2024年5月15日发(作者：郝英卓)
Ｎｏ．６
墼
ＴＩＭＥ ＥＤＵＩ：ＡＴＩＯＮ Ｊｕｎｅ
关于丢番图方程 ５＋２５＋３５＋０ ０ ０ ０ ０ ０＋ｘＳ＝ｐｙ２
叶奕茂
摘要：证明了丢番图方程』 ＋ ＋３ ＋……＋ ＝ 在ｐ＝１２ｋ＋ｌ且Ｐ能使ｌＡ２ ６ｐｌ２２＝３和 一６ｐ￣＝１有正整数解时，丢番图方程ｊ ＋２５＋
３ ＋……＋ 必有无穷多组正整数解 Ｊ＝ ’ 。
关键词：丢番图方程路卡斯猜想沛尔方程正整数解
中图分类号：Ｇ４２ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８１８１．２０１０．０６．１３８
１引言
关于等幂和与路卡斯猜想。
＝
５ｕ ＋１ ２
５Ｖ ＋２ｕ
Ｉｔ ， 。
２７
ｌ １
３， ｌ＝２７
＝
等幂和 （，７１ ∑ 是一个古老而有趣的问题，自从两千多年
前的希腊数学家阿基米德开始就颇具有魅力，吸引着许多数学家
的兴趣，其中前五个等幂和公式早已为人们所熟知：
（”）＝ｉ１＂（ ＋１），
（”） １，｝ｆ『｝４
（”）＝ １＂（＂＋】）（２
１），
＋
Ｖ ，Ｖ【】＝１，Ｖｌ＝１ １
：
（月） ／
ｎ。《ｎ＋１）：
４
３定理：
定理１：方程 ＋２ ＋３ ＋……＋ ＝ 有无穷多个正整数解
￣
十 ）‘。ｎ’｝ ）
’
（ ）。 １，７：（ ＋１）、（２ｎ：＋２ｎ
１）
，
ｖ Ｊ＝ｒ ， ｆ ± 』 ）
关于 ｒ Ｊ＝ 的研究有着悠久的历史和丰富的成果，
、，
至今仍
＝
故
引着许多数学家的研究兴趣。不定方程：
ｒｔ
＋２ ＋３”＋……＋ ＝ ……………………………………（１）
ｒ Ｌ
＋ ｎ
嗣．满足：
引：
ｆ－ ＋２：１０ｖ． ｌＶｏ＝１ Ｖ ＝１Ｉ
ｉ－ ＋２＝ｌＯ‘＋ 一 ＋４ Ｘｏ＝１，）（１＝１３
有否ｘ，ｙ）：（１，１）外的非平凡整解问题，令人属目。
ｎ＝ｌ时，有无穷多个正整数解，２００４年由张一新完成了证明。
＝ ｌＩ
，一 １－
ｌ【
Ｖ
＋＂
订￣－－：铂１：１ ：１５＋ ＋３ 十……＋ ＝ｙ２
ｎ＝２时，ｌ８７５年Ｅ．１ｕｃａｓ找到～解（２４，７０），１９９６年王云葵证
甜 一ｎ ．ｎ
明这一解是惟一的。
Ｏ Ｏ
根掘臀 和 ｒｌ：质仃：【
打
１ （２ ！＋２ —１）：３
ｎ＝３时， ＋ ＋３ ＋……＋ ＝ 化为
多个正整数解：ｙ 。
】 ＝ ，显然有无穷
Ｘ Ｏ，２（ｍｏｄ３）＝＞３Ｉｘ（ｘ＋１）
：＞３ｊ ！ ± ！，３ ２ ＋２ｘ－Ｉ
嗣 （ｘ（ ＋１）．２ｘ ＋２ｘ一１）＝１：刚仃ｌＩｉ： 数ｗ、ｖ，蚀 ：
ｘ（ｘ ＋１） Ｉ
３，｛ ，！ ＋２ ～ｉ： ，
：
．
ｎ１＞４时，又如何呢？仍未解决，２００４年徐宁、张一新分别证明
了 ＋２ ＋３ ＋－・－…＋Ｘｓ＝ｖ ………………………………………（２）
有无穷多个正整数解，但并没有给出全部正整数解的通解公
式，本文获得了方程（２）的全部正整数解的通解公式，并且还推广
至０ ＋２ ＋３ ＋……＋ ＝ ……………………………………（３．１）
＋２ ＋３ ＋……＋． ＝印 ………………………………（３．２）
ｆ１．址
ｙ＝１ｌ｜ （ｗ． ）：１ ……（６）
【！ １。：３ ：九Ｉ｛ｊ祭数 。
的情形，并给出了证明。
２引理
符： ；ｌ（ｍｏｄ３ｊ＝ ＞３，ｘ（ｘ＋Ｉｊ
｝ ２ｘ！＋２ｘ一１＝２×１＋２×１—１ ３ ０（ｒｏｏｄ３１
＝＞３ｌ２ｘ 十 一１
引理１：设Ｐ为素数，Ｄ＞０为非平方数，则Ｐｅｌｌ方程／，／ｅ Ｄｅ＝±尸
至多有一组基本解（‰＋ｖ。√ ，如果方程有正整数解，则当ＰＩ２Ｄ时
有一个结合类，当Ｐ￣＇２Ｄ时有两个结合类，并且若（Ｕ。，Ｖｏ）是方程的
基本解，而（ Ｙｏ）是Ｐｅｌｌ方程ｂ／２－Ｄｖ ＝』的基本解，则方程的无穷
多组正整数解（１Ａ ，ｖ ）满足：
（ ＋ｙ √Ｄ．｝＝（ｘｏ＋ｙ √Ｄ）（ ＋ｖ Ｄ） （ｎ≥０） ………………（４）
引理２：Ｐｅｌｌ方程ＩＡｇ－６ｖ￣＝３必有无穷多组正整数解（ ， ），并
且满足：
２
敞仃 髂数解ｗ，ｖ僮 ：
（ ）！ 。２ｘ ＋２ 一１ ３ｖ：．ｙ：ｗ ……（７）
，
…２ 卜ｌ ‘（ 。一 ＝３
令 ２ｘ＋ｌ＝ｕ，州仃
Ｉ 一６ｖ：：３
Ｏ２ ＿Ｉ ，” －３， ７
…………
（５）
根据＇￣ＩＮ２知，方程 ＋ ＋ ＋……＋ ＝ 的必有正整数解并
Ｌ ：＝１ Ｏｖ ｌ—Ｖ ， ｌ＝１， ＝１ １
证明：
‘
且可表为： ｙＪ＝ ，
个结合类．
，其中（ ｖ ）由（５）表出，从而
Ｉｊｌ １，知：３ ｌ２，所以仪
．
． ｒ“！一６ｖ：＝３的 小 为： ｚ，ｏ＝３， ＝１
Ｌ ：一６
１，：：１ Ｉ１｛Ｊ堪奉祥为：Ｘｏ：５， ：２
．
｛ ：ｉ １ Ⅲｌ二 ＋ ： 二三３｝ ………ｃｓ
定 ２：殴Ｐ＞Ｉ为ｉ 憋教 ３ １ ，则曩舔 方 ；
一
ｆ由０ｌ ｌ，一 （ｘ ＋ ４７）＝（３＋ｑｔ６）（５＋２Ｖｆ６）
１ ７５一
堕 夔
ＮＯ．６
ＴＩＭＥ ＥＤＩ『ＣＡＴＩＯＮ Ｊｍａｅ
１ ＋ ＋３ ＋．…．．＋ ＝， ………（３
．
１）
即ｐ＝１２ｋ＋ｌ（ｋ＝Ｏ、１、２、……）时，２ｘ ＋２ｘ一３＝３ｐｖ 有正整数解。
必铂无穷多个ｉＥ祭数斛．井Ｈ ｖ： 、
２
即（２ｘ＝１） ～６ｐｖ ：３
其『｝ｌ｜ｘ、Ｖ满足：
定理３：
当Ｐ＞Ｉ为正整数且３）／ｅ，则方程（３）的解可表为
（２ ＋』） 一６ｉｎ 。３，Ｐ ｉ＜ｍｏｄ １１） ………（９）
五． 也
＝
一
，
２
，
’
其中（ｘ¨
”
， ）满足：
：
证明
，
，
Ｐ＝２时．疗 为：
２＝２ｓ。 ＋ｌ—Ｖ Ｖ。
Ｖ，：ｌｏｌｌ０＋ ｌ’ｏ
ｌ ＋２５＋３ ＋．．１．“ ＝２，１
ｓｏｕｏ
……
（１０）
＝
２．
＋６ｐｔ ｏｖｏ－１
１一 ＋Ｓ。一１ Ｘ。＝
．
ｘ，＝—
ｒ
丰犍据等 和性质订：［ ！ 九２ｘｚ＋２ｘ－Ｉ）： ：
其中（ ，，ｏ）足Ｐ。ｌ１方程 一６ｐｔ ：１麟本解；
阿嫒定理Ｉ的证｛｛ｌ｝＿：①令
（”０， ）是Ｐｅｌ１ 程“ 一６ｐｖ。＝３揍本解
＝
（ ） ，６１，２＝２Ｘ ２＋２ 一１’＿ｌ—ｗ ，
或 ＝２ｘ－＂＋２ 一】，６１．２：（ ） ， ：ｗ、
～
ｌ：明：
｝螽丢番图 疗 ：
ｌ ＋２ ＋３ ＋・・・・・・＋ ：
照然６ｖ 怒偶数， ２ ？；２ｘ一１怒奇数
必有尢穷多个ｌ 整数解．并 ｌＪ： 二＿ ｖ
６ｕ：＝２ｘ。＋２ｘ一１无整数孵，６｝，
』）： 然跑茏熬数职
２
其中ｘ、ｖ满足：
②令
（２ｘ＋１ 一６／．ｑ， ＝３，Ｐ １（ｒｏｏｄ １２）
２ （ ）２。
那么找们就令
２ ＋１＝
或２ｗ。：２ｘ ＋２ 一１
‘
．．
” 一６ｐｖ ＝３
＂ＩＮｔｔ￣ 本解（ ｆ０，ｖｏ）
再由． ！一６ｐｔ １
，僻｛“毖本解（ｓｏ，， ）
娃然２Ｗ２＝（ ）２ ！＝（ ）。 【｝
当ｐ＞２时，且ＭＰ时， ＋２ ＋３ ＋……＋Ｘ￣＝ｐ／４Ｊ４ ：
＋√ ，＝（ ＋√ 帆 ＋√＿，。）” ｆｎ≥０＞……（１５）
］ （ ＋２ｘ一』Ｊ＝ ……………（１ １）
．
“一 ４６ｔｎ Ｉ
同理Ｐ＝２的证明：
．．
＝
（“ 十，１６ｐｖ， ）（ 一√６Ｐ ）
①令
《 ６ｐｔ ， ） ）√
：（兰 ）
３１。：２ｘ２ ｑ！ ｌ
，
、
ｆ＆ ＝ ＋６ Ｊｊｌ，，ｎ１’
或ｌ￣ａ＝２ｘ２＋２ｘ－ ３１ｔ，２＝（ ）
ｌ ＝ｌｏｌｌ ＋
２
２ ｉＩ ， １Ｇ
，
２ 一 ， １．１
Ｉ
ｔ，：
由Ｐ不是平方数且３ ，所以ｐｗ （ ） 无正整数解，而
１ ＋Ｓ
＋６ｔ
．
ＩＶ
ｇ＿￣３ｗ２＝（ ） 无正整数解。
②令
ｆ ＝２ｓ
ｖｏ，Ｖ１＝，Ｉ ＋＾）
Ｊ＝３ｐｖ２ ｙ＝¨’
．
【 一２＝２ｌ。 川一 ＋＾ ，一
）（。＝ ｕ－１
％Ｕ
ｏ
＋６
ｐｔ
ｏＶｏ－１
＝—
——
，
了
＋ ＋……＋ 的正整数解
（ ， ）＝（
） …………¨ ’
方程 ＋２
《ｘ ．ｖ ）：《ｘ ． ｎ±ｌ ｌ！Ｂ、
２
由Ｐ不足平疗数［￣Ｌ ａｌｐ， 然３ ：（ ） 兄Ｉｊ 数斛
１，ＶＩ １０７
那么我们冉行：ｗ ：（ ）ｚ，２ 十２ 一１：３ ， ：
ｘ￣－＝４ ｘ ＝－４７２
由卜式：２ｘ ＋２ 一１ ３口ｖ
证明：同理定理１的证明。
碍Ｉ錾 （２ｘ＋】） 一６ ，：＝３
参考文献：
【１】曾珍富．数论中的问题与结果ｆＭ１ 哈尔滨工业大学出版
向 ３ｐ＇’。＝２×（ｘ＋１）一１ —ｌ（ｍｏｄ４）
社．１９９８：１２４～１２６
：－３（ｍｏｄ４）
［２１Ｙ－￣葵．路卡斯方程唯一解的简洁初等证明Ｕ】ｌ数学通讯，１９９６，
‘
．．
ｐｖ。ｉｌ（ｍｏｄ ４、
（１１）：２７～２８．
＝ Ｐ Ｉ（ｍｏｄ４） …………（１３）
【３】王云葵，罗华明．关于方程路卡斯猜想的推广形式【Ｉ１ｌ柳师专学
报，１９９９，１４，（３）：９３～９５．
而 一６ｐｖ ；３（ｒｏｏｄ９）
［４］Ｙ－云葵，周科．幂和不等式与Ｂｏｗｅｎ的猜想Ｕ】．广西师范学院学
一
２ｐｖ ｌ（ｍｏｄ３）
报，１９９９，１６，（２）：２３～２８．
～
２ｐ Ｉ（ｍｏｄ３、
作者简介：叶奕茂，（１９７９一），男．广西机电职业技术学院助教，研
一
３ｐ＋Ｐ １（ｒｏｏｄ３、
究方向：应用数学，广西南宁５３０ｉ｝（１７
＝＞Ｐ ｌ（ｍｏｄ３） ………………（１４）
—
１ ７６一
2024年5月15日发(作者：郝英卓)
Ｎｏ．６
墼
ＴＩＭＥ ＥＤＵＩ：ＡＴＩＯＮ Ｊｕｎｅ
关于丢番图方程 ５＋２５＋３５＋０ ０ ０ ０ ０ ０＋ｘＳ＝ｐｙ２
叶奕茂
摘要：证明了丢番图方程』 ＋ ＋３ ＋……＋ ＝ 在ｐ＝１２ｋ＋ｌ且Ｐ能使ｌＡ２ ６ｐｌ２２＝３和 一６ｐ￣＝１有正整数解时，丢番图方程ｊ ＋２５＋
３ ＋……＋ 必有无穷多组正整数解 Ｊ＝ ’ 。
关键词：丢番图方程路卡斯猜想沛尔方程正整数解
中图分类号：Ｇ４２ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－８１８１．２０１０．０６．１３８
１引言
关于等幂和与路卡斯猜想。
＝
５ｕ ＋１ ２
５Ｖ ＋２ｕ
Ｉｔ ， 。
２７
ｌ １
３， ｌ＝２７
＝
等幂和 （，７１ ∑ 是一个古老而有趣的问题，自从两千多年
前的希腊数学家阿基米德开始就颇具有魅力，吸引着许多数学家
的兴趣，其中前五个等幂和公式早已为人们所熟知：
（”）＝ｉ１＂（ ＋１），
（”） １，｝ｆ『｝４
（”）＝ １＂（＂＋】）（２
１），
＋
Ｖ ，Ｖ【】＝１，Ｖｌ＝１ １
：
（月） ／
ｎ。《ｎ＋１）：
４
３定理：
定理１：方程 ＋２ ＋３ ＋……＋ ＝ 有无穷多个正整数解
￣
十 ）‘。ｎ’｝ ）
’
（ ）。 １，７：（ ＋１）、（２ｎ：＋２ｎ
１）
，
ｖ Ｊ＝ｒ ， ｆ ± 』 ）
关于 ｒ Ｊ＝ 的研究有着悠久的历史和丰富的成果，
、，
至今仍
＝
故
引着许多数学家的研究兴趣。不定方程：
ｒｔ
＋２ ＋３”＋……＋ ＝ ……………………………………（１）
ｒ Ｌ
＋ ｎ
嗣．满足：
引：
ｆ－ ＋２：１０ｖ． ｌＶｏ＝１ Ｖ ＝１Ｉ
ｉ－ ＋２＝ｌＯ‘＋ 一 ＋４ Ｘｏ＝１，）（１＝１３
有否ｘ，ｙ）：（１，１）外的非平凡整解问题，令人属目。
ｎ＝ｌ时，有无穷多个正整数解，２００４年由张一新完成了证明。
＝ ｌＩ
，一 １－
ｌ【
Ｖ
＋＂
订￣－－：铂１：１ ：１５＋ ＋３ 十……＋ ＝ｙ２
ｎ＝２时，ｌ８７５年Ｅ．１ｕｃａｓ找到～解（２４，７０），１９９６年王云葵证
甜 一ｎ ．ｎ
明这一解是惟一的。
Ｏ Ｏ
根掘臀 和 ｒｌ：质仃：【
打
１ （２ ！＋２ —１）：３
ｎ＝３时， ＋ ＋３ ＋……＋ ＝ 化为
多个正整数解：ｙ 。
】 ＝ ，显然有无穷
Ｘ Ｏ，２（ｍｏｄ３）＝＞３Ｉｘ（ｘ＋１）
：＞３ｊ ！ ± ！，３ ２ ＋２ｘ－Ｉ
嗣 （ｘ（ ＋１）．２ｘ ＋２ｘ一１）＝１：刚仃ｌＩｉ： 数ｗ、ｖ，蚀 ：
ｘ（ｘ ＋１） Ｉ
３，｛ ，！ ＋２ ～ｉ： ，
：
．
ｎ１＞４时，又如何呢？仍未解决，２００４年徐宁、张一新分别证明
了 ＋２ ＋３ ＋－・－…＋Ｘｓ＝ｖ ………………………………………（２）
有无穷多个正整数解，但并没有给出全部正整数解的通解公
式，本文获得了方程（２）的全部正整数解的通解公式，并且还推广
至０ ＋２ ＋３ ＋……＋ ＝ ……………………………………（３．１）
＋２ ＋３ ＋……＋． ＝印 ………………………………（３．２）
ｆ１．址
ｙ＝１ｌ｜ （ｗ． ）：１ ……（６）
【！ １。：３ ：九Ｉ｛ｊ祭数 。
的情形，并给出了证明。
２引理
符： ；ｌ（ｍｏｄ３ｊ＝ ＞３，ｘ（ｘ＋Ｉｊ
｝ ２ｘ！＋２ｘ一１＝２×１＋２×１—１ ３ ０（ｒｏｏｄ３１
＝＞３ｌ２ｘ 十 一１
引理１：设Ｐ为素数，Ｄ＞０为非平方数，则Ｐｅｌｌ方程／，／ｅ Ｄｅ＝±尸
至多有一组基本解（‰＋ｖ。√ ，如果方程有正整数解，则当ＰＩ２Ｄ时
有一个结合类，当Ｐ￣＇２Ｄ时有两个结合类，并且若（Ｕ。，Ｖｏ）是方程的
基本解，而（ Ｙｏ）是Ｐｅｌｌ方程ｂ／２－Ｄｖ ＝』的基本解，则方程的无穷
多组正整数解（１Ａ ，ｖ ）满足：
（ ＋ｙ √Ｄ．｝＝（ｘｏ＋ｙ √Ｄ）（ ＋ｖ Ｄ） （ｎ≥０） ………………（４）
引理２：Ｐｅｌｌ方程ＩＡｇ－６ｖ￣＝３必有无穷多组正整数解（ ， ），并
且满足：
２
敞仃 髂数解ｗ，ｖ僮 ：
（ ）！ 。２ｘ ＋２ 一１ ３ｖ：．ｙ：ｗ ……（７）
，
…２ 卜ｌ ‘（ 。一 ＝３
令 ２ｘ＋ｌ＝ｕ，州仃
Ｉ 一６ｖ：：３
Ｏ２ ＿Ｉ ，” －３， ７
…………
（５）
根据＇￣ＩＮ２知，方程 ＋ ＋ ＋……＋ ＝ 的必有正整数解并
Ｌ ：＝１ Ｏｖ ｌ—Ｖ ， ｌ＝１， ＝１ １
证明：
‘
且可表为： ｙＪ＝ ，
个结合类．
，其中（ ｖ ）由（５）表出，从而
Ｉｊｌ １，知：３ ｌ２，所以仪
．
． ｒ“！一６ｖ：＝３的 小 为： ｚ，ｏ＝３， ＝１
Ｌ ：一６
１，：：１ Ｉ１｛Ｊ堪奉祥为：Ｘｏ：５， ：２
．
｛ ：ｉ １ Ⅲｌ二 ＋ ： 二三３｝ ………ｃｓ
定 ２：殴Ｐ＞Ｉ为ｉ 憋教 ３ １ ，则曩舔 方 ；
一
ｆ由０ｌ ｌ，一 （ｘ ＋ ４７）＝（３＋ｑｔ６）（５＋２Ｖｆ６）
１ ７５一
堕 夔
ＮＯ．６
ＴＩＭＥ ＥＤＩ『ＣＡＴＩＯＮ Ｊｍａｅ
１ ＋ ＋３ ＋．…．．＋ ＝， ………（３
．
１）
即ｐ＝１２ｋ＋ｌ（ｋ＝Ｏ、１、２、……）时，２ｘ ＋２ｘ一３＝３ｐｖ 有正整数解。
必铂无穷多个ｉＥ祭数斛．井Ｈ ｖ： 、
２
即（２ｘ＝１） ～６ｐｖ ：３
其『｝ｌ｜ｘ、Ｖ满足：
定理３：
当Ｐ＞Ｉ为正整数且３）／ｅ，则方程（３）的解可表为
（２ ＋』） 一６ｉｎ 。３，Ｐ ｉ＜ｍｏｄ １１） ………（９）
五． 也
＝
一
，
２
，
’
其中（ｘ¨
”
， ）满足：
：
证明
，
，
Ｐ＝２时．疗 为：
２＝２ｓ。 ＋ｌ—Ｖ Ｖ。
Ｖ，：ｌｏｌｌ０＋ ｌ’ｏ
ｌ ＋２５＋３ ＋．．１．“ ＝２，１
ｓｏｕｏ
……
（１０）
＝
２．
＋６ｐｔ ｏｖｏ－１
１一 ＋Ｓ。一１ Ｘ。＝
．
ｘ，＝—
ｒ
丰犍据等 和性质订：［ ！ 九２ｘｚ＋２ｘ－Ｉ）： ：
其中（ ，，ｏ）足Ｐ。ｌ１方程 一６ｐｔ ：１麟本解；
阿嫒定理Ｉ的证｛｛ｌ｝＿：①令
（”０， ）是Ｐｅｌ１ 程“ 一６ｐｖ。＝３揍本解
＝
（ ） ，６１，２＝２Ｘ ２＋２ 一１’＿ｌ—ｗ ，
或 ＝２ｘ－＂＋２ 一】，６１．２：（ ） ， ：ｗ、
～
ｌ：明：
｝螽丢番图 疗 ：
ｌ ＋２ ＋３ ＋・・・・・・＋ ：
照然６ｖ 怒偶数， ２ ？；２ｘ一１怒奇数
必有尢穷多个ｌ 整数解．并 ｌＪ： 二＿ ｖ
６ｕ：＝２ｘ。＋２ｘ一１无整数孵，６｝，
』）： 然跑茏熬数职
２
其中ｘ、ｖ满足：
②令
（２ｘ＋１ 一６／．ｑ， ＝３，Ｐ １（ｒｏｏｄ １２）
２ （ ）２。
那么找们就令
２ ＋１＝
或２ｗ。：２ｘ ＋２ 一１
‘
．．
” 一６ｐｖ ＝３
＂ＩＮｔｔ￣ 本解（ ｆ０，ｖｏ）
再由． ！一６ｐｔ １
，僻｛“毖本解（ｓｏ，， ）
娃然２Ｗ２＝（ ）２ ！＝（ ）。 【｝
当ｐ＞２时，且ＭＰ时， ＋２ ＋３ ＋……＋Ｘ￣＝ｐ／４Ｊ４ ：
＋√ ，＝（ ＋√ 帆 ＋√＿，。）” ｆｎ≥０＞……（１５）
］ （ ＋２ｘ一』Ｊ＝ ……………（１ １）
．
“一 ４６ｔｎ Ｉ
同理Ｐ＝２的证明：
．．
＝
（“ 十，１６ｐｖ， ）（ 一√６Ｐ ）
①令
《 ６ｐｔ ， ） ）√
：（兰 ）
３１。：２ｘ２ ｑ！ ｌ
，
、
ｆ＆ ＝ ＋６ Ｊｊｌ，，ｎ１’
或ｌ￣ａ＝２ｘ２＋２ｘ－ ３１ｔ，２＝（ ）
ｌ ＝ｌｏｌｌ ＋
２
２ ｉＩ ， １Ｇ
，
２ 一 ， １．１
Ｉ
ｔ，：
由Ｐ不是平方数且３ ，所以ｐｗ （ ） 无正整数解，而
１ ＋Ｓ
＋６ｔ
．
ＩＶ
ｇ＿￣３ｗ２＝（ ） 无正整数解。
②令
ｆ ＝２ｓ
ｖｏ，Ｖ１＝，Ｉ ＋＾）
Ｊ＝３ｐｖ２ ｙ＝¨’
．
【 一２＝２ｌ。 川一 ＋＾ ，一
）（。＝ ｕ－１
％Ｕ
ｏ
＋６
ｐｔ
ｏＶｏ－１
＝—
——
，
了
＋ ＋……＋ 的正整数解
（ ， ）＝（
） …………¨ ’
方程 ＋２
《ｘ ．ｖ ）：《ｘ ． ｎ±ｌ ｌ！Ｂ、
２
由Ｐ不足平疗数［￣Ｌ ａｌｐ， 然３ ：（ ） 兄Ｉｊ 数斛
１，ＶＩ １０７
那么我们冉行：ｗ ：（ ）ｚ，２ 十２ 一１：３ ， ：
ｘ￣－＝４ ｘ ＝－４７２
由卜式：２ｘ ＋２ 一１ ３口ｖ
证明：同理定理１的证明。
碍Ｉ錾 （２ｘ＋】） 一６ ，：＝３
参考文献：
【１】曾珍富．数论中的问题与结果ｆＭ１ 哈尔滨工业大学出版
向 ３ｐ＇’。＝２×（ｘ＋１）一１ —ｌ（ｍｏｄ４）
社．１９９８：１２４～１２６
：－３（ｍｏｄ４）
［２１Ｙ－￣葵．路卡斯方程唯一解的简洁初等证明Ｕ】ｌ数学通讯，１９９６，
‘
．．
ｐｖ。ｉｌ（ｍｏｄ ４、
（１１）：２７～２８．
＝ Ｐ Ｉ（ｍｏｄ４） …………（１３）
【３】王云葵，罗华明．关于方程路卡斯猜想的推广形式【Ｉ１ｌ柳师专学
报，１９９９，１４，（３）：９３～９５．
而 一６ｐｖ ；３（ｒｏｏｄ９）
［４］Ｙ－云葵，周科．幂和不等式与Ｂｏｗｅｎ的猜想Ｕ】．广西师范学院学
一
２ｐｖ ｌ（ｍｏｄ３）
报，１９９９，１６，（２）：２３～２８．
～
２ｐ Ｉ（ｍｏｄ３、
作者简介：叶奕茂，（１９７９一），男．广西机电职业技术学院助教，研
一
３ｐ＋Ｐ １（ｒｏｏｄ３、
究方向：应用数学，广西南宁５３０ｉ｝（１７
＝＞Ｐ ｌ（ｍｏｄ３） ………………（１４）
—
１ ７６一