2024年5月15日发(作者：老天蓉)

第ｌ０卷第３期２０１０年１月　

科学技术与工程　

Ｖｏ１．１０　Ｎｏ．３　Ｊａｎ．２０１０　

⑥２０１０　Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．　

１６７１—１８１５（２０１０）３－０６５６－０４　

Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　

ＡＲＭＡ模型参数估计的ＧＷ－ＬＳ两段算法　

马进周国标　李元祥　

（上海交通大学航空航天学院，数学系　，上海２００２４０）　

摘要提出了新的ＧＷ—ＬＳ两段算法，很好地改善了自回归滑动平均（ＡＲＭＡ）模型参数估计的性能。首先摈弃传统的拟合　

到ＡＲ模型的思考方法，而是基于ＡＲＭＡ模型的相关函数用Ｇｅｖｅｒｓ—Ｗｏｕｔｅｒｓ（ＧＷ）算法对ＡＲＭＡ模型拟合到高阶滑动平均　

（ＭＡ）模型；然后在拟合的ＭＡ模型参数基础上，用最小二乘（ＬＳ）算法求解一个不相容的线性方程组，从而估计出ＡＲＭＡ模型　

参数。最终的仿真实例说明了本算法较高精度、较快速度的收敛特性。　

关键词　系统辨识　参数估计　ＡＲＭＡ模型　ＧＷ－ＬＳ两段算法　拟合　

中图法分类号ＴＮ９１１．７２；　文献标志码　Ａ　

在时间序列分析、信号处理、通信、控制、滤波等　

许多领域经常遇到ＡＲＭＡ信号的参数估计问题，作　

为ＡＲＭＡ模型系统辨识的一部分，参数估计性能的　

好坏对系统辨识有着重要的影响。目前，在这个领　

域还有相当的研究热潮，比如Ｇｒａｕｐ等　．２　提出了用　

考虑一般平稳可逆ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）过程　

（ｇ　）　＝０（ｑ　）口　（１）　

最ｄｘＺ－乘算法对ＡＲＭＡ拟合高阶ＡＲ模型，基于ＡＲ　

模型参数用解一个相容线性方程组得到ＡＲＭＡ模　

型参数，而这一方法的缺点只能得到ＡＲＭＡ模型参　

数的粗糙估计　；又如文献［４］、文献［５］也提出，拟　

合到ＡＲ模型后用求解不相容线性方程组的方法来　

估计ＡＲＭＡ模型的参数。上述参数估计算法的缺　

点在于需要迭代的步数较长、收敛速度相对较慢。　

式（１）中ｑ　为单位滞后算子，ａ　是零均值、方差为　

的白噪声，　为观测信号。　

（ｇ一　）＝１＋　１ｑ－１＋　２ｑ一　＋…　＋　。ｑＩｐ；　

Ｏ（ｑ一　）＝１＋　１ｑ　＋　ｑ一　＋…＋Ｏｑｑ一　。　

其中阶次（ｐ，ｇ）已知。提出的问题即为由已知的观　

测数据（ｚ　一，　）求未知参数　，ｏｊ和　的估值。　

由对该ＡＲＭＡ模型平稳性和可逆性的假设，式　

（１）等价于无穷阶ＭＡ（∞）模型　

＝　ｑ～　２　

为此，本文提出新的算法克服了前述算法的不足，基　

于收敛很快、精度很高的Ｇｅｖｅｒｓ．Ｗｏｕｔｅｒｓ算法　将　

ＡＲＭＡ模型拟合到高阶ＭＡ模型，然后基于拟合的　

ＭＡ模型的参数，用解一个不相容的线性方程组的　

方法（ＬＳ算法）估计出ＡＲＭＡ模型的参数，仿真表　

明该算法能以较快的速度、较高的精度收敛。　

式（２）中／３￣＝１，　一０（ｉ—ＯＯ）。为了便于计算机　

处理，我们可以将拟合阶数取得足够大即可，即　

∑　ｑ～血　＝／３（ｑ　）０　

卢（ｑ－１）＝１＋卢ｌ口－１＋／３２ｑ－２＋…

（３）　

（５）　

＋／３　ｑ一　（４）　

（ｑ　）／３（ｑ　）＝０（ｑ　）　

２００９年１０月２３日收到　上海自然科学基金项目　

（０９ＺＲ１４１３７００）资助　

由式（３），利用观测数据（ｚ　一，ｇ　），求其相关　

函数后，结合Ｇｅｖｅｒｓ．Ｗｏｕｔｅｒｓ算法结构，可以得到估　

计值　。　

第一作者简介：马进（１９８６一），湖北人，硕士研究生，研究方向：信　

号与信息处理，航空电子，等。Ｅ—ｍａｉｌ：ｍｊｅｉ＠ｓｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ。　

３期　马进，等：ＡＲＭＡ模型参数估计的ＧＷ—ＬＳ两段算法　

１　０　０　

１　０　

６５７　

２　递推方法求解ＡＲＭＡ过程的相关　

ｌ　

函数　

由于Ｇｅｖｅｒｓ—Ｗｏｕｔｅｒｓ算法依赖于ＡＲＭＡ过程的　

相关函数，下面推导相关函数的求解　。　

平稳、可逆的ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）过程如等式（１）所　

示，定义相关函数如下：　

＝

Ｅ（ｇｔ－ｋＺ　），Ｔ　（ｉ）＝Ｅ（ｚｔ＿ｉａ　）　（６）　

将式（１）两边同时左乘ｚ　后取数学期望，得　

’，　＝一　１　一１一妒２　一２一…一　’，　一ｐ＋ｙ：。（　）＋　

Ｏｌｙ　（ｋ一１）＋．．．＋Ｏｑ＇ｙ　（ｋ—ｑ）　（７）　

沿用拟合ＭＡ的思想，可得到　

（　）＝Ｅ（Ｚｔ－ｉ口　）＝Ｅ　Ｅ（　ａ【ｆ＿¨）ａｔ］＝　

＝

０　

ｆＯ．　＞０　

【　

２

ｉ≤　

≤０　

（８）　

。，

所以由式（７），式（８）得　

ｙ　＝　

ｒ一　ｌ　一１一￣Ｏ２ｙｋ一２一…一　ｙ　叩＋（　＋　

｛　＋　／３　＋．．．＋蠊一

０　０　

　）　，ｋ＝０，

．　

１…２…ｇ　（９）　

ｌ一　ｌｙ　

１一　口２ｙ　一２一…一　。　一　，　ｋ＞ｑ　

式（９）中，０。＝一１，

Ｏ　０　

／３。＝１。

．

一　

１　

“　垃　

３利用ＬＳ算法求解不相容的线性方程组　

由前的推导与计算下，可以得到估计值／３　，并　

由上述拟合后的系数等式（５），可知　

＋　＝０　（１０）　

Ｂ　＝／３　（１１）　

其中，　＝０（ｉ＞Ｐ），Ｊ８；＝０（ｉ＜０或ｉ＞ｎｏ），且注　

意到　

＝

［　１，　２，．．．，　。］　；　

一　Ｌ　１，ｒ　　２，・・・，　。Ｊ］Ｔ　　；　

／３＝［　，　，…，／３。］　；　

＝

［一／３　，一　…，一￣ｐ＋ｎｏ］　；　

０＝［０。，０２，…，０。］　。　

：　

‘　

口一】　ｇ一２　ｇ一３　

。　

／３　

Ｂ＝　

岱ｑ＋　８ｑ　

．　＋　一１　＋，ｌ０—２　

将Ｇｅｖｅｒｓ—Ｗｏｕｔｅｒｓ算法的估计值　代入到式（１　１）　

中，得　

曰　＝／３　（１２）　

由于式（１２）是不相容的线性方程组，故利用最小二　

乘的思想，式（１２）的最小二乘解满足　

ｍｉｎ（口　一卢　（　一　）。　

所以求导后得到，最小二乘解为　

＝

（台　）　声　（１３）　

由式（１３）的结果，可得到估计值　，　（因为　：　

０（ｉ＞Ｐ）），基于这两个估计值，再结合式（１０），可　

得０的估计值０　

０＝　＋郇　（１４）　

至此已经完成了基于ＭＡ模型参数用ＬＳ算法对　

ＡＲＭＡ模型参数的估计。　

４仿真实例　

选取平稳可逆的ＡＲＭＡ过程　

ｆ一

０．９ｚ￡

１　Ⅱｆ＋０．２ａｃ＿ｌ。　

其中ａ　是零均值、方差为０．８１的高斯白噪声，对　

上述ＡＲＭＡ模型应用本文提出的ＧＷ．ＬＳ算法进　

行仿真，同时为体现出本算法的有效性，对上述　

ＡＲＭＡ过程采用了文献［４］的ＲＬＳ．ＬＳ算法进行　

仿真，仿真结果如图１、图２、图３所示，其中蓝色　

直线为参数的真实值，红色曲线为ＧＷ．ＬＳ算法的　

估计值，绿色曲线为ＲＬＳ．ＬＳ算法的估计值。从　

图中可以看出，仅在小于５Ｏ步的迭代次数下，　

ＧＷ—ＬＳ算法就能达到很好的收敛性能，而ＲＬＳ—ＬＳ　

６５８　科学技术与工程　１０卷　

算法在同等条件下未能达到如此好的效果，实际　

上，ＲＬＳ—ＬＳ算法需要２　０００步左右的迭代才能收　

敛。这充分说明了ＧＷ—ＬＳ算法的有效性。在ｔ＝　

５Ｏ处各个参数的估计值为　。：一０．８９９　８，０。＝　

０．２００　３，　＝０．８０９　９。　

图１　１及其ＧＷ—ＬＳ两段算法、ＲＬＳ—ＬＳ算法的　

估值　．的收敛性　

图２　０。及其ＧＷ－ＬＳ两段算法、ＲＬＳ－ＬＳ算法的　

估值　。的收敛性　

‘　

…一

ＲＬＳ．ＬＳ　

——

ＧＷ．ＬＳ　

　。

、　

Ｉ　

＿　

图３　ｏｒ　及其ＧＷ—ＬＳ两段算法、ＲＬＳ—ＬＳ算法的　

估值ｏ　ｒ：的收敛性　

５总结　

本文提出的ＧＷ．ＬＳ两段算法在估计ＡＲＭＡ模　

型的参数时所体现出来的快速度、高精度收敛特性　

对于时间序列分析及其应用有较为重要的影响，从　

而对于系统辨识也能起到重要的作用。对于以后的　

研究，可以尝试将此算法做一些改进（改进目前基于　

二阶统计量的估计方法），考虑是否可用于非高斯信　

号处理领域。　

参考文献　

１　Ｇｒｎａｐ　Ｄ．Ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ，ｉｄｅｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ．　

Ｍａｌａｂａｒ，Ｆｌｏｒｉｄａ：Ｒｏｂｅｒｔ　Ｅ．Ｋｒｉｅｇｅｒ　Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ　Ｃｏｍｐａｎｙ，Ｉｎｅ，１９８４　

２　Ｇｒａｕｐ　Ｄ，Ｋｒａｕｓｅ　Ｄ　Ｊ，Ｍｏｏｒｅ　Ｊ　Ｂ．Ｉｄｅｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ＡＲＭＡ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　

ｏｆ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９７５；２０：１４０—１４７　

３邓自立，芏欣，高嫒．建模与估计．北京：科学出版社，２００８：　

４５—４６．６０一ｌ２４　

４邓自立，马建为，杜洪越．ＡＲＭＡ模型参数估计的两段最ｄｒ＿＿－乘　

法．科学技术与工程，２００２；２（５）：３—５　

５周毅，丁峰．依等价ＡＲ模型阶次递增的自回归滑动平均模　

型辨识．华东理工大学学报（自然科学版），２００８；３４（３）：　

４２５－－－－４３１　

６　Ｇｅｖｅｒｓ　Ｍ，Ｗｏｕｔｅｍ　Ｗ　Ｒ　Ｅ．Ａｎ　ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎｓ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ—ｔｉｍｅ　

ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｎ　Ａｕｔｏｍａｔｉｃ　Ｃｏｎ—　

ｔｅｒｌ，１９７８；１９（２）：９０－－１１０　

３期　马进，等：ＡＲＭＡ模型参数估计的ＧＷ．ＬＳ两段算法　６５９　

Ｔｗｏ・ｓｔａｇｅ　ＧＷ－ＬＳ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｐａｒａｍｅｔｅｒ　Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ＡＲＭＡ　Ｍ０ｄｅ１ｓ　

ＭＡ　Ｊｉｎ，ＺＨＯＵ　Ｇｕｏ—ｂｉａｏ　，ＬＩ　Ｙｕａｎ．ｘｉａｎｇ　

（ｓｃｂｏｏｌ　ｏｆ　Ａｅｒｏｌｌｎｔａｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｒｌｃｓ　

ＳＪＴＵ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２００２４０

，

，

Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）　

Ｉ　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｊ　Ａ　ｔｗｏ　ｓｔａｇｅ　ＧＷ・ＬＳ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｄ　ｔｈａｔ　ｈａｓ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｉｍｐｒ０ｖｅｄ　ｔｈｅ　ｐｅＩｆ０肿ａｎｃｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｒ啪ｅ￡ｅｒ　

ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｕｔｏ　Ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ　ａｎｄ　Ｍｏｖｉｎｇ　Ａｖｅｒａｇｅ（ＡＲＭＡ）ｍｏｄｅｌｓ．Ｆｉｒｓｔ　ｄｉｓｃａｒｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｈｏｕｇｈｔ　ｏｆ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｂｖ　ＡＲ　

ｍ。ｄｅｌ，ｔｈｅ　ＡＲＭＡ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｆｉｔｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ｈｉｇｈ　ｏｒｄｅｒ　ＭＡ　ｍｏｄｅｌ　ｕｓｉｎｇ　Ｇｅｖｅｒｓ

Ｗｏｕｔｅｒｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　０ｆ　ｒｅｌａｔｅｄ　

．

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ＡＲＭＡ　ｍｏｄｅ１．Ｔｈｅｎ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｔｔｅｄ　ＭＡ　ｍ０ｄｅｌ

，

ｔｈｅ　ＡＲＭＡ　ｍ０ｄｅｌ　Ｄａｒ啪ｅｔｅｒ　ｅｓ．　

．　

ｔｉｍａｔｉｏｎ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ａ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ａｎｔｉｐａｔｈｉｃ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　０ｂｔａｉｎｅｄ

ｔｉｏｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ　ｉｔ　ｈａｓ　ａ　ｈｉｇｈｅｒ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ａｎｄ　ｆａｓｔｅｒ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ

．　

Ａ　ｓｉｍｕｌａ．　

［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］ｓｙｓｔｅｍ　ｉｄｅｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ　

Ｆｉｔｔｉｎｇ　

、　、　、　、　ｐ、　、　、　＼　≯、　、　ｐ、　、　

ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ＡＲＭＡ　ｍｏｄｅｌ　

ＧＷ－－ＬＳ　ｔｗｏ・・ｓｔａｇｅ　ｍｅｔｈｏｄ　

、　、　、　、　

、　、　、　、　、　、　

（上接第６４６页）　

１０　Ｚｈｅｎｇ　Ｌｉａｎｃｕｎ，Ｃｈｅｎ　Ｘｕｅｈｕｉ

Ｚｈａｎｇ　Ｘｉｎｘｉｎ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ａｐｐｒｏｘｉⅡ１ａｎ￡ｓ　

，

ｆｏｒ　ｈｉｈｅｒ－ｇｏｒｄｅｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌ－ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　

ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００１；１　１８：３２７—３４２　

１３　Ａｄｏｍｉａｎ　Ｇ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｃｈａｓｔｏｉｃ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｃａｄｅｍｉｃ　

ｆｏｒ　ａ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｆｌｏｗ　ｏｎ　ａ　ｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇ　ｍｏｖｉｎｇ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｗｉｔｈ　ａ　ｐｏｗｅ　

ｖｅｌｏｃｉｔｙ．１ｎｔ　Ｊ　Ａｐｐｌ　Ｍｅｃｈ　Ｅｎｇ，２００４；９（４）：７９５—８Ｏ２　

１　１　Ａｄｏｍｉａｎ　Ｇ・Ａ　ｒｅｖｉｅｗ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｎ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｍａｔｈｅ

．　

Ｐｒｅｓｓ，１９８６　

１４　Ａｄｏｍｉａｎ　Ｇ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｔ。　

ａｔｉｃｓ・Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

１９８８；　

，

１３５：５０１—－５４４　

ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ：Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ

１９８９　

，

１２　Ｗａｚｗａｚ　Ａ　Ｍ．Ａ　ｒｅｌ／ａｂｌｅ　ａｌｇｏｒ／ｔｈｍ　ｆｏｒ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｍｂｌ　

Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｓｈｏｃｋ　Ｗａｖｅ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｌａｙｅｒ　

ＸＵ　Ｙｕｎ。ｂｉｎ，ＺＨＥＮＧ　Ｌｉａｎ—ＣＵｌｌ　

ＤＯＮＧ　Ｙｕａｎ—ｙｕａｎ　

，

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ。ｆ　Ｍａｔｈｅｍａｒｌｃｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｒｌｃｓ，Ｙｕｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｙｕｌｉｎ　７１９０００，ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ：　

，

Ｄ　ｐａｒｔｍ。ｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｒｌｃｓ　ａｎｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ

，

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｅｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏ１。ｇＹ　Ｂｅｉｊｉ“ｇ　，Ｂｅｉｊｉ“ｇ　１０００８３

Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）　

，

ｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ｓｈｏｃｋ　ｗａｖｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ

［Ａｂｓｔｒａｃｔ］　

Ａ　ｔ

Ｔｈｅ　Ａｄｏｍｉａｎ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｄｅｃｏｍ．　

．

ｐｏｓ　ｔ　０ｎ　ｔｅｃｈｍｑｕｅ　ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ａｎｄ　ａｎ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ

Ｔｈｅ　ａｐｐｒ０ｘｉｍａｔｅ　ａｎａｌｖｔｉｃａ１　

．

ｓｏＩｕｔ　ｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ａ　ｒａｐｉｄ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｐｏｗｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ｅｌｅｇａｎｔｌｙ　ｃ０ｍｐｕｔａｂｌｅ　ｔｅｒｎ１ｓ

．

ｗｅ　Ｄｒｅｓｅｎ．　

ｔｅｄ　Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ｖａｔｕ

ｅ　０ｆ　Ｓｋｉｎ　Ｆｒｉｃｔｉｏｎ　Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　

ｆｏｒ　Ｖｅｊｏ　ｔｙ　ｒａｔｉｏ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓ￣

．

Ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｆｉｃｉｆｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｖｅｒｉｔｆｅｄ　ｕｓｉｎｇ　ｎｕｍｅｒｉｃａ１　

ｃｏｅ侬．　

ｓ０ｌｕｔｉｏｎｓ・Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｐｒｏｖｉｄｅ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｓｋｉＪ】　ｃｆｊｏ刀

ｃｉｅｎｔ　ｆｏｒ　ｓｈｏｃｋ　ｗａｖｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ

．　

［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　Ａｄｏｍｉａｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ　

2024年5月15日发(作者：老天蓉)

第ｌ０卷第３期２０１０年１月　

科学技术与工程　

Ｖｏ１．１０　Ｎｏ．３　Ｊａｎ．２０１０　

⑥２０１０　Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｎｇ．　

１６７１—１８１５（２０１０）３－０６５６－０４　

Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　

ＡＲＭＡ模型参数估计的ＧＷ－ＬＳ两段算法　

马进周国标　李元祥　

（上海交通大学航空航天学院，数学系　，上海２００２４０）　

摘要提出了新的ＧＷ—ＬＳ两段算法，很好地改善了自回归滑动平均（ＡＲＭＡ）模型参数估计的性能。首先摈弃传统的拟合　

到ＡＲ模型的思考方法，而是基于ＡＲＭＡ模型的相关函数用Ｇｅｖｅｒｓ—Ｗｏｕｔｅｒｓ（ＧＷ）算法对ＡＲＭＡ模型拟合到高阶滑动平均　

（ＭＡ）模型；然后在拟合的ＭＡ模型参数基础上，用最小二乘（ＬＳ）算法求解一个不相容的线性方程组，从而估计出ＡＲＭＡ模型　

参数。最终的仿真实例说明了本算法较高精度、较快速度的收敛特性。　

关键词　系统辨识　参数估计　ＡＲＭＡ模型　ＧＷ－ＬＳ两段算法　拟合　

中图法分类号ＴＮ９１１．７２；　文献标志码　Ａ　

在时间序列分析、信号处理、通信、控制、滤波等　

许多领域经常遇到ＡＲＭＡ信号的参数估计问题，作　

为ＡＲＭＡ模型系统辨识的一部分，参数估计性能的　

好坏对系统辨识有着重要的影响。目前，在这个领　

域还有相当的研究热潮，比如Ｇｒａｕｐ等　．２　提出了用　

考虑一般平稳可逆ＡＲＭＡ（ｐ，ｑ）过程　

（ｇ　）　＝０（ｑ　）口　（１）　

最ｄｘＺ－乘算法对ＡＲＭＡ拟合高阶ＡＲ模型，基于ＡＲ　

模型参数用解一个相容线性方程组得到ＡＲＭＡ模　

型参数，而这一方法的缺点只能得到ＡＲＭＡ模型参　

数的粗糙估计　；又如文献［４］、文献［５］也提出，拟　

合到ＡＲ模型后用求解不相容线性方程组的方法来　

估计ＡＲＭＡ模型的参数。上述参数估计算法的缺　

点在于需要迭代的步数较长、收敛速度相对较慢。　

式（１）中ｑ　为单位滞后算子，ａ　是零均值、方差为　

的白噪声，　为观测信号。　

（ｇ一　）＝１＋　１ｑ－１＋　２ｑ一　＋…　＋　。ｑＩｐ；　

Ｏ（ｑ一　）＝１＋　１ｑ　＋　ｑ一　＋…＋Ｏｑｑ一　。　

其中阶次（ｐ，ｇ）已知。提出的问题即为由已知的观　

测数据（ｚ　一，　）求未知参数　，ｏｊ和　的估值。　

由对该ＡＲＭＡ模型平稳性和可逆性的假设，式　

（１）等价于无穷阶ＭＡ（∞）模型　

＝　ｑ～　２　

为此，本文提出新的算法克服了前述算法的不足，基　

于收敛很快、精度很高的Ｇｅｖｅｒｓ．Ｗｏｕｔｅｒｓ算法　将　

ＡＲＭＡ模型拟合到高阶ＭＡ模型，然后基于拟合的　

ＭＡ模型的参数，用解一个不相容的线性方程组的　

方法（ＬＳ算法）估计出ＡＲＭＡ模型的参数，仿真表　

明该算法能以较快的速度、较高的精度收敛。　

式（２）中／３￣＝１，　一０（ｉ—ＯＯ）。为了便于计算机　

处理，我们可以将拟合阶数取得足够大即可，即　

∑　ｑ～血　＝／３（ｑ　）０　

卢（ｑ－１）＝１＋卢ｌ口－１＋／３２ｑ－２＋…

（３）　

（５）　

＋／３　ｑ一　（４）　

（ｑ　）／３（ｑ　）＝０（ｑ　）　

２００９年１０月２３日收到　上海自然科学基金项目　

（０９ＺＲ１４１３７００）资助　

由式（３），利用观测数据（ｚ　一，ｇ　），求其相关　

函数后，结合Ｇｅｖｅｒｓ．Ｗｏｕｔｅｒｓ算法结构，可以得到估　

计值　。　

第一作者简介：马进（１９８６一），湖北人，硕士研究生，研究方向：信　

号与信息处理，航空电子，等。Ｅ—ｍａｉｌ：ｍｊｅｉ＠ｓｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ。　

３期　马进，等：ＡＲＭＡ模型参数估计的ＧＷ—ＬＳ两段算法　

１　０　０　

１　０　

６５７　

２　递推方法求解ＡＲＭＡ过程的相关　

ｌ　

函数　

由于Ｇｅｖｅｒｓ—Ｗｏｕｔｅｒｓ算法依赖于ＡＲＭＡ过程的　

相关函数，下面推导相关函数的求解　。　

平稳、可逆的ＡＲＭＡ（Ｐ，ｑ）过程如等式（１）所　

示，定义相关函数如下：　

＝

Ｅ（ｇｔ－ｋＺ　），Ｔ　（ｉ）＝Ｅ（ｚｔ＿ｉａ　）　（６）　

将式（１）两边同时左乘ｚ　后取数学期望，得　

’，　＝一　１　一１一妒２　一２一…一　’，　一ｐ＋ｙ：。（　）＋　

Ｏｌｙ　（ｋ一１）＋．．．＋Ｏｑ＇ｙ　（ｋ—ｑ）　（７）　

沿用拟合ＭＡ的思想，可得到　

（　）＝Ｅ（Ｚｔ－ｉ口　）＝Ｅ　Ｅ（　ａ【ｆ＿¨）ａｔ］＝　

＝

０　

ｆＯ．　＞０　

【　

２

ｉ≤　

≤０　

（８）　

。，

所以由式（７），式（８）得　

ｙ　＝　

ｒ一　ｌ　一１一￣Ｏ２ｙｋ一２一…一　ｙ　叩＋（　＋　

｛　＋　／３　＋．．．＋蠊一

０　０　

　）　，ｋ＝０，

．　

１…２…ｇ　（９）　

ｌ一　ｌｙ　

１一　口２ｙ　一２一…一　。　一　，　ｋ＞ｑ　

式（９）中，０。＝一１，

Ｏ　０　

／３。＝１。

．

一　

１　

“　垃　

３利用ＬＳ算法求解不相容的线性方程组　

由前的推导与计算下，可以得到估计值／３　，并　

由上述拟合后的系数等式（５），可知　

＋　＝０　（１０）　

Ｂ　＝／３　（１１）　

其中，　＝０（ｉ＞Ｐ），Ｊ８；＝０（ｉ＜０或ｉ＞ｎｏ），且注　

意到　

＝

［　１，　２，．．．，　。］　；　

一　Ｌ　１，ｒ　　２，・・・，　。Ｊ］Ｔ　　；　

／３＝［　，　，…，／３。］　；　

＝

［一／３　，一　…，一￣ｐ＋ｎｏ］　；　

０＝［０。，０２，…，０。］　。　

：　

‘　

口一】　ｇ一２　ｇ一３　

。　

／３　

Ｂ＝　

岱ｑ＋　８ｑ　

．　＋　一１　＋，ｌ０—２　

将Ｇｅｖｅｒｓ—Ｗｏｕｔｅｒｓ算法的估计值　代入到式（１　１）　

中，得　

曰　＝／３　（１２）　

由于式（１２）是不相容的线性方程组，故利用最小二　

乘的思想，式（１２）的最小二乘解满足　

ｍｉｎ（口　一卢　（　一　）。　

所以求导后得到，最小二乘解为　

＝

（台　）　声　（１３）　

由式（１３）的结果，可得到估计值　，　（因为　：　

０（ｉ＞Ｐ）），基于这两个估计值，再结合式（１０），可　

得０的估计值０　

０＝　＋郇　（１４）　

至此已经完成了基于ＭＡ模型参数用ＬＳ算法对　

ＡＲＭＡ模型参数的估计。　

４仿真实例　

选取平稳可逆的ＡＲＭＡ过程　

ｆ一

０．９ｚ￡

１　Ⅱｆ＋０．２ａｃ＿ｌ。　

其中ａ　是零均值、方差为０．８１的高斯白噪声，对　

上述ＡＲＭＡ模型应用本文提出的ＧＷ．ＬＳ算法进　

行仿真，同时为体现出本算法的有效性，对上述　

ＡＲＭＡ过程采用了文献［４］的ＲＬＳ．ＬＳ算法进行　

仿真，仿真结果如图１、图２、图３所示，其中蓝色　

直线为参数的真实值，红色曲线为ＧＷ．ＬＳ算法的　

估计值，绿色曲线为ＲＬＳ．ＬＳ算法的估计值。从　

图中可以看出，仅在小于５Ｏ步的迭代次数下，　

ＧＷ—ＬＳ算法就能达到很好的收敛性能，而ＲＬＳ—ＬＳ　

６５８　科学技术与工程　１０卷　

算法在同等条件下未能达到如此好的效果，实际　

上，ＲＬＳ—ＬＳ算法需要２　０００步左右的迭代才能收　

敛。这充分说明了ＧＷ—ＬＳ算法的有效性。在ｔ＝　

５Ｏ处各个参数的估计值为　。：一０．８９９　８，０。＝　

０．２００　３，　＝０．８０９　９。　

图１　１及其ＧＷ—ＬＳ两段算法、ＲＬＳ—ＬＳ算法的　

估值　．的收敛性　

图２　０。及其ＧＷ－ＬＳ两段算法、ＲＬＳ－ＬＳ算法的　

估值　。的收敛性　

‘　

…一

ＲＬＳ．ＬＳ　

——

ＧＷ．ＬＳ　

　。

、　

Ｉ　

＿　

图３　ｏｒ　及其ＧＷ—ＬＳ两段算法、ＲＬＳ—ＬＳ算法的　

估值ｏ　ｒ：的收敛性　

５总结　

本文提出的ＧＷ．ＬＳ两段算法在估计ＡＲＭＡ模　

型的参数时所体现出来的快速度、高精度收敛特性　

对于时间序列分析及其应用有较为重要的影响，从　

而对于系统辨识也能起到重要的作用。对于以后的　

研究，可以尝试将此算法做一些改进（改进目前基于　

二阶统计量的估计方法），考虑是否可用于非高斯信　

号处理领域。　

参考文献　

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ＭＡ　Ｊｉｎ，ＺＨＯＵ　Ｇｕｏ—ｂｉａｏ　，ＬＩ　Ｙｕａｎ．ｘｉａｎｇ　

（ｓｃｂｏｏｌ　ｏｆ　Ａｅｒｏｌｌｎｔａｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｒｌｃｓ　

ＳＪＴＵ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２００２４０

，

，

Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）　

Ｉ　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｊ　Ａ　ｔｗｏ　ｓｔａｇｅ　ＧＷ・ＬＳ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｄ　ｔｈａｔ　ｈａｓ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｉｍｐｒ０ｖｅｄ　ｔｈｅ　ｐｅＩｆ０肿ａｎｃｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐａｒ啪ｅ￡ｅｒ　

ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｕｔｏ　Ｒｅｇｒｅｓｓｉｖｅ　ａｎｄ　Ｍｏｖｉｎｇ　Ａｖｅｒａｇｅ（ＡＲＭＡ）ｍｏｄｅｌｓ．Ｆｉｒｓｔ　ｄｉｓｃａｒｄｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｈｏｕｇｈｔ　ｏｆ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｂｖ　ＡＲ　

ｍ。ｄｅｌ，ｔｈｅ　ＡＲＭＡ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｆｉｔｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ｈｉｇｈ　ｏｒｄｅｒ　ＭＡ　ｍｏｄｅｌ　ｕｓｉｎｇ　Ｇｅｖｅｒｓ

Ｗｏｕｔｅｒｓ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　０ｆ　ｒｅｌａｔｅｄ　

．

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ＡＲＭＡ　ｍｏｄｅ１．Ｔｈｅｎ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｔｔｅｄ　ＭＡ　ｍ０ｄｅｌ

，

ｔｈｅ　ＡＲＭＡ　ｍ０ｄｅｌ　Ｄａｒ啪ｅｔｅｒ　ｅｓ．　

．　

ｔｉｍａｔｉｏｎ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ａ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ａｎｔｉｐａｔｈｉｃ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｌｅａｓｔ　ｓｑｕａｒｅｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　０ｂｔａｉｎｅｄ

ｔｉｏｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ　ｉｔ　ｈａｓ　ａ　ｈｉｇｈｅｒ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ａｎｄ　ｆａｓｔｅｒ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ

．　

Ａ　ｓｉｍｕｌａ．　

［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］ｓｙｓｔｅｍ　ｉｄｅｎｔｉｉｆｃａｔｉｏｎ　

Ｆｉｔｔｉｎｇ　

、　、　、　、　ｐ、　、　、　＼　≯、　、　ｐ、　、　

ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ＡＲＭＡ　ｍｏｄｅｌ　

ＧＷ－－ＬＳ　ｔｗｏ・・ｓｔａｇｅ　ｍｅｔｈｏｄ　

、　、　、　、　

、　、　、　、　、　、　

（上接第６４６页）　

１０　Ｚｈｅｎｇ　Ｌｉａｎｃｕｎ，Ｃｈｅｎ　Ｘｕｅｈｕｉ

Ｚｈａｎｇ　Ｘｉｎｘｉｎ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ａｐｐｒｏｘｉⅡ１ａｎ￡ｓ　

，

ｆｏｒ　ｈｉｈｅｒ－ｇｏｒｄｅｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌ－ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　

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１３　Ａｄｏｍｉａｎ　Ｇ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｃｈａｓｔｏｉｃ　ｏｐｅｒａｔｏｒ　

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｃａｄｅｍｉｃ　

ｆｏｒ　ａ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｆｌｏｗ　ｏｎ　ａ　ｓｔｒｅｔｃｈｉｎｇ　ｍｏｖｉｎｇ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｗｉｔｈ　ａ　ｐｏｗｅ　

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１４　Ａｄｏｍｉａｎ　Ｇ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｔ。　

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Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｓｈｏｃｋ　Ｗａｖｅ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｌａｙｅｒ　

ＸＵ　Ｙｕｎ。ｂｉｎ，ＺＨＥＮＧ　Ｌｉａｎ—ＣＵｌｌ　

ＤＯＮＧ　Ｙｕａｎ—ｙｕａｎ　

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（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ。ｆ　Ｍａｔｈｅｍａｒｌｃｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｒｌｃｓ，Ｙｕｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

Ｙｕｌｉｎ　７１９０００，ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ：　

，

Ｄ　ｐａｒｔｍ。ｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｒｌｃｓ　ａｎｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ

，

Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｅｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏ１。ｇＹ　Ｂｅｉｊｉ“ｇ　，Ｂｅｉｊｉ“ｇ　１０００８３

Ｐ．Ｒ．Ｃｈｉｎａ）　

，

ｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ｓｈｏｃｋ　ｗａｖｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ

［Ａｂｓｔｒａｃｔ］　

Ａ　ｔ

Ｔｈｅ　Ａｄｏｍｉａｎ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｄｅｃｏｍ．　

．

ｐｏｓ　ｔ　０ｎ　ｔｅｃｈｍｑｕｅ　ｗａｓ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ａｎｄ　ａｎ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ

Ｔｈｅ　ａｐｐｒ０ｘｉｍａｔｅ　ａｎａｌｖｔｉｃａ１　

．

ｓｏＩｕｔ　ｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ａ　ｒａｐｉｄ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｐｏｗｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ　ｗｉｔｈ　ｅｌｅｇａｎｔｌｙ　ｃ０ｍｐｕｔａｂｌｅ　ｔｅｒｎ１ｓ

．

ｗｅ　Ｄｒｅｓｅｎ．　

ｔｅｄ　Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　Ｖａｔｕ

ｅ　０ｆ　Ｓｋｉｎ　Ｆｒｉｃｔｉｏｎ　Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　

ｆｏｒ　Ｖｅｊｏ　ｔｙ　ｒａｔｉｏ　ｐａｒａｍｅｔｅｒ　ｓ￣

．

Ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｆｉｃｉｆｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｖｅｒｉｔｆｅｄ　ｕｓｉｎｇ　ｎｕｍｅｒｉｃａ１　

ｃｏｅ侬．　

ｓ０ｌｕｔｉｏｎｓ・Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｔｈｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｐｒｏｖｉｄｅ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｓｋｉＪ】　ｃｆｊｏ刀

ｃｉｅｎｔ　ｆｏｒ　ｓｈｏｃｋ　ｗａｖｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ

．　

［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　Ａｄｏｍｉａｎ　ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ