10
B．
π
C．
3π
D．
2π
5105
【答案】C
【分析】利用正弦定理以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．
【解答】解：由acosB-bcosA=c得sinAcosB-sinBcosA=sinC，
得sin（A-B）=sinC=sin（A+B），
即sinAcosB-sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA，
即2sinBcosA=0，得sinBcosA=0，
在△ABC中，sinB≠0，
∴cosA=0，即A=
π
2
，
则B=π-A-C=π−
ππ
3π
2
−
5
=
10
．
故选：C．
2023•乙卷）已知f（x）=
xe
x
a=（ ）
e
ax
是偶函数，则
−1
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的性质，运算即可得解．
x）=
xe
x
【解答】解：∵f（的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，
e
ax
−1
∴f（-x）=f（x），
（
（
∴
∴
−xe
e
−x
−ax
=
e
xe
ax
x
，
，
xe
e
−1
ax−x
ax
=
−1
e
xe
ax
−1
x
−1
∴ax-x=x,∴a=2．
故选：D．
→→
（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则
EC
•
ED
=（ ）
A．
√
5
【答案】B
B．3C．2
√
5
D．5
【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，
→→→→→→→→
EBEAEBADEABCBC
所以•=-1，⊥，⊥，•
AD
=2×2=4，
→→→→→→→→→→→→→→
则
EC
•
ED
=（
EB
+
BC
）•（
EA
+
AD
）=
EB
•
EA
+
EB
•
AD
+
EA
•
BC
+
BC
•
AD
=-1+0+0+4=3．
故选：B．
（2023•乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x,y）|1≤x
2
+y
2
≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线
π
OA的倾斜角不大于
的概率为（ ）
4
A．
1
8
【答案】C
【分析】作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，
根据题意可得构成A的区域为圆环，
π
而直线OA的倾斜角不大于的点A构成的区域为图中阴影部分，
4
21
∴所求概率为
=
．
84
故选：C．
B．
1
6
1
4
D．
1
2
C．
（2023•乙卷）函数f（x）=x
3
+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）
【答案】B
B．（-∞，-3）C．（-4，-1）D．（-3，0）
【分析】求函数的导数，f（x）存在3个零点，等价为f′（x）=0有两个不同的根，且极大值大于0极小
值小于0，求函数的极值，建立不等式关系即可．
【解答】解：f′（x）=3x
2
+a,
若函数f（x）=x
3
+ax+2存在3个零点，
则f′（x）=3x
2
+a=0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，
即判别式Δ=0-12a＞0，得a＜0，
aa
−
或x＜-
−
，此时f（x）单调递增，
33
由f′（x）＜0得-
−
a
＜x＜
−
a
，此时f（x）单调递减，
33
即当x=-
−
a
时，函数f（x）取得极大值，当x=
−
a
时，f（x）取得极小值，
33
则f（-
−
a
）＞0，f（
−
a
）＜0，
33
aa
即-
−
a
（-
+a）+2＞0，且
−
a
（-
+a）+2＜0，
3
3
3
3
2a2a
即-
−
a
×+2＞0，①，且
−
a
×+2＜0，②，
3
3
3
3
则①恒成立，
2a2a
由
−
a
×+2＜0，2＜-
−
a
×
，
3
3
3
3
由f′（x）＞0得x＞
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
平方得4＜-
a
4a
×
，即a
3
＜-27，
3
9
2
√
则a＜-3，综上a＜-3，
即实数a的取值范围是（-∞，-3）．
故选：B．
（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两
位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
5
6
【答案】A
【分析】利用古典概型、排列组合等知识直接求解．
【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，
甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n=6×6=36，
其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m=
A
=30，
2
6
A．
B．
2
3
C．
1
2
D．
1
3
m
305
则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P=
==
．
n
366
故选：A．
π
2π
π
2π
（2023•乙卷）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间（，）单调递增，直线x=和x=为函数y=f（x）的
6363
5π
图像的两条对称轴，则f（-）=（ ）
12
A．-
√
2
3
B．-
1
2
C．
1
2
D．
√
2
3
【答案】D
【分析】先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．
T
2π
ππ
【解答】解：根据题意可知
=−
=
，
2362
2π
∴T=π，取ω＞0，∴ω=
=2，
T
ππ
又根据“五点法“可得2×
+φ=−+2kπ，k∈Z，
62
5π
∴φ=−
+2kπ，k∈Z，
6
5π5π
∴f（x）=sin（2x−
+2kπ）=sin（2x-
），
66
3
5π5π5π5π
π
∴f（-）=sin（
−
-
）=sin（-）=sin
=
√
．
1266332
故选：D．
（2023•乙卷）已知实数x,y满足x
2
+y
2
-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（ ）
3
√
2
A．1+
2
B．4C．1+3
√
2
D．7
【答案】C
【分析】根据题意，设z=x-y,分析x
2
+y
2
-4x-2y-4=0和x-y-z=0，结合直线与圆的位置关系可得有
|2−1−z|
√
1+1
≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，x
2
+y
2
-4x-2y-4=0，即（x-2）
2
+（y-1）
2
=9，其几何意义是以（2，1）为圆
心，半径为3的圆，
设z=x-y,变形可得x-y-z=0，其几何意义为直线x-y-z=0，
直线y=x-z与圆（x-2）
2
+（y-1）
2
=9有公共点，则有
故x-y的最大值为1+3
2
．
√
故选：C．
|2−1−z|
√
1+1
≤3，解可得1-3
√
2
≤z≤1+3
√
2
，
2
2
y
（2023•乙卷）设A，B为双曲线x
-=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
9
A．（1，1）
【答案】D
B．（-1，2）C．（1，3）D．（-1，-4）
【分析】设AB中点为（x
0
，y
0
），利用点差法求得中点弦斜率，列不等式组求解即可．
【解答】解：设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），AB中点为（x
0
，y
0
），
V
2
y
2
Y
Y
x
1
−
1
=1①
Y
Y
Y
9
Y
，
W
2
2
y
2
Y
Y
−=1②
x
Y
2
Y
X
Y
Y
9
①-②得k
AB
=
即-3＜9×
即
y
0
x
0
x
0
y
2−
y
1
x
2
−x
1
=9×
x
1
+x
2
y
1
+y
2
=9×
x
0
y
0
，
1
x
0
1
＜3⇒−
<<
，
y
0
3
y
0
3
y
0
x
0
>3或<−3，
故A、B、C错误，D正确．
故选：D．
（2023•乙卷）已知点A（1，
√
5
）在抛物线C：y
2
=2px上，则A到C的准线的距离为
9
【答案】．
4
【分析】根据已知条件，先求出p,再结合抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：点A（1，
√
5
）在抛物线C：y
2
=2px上，
5
则5=2p,解得p=，
2
p
59
由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为
x
A
+=1+=
．
244
9
故答案为：．
4
9
4
．
π
1
10
（2023•乙卷）若θ∈（0，），tanθ=，则sinθ-cosθ=-
√
23
5
【答案】-
√
．
5
10
．
【分析】根据三角函数的坐标定义，利用坐标法进行求解即可．
π
1
y
【解答】解：∵θ∈（0，），tanθ=
=
，
23
x
∴令x=3，y=1，设θ终边上一点的坐标P（3，1），
22
3+1
=
√
10
，
132
10
则sinθ-cosθ=
−
=-=-
√
．
5
√
10
√
10
√
10
则r=|OP|=
√
故答案为：-
√
．
5
10
V
x−3y≤−1
Y
Y
Y
（2023•乙卷）若x,y满足约束条件
W
x+2y≤9
，则z=2x-y的最大值为
8
Y
X
Y
Y
3x+y≥7
【答案】8．
．
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x,由截距的几何意义可得．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所
示：
由z=2x-y可得y=2x-z,
则-z表示直线y=2x-z在y轴上的截距，截距越小，z越
大，
结合图形可知，当y=2x-z经过点A时，Z最大，
V
x−3y=−1
由
W
可得y=2，x=5，即A（5，2），
X
x+2y=9
此时z取得最大值8．
故答案为：8．
（2023•乙卷）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，
则SA=2．
【答案】2．
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．
【解答】解：设△ABC的外接圆圆心为O
1
，半径为r,
3
AB
则2r=
=
3
=2
3
，解得r=
3
，
√√
sin∠ACB
√
2
设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OA，OO
1
，
1
则OA=2，OO
1
=SA，
2
2222
1
∵OA
=OO
1
+O
1
A
，∴4=3+
SA
，解得SA=2．
4
故答案为：2．
（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选
用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品
的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x
i
，y
i
（i=1，2，…10）．试验结果如下：
试验序
号i
伸缩率
x
i
伸缩率
y
i
5455335541568596548
536527543530576536
记z
i
=x
i
-y
i
（i=1，2，⋯，10），记z
1
，z
2
，⋯，z
10
的样本平均数为
z
，样本方差为s
2
．
（1）求
z
，s
2
；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果
z
≥2
√
10
有显著提高）
2
s
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为
【答案】（1）
z
=11，s
2
=61．
（2）
z
≥2
√
10
2
s
，有显著提高．
【分析】（1）根据表中数据，计算z
i
=x
i
-y
i
（i=1，2，…，10），求平均数
z
和方差s
2
．
（2）根据
z
和2
√
10
2
s
，比较大小即可得出结论．
【解答】解：（1）根据表中数据，计算z
i
=x
i
-y
i
（i=1，2，…，10），填表如下：